综合与实践 最短路径问题（1）牧民饮马问题（教学课件）数学人教版2024八年级上册

该初中数学课件聚焦最短路径问题，以牧民饮马问题及拓展为核心，从生活现象如弯曲河道改直、测量跳远成绩导入，连接“两点之间线段最短”“垂线段最短”等知识，通过轴对称转化问题，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于用数学眼光观察生活（如光行最速原理）抽象问题，以数学思维推理证明（轴对称转化与逻辑论证），借数学语言表达（作图步骤与信息技术验证）。学生提升抽象能力与推理意识，教师可高效衔接课标与中考。

综合与实践 最短路径问题 （牧民饮马问题及拓展） 人教版八年级上册 学习目标 会用数学的眼光发现生活中的最短路径问题.会用数学知识、思想、方法描述最短路径问题，把最短路径问题转化为数学问题. 一 二 能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想. 三 会通过逻辑推理解决数学问题.会用数学问题的结果解释最短路径问题，获得最短路径问题的答案. 生活中的最短路径问题 弯曲河道改直 测量跳远成绩 这些现象体现了哪些数学原理？ 两点之间，线段最短. 垂线段最短. 生活中的最短路径问题 光行最速原理-光线的反射定律 光线经过点A射向分界面上的点O，反射经过点B，如果沿着入射角等于反射角的路径行进时，路径最短. 光行最速原理-法尼亚诺问题 生活中的最短路径问题 在锐角三角形ABC的所有内接三角形中，周长最短的三角形是它的垂足三角形(锐角三角形三条高的垂足形成的三角形).整个过程遵循“光行最速原理”，始终保持入射角等于反射角. 光行最速原理-古堡朝圣问题 生活中的最短路径问题 根据光行最速原理，当入射角等于反射角时，路径APB最短.当两个定点(A、B)离圆心(O)的距离相等时，点P在线段AB的垂直平分线上. 牧民饮马问题 任务1 如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? 提示 从数学的角度看，如果把河边l近似地看成一条直线，问题就是要在直线l上找一点C，使AC与CB的和最小(图2). 图1 图2 图4 牧民饮马问题 问题(1) 如果点A，B是直线l异侧的两个点，如何在l上找一点C，使AC与CB的和最小(图3)? 问题(2) 在任务1中，点A，B在直线l的同侧，你能利用轴对称，把这个问题转化为(1)中的问题吗? B' C 依据：两点之间，线段最短. 如何证明红色路径最短呢？ 图3 牧民饮马问题 信息技术验证 证明：在l上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′. 由轴对称的性质得： BC =B′C，BC′=B′C′． ∴AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′． 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴AC +BC＜AC′+BC′． 　 即AC +BC 最短． 牧民饮马问题 任务2 证明AC +BC最短. 问题解决 牧民饮马问题 问题 如图，牧民从A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短? 作法 1.作点B 关于 的对称点B′； 2. ，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求． 直线l 连接AB′ 巩固练习 1. 昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（    ） A . B. C . D. C 巩固练习 2. 如图，在正方形网格中，M，N为小正方形顶点，直线l经过小正方形顶点A，B，C，D，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应位于（　　） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．点D处 C 问题拓展 任务1 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处，牧民怎样走可使所走的路径最短? 作法： 1.作点A 关于直线l的对称点A′， 作点A 关于直线m的对称点A′′； 2.连接A′A′′，与直线l 、m分别交于点B、C； 3.顺次连接A、B、C. 则沿A-B-C行走的路径最短． 问题拓展 任务1 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处，牧民怎样走可使所走的路径最短? 牧民饮马问题 信息技术验证 牧民饮马问题 思考 证明AB +BC+CA最短. 问题拓展 任务2 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，牧民怎样走可使所走的路径最短? 作法： 1.作点A 关于直线l的对称点A′， 作点B 关于直线m的对称点B′； 2.连接A′B′，与直线l 、m分别交于点C、D； 3.顺次连接A、C、D、B. 则沿A-C-D-B行走的路径最短． 问题拓展 任务2 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，牧民怎样走可使所走的路径最短? 牧民饮马问题 信息技术验证 牧民饮马问题 思考 证明AC +CD+DB最短. 问题拓展 任务3 如图，牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到草地边的B处牧马，再到河边C处饮马，然后回到A处.如何确定A，B，C的位置，使从A处出发，到B处牧马，再到C处饮马，最后回到A处所走的路径最短? 光行最速原理-法尼亚诺问题（点击查看资料） 巩固练习 3.唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题“将军怎样走才能使总路程最短”?如图，在平面直角坐标系中，将军从A(4,0)出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为 30°，则将军所走的最短总路程为（    ） A.4 B.6 C.8 D.12 A 感受中考 1.（山东济宁）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（     ） A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3） D 感受中考 2.（贵州遵义）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（     ）． A．50° B．60° C．70° D．80° D 归纳小结 牧民饮马问题 问题拓展1 归纳总结 问题拓展2 问题拓展3 实际问题 线段和最小问题 两点之间，线段最短 抽象 轴对称 布置作业 举出类似本节课数学模型的其他现实问题并加以解决. 人教版八年级上册 谢谢观看！ $$nullnullnull