第8讲：二次函数，一元二次方程与不等式【知识梳理+7个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦二次函数、一元二次方程与不等式之间的内在联系，构建“三个二次”知识体系，从概念界定到高频题型层层递进，涵盖不含参与含参不等式的解法、根的分布、恒成立与有解问题等核心内容，形成完整的学习支架。 资料设计突出数学眼光、思维与语言三大素养融合，以图像为工具、定理为依据，实现从直观感知到逻辑推理再到精准表达的跃迁。例如通过“开口方向+判别式+根的位置”三要素分析根的分布问题，体现几何直观与逻辑推理的结合，帮助学生建立数形对应意识。课中便于教师分层教学，课后可作为查漏补缺的系统资源，助力学生突破难点，提升综合解题能力。

2025-2026年高一上数学常考题型归纳 【第8讲：二次函数，一元二次方程与不等式】 【知识梳理】 一、核心关联：“三个二次”的内在逻辑（教材基础+高考核心） 1.概念界定与对应关系 要素 核心形式 关键连接点 二次函数（载体） （） 图像开口方向（的符号）、对称轴（） 一元二次方程（零点） （） 判别式决定根的个数，根为函数图像与轴交点横坐标 一元二次不等式（范围） （或，，） 解集对应函数图像在轴上方/下方的取值范围 2.核心定理（教材重点+高考依据） 零点存在性与解集关系： 若方程的两根为，则： 当时，的解集为，的解集为； 当时，不等号方向反转，可先化为的形式求解（高考通法）。 二、高频题型与解题策略（教材例题延伸+高考真题提炼） 题型1：不含参一元二次不等式的解法（基础送分题） 教材原型：求解、等，核心步骤为“化正→因式分解/求根→写解集”。 高考考法：2023年新高考I卷第1题直接考查，需快速转化二次项系数为正。 解题步骤： 1.标准化：确保二次项系数（若，两边乘并变号）； 2.求根：用因式分解或求根公式得方程的根（无实根时直接判断解集）； 3.写解集：根据开口方向与根的位置，结合“大于取两边，小于取中间”口诀书写。 题型2：含参一元二次不等式的解法（高考高频中档题） 分类标准：按“二次项系数→判别式→根的大小”分层讨论（2024广东一模、云南期末真题核心思路）。 典型场景与策略： 分类情形 解题关键 示例（解不等式） 1.二次项系数含参 先讨论（一次不等式）与（二次不等式） 时，解集为；时因式分解为 2.判别式含参 讨论（两实根）、（等根）、（无实根） 当时，，恒有实根 3.根的大小含参 比较两根大小，确定解集区间 当时，，解集为；当时，解集为 题型3：由不等式解集求参数（高考经典题型） 核心依据：解集端点即为对应方程的根，利用韦达定理求参数（教材“三个二次”关系的逆用）。 高考真题示例：已知不等式的解集为，求的值（2024黑龙江大庆期末）。 解题步骤： 1.定根：由解集知方程的根为和； 2.用韦达定理：，； 3.求解验证：解得，，验证与解集符号一致。 题型4：二次函数根的分布问题（高考难点） 问题特征：已知根所在区间（如“一根在，另一根在”），求参数范围（2024全国高三专题练习）。 解题工具：利用二次函数图像性质，列“端点函数值符号+判别式+对称轴”不等式组。 典型模型与不等式组： 设（），方程的两根为： 两根都在内： 一根在，另一根在（）： 题型5：恒成立与有解问题（高考综合热点） 核心场景：已知不等式对任意或恒成立，求参数范围（2025高考复习核心考点）。 解题策略： 1.全域恒成立（）： 当时，； 当时，化为一次不等式恒成立（需且）。 2.区间恒成立（）： 求二次函数在区间上的最值，转化为“最值”（或）； 示例：在上恒大于0，需分对称轴在区间左侧、内部、右侧讨论最值。 3.有解问题：转化为“区间内存在使不等式成立”，即“函数在区间上的最值满足不等式”（与恒成立对立）。 题型6：其他不等式的转化（教材拓展+高考延伸） 分式不等式：（或）等价于（或且）（2024湖南长沙期末）。 高次不等式：用“数轴标根法”，先因式分解为一次因式乘积，标根后从右上往左下穿线（奇穿偶不穿）（2023上海徐汇阶段练习）。 三、易错点与避坑指南（结合真题失误案例） 1.二次项系数漏讨论：解含参不等式时，未先讨论的情况，直接按二次不等式求解（如题型2中时为一次不等式）。 2.根的分布忽略细节：未验证判别式（导致无实根）或对称轴位置（如两根在区间内时，对称轴需在区间内）。 3.恒成立问题混淆条件：区间恒成立时，直接套用全域恒成立的，忽略区间对最值的影响。 4.符号错误：化二次项系数为正时，忘记变不等号方向（如解时，误化为，实际应为）。 四、教材与高考的衔接要点 1.基础夯实：熟练掌握教材中二次函数的图像、方程的根与不等式解集的对应关系，这是高考解题的底层逻辑。 2.能力迁移：从教材不含参问题，迁移到高考含参分类讨论、根的分布等综合问题，核心是“以图像为工具，以定理为依据”。 3.高频聚焦：高考中“含参不等式解法”“恒成立问题”“由解集求参数”考查频率最高，需结合真题强化训练。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：解不含参数的一元二次不等式】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）解下列二次不等式（答案用集合或者区间表示） (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解； （2）利用一元二次不等式的解法求解； （3）利用一元二次不等式的解法求解； 【详解】（1）由， 得， 解得， 所以原不等式的解集为； （2）由， 得， 解得或， 所以原不等式的解集为：； （3）由， 得，即， 解得， 所以原不等式的解集为. 【例题2】（25-26高一上·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2)或 (3)答案见解析 【分析】（1）移项后结合一元二次不等式的解法可求不等式的解； （2）因式分解后可求不等式的解； （3）先因式分解，再对分类讨论分别得到不等式的解即可． 【详解】（1）由得， 即，解得． 故原不等式的解集为． （2）因为， 解得或，所以原不等式的解集为或． （3）不等式可化为， 解方程的根， 得，， 当时，解不等式得或， 当时，解不等式得或， ∴当时，解集为， 当时，解集为． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·广西柳州·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）利用分式不等式的解法：分式不等式转化成整式不等式，得到，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果； （2）利用分式不等式的解法：分式不等式转化成整式不等式，得到，且，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果. （3）根据条件得到，利用，将问题转化成，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果. 【详解】（1）因为等价于，得到或， 所以的解集为或. （2）由，得到，即， 等价于，且，解得或， 所以的解集为或. （3）由，得到， 又恒成立， 所以原不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为 【相似题2】（25-26高一上·山东德州·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）先对式子进行配方，然后可解； （2）根据符号法则转化为两组不等式组求解可得； （3）根据绝对值的意义求解即可. 【详解】（1）由得，即，解得， 所以不等式的解集为或. （2）因为，所以或， 解得或， 所以不等式的解集为或. （3），解得， 所以不等式的解集为. 【解题策略】 一、核心原理：“三个二次”的关系 一元二次不等式、一元二次方程、二次函数被称为“三个二次”，三者的内在联系是解题的关键： 设一元二次不等式的标准形式为：或（）； 对应的一元二次方程为：； 对应的二次函数为：。 解题的本质是：通过二次函数的开口方向（由的符号决定）和与x轴的交点（由方程的根决定），判断函数值“正”或“负”的区间，即不等式的解集。 二、通用解题四步法 第一步：化为标准形式，定开口方向 1.整理标准式：将不等式移项、合并同类项，化为“”或“”的形式（右侧为0，左侧按x的降幂排列）。 2.判断开口方向： 若，二次函数图像开口向上； 若，两边同乘（注意：不等号方向要反向），转化为的情况（简化后续判断）。 第二步：求解对应方程，定“分界点” 计算对应一元二次方程的判别式，根据的符号判断方程根的情况（根是函数与x轴的交点，也是不等式解集的“分界点”）： 1.当时：方程有两个不相等的实根，记为、（约定）； 2.当时：方程有两个相等的实根，记为（函数图像与x轴相切）； 3.当时：方程无实根（函数图像与x轴无交点）。 第三步：结合图像，定解集区间 根据“开口方向”和“根的情况”，结合二次函数图像的单调性（开口向上时，“中间低、两边高”；开口向下时，“中间高、两边低”），直接判断函数值满足不等式的x范围： 条件（） 不等式的解集 不等式的解集 （两不等根） （两边） （中间） （等根） （除根外） （空集，无满足条件的x） （无根） （全体实数，函数值恒正） （空集，函数值恒正） 第四步：验证与规范书写 解集需用区间或集合表示（避免用不等式连写，如“或”需转化为区间并集）； 特殊情况：若原不等式含“≥”或“≤”，解集需包含方程的根（如，当时解集为）。 三、实例解析（覆盖所有情况） 例1：的情况 求解不等式： 1.定标准式与开口：已为标准式，，开口向上； 2.求根：方程，，根为，； 3.定解集：开口向上，“大于0取两边”，解集为。 例2：的情况 求解不等式： 1.定标准式与开口：已为标准式，，开口向上； 2.求根：方程，，等根； 3.定解集：开口向上，“小于等于0”仅在顶点处成立，解集为。 例3：的情况 求解不等式： 1.定标准式与开口：两边同乘（不等号反向），得，，开口向上； 2.求根：方程，，无实根； 3.定解集：开口向上且无交点，函数值恒正，解集为。 例4：含“分式”的一元二次不等式（可转化） 求解不等式： （提示：先转化为“整式不等式”，注意分母不为0） 1.等价于且； 2.求根：的根为1、2，的根为-1，排序：； 3.用“穿根法”（从右向左、从上向下穿）：解集为。 四、易错点提醒 1.不等号方向：当时，两边同乘必须反向不等号（如转化为）； 2.等根的处理：含“≥”“≤”时才包含等根，不含时需排除（如的解集是）； 3.分母不为0：分式形式的不等式需先转化为整式，且分母对应的根要排除在解集外。 总结 不含参数的一元二次不等式解题核心是“抓开口、求根、看图像”，四步流程清晰固定，通过练习不同判别式的情况即可熟练掌握。对于复杂形式（如分式、绝对值），可先转化为标准一元二次不等式再求解。 【题型二：解含参数的一元二次不等式】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】三个不等式左侧都不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为． （3）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 【例题2】（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）解下列关于x的不等式 【答案】答案见解析 【分析】分、及，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】，即. 当时，，原不等式的解集为或； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为或. 相似练习 【相似题1】（22-23高一上·四川广安·阶段练习）（1）若对于任意实数x都有恒成立，求实数a的取值范围； （2）已知，求关于x的不等式的解集. 【答案】（1） （2）答案见解析 【分析】（1）根据题意得，求解即可； （2）不等式等价于，对分类讨论求不等式解集. 【详解】（1）根据题意，恒成立， 显然当时，不成立， 则，解得； （2）， 当时，，则， 当时，令，则，或，此时，∴或， 当时，即时，， 当，即时，， 当时，即时，， 综上所述:当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为；当时，； 当时，解集为. 【相似题2】（24-25高二下·宁夏银川·期末）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）解不含参的一元二次不等式即可得解； （2），对分类讨论即可得解. 【详解】（1）若，，则，即， 而，故的解集为； （2）若，则， （i）当时，，解得， （ii）当时，解不等式得，， （iii）当时，解不等式得，或， （iv）当时，解不等式得，或， （v）当时，解不等式得，或， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解题策略】 一、核心原则：先“标准化”，再“分类讨论” 解含参数一元二次不等式的第一步，是将不等式化为标准形式，为后续分析奠定基础。 标准形式定义：（或、、），其中、、为常数（含参数），且优先保证二次项系数的“符号清晰”——若含参数，需先讨论的情况（此时不等式退化为一次不等式），再对的情况按或分类（若，可两边同乘转化为，同时反转不等号方向）。 二、具体解题步骤（四步法） 步骤1：判断不等式类型——先看二次项系数 参数可能使“一元二次不等式”退化为“一次不等式”或“常数不等式”，因此第一步必须讨论的取值： 情况1： 原不等式变为一次不等式（以“>”为例），进一步分3类： 1.若，解集为； 2.若，解集为； 3.若，不等式变为常数不等式： 若，解集为（全体实数）； 若，解集为（空集）。 情况2： 不等式为一元二次不等式，需进一步分析对应二次方程的根（先化：若，两边乘，不等号反向，如转化为）。 步骤2：分析对应二次方程的根——计算判别式 对于标准化后的一元二次不等式（），其解集由对应方程的“根的情况”决定，而根的存在性由判别式判断： 情况1： 二次函数（）的图像开口向上，且与轴无交点，因此： 若不等式为，解集为； 若不等式为，解集为。 情况2： 二次函数图像开口向上，且与轴有唯一交点（二重根），因此： 若不等式为，解集为（即）； 若不等式为，解集为。 情况3： 二次函数图像开口向上，且与轴有两个不同交点（设根为、，需先比较与的大小），因此： 若不等式为，解集为“大于大根，小于小根”（即）； 若不等式为，解集为“介于两根之间”（即）。 步骤3：比较根的大小（当时） 当时，方程有两个不同根、，但参数可能导致根的大小关系不确定，需通过“作差法”比较的符号： ，由于、（已标准化），因此必然有。 （注：若原不等式未标准化（如直接分析），需额外比较根的大小；但标准化后可直接确定，简化计算。） 步骤4：整合结果，规范表示解集 按上述分类讨论的逻辑，将不同参数取值范围对应的解集逐一列出，注意： 解集需用“区间表示法”或“集合表示法”（避免用不等式串）； 参数的分类边界需“不重不漏”（如、、；、、）。 三、关键分类讨论节点总结 含参数一元二次不等式的讨论核心是“参数影响的关键要素”，可按以下优先级排序： 1.二次项系数：决定不等式类型（一次/二次）和二次函数开口方向； 2.判别式：决定对应方程根的存在性（无实根/单根/两根）； 3.根的大小关系：决定解集的区间边界（仅当且根含参数时需讨论，标准化后可简化）。 四、示例演示：解不等式 步骤1：标准化并讨论 原不等式可因式分解为（或保留一般式），先讨论： 当：不等式变为，即，解集为。 当：标准化为，分和： 步骤2：当，分析和根 对应方程，： 若（即）：方程有二重根，不等式为，解集为。 若（即且）：方程两根为，，需比较大小： 当时，，不等式（，不等号方向不变），解集为； 当时，，解集为。 步骤3：当，分析和根 （恒成立），方程两根（负根），（正根），显然。 不等式（，可转化为，不等号反向），解集为。 步骤4：整合结果 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为。 五、易错点提醒 1.漏讨论的情况：直接按二次不等式求解，忽略“一次不等式”的可能性； 2.时未反转不等号：标准化时两边乘负数，不等号方向忘记改变； 3.根的大小比较错误：当根含参数时（如与1），未结合参数范围判断大小； 4.解集表示不规范：用“或”而非区间。 总之，解含参数一元二次不等式的本质是“按参数对不等式的影响分层拆解”，核心是“先定类型（a的讨论）→再定根况（Δ的讨论）→最后定区间（根 的大小）” 【题型三：二次函数，一元二次方程与一元二次不等式三者的关系】 例题精选 【例题1】【多选题】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则且 D．若，则关于的不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】对于A和D，根据条件，利用一元二次不等式的解法，得，且，即可求解；对于B，由题是可得，从而得不等式的解集，即的解集，即可求解；对于C，利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，且和是方程的两根， 则，得到，所以，故A正确； 对于B，若，则， 此时等价于，即， 显然一元二次不等式与一元二次不等式解集不相等，所以B错误； 对于C，令，因为，则图象开口向下，且与轴有一个交点或无交点， 所以且，故C正确； 对于D，因为，由选项A知，，且， 由，得到，即，解得或，所以D正确， 故选：ACD. 【例题2】【多选题】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 【答案】BC 【分析】结合一元二次不等式与二次函数的关系及函数的平移得到，从而得到，即可判断A、B、C，由韦达定理得到，利用基本不等式判断D. 【详解】因为关于一元二次不等式的解集为（其中）， 所以二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，， 又关于一元二次不等式的解集为， 即二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，， 又二次函数的图象是由向上平移个单位得到的， 又开口向下，对称轴为， 由于无法确的值，以下只能得到与图象的大致情形如下（这里只列出其中一种）： 所以， 则，所以，，所以，故A错误，B正确； 又，，所以，故C正确； 因为、为关于的方程的两根， 所以，， 又，所以，所以， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 显然，所以，故D错误. 故选：BC 相似练习 【相似题1】【多选题】（23-24高一上·安徽淮南·期末）若存在m，，使得的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A．的解集为或 B．的解集为 C． D． 【答案】AD 【分析】AB选项，根据不等式解集得到的解集为，的解集为或；C选项，根据韦达定理得到，，得到；D选项，根据和，得到答案. 【详解】AB选项，因为，故， 由题意得的解集为， 的解集为或，A正确，B错误； C选项，的两个根为，的根为， 故，，， 由于，，故，所以，C错误； D选项，因为，， 故，两边平方得，D正确. 故选：AD 【相似题2】【多选题】（23-24高一上·湖北·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．函数有最大值 B． C． D．的解集为 【答案】ABD 【分析】（1）由一元二次不等式解集即可知，即函数有最大值，A正确；由可知即B正确；利用韦达定理可得，即可知C错误；易知不等式可化为，解得可知D正确. 【详解】因为不等式的解集为，所以， 函数开口向下，有最大值，A正确； 又，函数值即B正确； 又是关于的二次方程的两根，则， 所以，则C错误； 不等式即为，即， 解得或，，D正确. 故选：ABD. 【解题策略】 一、核心关联：三者的本质联系梳理 首先明确三者的代数表达式及对应关系，以标准形式（二次项系数）为基础： 类别 代数表达式 核心问题 与二次函数的关系 二次函数 （） 函数的图像、性质（单调性、最值等） 基础模型，是方程和不等式的“母体” 一元二次方程 （） 求解（根的存在性、根的大小） 函数图像与轴的交点横坐标（即时的值） 一元二次不等式 （或） 求不等式的解集（的取值范围） 函数图像在轴上方（）或下方（）时对应的取值范围 关键桥梁：判别式 判别式决定了一元二次方程根的个数，进而决定了二次函数图像与轴的交点个数，最终直接影响一元二次不等式的解集形式。 二、解题核心策略：“三步数形结合法” 所有与“三个二次”相关的问题（如解不等式、求参数范围、判断根的分布等），均可通过以下三步实现“以形助数”的转化： 第一步：标准化“二次项系数”，确定函数图像开口方向 二次项系数的符号直接决定二次函数的图像开口方向，是后续判断解集的基础： 若：图像开口向上（“∩”型）； 若：图像开口向下（“∪”型）。 注意：解一元二次不等式时，若，可先在不等式两边同乘（同时反向不等号），转化为的标准形式，简化后续判断。 第二步：计算判别式，定位函数与轴的交点 通过判断一元二次方程的根的情况，即二次函数图像与轴的交点个数： 1.当时：方程有两个不相等的实根（设为），函数图像与轴有两个交点和； 2.当时：方程有两个相等的实根（设为），函数图像与轴有一个切点（顶点）； 3.当时：方程无实根，函数图像与轴无交点（全程在轴上方或下方）。 第三步：结合图像开口方向，确定不等式的解集 根据“开口方向”和“与轴的交点”，直接通过函数图像的“上下位置”读取不等式的解集。以下为时的核心结论（可先转化为）： 条件（） 方程的根 函数图像特征 不等式的解集 不等式的解集 两不等实根 开口向上，交轴于两点 两相等实根 开口向上，切轴于顶点 （空集） 无实根 开口向上，全程在轴上方 （全体实数） （空集） 记忆口诀：时，“大于零取两边，小于零取中间”；时，“大于零取中间，小于零取两边”（或转化为后用口诀）。 三、典型应用场景与解题示例 “三个二次”的关联策略可解决四大类问题，以下结合示例说明具体用法： 场景1：解一元二次不等式（基础应用） 例：解不等式 解题步骤： 1.标准化系数：两边同乘，不等号反向，得（此时）； 2.计算与根：，解方程，得根，； 3.结合图像写解集：，“小于零取中间”，故解集为。 场景2：由不等式解集求参数（逆向应用） 例：已知不等式的解集为，求的值。 解题逻辑： 解集说明方程的根为，，且（因“小于零取中间”，对应的“小于零”，但原不等式是“大于零”，故）； 由韦达定理：，； 解得：，。 场景3：判断方程根的分布（函数视角） 例：若方程的两根均大于1，求的取值范围。 解题策略：转化为二次函数的图像特征： 1.根的存在性：（）； 2.对称轴位置：对称轴（两根均大于1，对称轴需在1右侧）； 3.端点函数值：（图像开口向上，处函数值为正，保证两根在1右侧）。 联立求解： 或； ； ； 综上：。 场景4：二次函数的最值与不等式恒成立问题 例：若对任意，不等式恒成立，求的取值范围。 解题逻辑： 不等式恒成立二次函数的图像全程在轴上方； 因，只需（无交点，全程在上）； 计算。 四、易错点与避坑指南 1.忽略二次项系数为0的情况：若题目未明确“一元二次”，需先判断（此时为一次函数/不等式）和（二次情况）； 2.判别式计算错误：注意中的符号（尤其是或为负数时）； 3.解集端点取舍：不等式含“”“”时，解集需包含方程的根（用闭区间），不含时用开区间； 4.根的分布遗漏条件：判断根的范围时，需同时满足“判别式（存在性）、对称轴（位置）、端点值（趋势）”，缺一不可。 总结 “三个二次”的解题核心是“图像引领思路，代数落地计算”：先通过二次函数的开口方向、判别式确定图像轮廓，再根据方程的根（交点）定位关键位置，最终结合不等式的“正负要求”读取解集或转化为参数条件。熟练掌握这一逻辑链，可轻松应对所有相关问题。 【题型四：一元二次方程根的分布问题】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·福建·开学考试）若关于的方程只有正实根，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次方程根的情况，分类讨论即可. 【详解】因为方程只有正实根， 所以①当两个正实根相等时， 有，所以或, 当时，两个相等的正根为，当时，方程的根均为零，舍； ②当两个正实根不相等时， 设方程的两根为， 则，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【例题2】（25-26高一上·安徽亳州·开学考试）已知关于的一元二次方程，根据下列条件求出的范围： (1)方程的两根都大于0； (2)方程的一根大于3，另一根小于3． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过一元二次方程根的分布与判别式和特殊点的关系即可确定实数的取值范围； （2）根据开口向上以及两根与3的大小关系即可确定实数的取值范围. 【详解】（1）令，其对称轴为， 若一元二次方程的两根都大于0， 则，，解得， 实数的取值范围是； （2）若一元二次方程的一根大于3，另一根小于3， 则，即， 实数的取值范围是． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·开学考试）若关于的方程的两个根都在区间上，则a的值范围为 ． 【答案】 【分析】结合二次函数根的区间分布，列出不等式组，解出即可. 【详解】设，由题可知，若都在区间内， 则需满足，所以解得． 故答案为：. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知方程，在下列条件下，分别求的范围． (1)有两个不同的正根； (2)有两个不同的负根； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)两个不同的根都大于； (5)两个不同的根都小于1； (6)一个根大于1，一个根小于1； (7)两个不同的根都在内； (8)有两个不同的根，有且仅有一个根在内； (9)一个根小于2，一个根大于4； (10)一个根在内，另一个根在内； (11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； (12)在内无实根． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【分析】利用二次函数根的分布情况逐项分析求解. 【详解】（1）对于方程， 两个不同的正根，且设两根分别为,，则， 即，解得. 故有两个不同的正根的范围为. （2）两个不同的负根，且设两根分别为，，则， 即，解得. 故有两个不同的负根的范围为. （3）令，一个根在内，另一个根在内， 则，即，解得. 故一个根在内，另一个根在内的范围为. （4）两个不同的根都大于，则两根为，， 即，即，解得. 故两个不同的根都大于则的范围为. （5）两个不同的根都小于1，则两根为，， 即，即，解得. 故两个不同的根都小于1，则的范围为. （6）一个根大于1，一个根小于1，则得，解得； 故一个根大于1，一个根小于1，则的范围为. （7）两个不同的根都在内， 即，即，解得， 故两个不同的根都在内，则的范围为. （8）有两个不同的根，有且仅有一个根在内， 则，即，解得. 当时，方程两根为，符合， 故有两个不同的根，有且仅有一个根在内，则的范围为. （9）一个根小于2，一个根大于4； 则，即，解得. 故一个根小于2，一个根大于4，则的范围为. （10）一个根在内，另一个根在内； 则，即，解得. 故一个根在内，另一个根在内，则的范围为. （11）一个正根，一个负根，且正根绝对值较大， ，即，解得. 故一个正根，一个负根，且正根绝对值较大，则的范围为. （12）在内无实根： 即或或或， 即或或或， 解得或， 故在内无实根时，则的范围为. 【解题策略】 一、核心理论基础（4个关键要素） 解决根的分布问题，必须牢牢掌握二次函数（）的4个核心性质，它们是构建条件的基石： 1.开口方向（由决定） ：抛物线开口向上，图像呈“U”型； ：抛物线开口向下，图像呈“∩”型。 2.判别式（由决定） ：方程有两个不相等的实根（抛物线与x轴有2个交点）； ：方程有两个相等的实根（抛物线与x轴有1个交点，即顶点在x轴上）； ：方程无实根（抛物线与x轴无交点）。 3.端点函数值（由决定，为根分布的临界值） 若：抛物线在处位于x轴上方； 若：是方程的根； 若：抛物线在处位于x轴下方。 4.对称轴位置（由决定） 对称轴是抛物线的“对称中心”，决定了两个根的中点位置。当根分布在某一区间内或区间两侧时，需用对称轴限定根的“整体位置”。 二、常见根的分布类型及解题策略（8大模型） 根的分布问题可按“根与区间的关系”分为几大类，每类均有固定的解题模板。以下以（开口向上）为例（可先乘-1转化为，注意不等号方向改变）。 类型1：两根均大于某常数（且） 图像特征：抛物线开口向上，与x轴有两个交点，且两个交点均在右侧。 等价条件（3个条件缺一不可）： 1.（保证有实根）； 2.对称轴在右侧：（保证两根整体在k右侧）； 3.端点值（保证k在两根左侧，抛物线在k处上翘）。 类型2：两根均小于某常数（且） 图像特征：抛物线开口向上，与x轴有两个交点，且两个交点均在左侧。 等价条件（3个条件缺一不可）： 1.（保证有实根）； 2.对称轴在左侧：（保证两根整体在k左侧）； 3.端点值（保证k在两根右侧，抛物线在k处上翘）。 类型3：两根均在区间内（） 图像特征：抛物线开口向上，与x轴的两个交点均落在区间内部。 等价条件（4个条件缺一不可）： 1.（保证有实根）； 2.对称轴在区间内：（保证两根整体在区间内）； 3.左端点值（抛物线在m处上翘，m在两根左侧）； 4.右端点值（抛物线在n处上翘，n在两根右侧）。 类型4：两根均在区间外（且） 此类型分两种情况，需合并讨论： 1.两根均小于（）； 2.两根均大于（）。 等价条件（满足其一即可）： 情况1：且； 情况2：且。 关键说明：开口向上时，若区间端点在两根之间，函数值必为负，无需额外限定对称轴（由端点值和判别式可推导）。 类型5：一根在区间内，另一根在区间外（） 图像特征：抛物线开口向上，x轴穿过区间，即抛物线在m处和n处分别位于x轴两侧。 等价条件（1个核心条件，搭配判别式）： 1.（保证两根不等）； 2.端点值乘积为负：（零点存在定理的直接应用）。 类型6：一根在区间内（含端点，或） 图像特征：抛物线开口向上，一个交点在区间内（或端点），另一个在区间外（或端点）。 等价条件（核心为端点值乘积非正，需分类验证）： 1.（保证有实根）； 2.端点值乘积非负：； 3.若，需验证另一根是否满足；若，需验证另一根是否满足。 类型7：两根分别在两个不重叠区间和内（） 图像特征：抛物线开口向上，两个交点分别落在两个区间内，即抛物线在n处和p处均位于x轴下方。 等价条件（4个条件）： 1.（保证两根不等）； 2.且（左区间有一根）； 3.且（右区间有一根）。 类型8：一根为常数，另一根在区间内 解题逻辑：先利用“根的定义”代入，求出参数值；再将参数代入方程，解出另一根，验证其是否在区间内。 等价条件： 1.（k是根）； 2.解方程得另一根，满足。 三、通用解题步骤（4步走） 1.定函数：设二次函数，明确的符号（若含参数，需讨论的情况，此时为一次方程，单独验证）。 2.画草图：根据“根的分布要求”和“a的符号”，绘制抛物线的大致图像，标注临界值（区间端点、k等）对应的函数值正负、对称轴位置。 3.列条件：结合图像特征，从“判别式（Δ）、对称轴（x₀）、端点值（f(m)/f(n)）”三个维度列出等价的不等式（组）。 4.解组验证：解不等式组，得到参数范围；若涉及端点值为0的情况，需代入方程验证根的具体位置，避免漏解或错解。 四、典型例题解析 例题：已知关于x的方程，若两根均大于1，求k的取值范围。 1.定函数：，（开口向上）。 2.画草图：两根均大于1，图像为开口向上的抛物线，与x轴交点在x=1右侧，对称轴在x=1右侧，f(1)>0。 3.列条件： Δ≥0：（恒成立）； 对称轴>1：⇒； f(1)>0：⇒或。 4.解组验证：取交集得。 答案： 五、易错点提醒 1.忽略a的符号：a的正负直接决定抛物线开口方向，条件会完全相反（如a<0时，“两根均大于k”需f(k)<0）。 2.漏判判别式：只要涉及“实根”，必须先保证Δ≥0（除非题目明确“两根存在”）。 3.对称轴位置遗漏：仅靠端点值无法限定两根的整体位置（如f(k)>0时，两根可能均在k两侧，需对称轴辅助）。 4.端点值验证缺失：当f(m)=0时，需确认m是否为根，以及另一根是否满足条件，避免“假根”混入。 掌握以上策略后，根的分布问题可转化为“按图索骥”的代数运算， 【题型五：一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 例题精选 【例题1】（2025·四川广元·模拟预测）对于任意，都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式的解法，分类讨论计算即可. 【详解】易知恒成立， 显然当时，符合题意； 当时，要满足题意需，即， 综上. 故选：C 【例题2】（2025高三·上海·专题练习）若关于x的不等式的解集为R，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由题意可知，求解不等式即得参数范围. 【详解】因为不等式的解集为R， 则， 即，解得， 故实数的取值范围为. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 【相似题2】（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由恒成立的等价条件为求解即可. 【详解】命题“，”是真命题， 又，则，解得． 故答案为：. 【解题策略】 一、核心概念与本质 一元二次不等式的一般形式为： （或、、）对任意恒成立。 其本质是：二次函数的图像全程在x轴上方（或不低于x轴、下方、不高于x轴），无例外情况。 二、解题总步骤（四步走） 第一步：分类讨论“二次项系数”——关键前提 二次项系数决定了不等式是否为“二次型”： 若：不等式退化为一次不等式（）或常数不等式（），需单独判断是否对任意恒成立； 若：不等式为真正的一元二次不等式，需结合二次函数图像分析。 第二步：分析“开口方向”（时） 二次函数的开口方向由的符号决定，直接影响“恒成立”的可行性： 若要（或）恒成立：开口必须向上（），否则当时，，不可能恒正； 若要（或）恒成立：开口必须向下（），否则当时，，不可能恒负。 第三步：分析“判别式”（时） 判别式决定了二次函数与x轴的交点个数，是“全程在x轴同侧（或相切）”的关键： 若不等式带严格不等号（或）：需函数与x轴无交点（），即图像全程不触碰x轴； 若不等式带非严格不等号（或）：允许函数与x轴相切（有唯一交点）（），即图像可触碰x轴（此时函数值为0，满足不等式）。 第四步：综合条件，求解参数范围 结合前三步的条件，列出不等式组并求解，最后整合和的情况，得到参数的最终取值范围。 三、四大核心题型与示例 根据不等式的符号方向和是否含等号，分为四类典型题型，下表结合示例详细说明： 题型 条件（对任意恒成立） 解题条件 示例分析 1.严格正恒成立 ①：且； ②且 例：恒成立，求的范围。 解： ①：不恒成立； ②且→； 综上： 2.非严格正恒成立 ①：且； ②且 例：恒成立，求的范围。 解： ①； ②→； 综上： 3.严格负恒成立 ①：且； ②且 例：恒成立，求的范围。 解： ①：不恒成立； ②（即）且→； 综上： 四、核心思想总结 一元二次不等式恒成立问题的本质是“图像的全范围位置控制”，解题时牢牢抓住三个关键： 1.先定系数：是否为二次型（讨论）； 2.再定方向：开口方向是否符合“恒成立”需求（或）； 3.最后定交点：判别式控制与x轴的位置关系（或）。 按此逻辑分步拆解，即可避免漏解、错解，高效求解参数范围。 【题型六：一元二次不等式在某区间上恒成立问题】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知“，”为假命题，则的最大值为 . 【答案】 【分析】问题化为，恒成立，求右侧最小值即可得范围. 【详解】由题设知，为真命题，即，恒成立， 故只需，得，即. 故答案为：1 【例题2】（25-26高三上·上海·阶段练习）任意都是不等式的解，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】由题可转化为在上恒成立，令，整理得，再利用对勾函数函数得到最小值即可. 【详解】由题知，即不等式在上恒成立， 则，又，所以令， 即，所以， 又，当，即时取等号， 所以在上单调递减， 所以. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据不等式分类讨论分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以当时，；当时. 要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立. 则当时，；当时，； 所以当时，， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故答案为：. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 【答案】4 【分析】分析得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】若，，恒成立， 即恒成立， 所以二次式与一次式在0到正无穷有相同的解， 故才能满足要求（因式分解后二次项和常数项一致）， 又，故， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故答案为：4 【解题策略】 一、核心原理：恒成立与函数最值的转化 对于一元二次不等式（或、、）在区间上恒成立，本质是： 若，设二次函数，则： 1.在上恒成立（上的最小值大于0）； 2.在上恒成立； 3.在上恒成立（上的最大值小于0）； 4.在上恒成立。 关键前提：先判断函数类型——若，则为一次函数（或常数函数），需单独讨论；若，才是二次函数。 二、解题总步骤 1.第一步：分类讨论二次项系数 这是避免漏解的核心（一次函数与二次函数性质差异极大）： 当：不等式化为（或其他符号），按一次不等式恒成立分析； 当：按二次函数分析，结合开口方向（向上，向下）。 2.第二步：分析二次函数的关键要素 对的情况，需关注3个核心要素： 开口方向（决定最值是最大值还是最小值）； 判别式（判断函数与x轴的交点，影响“全域恒成立”的可能性）； 对称轴（判断对称轴与区间的位置关系，决定最值在区间端点还是顶点取到）。 3.第三步：结合区间求最值，列不等式组 根据对称轴与区间的位置关系，分“对称轴在区间内”“对称轴在区间左侧”“对称轴在区间右侧”三类，确定最值点，再转化为不等式组求解。 4.第四步：验证边界情况 若区间含端点，需验证端点处的函数值是否满足条件；若为开区间，端点值不影响，但需注意函数在区间内的连续性。 三、分类题型与具体策略 区间通常分为闭区间（如）、半无穷区间（如或），不同区间的最值分析逻辑不同，以下分题型详解。 题型1：闭区间上的恒成立 闭区间上的二次函数最值，由开口方向和对称轴与区间的位置关系共同决定，需分3种情况讨论对称轴位置。 设（），对称轴。 情况1：（开口向上，函数有最小值，无最大值） 若（对称轴在区间左侧）：函数在上单调递增， 恒成立条件：（或）； 若（对称轴在区间右侧）：函数在上单调递减， 恒成立条件：（或）； 若（对称轴在区间内）：函数最小值在顶点处， 恒成立条件：（或）。 情况2：（开口向下，函数有最大值，无最小值） 若：函数在上单调递减， 恒成立条件：（或）； 若：函数在上单调递增， 恒成立条件：（或）； 若：函数最大值在顶点处， 恒成立条件：（或）。 题型2：半无穷区间上的恒成立 常见区间为或，需结合开口方向和对称轴位置，分析函数在区间上的单调性与最值趋势。 子题型2.1：区间（右半无穷区间） 当（开口向上）： 若：函数在单调递增，，恒成立需； 若：函数在递减、递增，，恒成立需。 当（开口向下）： 函数在单调递减，当时，，故不可能恒成立；若恒成立，只需（因单调递减，最大值在端点）。 子题型2.2：区间（左半无穷区间） 当（开口向上）： 函数在单调递减，当时，，故不可能恒成立；若恒成立，需结合对称轴： 若：； 若：。 当（开口向下）： 若：函数在单调递增，； 若：函数在递增、递减，。 题型3：含参数的“分离参数法”（优先推荐的简化策略） 当不等式可整理为“参数”或“”在区间上恒成立时，可使用分离参数法，避免讨论二次函数的复杂情况。 核心逻辑： 若在上恒成立（参数大于等于函数的最大值）； 若在上恒成立（参数小于等于函数的最小值）。 适用条件： 1.参数与变量可完全分离（不含参数与变量的乘积项）； 2.分离后新函数的最值易求（如一次函数、二次函数、分式函数等）。 示例： 求参数的取值范围，使在上恒成立。 分离参数：，需分（区间满足），得。 令，求其在上的最小值：由均值不等式，（当时取等），故。 四、特殊情况：区间为（全域恒成立） 虽不属于“某区间”，但常作为基础题型，需特别注意： 若：不等式为对恒成立且； 若： 对恒成立（开口向上，与x轴无交点）； 对恒成立（开口向下，与x轴无交点）。 五、易错点警示 1.漏讨论的情况：默认函数是二次函数，忽略一次函数的特殊情形（如时，在恒成立，但在不成立）； 2.对称轴位置判断错误：计算对称轴时符号出错，导致单调性分析反了； 3.混淆“最值类型”：时误求最大值，时误求最小值； 4.分离参数时不等号方向错误：当分离的系数为负数时（如），不等号需反向（即）； 5.忽略区间端点的等号：恒成立条件含“”时，端点处的函数值需满足等号，不可遗漏。 六、解题示例（综合应用） 问题：求参数的取值范围，使在上恒成立。 步骤解析： 1.讨论：不等式化为，对任意恒成立，故符合条件； 2.讨论：设，对称轴（在区间内）。 当（开口向上）：最小值在对称轴处，。 恒成立需，故； 当（开口向下）：最大值在对称轴处，，但当时，且区间端点，。 若，，且可能为负（如时，），故不符合条件。 3.综合结论：。 总结 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题，遵循“先定函数类型（a=0？）→再析函数性质（开口、对称轴、判别式）→结合区间找最值→列不等式求解”的逻辑， 【题型七：一元二次不等式在某区间上有解的问题】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·单元测试）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数后转化为求函数的最小值. 【详解】在时有解，分离参数得在区间上有解， 只需要不小于函数在区间上的最小值即可， 因为，函数图像对称轴，且， 所以当时，在区间上取最小值，， 所以若命题“”为真命题，则， 实数的取值范围是． 故答案为： 【例题2】（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】对实数的取值进行分类讨论，当或时，直接验证即可；当时，结合二次不等式能成立可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】当时，成立； 当时，抛物线开口向上，成立； 当时，由，得或，所以． 综上所述，． 故选：A. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先对不等式进行参数分离，得到关于的不等式，然后利用基本不等式的性质即可求得结果. 【详解】由题意知，“，使得成立”是真命题， 所以，根据基本不等式的性质可得：，当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【相似题2】（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 【解题策略】 一、核心概念与符号约定 设一元二次不等式的一般形式为： （或，，），其中，给定区间为（如，，等）。 记二次函数，则问题转化为：是否存在，使得满足不等关系。 二、解题总策略：分两类方法 根据是否含参数，可分为“直接利用二次函数性质”和“分离参数法”，优先推荐参数分离法（避免复杂分类讨论）。 方法一：直接法（利用二次函数图像与性质） 核心思路：通过分析的开口方向、对称轴位置、区间端点值、最值，判断是否存在满足不等式。 步骤：1.讨论二次项系数（分和）；2.当时，分析开口方向与对称轴；3.结合区间判断函数值的“存在性”。 1.第一步：必讨论二次项系数（避免漏解） 情况1：（不等式退化为一次不等式） 此时不等式为（或其他不等号），直接解一次不等式，判断解集与区间是否有交集。 例：不等式在上有解。 当：恒成立，有解； 当：解为，与交集非空，有解； 当：解为，需（即），此时交集非空。 情况2：（二次函数，重点分析） 记对称轴为，判别式（用于判断函数是否与轴相交）。 核心逻辑：“有解”等价于函数在区间上的“极端值”满足不等关系（与“恒成立”的“最值满足”不同）。 2.第二步：按开口方向与不等号分类讨论 设区间（闭区间，开区间/半开区间逻辑类似，仅端点值是否可取的差异）。 类型1：（抛物线开口向上） 抛物线开口向上，函数在上的最大值在区间端点（或），最小值在对称轴（若）或端点。 不等式类型 有解的等价条件 函数最大值（即） （开口向上，只要最大值为正，就存在点满足） 需满足： 1.函数与轴有交点（）； 2.对称轴在区间内或端点处有负值 （即且，或端点有负值） 同，最大值（因开口向上，最小值可能非负，但最大值必非负） 同，但且或端点有非正值 类型2：（抛物线开口向下） 抛物线开口向下，函数在上的最小值在区间端点（或），最大值在对称轴（若）。 不等式类型 有解的等价条件 需满足： 1.（函数与轴有交点）； 2.对称轴在区间内且最大值（且）或端点有正值 函数最小值（即） （开口向下，只要最小值为负，就存在点满足） 同，但且或端点有非负值 同，最小值 示例1：直接法应用 问题：不等式在区间上有解吗？ 解： 1.，开口向上，，对称轴； 2.不等式为，需且： ，满足条件； 3.结论：有解（实际解集为，与交集为）。 方法二：分离参数法（含参数时优先用） 当不等式含参数（如），可将参数与变量分离，转化为“参数与函数最值的关系”，避免讨论二次函数的开口和对称轴。 核心原理 设不等式可分离为： 若（区间上），则有解（）； 若（区间上），则有解（）； （本质：参数需小于的“上界”或“下界”，确保存在满足不等关系）。 步骤 1.分离参数：将不等式整理为或的形式（确保分离时不等号方向不搞错，尤其注意乘除负数）； 2.求函数最值：求在区间上的最大值或最小值； 3.建立不等式：根据“有解”的等价条件，得到参数的范围。 示例2：分离参数法应用 问题：已知不等式在上有解，求实数的取值范围。 解： 1.分离参数： 由（），不等式可化为； 2.求在上的最值： 由对勾函数性质，在上单调递增，； 3.等价条件：； 4.结论：。 三、特殊区间的补充说明 1.区间为（全体实数）： 有解（开口向上，无最大值，必存在正值）或且或且； 有解或且或且。 2.区间为（右无穷区间）： 时，必有解（x→+∞时）； 时，有解或对称轴且。 四、易错点提醒 1.漏讨论：二次项系数为0时不等式是一次函数，必须单独分析； 2.混淆“有解”与“恒成立”： 如时，恒成立； 而有解（两者完全不同）； 3.分离参数时不等号方向错误：当乘除负数（如），不等号需反向。 五、总结：解题流程 1.判断是否含参数：含参数优先用分离参数法，无参数用直接法； 2.基础讨论：分（一次不等式）和（二次函数）； 3.核心分析： 直接法：开口方向→对称轴位置→区间端点/最值与不等号的关系； 分离参数法：分离参数→求函数最值→建立参数范围； 4.验证端点：对开区间或特殊点，确认是否影响“存在性”（通常不影响）。 通过以上策略，可系统解决一元二次不等式在任意区间上的“有解”问题，关键是紧扣“存在性”本质，借助二次函数图像或参数分离简化逻辑。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一上·福建泉州·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 3．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 4．（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高一上·广东江门·期中）下列不等式的解集为R的是（      ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·广东江门·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 8．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 9．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．对满足条件的任意，不等式恒成立，则 三、填空题 10．（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 11．（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 12．（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 四、解答题 13．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知使不等式对于一切实数恒成立的实数取值的集合为A，关于的不等式的解集为B. (1)求集合A与集合B； (2)若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 14．（23-24高一上·甘肃白银·期中）解下列不等式. (1)； (2). 15．（24-25高一上·上海·期中）已知是方程的两根，若两根都大于1，求的取值范围． 16．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B C B D C BCD ACD ABD ACD 1．B 【分析】解一元二次不等式得到答案. 【详解】由得，解得或， 故选：B. 2．C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 3．B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 4．D 【分析】根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解． 【详解】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述，， 故选：D． 5．C 【分析】结合二次函数的单调性和一元二次不等式在某区间上恒成立问题求解即可； 【详解】命题：，为假命题， 在上无解， 即与，函数图象没有交点， 由图可知：或， 命题：，为真命题， 则，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 6．BCD 【分析】利用一元二次不等式的解法，结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，解得，则原不等式的解集为，A错误； 对于B，，且二次项系数大于0，则原不等式的解集为R，B正确； 对于C，由，得，，则原不等式的解集为R ，C正确； 对于D， R，， ， 当且仅当，即时取等号，因此原不等式的解集为R，D正确. 故选：BCD 7．ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集，确定的关系及符号，可判断AC的真假；解不等式可判断BD的真假. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以和是一元二次方程的两个实数根，且该一元二次函数的开口向下. 所以且，解得.A正确； ，解得，故的解集为，B错误； ，C正确；， 解得. 所以的解集为，D正确. 故选：ACD 8．ABD 【分析】由题知，且方程的解为，根据韦达定理得，由此根据不等式的性质逐项求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且方程的解为，故A正确； 则，即， 因为，所以，即， 则不等式的解集为，故B正确； ，，故C错误； ，即， 解得或，故D正确. 故选：ABD. 9．ACD 【分析】由题意可得，且方程的两根为和1，根据根与系数的关系可得，从而可判断A；由可判断B；不等式可化为，求解可判断C；利用换元法，根据二次函数的性质求出的最小值，从而可判断D. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以，且方程的两根为和1， 所以，解得, 所以，解得，故A正确； 由，可得，故B错误； ，即为， 即，即，解得，故C正确； 由B选项可得，设，则， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为不等式恒成立， 所以，解得，故D正确. 故选:ACD. 10． 【分析】利用一元二次型不等式恒成立，分类求出的范围. 【详解】当时，原不等式为，此不等式对一切实数都成立； 当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 11． 【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得. 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 12． 【分析】只需求函数在上的最大值，即可得答案. 【详解】由题意，在上有解， ∴在上有解， 即，其中， 在中，， 对称轴， ∵，二次函数开口向上， ∴函数在单调递减，在上单调递增， ∴函数在上取最大值，， ∴， 故答案为：. 13．(1)， (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，利用判别式即可求解，求解含参的一元二次不等式的解得到； （2）根据是的必要不充分条件，故，即可求解. 【详解】（1）因为不等式对于一切实数恒成立， 所以，解得， 即． 因为，所以， 解得，即， （2）因为是的必要不充分条件，故， 即， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 14．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案, （2）分，和三种情况求解. 【详解】（1）不等式可化为， ∴ 不等式的解集是. （2）原不等式可化为， 若时，解为, 若时，解为， 若时，解为. 15．. 【分析】利用一元二次方程实根分布求出的范围，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，，解得或， ，由，得， 则，即，则，解得， 因此，，当且仅当，即时取等号， 而，所以的最小值为10，即的取值范围是. 16．(1)不动点为和； (2). 【分析】（1）根据题意得到，解该一元二次方程即可得解； （2）根据题意，转化为有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系，得到，且，化简，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）令，可得， 可得，解得， 所以二次函数的不动点为和. （2）二次函数有两个不相等的不动点，且， 则方程有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，且， 因为，即，解得，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高一上数学常考题型归纳 【第8讲：二次函数，一元二次方程与不等式】 【知识梳理】 一、核心关联：“三个二次”的内在逻辑（教材基础+高考核心） 1.概念界定与对应关系 要素 核心形式 关键连接点 二次函数（载体） （） 图像开口方向（的符号）、对称轴（） 一元二次方程（零点） （） 判别式决定根的个数，根为函数图像与轴交点横坐标 一元二次不等式（范围） （或，，） 解集对应函数图像在轴上方/下方的取值范围 2.核心定理（教材重点+高考依据） 零点存在性与解集关系： 若方程的两根为，则： 当时，的解集为，的解集为； 当时，不等号方向反转，可先化为的形式求解（高考通法）。 二、高频题型与解题策略（教材例题延伸+高考真题提炼） 题型1：不含参一元二次不等式的解法（基础送分题） 教材原型：求解、等，核心步骤为“化正→因式分解/求根→写解集”。 高考考法：2023年新高考I卷第1题直接考查，需快速转化二次项系数为正。 解题步骤： 1.标准化：确保二次项系数（若，两边乘并变号）； 2.求根：用因式分解或求根公式得方程的根（无实根时直接判断解集）； 3.写解集：根据开口方向与根的位置，结合“大于取两边，小于取中间”口诀书写。 题型2：含参一元二次不等式的解法（高考高频中档题） 分类标准：按“二次项系数→判别式→根的大小”分层讨论（2024广东一模、云南期末真题核心思路）。 典型场景与策略： 分类情形 解题关键 示例（解不等式） 1.二次项系数含参 先讨论（一次不等式）与（二次不等式） 时，解集为；时因式分解为 2.判别式含参 讨论（两实根）、（等根）、（无实根） 当时，，恒有实根 3.根的大小含参 比较两根大小，确定解集区间 当时，，解集为；当时，解集为 题型3：由不等式解集求参数（高考经典题型） 核心依据：解集端点即为对应方程的根，利用韦达定理求参数（教材“三个二次”关系的逆用）。 高考真题示例：已知不等式的解集为，求的值（2024黑龙江大庆期末）。 解题步骤： 1.定根：由解集知方程的根为和； 2.用韦达定理：，； 3.求解验证：解得，，验证与解集符号一致。 题型4：二次函数根的分布问题（高考难点） 问题特征：已知根所在区间（如“一根在，另一根在”），求参数范围（2024全国高三专题练习）。 解题工具：利用二次函数图像性质，列“端点函数值符号+判别式+对称轴”不等式组。 典型模型与不等式组： 设（），方程的两根为： 两根都在内： 一根在，另一根在（）： 题型5：恒成立与有解问题（高考综合热点） 核心场景：已知不等式对任意或恒成立，求参数范围（2025高考复习核心考点）。 解题策略： 1.全域恒成立（）： 当时，； 当时，化为一次不等式恒成立（需且）。 2.区间恒成立（）： 求二次函数在区间上的最值，转化为“最值”（或）； 示例：在上恒大于0，需分对称轴在区间左侧、内部、右侧讨论最值。 3.有解问题：转化为“区间内存在使不等式成立”，即“函数在区间上的最值满足不等式”（与恒成立对立）。 题型6：其他不等式的转化（教材拓展+高考延伸） 分式不等式：（或）等价于（或且）（2024湖南长沙期末）。 高次不等式：用“数轴标根法”，先因式分解为一次因式乘积，标根后从右上往左下穿线（奇穿偶不穿）（2023上海徐汇阶段练习）。 三、易错点与避坑指南（结合真题失误案例） 1.二次项系数漏讨论：解含参不等式时，未先讨论的情况，直接按二次不等式求解（如题型2中时为一次不等式）。 2.根的分布忽略细节：未验证判别式（导致无实根）或对称轴位置（如两根在区间内时，对称轴需在区间内）。 3.恒成立问题混淆条件：区间恒成立时，直接套用全域恒成立的，忽略区间对最值的影响。 4.符号错误：化二次项系数为正时，忘记变不等号方向（如解时，误化为，实际应为）。 四、教材与高考的衔接要点 1.基础夯实：熟练掌握教材中二次函数的图像、方程的根与不等式解集的对应关系，这是高考解题的底层逻辑。 2.能力迁移：从教材不含参问题，迁移到高考含参分类讨论、根的分布等综合问题，核心是“以图像为工具，以定理为依据”。 3.高频聚焦：高考中“含参不等式解法”“恒成立问题”“由解集求参数”考查频率最高，需结合真题强化训练。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：解不含参数的一元二次不等式】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）解下列二次不等式（答案用集合或者区间表示） (1) (2) (3) 【例题2】（25-26高一上·全国·课后作业）解下列不等式： (1)； (2)； (3) 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·广西柳州·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【相似题2】（25-26高一上·山东德州·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； 【解题策略】 一、核心原理：“三个二次”的关系 一元二次不等式、一元二次方程、二次函数被称为“三个二次”，三者的内在联系是解题的关键： 设一元二次不等式的标准形式为：或（）； 对应的一元二次方程为：； 对应的二次函数为：。 解题的本质是：通过二次函数的开口方向（由的符号决定）和与x轴的交点（由方程的根决定），判断函数值“正”或“负”的区间，即不等式的解集。 二、通用解题四步法 第一步：化为标准形式，定开口方向 1.整理标准式：将不等式移项、合并同类项，化为“”或“”的形式（右侧为0，左侧按x的降幂排列）。 2.判断开口方向： 若，二次函数图像开口向上； 若，两边同乘（注意：不等号方向要反向），转化为的情况（简化后续判断）。 第二步：求解对应方程，定“分界点” 计算对应一元二次方程的判别式，根据的符号判断方程根的情况（根是函数与x轴的交点，也是不等式解集的“分界点”）： 1.当时：方程有两个不相等的实根，记为、（约定）； 2.当时：方程有两个相等的实根，记为（函数图像与x轴相切）； 3.当时：方程无实根（函数图像与x轴无交点）。 第三步：结合图像，定解集区间 根据“开口方向”和“根的情况”，结合二次函数图像的单调性（开口向上时，“中间低、两边高”；开口向下时，“中间高、两边低”），直接判断函数值满足不等式的x范围： 条件（） 不等式的解集 不等式的解集 （两不等根） （两边） （中间） （等根） （除根外） （空集，无满足条件的x） （无根） （全体实数，函数值恒正） （空集，函数值恒正） 第四步：验证与规范书写 解集需用区间或集合表示（避免用不等式连写，如“或”需转化为区间并集）； 特殊情况：若原不等式含“≥”或“≤”，解集需包含方程的根（如，当时解集为）。 三、实例解析（覆盖所有情况） 例1：的情况 求解不等式： 1.定标准式与开口：已为标准式，，开口向上； 2.求根：方程，，根为，； 3.定解集：开口向上，“大于0取两边”，解集为。 例2：的情况 求解不等式： 1.定标准式与开口：已为标准式，，开口向上； 2.求根：方程，，等根； 3.定解集：开口向上，“小于等于0”仅在顶点处成立，解集为。 例3：的情况 求解不等式： 1.定标准式与开口：两边同乘（不等号反向），得，，开口向上； 2.求根：方程，，无实根； 3.定解集：开口向上且无交点，函数值恒正，解集为。 例4：含“分式”的一元二次不等式（可转化） 求解不等式： （提示：先转化为“整式不等式”，注意分母不为0） 1.等价于且； 2.求根：的根为1、2，的根为-1，排序：； 3.用“穿根法”（从右向左、从上向下穿）：解集为。 四、易错点提醒 1.不等号方向：当时，两边同乘必须反向不等号（如转化为）； 2.等根的处理：含“≥”“≤”时才包含等根，不含时需排除（如的解集是）； 3.分母不为0：分式形式的不等式需先转化为整式，且分母对应的根要排除在解集外。 总结 不含参数的一元二次不等式解题核心是“抓开口、求根、看图像”，四步流程清晰固定，通过练习不同判别式的情况即可熟练掌握。对于复杂形式（如分式、绝对值），可先转化为标准一元二次不等式再求解。 【题型二：解含参数的一元二次不等式】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·课后作业）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 【例题2】（25-26高一上·江苏宿迁·开学考试）解下列关于x的不等式 相似练习 【相似题1】（22-23高一上·四川广安·阶段练习）（1）若对于任意实数x都有恒成立，求实数a的取值范围； （2）已知，求关于x的不等式的解集. 【相似题2】（24-25高二下·宁夏银川·期末）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． 【解题策略】 一、核心原则：先“标准化”，再“分类讨论” 解含参数一元二次不等式的第一步，是将不等式化为标准形式，为后续分析奠定基础。 标准形式定义：（或、、），其中、、为常数（含参数），且优先保证二次项系数的“符号清晰”——若含参数，需先讨论的情况（此时不等式退化为一次不等式），再对的情况按或分类（若，可两边同乘转化为，同时反转不等号方向）。 二、具体解题步骤（四步法） 步骤1：判断不等式类型——先看二次项系数 参数可能使“一元二次不等式”退化为“一次不等式”或“常数不等式”，因此第一步必须讨论的取值： 情况1： 原不等式变为一次不等式（以“>”为例），进一步分3类： 1.若，解集为； 2.若，解集为； 3.若，不等式变为常数不等式： 若，解集为（全体实数）； 若，解集为（空集）。 情况2： 不等式为一元二次不等式，需进一步分析对应二次方程的根（先化：若，两边乘，不等号反向，如转化为）。 步骤2：分析对应二次方程的根——计算判别式 对于标准化后的一元二次不等式（），其解集由对应方程的“根的情况”决定，而根的存在性由判别式判断： 情况1： 二次函数（）的图像开口向上，且与轴无交点，因此： 若不等式为，解集为； 若不等式为，解集为。 情况2： 二次函数图像开口向上，且与轴有唯一交点（二重根），因此： 若不等式为，解集为（即）； 若不等式为，解集为。 情况3： 二次函数图像开口向上，且与轴有两个不同交点（设根为、，需先比较与的大小），因此： 若不等式为，解集为“大于大根，小于小根”（即）； 若不等式为，解集为“介于两根之间”（即）。 步骤3：比较根的大小（当时） 当时，方程有两个不同根、，但参数可能导致根的大小关系不确定，需通过“作差法”比较的符号： ，由于、（已标准化），因此必然有。 （注：若原不等式未标准化（如直接分析），需额外比较根的大小；但标准化后可直接确定，简化计算。） 步骤4：整合结果，规范表示解集 按上述分类讨论的逻辑，将不同参数取值范围对应的解集逐一列出，注意： 解集需用“区间表示法”或“集合表示法”（避免用不等式串）； 参数的分类边界需“不重不漏”（如、、；、、）。 三、关键分类讨论节点总结 含参数一元二次不等式的讨论核心是“参数影响的关键要素”，可按以下优先级排序： 1.二次项系数：决定不等式类型（一次/二次）和二次函数开口方向； 2.判别式：决定对应方程根的存在性（无实根/单根/两根）； 3.根的大小关系：决定解集的区间边界（仅当且根含参数时需讨论，标准化后可简化）。 四、示例演示：解不等式 步骤1：标准化并讨论 原不等式可因式分解为（或保留一般式），先讨论： 当：不等式变为，即，解集为。 当：标准化为，分和： 步骤2：当，分析和根 对应方程，： 若（即）：方程有二重根，不等式为，解集为。 若（即且）：方程两根为，，需比较大小： 当时，，不等式（，不等号方向不变），解集为； 当时，，解集为。 步骤3：当，分析和根 （恒成立），方程两根（负根），（正根），显然。 不等式（，可转化为，不等号反向），解集为。 步骤4：整合结果 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为。 五、易错点提醒 1.漏讨论的情况：直接按二次不等式求解，忽略“一次不等式”的可能性； 2.时未反转不等号：标准化时两边乘负数，不等号方向忘记改变； 3.根的大小比较错误：当根含参数时（如与1），未结合参数范围判断大小； 4.解集表示不规范：用“或”而非区间。 总之，解含参数一元二次不等式的本质是“按参数对不等式的影响分层拆解”，核心是“先定类型（a的讨论）→再定根况（Δ的讨论）→最后定区间（根 的大小）” 【题型三：二次函数，一元二次方程与一元二次不等式三者的关系】 例题精选 【例题1】【多选题】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则且 D．若，则关于的不等式的解集为或 【例题2】【多选题】（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 相似练习 【相似题1】【多选题】（23-24高一上·安徽淮南·期末）若存在m，，使得的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A．的解集为或 B．的解集为 C． D． 【相似题2】【多选题】（23-24高一上·湖北·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．函数有最大值 B． C． D．的解集为 【解题策略】 一、核心关联：三者的本质联系梳理 首先明确三者的代数表达式及对应关系，以标准形式（二次项系数）为基础： 类别 代数表达式 核心问题 与二次函数的关系 二次函数 （） 函数的图像、性质（单调性、最值等） 基础模型，是方程和不等式的“母体” 一元二次方程 （） 求解（根的存在性、根的大小） 函数图像与轴的交点横坐标（即时的值） 一元二次不等式 （或） 求不等式的解集（的取值范围） 函数图像在轴上方（）或下方（）时对应的取值范围 关键桥梁：判别式 判别式决定了一元二次方程根的个数，进而决定了二次函数图像与轴的交点个数，最终直接影响一元二次不等式的解集形式。 二、解题核心策略：“三步数形结合法” 所有与“三个二次”相关的问题（如解不等式、求参数范围、判断根的分布等），均可通过以下三步实现“以形助数”的转化： 第一步：标准化“二次项系数”，确定函数图像开口方向 二次项系数的符号直接决定二次函数的图像开口方向，是后续判断解集的基础： 若：图像开口向上（“∩”型）； 若：图像开口向下（“∪”型）。 注意：解一元二次不等式时，若，可先在不等式两边同乘（同时反向不等号），转化为的标准形式，简化后续判断。 第二步：计算判别式，定位函数与轴的交点 通过判断一元二次方程的根的情况，即二次函数图像与轴的交点个数： 1.当时：方程有两个不相等的实根（设为），函数图像与轴有两个交点和； 2.当时：方程有两个相等的实根（设为），函数图像与轴有一个切点（顶点）； 3.当时：方程无实根，函数图像与轴无交点（全程在轴上方或下方）。 第三步：结合图像开口方向，确定不等式的解集 根据“开口方向”和“与轴的交点”，直接通过函数图像的“上下位置”读取不等式的解集。以下为时的核心结论（可先转化为）： 条件（） 方程的根 函数图像特征 不等式的解集 不等式的解集 两不等实根 开口向上，交轴于两点 两相等实根 开口向上，切轴于顶点 （空集） 无实根 开口向上，全程在轴上方 （全体实数） （空集） 记忆口诀：时，“大于零取两边，小于零取中间”；时，“大于零取中间，小于零取两边”（或转化为后用口诀）。 三、典型应用场景与解题示例 “三个二次”的关联策略可解决四大类问题，以下结合示例说明具体用法： 场景1：解一元二次不等式（基础应用） 例：解不等式 解题步骤： 1.标准化系数：两边同乘，不等号反向，得（此时）； 2.计算与根：，解方程，得根，； 3.结合图像写解集：，“小于零取中间”，故解集为。 场景2：由不等式解集求参数（逆向应用） 例：已知不等式的解集为，求的值。 解题逻辑： 解集说明方程的根为，，且（因“小于零取中间”，对应的“小于零”，但原不等式是“大于零”，故）； 由韦达定理：，； 解得：，。 场景3：判断方程根的分布（函数视角） 例：若方程的两根均大于1，求的取值范围。 解题策略：转化为二次函数的图像特征： 1.根的存在性：（）； 2.对称轴位置：对称轴（两根均大于1，对称轴需在1右侧）； 3.端点函数值：（图像开口向上，处函数值为正，保证两根在1右侧）。 联立求解： 或； ； ； 综上：。 场景4：二次函数的最值与不等式恒成立问题 例：若对任意，不等式恒成立，求的取值范围。 解题逻辑： 不等式恒成立二次函数的图像全程在轴上方； 因，只需（无交点，全程在上）； 计算。 四、易错点与避坑指南 1.忽略二次项系数为0的情况：若题目未明确“一元二次”，需先判断（此时为一次函数/不等式）和（二次情况）； 2.判别式计算错误：注意中的符号（尤其是或为负数时）； 3.解集端点取舍：不等式含“”“”时，解集需包含方程的根（用闭区间），不含时用开区间； 4.根的分布遗漏条件：判断根的范围时，需同时满足“判别式（存在性）、对称轴（位置）、端点值（趋势）”，缺一不可。 总结 “三个二次”的解题核心是“图像引领思路，代数落地计算”：先通过二次函数的开口方向、判别式确定图像轮廓，再根据方程的根（交点）定位关键位置，最终结合不等式的“正负要求”读取解集或转化为参数条件。熟练掌握这一逻辑链，可轻松应对所有相关问题。 【题型四：一元二次方程根的分布问题】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·福建·开学考试）若关于的方程只有正实根，则的取值范围是 . 【例题2】（25-26高一上·安徽亳州·开学考试）已知关于的一元二次方程，根据下列条件求出的范围： (1)方程的两根都大于0； (2)方程的一根大于3，另一根小于3． 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·开学考试）若关于的方程的两个根都在区间上，则a的值范围为 ． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知方程，在下列条件下，分别求的范围． (1)有两个不同的正根； (2)有两个不同的负根； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)两个不同的根都大于； (5)两个不同的根都小于1； (6)一个根大于1，一个根小于1； (7)两个不同的根都在内； (8)有两个不同的根，有且仅有一个根在内； (9)一个根小于2，一个根大于4； (10)一个根在内，另一个根在内； (11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； (12)在内无实根． 【解题策略】 一、核心理论基础（4个关键要素） 解决根的分布问题，必须牢牢掌握二次函数（）的4个核心性质，它们是构建条件的基石： 1.开口方向（由决定） ：抛物线开口向上，图像呈“U”型； ：抛物线开口向下，图像呈“∩”型。 2.判别式（由决定） ：方程有两个不相等的实根（抛物线与x轴有2个交点）； ：方程有两个相等的实根（抛物线与x轴有1个交点，即顶点在x轴上）； ：方程无实根（抛物线与x轴无交点）。 3.端点函数值（由决定，为根分布的临界值） 若：抛物线在处位于x轴上方； 若：是方程的根； 若：抛物线在处位于x轴下方。 4.对称轴位置（由决定） 对称轴是抛物线的“对称中心”，决定了两个根的中点位置。当根分布在某一区间内或区间两侧时，需用对称轴限定根的“整体位置”。 二、常见根的分布类型及解题策略（8大模型） 根的分布问题可按“根与区间的关系”分为几大类，每类均有固定的解题模板。以下以（开口向上）为例（可先乘-1转化为，注意不等号方向改变）。 类型1：两根均大于某常数（且） 图像特征：抛物线开口向上，与x轴有两个交点，且两个交点均在右侧。 等价条件（3个条件缺一不可）： 1.（保证有实根）； 2.对称轴在右侧：（保证两根整体在k右侧）； 3.端点值（保证k在两根左侧，抛物线在k处上翘）。 类型2：两根均小于某常数（且） 图像特征：抛物线开口向上，与x轴有两个交点，且两个交点均在左侧。 等价条件（3个条件缺一不可）： 1.（保证有实根）； 2.对称轴在左侧：（保证两根整体在k左侧）； 3.端点值（保证k在两根右侧，抛物线在k处上翘）。 类型3：两根均在区间内（） 图像特征：抛物线开口向上，与x轴的两个交点均落在区间内部。 等价条件（4个条件缺一不可）： 1.（保证有实根）； 2.对称轴在区间内：（保证两根整体在区间内）； 3.左端点值（抛物线在m处上翘，m在两根左侧）； 4.右端点值（抛物线在n处上翘，n在两根右侧）。 类型4：两根均在区间外（且） 此类型分两种情况，需合并讨论： 1.两根均小于（）； 2.两根均大于（）。 等价条件（满足其一即可）： 情况1：且； 情况2：且。 关键说明：开口向上时，若区间端点在两根之间，函数值必为负，无需额外限定对称轴（由端点值和判别式可推导）。 类型5：一根在区间内，另一根在区间外（） 图像特征：抛物线开口向上，x轴穿过区间，即抛物线在m处和n处分别位于x轴两侧。 等价条件（1个核心条件，搭配判别式）： 1.（保证两根不等）； 2.端点值乘积为负：（零点存在定理的直接应用）。 类型6：一根在区间内（含端点，或） 图像特征：抛物线开口向上，一个交点在区间内（或端点），另一个在区间外（或端点）。 等价条件（核心为端点值乘积非正，需分类验证）： 1.（保证有实根）； 2.端点值乘积非负：； 3.若，需验证另一根是否满足；若，需验证另一根是否满足。 类型7：两根分别在两个不重叠区间和内（） 图像特征：抛物线开口向上，两个交点分别落在两个区间内，即抛物线在n处和p处均位于x轴下方。 等价条件（4个条件）： 1.（保证两根不等）； 2.且（左区间有一根）； 3.且（右区间有一根）。 类型8：一根为常数，另一根在区间内 解题逻辑：先利用“根的定义”代入，求出参数值；再将参数代入方程，解出另一根，验证其是否在区间内。 等价条件： 1.（k是根）； 2.解方程得另一根，满足。 三、通用解题步骤（4步走） 1.定函数：设二次函数，明确的符号（若含参数，需讨论的情况，此时为一次方程，单独验证）。 2.画草图：根据“根的分布要求”和“a的符号”，绘制抛物线的大致图像，标注临界值（区间端点、k等）对应的函数值正负、对称轴位置。 3.列条件：结合图像特征，从“判别式（Δ）、对称轴（x₀）、端点值（f(m)/f(n)）”三个维度列出等价的不等式（组）。 4.解组验证：解不等式组，得到参数范围；若涉及端点值为0的情况，需代入方程验证根的具体位置，避免漏解或错解。 四、典型例题解析 例题：已知关于x的方程，若两根均大于1，求k的取值范围。 1.定函数：，（开口向上）。 2.画草图：两根均大于1，图像为开口向上的抛物线，与x轴交点在x=1右侧，对称轴在x=1右侧，f(1)>0。 3.列条件： Δ≥0：（恒成立）； 对称轴>1：⇒； f(1)>0：⇒或。 4.解组验证：取交集得。 答案： 五、易错点提醒 1.忽略a的符号：a的正负直接决定抛物线开口方向，条件会完全相反（如a<0时，“两根均大于k”需f(k)<0）。 2.漏判判别式：只要涉及“实根”，必须先保证Δ≥0（除非题目明确“两根存在”）。 3.对称轴位置遗漏：仅靠端点值无法限定两根的整体位置（如f(k)>0时，两根可能均在k两侧，需对称轴辅助）。 4.端点值验证缺失：当f(m)=0时，需确认m是否为根，以及另一根是否满足条件，避免“假根”混入。 掌握以上策略后，根的分布问题可转化为“按图索骥”的代数运算， 【题型五：一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 例题精选 【例题1】（2025·四川广元·模拟预测）对于任意，都有意义，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2025高三·上海·专题练习）若关于x的不等式的解集为R，求实数的取值范围． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【相似题2】（25-26高一上·广东广州·开学考试）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为 ． 【解题策略】 一、核心概念与本质 一元二次不等式的一般形式为： （或、、）对任意恒成立。 其本质是：二次函数的图像全程在x轴上方（或不低于x轴、下方、不高于x轴），无例外情况。 二、解题总步骤（四步走） 第一步：分类讨论“二次项系数”——关键前提 二次项系数决定了不等式是否为“二次型”： 若：不等式退化为一次不等式（）或常数不等式（），需单独判断是否对任意恒成立； 若：不等式为真正的一元二次不等式，需结合二次函数图像分析。 第二步：分析“开口方向”（时） 二次函数的开口方向由的符号决定，直接影响“恒成立”的可行性： 若要（或）恒成立：开口必须向上（），否则当时，，不可能恒正； 若要（或）恒成立：开口必须向下（），否则当时，，不可能恒负。 第三步：分析“判别式”（时） 判别式决定了二次函数与x轴的交点个数，是“全程在x轴同侧（或相切）”的关键： 若不等式带严格不等号（或）：需函数与x轴无交点（），即图像全程不触碰x轴； 若不等式带非严格不等号（或）：允许函数与x轴相切（有唯一交点）（），即图像可触碰x轴（此时函数值为0，满足不等式）。 第四步：综合条件，求解参数范围 结合前三步的条件，列出不等式组并求解，最后整合和的情况，得到参数的最终取值范围。 三、四大核心题型与示例 根据不等式的符号方向和是否含等号，分为四类典型题型，下表结合示例详细说明： 题型 条件（对任意恒成立） 解题条件 示例分析 1.严格正恒成立 ①：且； ②且 例：恒成立，求的范围。 解： ①：不恒成立； ②且→； 综上： 2.非严格正恒成立 ①：且； ②且 例：恒成立，求的范围。 解： ①； ②→； 综上： 3.严格负恒成立 ①：且； ②且 例：恒成立，求的范围。 解： ①：不恒成立； ②（即）且→； 综上： 四、核心思想总结 一元二次不等式恒成立问题的本质是“图像的全范围位置控制”，解题时牢牢抓住三个关键： 1.先定系数：是否为二次型（讨论）； 2.再定方向：开口方向是否符合“恒成立”需求（或）； 3.最后定交点：判别式控制与x轴的位置关系（或）。 按此逻辑分步拆解，即可避免漏解、错解，高效求解参数范围。 【题型六：一元二次不等式在某区间上恒成立问题】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·安徽蚌埠·阶段练习）已知“，”为假命题，则的最大值为 . 【例题2】（25-26高三上·上海·阶段练习）任意都是不等式的解，求实数的取值范围 . 相似练习 【相似题1】（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是 . 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 【解题策略】 一、核心原理：恒成立与函数最值的转化 对于一元二次不等式（或、、）在区间上恒成立，本质是： 若，设二次函数，则： 1.在上恒成立（上的最小值大于0）； 2.在上恒成立； 3.在上恒成立（上的最大值小于0）； 4.在上恒成立。 关键前提：先判断函数类型——若，则为一次函数（或常数函数），需单独讨论；若，才是二次函数。 二、解题总步骤 1.第一步：分类讨论二次项系数 这是避免漏解的核心（一次函数与二次函数性质差异极大）： 当：不等式化为（或其他符号），按一次不等式恒成立分析； 当：按二次函数分析，结合开口方向（向上，向下）。 2.第二步：分析二次函数的关键要素 对的情况，需关注3个核心要素： 开口方向（决定最值是最大值还是最小值）； 判别式（判断函数与x轴的交点，影响“全域恒成立”的可能性）； 对称轴（判断对称轴与区间的位置关系，决定最值在区间端点还是顶点取到）。 3.第三步：结合区间求最值，列不等式组 根据对称轴与区间的位置关系，分“对称轴在区间内”“对称轴在区间左侧”“对称轴在区间右侧”三类，确定最值点，再转化为不等式组求解。 4.第四步：验证边界情况 若区间含端点，需验证端点处的函数值是否满足条件；若为开区间，端点值不影响，但需注意函数在区间内的连续性。 三、分类题型与具体策略 区间通常分为闭区间（如）、半无穷区间（如或），不同区间的最值分析逻辑不同，以下分题型详解。 题型1：闭区间上的恒成立 闭区间上的二次函数最值，由开口方向和对称轴与区间的位置关系共同决定，需分3种情况讨论对称轴位置。 设（），对称轴。 情况1：（开口向上，函数有最小值，无最大值） 若（对称轴在区间左侧）：函数在上单调递增， 恒成立条件：（或）； 若（对称轴在区间右侧）：函数在上单调递减， 恒成立条件：（或）； 若（对称轴在区间内）：函数最小值在顶点处， 恒成立条件：（或）。 情况2：（开口向下，函数有最大值，无最小值） 若：函数在上单调递减， 恒成立条件：（或）； 若：函数在上单调递增， 恒成立条件：（或）； 若：函数最大值在顶点处， 恒成立条件：（或）。 题型2：半无穷区间上的恒成立 常见区间为或，需结合开口方向和对称轴位置，分析函数在区间上的单调性与最值趋势。 子题型2.1：区间（右半无穷区间） 当（开口向上）： 若：函数在单调递增，，恒成立需； 若：函数在递减、递增，，恒成立需。 当（开口向下）： 函数在单调递减，当时，，故不可能恒成立；若恒成立，只需（因单调递减，最大值在端点）。 子题型2.2：区间（左半无穷区间） 当（开口向上）： 函数在单调递减，当时，，故不可能恒成立；若恒成立，需结合对称轴： 若：； 若：。 当（开口向下）： 若：函数在单调递增，； 若：函数在递增、递减，。 题型3：含参数的“分离参数法”（优先推荐的简化策略） 当不等式可整理为“参数”或“”在区间上恒成立时，可使用分离参数法，避免讨论二次函数的复杂情况。 核心逻辑： 若在上恒成立（参数大于等于函数的最大值）； 若在上恒成立（参数小于等于函数的最小值）。 适用条件： 1.参数与变量可完全分离（不含参数与变量的乘积项）； 2.分离后新函数的最值易求（如一次函数、二次函数、分式函数等）。 示例： 求参数的取值范围，使在上恒成立。 分离参数：，需分（区间满足），得。 令，求其在上的最小值：由均值不等式，（当时取等），故。 四、特殊情况：区间为（全域恒成立） 虽不属于“某区间”，但常作为基础题型，需特别注意： 若：不等式为对恒成立且； 若： 对恒成立（开口向上，与x轴无交点）； 对恒成立（开口向下，与x轴无交点）。 五、易错点警示 1.漏讨论的情况：默认函数是二次函数，忽略一次函数的特殊情形（如时，在恒成立，但在不成立）； 2.对称轴位置判断错误：计算对称轴时符号出错，导致单调性分析反了； 3.混淆“最值类型”：时误求最大值，时误求最小值； 4.分离参数时不等号方向错误：当分离的系数为负数时（如），不等号需反向（即）； 5.忽略区间端点的等号：恒成立条件含“”时，端点处的函数值需满足等号，不可遗漏。 六、解题示例（综合应用） 问题：求参数的取值范围，使在上恒成立。 步骤解析： 1.讨论：不等式化为，对任意恒成立，故符合条件； 2.讨论：设，对称轴（在区间内）。 当（开口向上）：最小值在对称轴处，。 恒成立需，故； 当（开口向下）：最大值在对称轴处，，但当时，且区间端点，。 若，，且可能为负（如时，），故不符合条件。 3.综合结论：。 总结 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题，遵循“先定函数类型（a=0？）→再析函数性质（开口、对称轴、判别式）→结合区间找最值→列不等式求解”的逻辑， 【题型七：一元二次不等式在某区间上有解的问题】 例题精选 【例题1】（25-26高一上·全国·单元测试）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【例题2】（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【相似题2】（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心概念与符号约定 设一元二次不等式的一般形式为： （或，，），其中，给定区间为（如，，等）。 记二次函数，则问题转化为：是否存在，使得满足不等关系。 二、解题总策略：分两类方法 根据是否含参数，可分为“直接利用二次函数性质”和“分离参数法”，优先推荐参数分离法（避免复杂分类讨论）。 方法一：直接法（利用二次函数图像与性质） 核心思路：通过分析的开口方向、对称轴位置、区间端点值、最值，判断是否存在满足不等式。 步骤：1.讨论二次项系数（分和）；2.当时，分析开口方向与对称轴；3.结合区间判断函数值的“存在性”。 1.第一步：必讨论二次项系数（避免漏解） 情况1：（不等式退化为一次不等式） 此时不等式为（或其他不等号），直接解一次不等式，判断解集与区间是否有交集。 例：不等式在上有解。 当：恒成立，有解； 当：解为，与交集非空，有解； 当：解为，需（即），此时交集非空。 情况2：（二次函数，重点分析） 记对称轴为，判别式（用于判断函数是否与轴相交）。 核心逻辑：“有解”等价于函数在区间上的“极端值”满足不等关系（与“恒成立”的“最值满足”不同）。 2.第二步：按开口方向与不等号分类讨论 设区间（闭区间，开区间/半开区间逻辑类似，仅端点值是否可取的差异）。 类型1：（抛物线开口向上） 抛物线开口向上，函数在上的最大值在区间端点（或），最小值在对称轴（若）或端点。 不等式类型 有解的等价条件 函数最大值（即） （开口向上，只要最大值为正，就存在点满足） 需满足： 1.函数与轴有交点（）； 2.对称轴在区间内或端点处有负值 （即且，或端点有负值） 同，最大值（因开口向上，最小值可能非负，但最大值必非负） 同，但且或端点有非正值 类型2：（抛物线开口向下） 抛物线开口向下，函数在上的最小值在区间端点（或），最大值在对称轴（若）。 不等式类型 有解的等价条件 需满足： 1.（函数与轴有交点）； 2.对称轴在区间内且最大值（且）或端点有正值 函数最小值（即） （开口向下，只要最小值为负，就存在点满足） 同，但且或端点有非负值 同，最小值 示例1：直接法应用 问题：不等式在区间上有解吗？ 解： 1.，开口向上，，对称轴； 2.不等式为，需且： ，满足条件； 3.结论：有解（实际解集为，与交集为）。 方法二：分离参数法（含参数时优先用） 当不等式含参数（如），可将参数与变量分离，转化为“参数与函数最值的关系”，避免讨论二次函数的开口和对称轴。 核心原理 设不等式可分离为： 若（区间上），则有解（）； 若（区间上），则有解（）； （本质：参数需小于的“上界”或“下界”，确保存在满足不等关系）。 步骤 1.分离参数：将不等式整理为或的形式（确保分离时不等号方向不搞错，尤其注意乘除负数）； 2.求函数最值：求在区间上的最大值或最小值； 3.建立不等式：根据“有解”的等价条件，得到参数的范围。 示例2：分离参数法应用 问题：已知不等式在上有解，求实数的取值范围。 解： 1.分离参数： 由（），不等式可化为； 2.求在上的最值： 由对勾函数性质，在上单调递增，； 3.等价条件：； 4.结论：。 三、特殊区间的补充说明 1.区间为（全体实数）： 有解（开口向上，无最大值，必存在正值）或且或且； 有解或且或且。 2.区间为（右无穷区间）： 时，必有解（x→+∞时）； 时，有解或对称轴且。 四、易错点提醒 1.漏讨论：二次项系数为0时不等式是一次函数，必须单独分析； 2.混淆“有解”与“恒成立”： 如时，恒成立； 而有解（两者完全不同）； 3.分离参数时不等号方向错误：当乘除负数（如），不等号需反向。 五、总结：解题流程 1.判断是否含参数：含参数优先用分离参数法，无参数用直接法； 2.基础讨论：分（一次不等式）和（二次函数）； 3.核心分析： 直接法：开口方向→对称轴位置→区间端点/最值与不等号的关系； 分离参数法：分离参数→求函数最值→建立参数范围； 4.验证端点：对开区间或特殊点，确认是否影响“存在性”（通常不影响）。 通过以上策略，可系统解决一元二次不等式在任意区间上的“有解”问题，关键是紧扣“存在性”本质，借助二次函数图像或参数分离简化逻辑。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一上·福建泉州·期中）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 3．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 4．（24-25高一下·贵州·期中）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知命题：，；命题：，．若为假命题，为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高一上·广东江门·期中）下列不等式的解集为R的是（      ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·广东江门·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 8．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 9．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．对满足条件的任意，不等式恒成立，则 三、填空题 10．（24-25高一上·广东江门·期中）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 . 11．（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 12．（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 四、解答题 13．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知使不等式对于一切实数恒成立的实数取值的集合为A，关于的不等式的解集为B. (1)求集合A与集合B； (2)若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 14．（23-24高一上·甘肃白银·期中）解下列不等式. (1)； (2). 15．（24-25高一上·上海·期中）已知是方程的两根，若两根都大于1，求的取值范围． 16．（24-25高一上·辽宁沈阳·阶段练习）对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值 1 学科网（北京）股份有限公司 $