22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质典型题型梳理 专项练（二）-2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质典型题型梳理专项练（二） 一、二次函数y=ax²+bx+c的函数值范围及最值问题 1． 抛物线经过点． （1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ． （2）若对于，都有，则的取值范围是 ． 2． 二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：则 ．（填“>”“<”或“=”） … 1 3 … … … 3 ． 在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为，其中． (1)若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式； (2)若为此二次函数图象上不同的两个点，当时，，求m的值； (3)若点在此二次函数图象上，当时，y随x的增大而增大，求t的取值范围． 4． 当时，二次函数的最大值为 ． 5． 已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 6． 在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线对称轴为直线，求顶点坐标； (2)已知，是抛物线上两点，当且时．都有，求m的取值范围； (3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求m的值． 二、二次函数y=ax²+bx+c的推理计算与证明问题 7． 在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上． (1)判断此抛物线与x轴的交点个数，并说明理由； (2)已知对于，，，总有，求的取值范围． 8． 已知二次函数的顶点横坐标比二次函数（a为常数）的顶点横坐标大1． (1)求a的值； (2)二次函数（a为常数）的图象是否可以由平移得到？如果可以，请说出平移方案；如果不可以，请说明理由． (3)设点在抛物线上，点在抛物线上．若，且，，求n的值； 三、二次函数y=ax²+bx+c与实际问题 9． 冬暖夏凉的黄土窑洞藏着四千年的智慧，高窗与厚土交织出天人合一的居住哲学．如图1所示的窑洞，其下部近似为矩形（图2），上部近似为一条抛物线．已知米，米，窑洞的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为4米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若在窑洞的上部安装两根窗框、，点D、E在矩形的边上，点F、G在抛物线上，点D与点E恰好是的三等分点（点D在点E的左侧），求这两根窗框的总长度． 10． 如图，这是一位篮球运动员投篮的进球路线，球沿抛物线运动，然后准确落入篮球框内．已知投篮运动员在投篮处A到地面的距离m．以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，篮球框的中心D的坐标为，对称轴与抛物线交于点B，与x轴交于点C． (1)求抛物线的表达式， (2)求点O到所在直线的距离及点B到地面的距离． 四、二次函数y=ax²+bx+c与几何压轴问题 11． 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值． 12．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)求拋物线的解析式； (2)连接，，求的面积； (3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标． 答案 一、二次函数y=ax²+bx+c的函数值范围及最值问题 1． 解：（1）当时，， 若，则抛物线过点，， 该抛物线的对称轴是直线， 故答案为：1； （2）抛物线经过点，，，， ， ， ， 抛物线的对称轴为直线， ①当时，此时抛物线开口向上， 当时，随着的增大而增大， 对于，，都有， ， ，不合题意，舍去； ②当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为， 对于，，都有， ， 解得， 综上，当时，都有． 故答案为：． 2.解：如图，根据点，，画出二次函数大致图像， 根据抛物线的对称性得对称轴为， ∴点距离对称轴个单位， 点距离对称轴个单位， ∵， ∴． 故答案为：． 3.（1）解：把点代入到二次函数的表达式中， 得 化简得：， 依题意联立方程组：， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵二次函数的表达式为； ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴． ∵， 说明关于对称轴对称， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵点在此二次函数图象上， ∴，对称轴， ∵， ∴ ∴， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴且， ∴ ∴ 解得：， ∴ ∵ ∴． 4.解：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ∵，，， ∴当时，二次函数，此时最大， 故答案为：10． 5. （1）解：把，代入，得：， 解得：； （2）由题意，对称轴为直线； （3）当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， 解得：； 当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最大，即：， 解得：； 综上：或． 6.（1）解：∵对称轴为直线， ， ， ∴顶点坐标为； （2）解：， ∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∵点为函数图象上任意两点， 若对于，且，都有， 又，即的中点在右侧， ∵离对称轴越近，函数值越小， 即． （3）解：①当时，即时，如图， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， （舍去）． ②如图，当且时，时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， ，（舍去）． ③如图，当且时，即时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， ，（舍去）． ④如图，当时，即时， 当时，函数有最大值：， 当时，函数有最小值：， ， （舍去）． 综上所述：或． 二、二次函数y=ax²+bx+c的推理计算与证明问题 7.（1）解：此抛物线与x轴的交点个数为两个，理由如下： ∵抛物线， ∴， ∴此抛物线与x轴的交点个数为两个； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， 当时， ∵对于，，总有， ∴如图所示： ∴由图可得：， 解得， 当时，可以取到，此时，与题意矛盾，舍去； ∵， ∴为关于的二次函数，开口向下，对称轴为直线， ∴当时，． 8.（1）解：∵二次函数， ∴顶点坐标为， ∵二次函数， ∴顶点坐标为， ∵二次函数的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，二次函数分别为，， ∴二次函数的图象可以由向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， 整理，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、二次函数y=ax²+bx+c与实际问题 9.（1）由题意知，顶点P的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）由题意知，， ， 当时，， 由对称性可知， ， 故这两根窗框的总长度为米． 10.（1）解：， 点， ． 将点代入， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：抛物线的表达式为， 对称轴为直线， 点O到所在直线的距离为m． 当时，， 点B到地面的距离为m． 四、二次函数y=ax²+bx+c与几何压轴问题 11.（1）解：抛物线经过点，， ， 解得，                                   抛物线的函数表达式为； （2）证明：，当时，， ， ∴设直线的解析式为， 把点代入，得：， ∴直线的函数表达式为， 抛物线对称轴交直线于点，对称轴为直线， 当时，， ， 如图，设点， ， 设直线的函数表达式为， 将点的坐标代入，得，则， 直线的函数表达式为， 当时，， ， ． 同理可得，直线的函数表达式为，                      当时，， ， ， ． 为定值． 12.（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴点， 把点代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线与y轴的交点为点H， 对于， 当时，， ∴直线与y轴的交点坐标为， 联立得：， 解得：或， ∴点， 对于，当时，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在， 由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点A关于对称轴的对称点为点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得：，解得：， ∴点E的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $