22.1.4 第1课时 二次函数y =ax2+bx+c的图象和性质-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

3.解(1)，抛物线y=a(x十h)2的对称轴是直线x=一2， 此抛物线对应的函数解析式为y= (x-3 .一h=一2，解得h=2, .抛物线的解析式为y=a(x十2)2， 4(x+3). (2)y= 抛物线过(1，一3)， (3)存在，点P的坐标为(6,4) .-3=9a,解得a=一3， 1 第3课时二次函数y=a(x一h)2+k 的图象和性质 把物线的解折式为)=一号(x十2识 (2)由(1)可知其顶点坐标为（一2,0） 知识梳理 1∠0 1.形状位置 (3)ra=- 2.(1)向上最低点向下最高点(2)(h,0)y .抛物线开口向下， x=h(3)(h,k)(4)减小增大增大减小 对称轴为x=一2， 对点练习 .当x<一2时，y随x的增大而增大. 1.B2.C3.D 4.D 4.解(1)根据题意，设二次函数的解析式为y=a(x一1)2一4. 5.=-3x-6 因为二次函数的图象过点B(3,0),所以0=4a一4，解 得a=1,所以二次函数的解析式为y=(x一1)2-4，即 6.解(1)把，点A(2,8)代入y=ax2,得8=22·a, y=x2-2x-3. 解得a=2. (2)由题意知，原抛物线的顶点为A(1,一4)，因此只需 .抛物线对应的函数解析式为y=2x2. 将原抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移4个 ∴.将此抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线对 单位长度，即可使平移后所得图象的顶点为坐标原点。 应的函数解析式为y=2(x一1)2. 课后作业 (2)由(1)知，新抛物线对应的函数解析式为y=2(x一1)2， ',该抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1,顶点坐 1.B2.D3A4A5D6>7号 标是(1,0). 8.解列表： (3)当x<1时，y随x的增大而减小 x -2-101234 课后作业 y=(x-1)2-4 50-3-4-305 1.B2.B3.B4.D5.D 描点、连线，画出函数图象如图」 6.向左平移2个单位长度7.> 8解a=分y=+A以 当x=0时y=,则A(0,号 4 2 当y=0时，名十=0， 01234x 解得x=一h,则C(一h,0), .OA=OC ·-h=22,解得h=0(舍去)或h=一2， (1)函数y=(x一1)2-4的图象开口向上，顶，点坐标为 抛物线的解析式为y=合（红一2识 (1,一4)，对称轴是直线x=1. 能力提升 (2)当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随 9.解(1)由题意，可设此抛物线对应的函数解析式为y= x的增大而增大. a(x-3)2 (3)函数y=(x-1)2-4图象上的最低点（即顶点）坐 点B(0,4)在此抛物线上， 标是(1，一4)，函数有最小值，当x=1时，y小位=一4， (4)抛物线y=(x一1)2一4向左平移2个单位长度，再 90=4,解得a=手 向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为y= 43 (x十1)2-5，即y=x2+2x-4. 二次函数的解析式为：y=x2 能力提升 2x或y=x2+2x. 9.解因为y=一（x一m)2十2m2的图象的顶点坐标为 (2),m=2,.由二次函数y x=m, x2-2mx+m2-1得：y=x2-4x十 (m,2m2),即 所以不论m取何值，都有y y=2m2, 3=(x-2)2-1, 2x2.所以不论m为何值时，其顶点总在y=2x2的图象 .抛物线的顶点为D(2,一1)，当x=0时，y=3, 上移动： .C点坐标为(0,3)， 22.1.4二次函数y=ax2+ .C(0,3),D(2,-1) bx十c的图象和性质 (3)存在.连接CD,根据“两点之间，线段最短”可知， 当点P位于CD与x轴的交点时，PC十PD最短.设 第1课时二次函数y=a.x2+bx+c 经过C,D两点的直线解析式为y=x十b(≠0)，将 的图象和性质 C(0,3),D(2,一1)两点坐标代入解析式中可得 3=b, k=-2, 知识梳理 解得 .y=-2x十3. -1=2k+b, b=3. (1)抛物线(2)x=一2元 b 4ac-b2 2a 4a (3)①上 令y=0,可得-2x十3=0，解得x=号 低减小增大②下高增大减小 对点练习 当P点坐标为（受，0）时，PC+PD最短. 1.B2.B3.14.①③④5.D6.y=x2+2x+1 第2课时 待定系数法求二次函数解析式 课后作业 1.A2.B3.D4.D5.k<46.5 知识梳理 7.0<t<28.4 1.(1)ax2+bx十c(a,b,c为常数，a≠0) 9.解(1)由图象知，抛物线过点（1,0)，(4,0)， (2)a(x一h)2十k(a,h,k为常数，a≠0) 代入函数解析式，得-5+c=0, a=1, (3)a(x一x)(x一x)(x1,x2为抛物线与x轴交点的横 解得 16a-20+c=0, c=4. 坐标，a≠0) 故所求二次函数的解析式为y=x2一5x十4. 2.根据题目中所给的条件设出二次函数的解析式代入 点的坐标，得到方程（组）解方程（组）将求出的待 又因为y=2-5x十4=(x-)°-是，所以函教国 定系数还原到解析式中 象的顶点坐标为（侵，一是） 对点练习 1.D2.y=x2-2x-33.B4.y=x2-3x+2 5 (2)由(1)知，a=1>0,抛物线的对称轴为直线x=2， 5解(1)，点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(4,0)， .∴.AB=1+4=5, 由因象知，当x>号时，y的值随x值的增大而增大；当 AB=OC,.OC=5,∴.C点的坐标为(0,5). <号时y的值随x值的增大而减小。 (2)设过这个二次函数的解析式为y=a(x一4)(x+1) (a≠0). (3)由(1)知，y=2-5x十4=(e-吕)广-是，将抛物 点C(0,5)在该二次函数的图象上， 线先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长 5=a(0-4)(0+1),解得a三一号 度，则所得抛物线的解折式为y=(。一吕+3)”-号-4， y--0+10=---0=-r+ 即y=x2+x-6. 能力提升 空+5 10.解(1)：二次函数的图象经过坐标原点O(0,0), 课后作业 .代入二次函数y=x2-2mx十m2-1,得出：m2-11.B2.D =0, 3.y=-2(x-2)2+8(或y=-2(x+2)2+8) 解得m=士1， 4.解(1)当b=3时，c=-2-b=-5,y=x2+2x-5=数学九年级上册第二十二章 二次函数 22.1.4二次函数y=ax 第1课时 二次函数y=a. 知识梳理ZHISHI SHUU 对于二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)： (1)它的图象是一条 (2)其图象的对称轴是直线 ,顶点 坐标是( )； (3)①当a>0时，抛物线的开口向 ,顶点 是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，y 随x的增大而 ,在对称轴的右侧，y 随x的增大而 ;②当a<0时，抛物 线的开口向 ,顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，y随x的增大而 ;在对称轴的右侧，y随x的增大而 对点练习DUIDIAN LIANXI 知识点一 二次函数y=a,x2+bx十c的图象和 性质 1.用配方法将二次函数y=x2一8x一9化为 y=a(x一h)2+的形式为( ) A.y=(x-4)2+7 B.y=(x-4)2-25 C.y=(x+4)2+7 D.y=(x+4)2-25 2.二次函数y=ax2十bx十c图象上部分点的坐 标满足下表： -3 -2 0 1 一3 -2 一3 -6 -11 则该函数图象的顶点坐标为( A.(-3,-3) B.(-2,-2) C.(-1,-3) D.(0,-6) 34 十bx十c的图象和性质 2十bx十c的图象和性质 3.二次函数y=ax2一x十a2一1的图象过原点， 且开口向上，则a的值是 4.(改编题)二次函数y=x2 2x一3的图象如图所示，下列 说法中正确的是 (填序号) ①函数图象与y轴的交点坐标是(0，一3)； ②顶点坐标是(1，一3)； ③函数的图象与x轴的交点坐标是(3,0)，（一1,0）； ④当x<0时，y随x的增大而减小. 知识点二二次函数y=ax2十bx十c的图 象变换 5.将抛物线y-22-6x+21向左平移2个单 位长度后，得到的新抛物线的解析式为() Ay=2(x-8)2+5 B.y=2(x=4)2十5 1 C.y=2(x-8)2+3 Dy=含(x-4+3 6.把抛物线y=ax2十bx十c先向右平移2个单 位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物 线y=x2一2x一2，那么原抛物线的解析式为 课后作业KEHOU ZUOYE 1.抛物线y=x2一2x十m2十2(m是常数)的顶 点在() A.第一象限 B.第二象限 C.x轴的正半轴上 D.x轴的负半轴上 2.如图，函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a 是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中 的图象可能是( 之兴 3.当a≤x≤a+1时，函数y=x2-2x+1的最 小值为1，则a的值为( A.-1 B.2 C.0或2 D.1或2 4.（天津河西区期中)二次函数y=ax2十bx十c, 自变量x与函数y的对应值如表： -3 -2 -1 0 0 -2 -20 下列说法正确的是( A.抛物线的开口向下 B.当x>一3时，y随x的增大而增大 C.二次函数的最小值是一2 D抛物线的对称轴是x=一号 5.已知二次函数y=x2一4x+k的图象的顶点 在x轴下方，则实数k的取值范围是 6.对于二次函数y=x2一2mx一3，当x=2时的函 数值与x=8时的函数值相等时，m 7.抛物线y=ax2十bx十1的顶点在第一象限， 且过点(-1,0)，设t=a十b+1,则t的取值 范围是 8.已知实数x,y满足x2十3x+y一3=0，则x十 y的最大值为 9.已知二次函数y=ax2一5x十c 的图象如图所示 (1)试求该二次函数的解析式和 它的图象的顶点坐标； 35 22.1二次函数的图象和性质 (2)观察图象回答，y的值何时随x值的增大而 增大，y的值何时随x值的增大而减小？ (3)如果将图中抛物线先向左平移3个单位 长度，再向下平移4个单位长度，试确定 所得到的抛物线的解析式. 能力提升ENGU TSHENG→ 10.(天津和平区月考)已知二次函数y=x2一 2mx+m2-1. (1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0, O)时，求二次函数的解析式； (2)如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于 点C,顶点为D,求C,D两点的坐标； (3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点 P,使得PC十PD最短？若P点存在，求 出P点的坐标；若P点不存在，请说明 理由.