第一章 集合与常用逻辑用语测试卷-2025-2026学年高一数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语测试卷 【人教A版2019】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知命题p：，，则是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．设全集是小于7的自然数，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 4．“”是 “关于的方程有且仅有整数解”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．集合间的关系是（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，，，则集合的真子集共有（   ） A．1个 B．3个 C．5个 D．7个 7．某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若集合，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 10．下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 11．对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若集合，且，则 ． 13．设集合，则的非空子集个数为 . 14．给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则下列说法正确的有 ①是“广义等差集合” ②是“广义等差集合” ③若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 ④若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合，． (1)求； (2)求． 16．（15分）已知集合，集合. (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围. 17．（15分）已知命题，命题. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 18．（15分）已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 19．（17分）设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语测试卷 【人教A版2019】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解. 【详解】由集合，，得. 故选：D 2．已知命题p：，，则是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】对全称（存在）量词命题进行否定的方法：全称量词命题，的否定为：，．存在量词命题，的否定为：，． 【详解】命题：，的否定为：，． 故选：C 3．设全集是小于7的自然数，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用补集的定义直接求解. 【详解】依题意，，而，所以. 【点睛】故选：C 4．“”是 “关于的方程有且仅有整数解”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合一元二次方程根的情况判断即可. 【详解】由“”，取，，则关于的方程为，，方程无实数解， 即“”不是“关于的方程有且仅有整数解”的充分条件； 再由“关于的方程有且仅有整数解”，可设方程的两个整数解分别为， ， 根据韦达定理，，则得，故， 即“”不是“关于的方程有且仅有整数解”的必要条件. 综上，“”是 “关于的方程有且仅有整数解”的必要不充分条件. 故选：C 5．集合间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合 ， ，再判断. 【详解】因为 ， ，， 所以，则，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B 6．已知集合，，，则集合的真子集共有（   ） A．1个 B．3个 C．5个 D．7个 【答案】B 【分析】先求两个集合的交集，再求其真子集的个数. 【详解】因为，所以P的真子集有：，，，共3个. 故选：B. 7．某校高一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的学生数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后结合题意列方程求解即可. 【详解】设集合参加足球队的学生， 集合参加排球队的学生， 集合参加游泳队的学生， 则， ， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有4人， 故选：C. 8．集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（    ） A．10 B．40 C．45 D．50 【答案】C 【分析】由题列举出所有的集合A的三元素子集，求出最大值，求和即可. 【详解】由题知： ，， ，， ，，， 则 故选：C 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若集合，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】解析：因为，又，所以，所以，，故B，C正确，D不正确；，故A错误. 10．下列命题正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”是“”的必要不充分条件 C．“”是“”成立的充要条件 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【分析】A选项利用充分不必要条件的定义进行判断；B选项利用必要不充分条件的定义进行判断；C选项利用充要条件的定义进行判断；D选项利用必要不充分条件的定义进行判断. 【详解】对于A选项，当时，成立；反之，当时，若，则不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B选项，当时，若，则不能推出；反之，当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C选项，当时，，所以由不能推出； 反之当时，若，，则不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D选项，当，时，，所以由不能推出； 反之，当时，且，所以由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ABD. 11．对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【答案】AB 【分析】根据集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可． 【详解】解：对于A，因为，所以， 所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确； 对于B，因为，所以， 即与是相同的，所以，即B正确； 对于C，因为，所以， 所以，即C错误； 对于D，由于 ， 而， 故，即D错误． 故选：AB． 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若集合，且，则 ． 【答案】 【分析】根据属于的性质，运用分类讨论思想进行求解即可. 【详解】因为， 所以有，或， 解得或， 当时，，不符合集合元素互异性，故舍去， 当时，，符合集合元素互异性， 故答案为： 13．设集合，则的非空子集个数为 . 【答案】7 【分析】根据非空子集个数公式计算即可. 【详解】集合，则的子集个数为, 所以的非空子集个数为. 故答案为：. 14．给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则下列说法正确的有 ①是“广义等差集合” ②是“广义等差集合” ③若P不是“广义等差集合”，当时，的最大值为4 ④若P不是“广义等差集合”，若的最大值为4，则n可以是13 【答案】①②③ 【分析】根据题意，由“广义等差集合”的定义，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①， 取，则符合“广义等差集合”的定义，故①正确， 对于②，取故②正确， 对于③，当时，，如时，设， 由题意可知两两不相同， 则矛盾， 故，当时，取，满足P不是“广义等差集合”， 故的最大值为4，故③正确， 对于④，当时，取，这与矛盾，故④错误， 故选：①②③ 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据并集合的运算可得； （2）由补集的运算可得. 【详解】（1）由已知，， 得； （2）由，， 得或. 16．（15分）已知集合，集合. (1)若，求； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合并集的定义进行求解即可； （2）根据集合交集的性质分类讨论求解即可. 【详解】（1）， 因为，所以， 因此 ； （2）因为，所以， 若，则，可得 ； 若，因此有，无解， 所以实数的取值范围为. 17．（15分）已知命题，命题. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由条件可得命题为真命题，列出不等式，即可得到结果； （2）根据题意，先求得当命题为真命题时的范围，即可得到为真命题时的范围，再结合（1）中的结论，即可得到结果. 【详解】（1）若命题为假命题，则命题为真命题， 即在恒成立，所以， 即实数的取值范围是. （2）当命题为真命题时，因为， 所以，解得或， 因为为真命题，则， 又由（1）可知，命题为真命题时， 所以且，即实数的取值范围是. 18．（15分）已知集合， (1)若，实数的取值范围； (2)若，是假命题，求实数的取值集合； (3)设不等式的解集为D，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)． (2) (3)． 【分析】（1）求出集合，又，根据集合的包含关系分类讨论求解； （2）原命题的否定：，是真命题，转化为求的最大值即得； （3）由题意得出，再分和进行讨论． 【详解】（1），， 若，即，则满足题意， 若，即，则，又，故无实解， 综上． （2），是假命题，则，是真命题，即， 时，（时取等号），所以，即； （3）若是的必要不充分条件，则， 的解是或， ，即时，满足题意， 时，， 因此，解得且． 综上，． 【点睛】方法点睛：本题考查由集合的运算结果，命题的真假，充分必要条件求参数，解题方法是根据问题进行转化，如（1）（3）转化为集合的包含关系，再根据子集的概念分类讨论求解，如（2）转化为不等式恒成立，再转化为求函数的最值，得出参数范围． 19．（17分）设数集由实数构成，且满足：若（且），则. (1)若，试证明中还有另外两个元素； (2)集合是否为双元素集合，并说明理由； (3)若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合. 【答案】(1)证明见解析； (2)不是，理由见解析； (3). 【分析】（1）利用集合与元素之间的关系证明即可； （2）根据条件求出元素间的规律即可； （3）先利用求出集合中元素个数，再根据所有元素和求解即可. 【详解】（1）由题意得若，则； 又因为，所以； 即集合中还有另外两个元素和. （2）由题意，若（且），则，则，若则； 所以集合中应包含，故集合不是双元素集合. （3）由（2）得集合中的元素个数应为3或6， 因为且中有一个元素的平方等于所有元素的积， 所以中应有6个元素，且其中一个元素为， 由结合条件可得， 又因为，所以剩余三个元素和为，即， 解得， 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $