2.2 直线与圆的位置关系(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

2.2　直线与圆的位置关系 学习任务 核心素养 1．掌握直线与圆的三种位置关系，并会用代数法和几何法判断．(重点) 2．会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．(难点) 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养． “大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句．它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片． 图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中知识总结，直线与圆有几种位置关系？ 知识点　直线与圆的三种位置关系及判定 位置关系 相离 相切 相交 图示 公共点个数 零个 一个 两个 判定方法 几何法：设圆心到直线 的距离d＝ 比较d与r的大小 d＞r d＝r d＜r 代数法：由 依据方程组解的情况 方程组无解 方程组仅有一组解 方程组有两组不同解 判断直线与圆的位置关系有哪些常用方法？ [提示]　代数法和几何法． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断． (　　) (2)过圆外一点作圆的切线有两条． (　　) (3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离． (　　) (4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 B　[圆心(0，0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1．∵d＝r，∴直线与圆相切．故选B．] 3．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝(　　) A．1 B． C． D．2 D　[直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2．] 类型1　直线与圆的位置关系 【例1】　【链接教材P63例1】 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． [解]　法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0． ∵Δ＝4m(3m＋4)， ∴(1)当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点； (3)当Δ<0时，即－<m<0时，直线与圆相离， 即直线与圆没有公共点． 法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2，1)，半径r＝2． 圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝＝． (1)当d<2即m>0或m<－时，直线与圆相交， 即直线与圆有两个公共点； (2)当d＝2即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当d>2即－<m<0时，直线与圆相离， 即直线与圆没有公共点． 【教材原题P63例1】 求直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点的坐标，并判断它们的位置关系． [解]　直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100的公共点的坐标就是方程组的解． 解这个方程组，得 所以公共点的坐标为(10，0)，． 因为直线4x＋3y＝40和圆x2＋y2＝100有两个公共点，所以直线和圆相交． 　直线与圆位置关系判断的三种方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． [跟进训练] 1．已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，则直线l与圆C的位置关系为________． 相交　[由直线方程得(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，令得 故直线l过定点A(3，1)． 由|AC|＝＝＜5得A点在圆内，因此直线l与圆C相交．] 类型2　直线与圆相切问题 【例2】　【链接教材P64例2】 (1)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)，则直线l的方程为________． (2)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程． [思路探究]　(1)利用MP⊥l，同时点P在直线l上． (2)先确定点A在圆外，利用d＝r求切线方程． (1)x＋2y－3＝0　[根据题意，圆M：x2＋y2＋4x－1＝0，即(x＋2)2＋y2＝5，其圆心M(－2，0)， 直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1，2)， 则P在直线l上且MP与直线l垂直． kMP＝＝2，则有－＝－，即b＝2a， 又由P在直线l上，则有－a＋2b－3＝0，可解得a＝1，b＝2， 则直线l的方程为x＋2y－3＝0．] (2)[解]　因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A在圆外，故切线有两条． ①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0． 设圆心为C， 因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1， 所以＝1， 即|k＋4|＝， 所以k2＋8k＋16＝k2＋1， 解得k＝－． 所以切线方程为－x－y＋－3＝0， 即15x＋8y－36＝0． ②若直线斜率不存在， 圆心C(3，1)到直线x＝4的距离为1， 这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4． 综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4． 【教材原题·P64例2】 自点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程． 解法1：当直线l垂直于x轴时，直线l：x＝－1与圆相离，不满足条件． 当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为 y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋(k＋4)＝0． 如图2-2-1，因为直线与圆相切，所以圆心(2，3)到直线l的距离等于圆的半径，从而＝1， 解得k＝0或k＝－． 因此，所求直线l的方程是y＝4或3x＋4y－13＝0． 解法2：当直线l垂直于x轴时，直线l：x＝－1与圆相离，不满足条件． 当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为 y－4＝k(x＋1)． 因为直线l与圆相切，所以方程组仅有一组解． 由方程组消去y，得到关于x的一元二次方程 (1＋k2)x2＋(2k2＋2k－4)x＋k2＋2k＋4＝0． 依题意，这个一元二次方程有两个相等的实数根，所以可得判别式Δ＝(2k2＋2k－4)2－4(1＋k2)(k2＋2k＋4)＝0， 解得k＝0或k＝－． 因此，所求直线l的方程是y＝4或3x＋4y－13＝0． 　圆的切线方程的求法 (1)点在圆上时 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0． (2)点在圆外时 ①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程． ②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程． 提醒：要注意切线的斜率不存在的情况． [跟进训练] 2．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆C所作的切线长的最小值为________． 4　[因为圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C(－1，2)在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即a－b＝3．又圆的半径为， 当点(a，b)与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，又点(a，b)与圆心的距离为＝3，所以切线长的最小值为＝4．] 类型3　直线与圆相交问题 【例3】　【链接教材P65例3】 (1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|． (2)过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程． 1．若直线与圆交于两点A，B，连接AB的中点M和圆心C，则在直角三角形ACM中，应用勾股定理可得到什么？ [提示]　AB2＝4AM2＝4(AC2－CM2)． 2．在(1)中如何表示CM的长？ [提示]　应用圆心到直线的距离． [解]　(1)联立直线l与圆C的方程，得解得所以交点为A(1，3)，B(2，0)．故直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|＝＝． (2)圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝＝3． ①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意； ②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0． 由点到直线的距离公式，得3＝， 解得k＝－，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0． 综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0． 【教材原题·P65例3】 求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长． 解法1：直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点的坐标就是方程组 的解． 解这个方程组， 得 所以公共点的坐标为(－，1)，(0，2)． 从而知直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为 ＝2． 解法2：如图2-2-2，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)， 所以OM＝＝，从而AB＝2AM＝2＝2＝2． 　求弦长常用的三种方法 (1)利用圆的半径r、圆心到直线的距离d、弦长l之间的关系＋d2＝r2求解． (2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，用两点间距离公式计算弦长． (3)利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝＝|y1－y2|＝·． [跟进训练] 3．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为(　　) A．4　　　　B．2　　　　C．　　　　D． B　[∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝5， ∴圆M的圆心坐标为(1，2)，半径为，又点(1，2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝，直线m被圆M截得的弦长为2＝2．故选B．] 类型4　直线与圆位置关系的实际应用 【例4】　一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域．已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ [思路探究]　以台风中心为原点建立适当的直角坐标系，把有关的几何元素用坐标和方程表示出来，然后将实际问题转化为代数问题来解决． [解]　以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，则轮船航线所在直线l的方程为＝1，即4x＋7y－28＝0．圆心(0，0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，而半径r＝3， 因为d＞r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响． 　直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤 (1)审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和待求的数据； (2)建系：建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程； (3)求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题； (4)还原：将运算结果还原为对实际问题的解释． [跟进训练] 4．一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，则水面下降1米后，水面宽度为(　　) A．14米 B．15米 C．米 D．2米 D　[以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，设圆的半径长为r，则C(0，－r)， 则圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2． 将点A的坐标代入上述方程，可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100， 当水面下降1米后，水面所在弦的端点为A′，B′， 可设A′(x0，－3)(x0＞0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝，∴水面宽度|A′B′|＝2米．] 1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　) A．过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 D　[圆心坐标为(1，－1)，圆心到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝＝＜r＝3．又点(1，－1)不在直线3x＋4y＋12＝0上，所以直线与圆相交且不过圆心．选D．] 2．若直线x－2y＝0与圆(x－4)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝(　　) A． B．5 C． D．25 C　[设圆心到直线的距离为d，则d＝＝．由直线与圆相切可得r＝．故选C．] 3．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　) A．－1或 B．1或3 C．－2或6 D．0或4 D　[由弦长公式l＝2，可知圆心到直线的距离d＝，即＝，解得a＝0或4．] 4．已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________． 2　[设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径r＝2，C到直线l的距离d＝，|AB|＝2＝2＝．由S△ABC＝，得＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．故答案可以为2．] 5．已知圆C经过点A(2，0)，B(1，－)，且圆心C在直线y＝x上． (1)求圆C的方程； (2)过点的直线l截圆C所得弦长为2，求直线l的方程． [解]　(1)AB的中点坐标为，AB的斜率为．可得AB垂直平分线方程为2x＋6y＝0，与x―y＝0的交点为(0，0)，圆心坐标(0，0)，半径为2， 所以圆C的方程为x2＋y2＝4． (2)当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，又直线l过点， ∴直线l的方程为y－＝k(x－1)，即y＝kx＋－k， 则圆心(0，0)到直线l的距离d＝，又圆的半径r＝2，截得的弦长为2， 则有＋()2＝4，解得k＝－， 则直线l的方程为y＝－x＋． 当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，满足题意． ∴直线l的方程为x＝1或y＝－x＋． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．判断直线与圆的位置关系有几种方法． [提示]　(1)几何法；(2)代数法；(3)直线系法． 2．常用的求弦长的方法有哪些？ [提示]　(1)＋d2＝r2；(2)求出直线和圆的交点坐标，用两点间距离公式计算弦长． 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $