2.1 第2课时 圆的一般方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“圆的一般方程”核心知识点，从圆的标准方程展开入手，通过配方推导一般方程形式，明确其圆心（-D/2,-E/2）、半径√(D²+E²-4F)/2及表示圆的条件（D²+E²-4F>0），构建从已知到未知的学习支架。 资料以问题链驱动探究，如“标准方程展开后是什么关系式”引导学生用数学眼光抽象本质，通过配方推导和不等式求解培养数学思维中的推理与运算能力，例题中设一般方程求外接圆体现数学语言的模型表达。课中助力教师引导学生主动建构知识，课后例题及训练帮助学生巩固应用，查漏补缺。

第2课时　圆的一般方程 学习任务 核心素养 1．正确理解圆的方程的一般形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点) 2．会在不同条件下求圆的一般方程．(重点) 1．通过对圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养． 2．通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养． (1)把(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开是一个什么样的关系式？ (2)把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程一定表示圆吗？在什么条件下一定表示圆？ 这就是今天我们将要研究的问题． 知识点　圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫作圆的一般方程．其中圆心为，圆的半径为r＝． (2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明 方程 条件 图形 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F＞0 表示以点为圆心，为半径的圆 方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？ [提示]　A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程． (　　) (2)圆的一般方程和标准方程可以互化． (　　) (3)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为的圆． (　　) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F>0． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋ 2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是(　　) A．(1，＋∞)　　　　　　 B．，1 C．(1，＋∞)∪－∞， D．R A　[因为方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D2＋E2―4F＞0， 即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．故选A．] 3．过点(0，0)，(4，0)和(0，6)三点的圆的一般方程为________． x2＋y2－4x－6y＝0　[设过点(0，0)(4，0)和(0，6)三点的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∴∴∴一般方程为x2＋y2－4x－6y＝0．] 类型1　圆的一般方程的认识 【例1】　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． [解]　(1)据题意知 D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0， 解得m＜， 故m的取值范围为． (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径为． 　解答该类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一看D2＋E2－4F是否大于零，二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数． [跟进训练] 1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径． (1)x2＋y2＋x＋1＝0； (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)； (3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)． [解]　(1)∵D＝1，E＝0，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0， ∴方程不表示任何图形． (2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程表示点(－a，0)． (3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0， D＝a，E＝－a，F＝0， ∴D2＋E2－4F＝2a2＞0， ∴方程表示圆，它的圆心为， 半径r＝＝|a|． 类型2　求圆的一般方程 【例2】　【链接教材P58例3】 已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． [解]　法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵点A，B，C在圆上， ∴ ∴ ∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝25． ∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5． 法二：∵kAB＝＝，kAC＝＝－3， ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC． ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形， ∴外心是线段BC的中点， 坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5． ∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25． 【教材原题·P58例3】 已知△ABC的三个顶点为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求△ABC外接圆的方程． [解]　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． 因为点A，B，C在所求的圆上，所以 解得 故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋5＝0． 　利用待定系数法求圆的一般方程的步骤 (1)根据题意，设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0； (2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组； (3)解方程组，求出D，E，F的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程． [跟进训练] 2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程． [解]　圆心C－， ∵圆心在直线x＋y－1＝0上， ∴－－1＝0， 即D＋E＝－2．① 又∵半径长r＝＝， ∴D2＋E2＝20．② 由①②可得或 又∵圆心在第二象限， ∴－＜0，即D＞0． 则 故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0． 类型3　与圆有关的轨迹问题 【例3】　点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 1．线段AP的中点M的坐标为M(x，y)，那么点P的坐标是什么？ [提示]　(2x－2，2y)． 2．直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系？ [提示]　直角三角形斜边的中线长是斜边长的二分之一． [解]　(1)设线段AP的中点为M(x，y)， 由中点公式得点P坐标为(2x－2，2y)． ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1． (2)设线段PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|． 设O为坐标原点，连接ON(图略)， 则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0． [母题探究] 1．(变结论)在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程． [解]　设T(x，y)． 因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT． 当斜率存在时，有kOT·kBT＝－1． 即＝－1，整理得x2＋y2－x－y＝0． 当x＝0或1时，点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)也都在圆上． 故所求轨迹方程为x2＋y2－x－y＝0． 2．(变结论)本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程． [解]　设点E(x，y)，P(x0，y0)． ∵B(1，1)，∴ 整理得x0＝2x－1，y0＝2y－1， ∵点P在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－1)2＋(2y－1)2＝4， 整理得点E的轨迹方程为x2＋y2－x－y－＝0． 　1．直接法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)； (2)列出点M 满足条件的集合； (3)用坐标表示上述条件，列出方程； (4)将上述方程化简； (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点． 2．代入法求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标为(x，y)； (2)建立x，y与相关点的坐标x0，y0的方程； (3)用x，y表示x0，y0； (4)把(x0，y0)代入到相关点满足的方程； (5)化简方程为最简形式． 1．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是(　　) A．m＜ B．m C．m＜2 D．m2 A　[由D2＋E2－4F＞0，得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜，故选A．] 2．若圆x2＋y2－2kx＋2y－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则实数k等于________． －2　[由条件可知，直线经过圆的圆心(k，－1)，∴2k－(－1)＋3＝0，解得k＝－2．] 3．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是________． x2＋y2－4x＋2y＋1＝0　[由条件知A(2，－1)，设M(x，y)，则P(2x－2，2y＋1)，由于P在圆上， ∴(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0， 整理得x2＋y2－4x＋2y＋1＝0．] 4．(源自湘教版教材)已知A(0，0)，B(6，0)，C(－1，7)，求△ABC的外接圆的圆心坐标和半径． [解]　设外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0． ① 将圆上三点的坐标依次代入方程①，得到一个关于D，E，F的三元一次方程组 解这个方程组，得D＝－6，E＝－8，F＝0． 因此，外接圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0． 整理得(x－3)2＋(y－4)2＝52． 所以外接圆的圆心坐标为(3，4)，半径为5． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．圆的一般方程是什么？ [提示]　x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)． 2．方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？ [提示]　A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0． 3．求轨迹方程的一般方法有哪些？ [提示]　直接法，代入法(相关点法)． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $