2.1 第1课时 圆的标准方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

本讲义聚焦“圆的标准方程”核心知识点，从圆的定义出发推导标准方程，衔接点与圆的位置关系，通过思考辨析、多解法例题及跟进训练构建学习支架，帮助学生掌握方程特点及应用脉络。 该资料突出数学眼光（如船过拱桥实际问题建模）、数学思维（逻辑推理推导方程）与数学语言（坐标法符号表达）的融合，课中分层例题提升教学效率，课后练习题与总结回顾助力学生查漏补缺。

2.1　圆的方程 第1课时　圆的标准方程 学习任务 核心素养 1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点) 2．会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点) 3．能准确判断点与圆的位置关系．(易错点) 通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养． 如图所示，设平面直角坐标系中⊙C的圆心坐标为C(1，2)，而且半径为2． (1)判断点A(3，2)是否在⊙C上； (2)设M(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，那么M在⊙C上的充要条件是什么？此时x，y要满足什么关系式？ 知识点1　圆的标准方程 (1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点就是圆心，定长就是圆的半径． (2)圆的标准方程：圆心为A(a，b)、半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)． 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆． 平面内确定圆的要素是什么？ [提示]　圆心坐标和半径． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆． (　　) (2)若圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝m2(m≠0)，则圆心为(a，b)，半径为m． (　　) (3)圆心是原点的圆的标准方程是x2＋y2＝r2(r＞0)． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．以原点为圆心、2为半径的圆的标准方程是 (　　) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ B　[以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4．] 知识点2　点与圆的位置关系 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝． 位置 关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在 圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在 圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 3．已知点P(1，－1)在圆(x＋2)2＋y2＝m的内部，则实数m的取值范围是________． m＞10　[由条件知(1＋2)2＋(－1)2＜m，解得m＞10．] 类型1　求圆的标准方程 【例1】　【链接教材P56例1】 求过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程． [解]　法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知条件知 解此方程组，得 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4． 法二：设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上， ∴可设点C的坐标为(a，2－a)． 又∵该圆经过A，B两点， ∴|CA|＝|CB|． ∴ ＝， 解得a＝1． ∴圆心坐标为C(1，1)，半径长r＝|CA|＝2． 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4． 法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)， kAB＝＝－1， 所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1， 所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)， 即y＝x．则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点， 由 得 即圆心为(1，1)，圆的半径为 r＝＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4． 【教材原题·P56例1】 求圆心是C(2，－3)，且经过坐标原点的圆的方程． [解]　因为圆C经过坐标原点，所以圆C的半径是r＝＝． 因此，所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13． 　确定圆的标准方程的方法 (1)几何法 利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程． (2)待定系数法 待定系数法是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： ①设—设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②列—由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； ③解—解方程组，求出a，b，r； ④代—将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程． [跟进训练] 1．已知圆C经过A(5，1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则C的标准方程为________． (x－2)2＋y2＝10　[由圆的几何性质得，圆心在AB的垂直平分线上，结合题意知，AB的垂直平分线为y＝2x－4，令y＝0，得x＝2，故圆心坐标为(2，0)，所以圆的半径r＝＝，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10．] 类型2　圆的标准方程的实际应用 【例2】　【链接教材P56例2】 一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8 m，拱桥内水面宽32 m，船只在水面以上部分高6.5 m，船顶部宽8 m，故通行无阻，如图所示． (1)建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程； (2)近日水位暴涨了2 m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？(精确到0.1 m，≈2.45) [解]　(1)在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴， 过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则A，B，D三点的坐标分别为(－16，0)，(16，0)，(0，8)． 又圆心C在y轴上，故可设C(0，b)． 因为|CD|＝|CB|， 所以8－b＝， 解得b＝－12， 所以|CD|＝20． 所以圆拱所在圆的方程为x2＋(y＋12)2＝400． (2)当x＝4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8 m的地方距正常水位时的水面约7.6 m， 距涨水后的水面约5.6 m，因为船高6.5 m，顶宽8 m， 所以船身至少降低6.5－5.6＝0.9(m)，船才能顺利通过桥洞． 【教材原题·P56例2】 已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？ [解]　以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系(图2-1-3)，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y0)． 将x＝2.7代入，得y＝＝＜3， 即在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度． 因此，货车不能驶入这个隧道． 　解析几何在求解实际应用问题时，有着广泛的应用．应用解析法研究与平面图形有关的实际问题，关键是结合图形特点，建立合适的平面直角坐标系，将几何问题转化为代数运算． [跟进训练] 2．已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，问一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入？ [解]　以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，过圆心且垂直于直径AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y0)．将x＝2.7代入圆的方程，得y＝＝＜3，即在离中心线2.7米处，隧道的高度低于货车的高度，因此货车不能驶入这个隧道． 类型3　与圆有关的最值问题 【例3】　已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求x2＋y2的最值． 1．点(x，y)所在的曲线是什么？ [提示]　点(x，y)所在的曲线是以(x＋1)2＋y2＝为方程的圆． 2．x2＋y2的几何意义是什么？ [提示]　x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方． [解]　由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝．因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和． [母题探究] 1．(变条件)把本例中圆的方程变为(x＋1)2＋y2＝4，则过(0，0)的弦中，最长弦长为________，最短弦长为________． 4　2　[点(0，0)在圆内，最长的弦为过O的直径，所以最长弦长为2r＝4．最短弦是过O且与过O的直径垂直的弦，因为O(0，0)与圆心的距离为1， 所以最短弦长为2＝2．] 2．(变结论)本例条件不变，试求的取值范围． [解]　设k＝，变形为k＝，此式表示圆上一点(x，y)与点(0，0)连线的斜率， 由k＝，可得y＝kx，此直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离dr，即， 解得－k． 即的取值范围是． 　与圆有关的最值问题的常见类型及解法 (1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题． (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－ x＋截距的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． 1．圆心为(1，1)，且过原点的圆的标准方程是(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D　[由圆过原点知r＝＝，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，选D．] 2．两个点M(2，－4)，N(－2，1)与圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0的位置关系是(　　) A．点M在圆C外，点N在圆C外 B．点M在圆C内，点N在圆C内 C．点M在圆C外，点N在圆C内 D．点M在圆C内，点N在圆C外 D　[将点的坐标代入方程左边得22＋(－4)2－2×2＋4×(－4)－4＝－4＜0，∴M点在圆内，(－2)2＋12－2×(－2)＋4×1－4＝9＞0，∴N点在圆外．故选D．] 3．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是________． (x－2)2＋(y－4)2＝20　[由可得，即圆心为(2，4)，从而r＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20．] 4．经过圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心且斜率为1的直线方程为________． x－y＋3＝0　[圆C的圆心为(－1，2)，又所求直线的斜率为1，故由点斜式得y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0．]5．已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． [解]　如图，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4． 在Rt△AOC中， |OC|＝＝＝3． 设点C坐标为(a，0)， 则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3．∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．圆的标准方程是什么？ [提示]　圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 2．如何判断点与圆的位置关系？ [提示]　(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可； (2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断． 3．代数式u＝、l＝ax＋by、(x－a)2＋(y－b)2的几何意义分别什么？ [提示]　u＝为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率；形如l＝ax＋by转化为动直线y＝－ x＋截距；(x－a)2＋(y－b)2是(x，y)到定点(a，b)的距离的平方． 坐标法与数学机械化 笛卡儿开创了解析几何思想方法的先河．解析几何坐标法的形成、发展和完善，使几何问题的求解或求证能通过坐标转化为代数方程求解．同时坐标法使计算机应用到几何定理的证明中成为可能． 明确提出机器可以成为推理工具的思想，要追溯到17世纪德国数学家莱布尼茨(Leibniz，1646—1716，微积分创始人之一)．他受笛卡儿思想的启发，认为笛卡儿创立的解析几何，目的是将几何推理转化为计算．遗憾的是，由于当时的条件限制，计算仅仅是手工操作(手摇计算机)，无法进行大量复杂的计算，所以用机器实现几何定理证明的想法无法实现． 20世纪以后，计算机迅速发展．计算机的发明使一些数学家又开始探讨几何定理证明机械化的可能性．1950年，波兰数学家塔斯基得到一个引人注目的结论：一切初等几何范畴中的命题都可以用机械方法判定．由于他的判定方法太复杂，在实践中没有太大的进展．1959年，美籍华裔数学家王浩(1921—1995)在这方面作出了鼓舞人心的工作，他在计算机上只用了9分钟就证明了《数学原理》(罗素和怀特海著)中的350多个命题，并第一次明确提出了“走向数学的机械化”的口号． 20世纪70年代以后，我国著名数学家吴文俊在几何定理机器证明上作出了重大贡献，并创立了“吴方法”．吴文俊是我国最具国际影响的数学家之一．他在拓扑学、自动推理、机器证明、代数几何、中国数学史、对策论等研究领域均有杰出的贡献．曾获得首届国家最高科学技术奖(2000年)、首届国家自然科学一等奖(1956年)、首届求是杰出科学家奖(1994年)、邵逸夫数学奖(2006年)、国际自动推理最高奖——埃尔布朗自动推理杰出成就奖(1997年)等．“文华逾九章，拓扑公式彪史册．俊杰胜十书，机器证明誉寰球”是对他一生工作的高度概括． 吴文俊机器证明的思想，主要是从笛卡儿的坐标法和中国古代解方程的计算方法而来的．他认为，欧氏几何体系的特点是纯粹在空间形式间推理，或说在图形之间，或者是把数量关系归之于空间形式，或者干脆排除数量关系．另一个体系刚好与之相反，是把空间形式转化成数量关系来处理．这种考虑方式就是中国的传统，早在11世纪左右就已产生，当时引进的概念叫天元、地元等，用现在的符号就相当于引进了x，y等．用天元、地元表示某一个几何事实，那么几何对象之间的相互关系就表示成天元、地元之间的一种方程(即x，y之间的一种方程)，即17世纪解析几何的坐标法． 吴文俊认为，欧氏几何体系是非机械化的，把空间形式数量化是机械化的．吴文俊说：“我从事几何定理证明时，首先取适当的坐标，于是几何定理的假设与终结通常都成为多项式方程，称之为假设方程与终结方程．满足定理假设的几何图象，就相当于假设方程组的一个解答或零点．要证明定理成立，就要证明假设方程的零点也使终结多项式为零．”由于计算机的发展与众多数学家(特别是以吴文俊为首的一批中国数学家)的努力，大约在1976与1977年之交，几何定理机器证明的梦想终于实现了．提出用计算机证明几何定理的“吴方法”，被认为是自动推理领域的先驱性工作．进入20世纪80年代以后，吴文俊和他的同行把几何定理机器证明的方法发展成为数学机械化方法． 请你查阅有关资料，进一步了解吴文俊的事迹，了解我国数学家在数学机械化方面的卓越贡献． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $