1.5.2 点到直线的距离(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

1.5.2　点到直线的距离 学习任务 核心素养 1．了解点到直线的距离公式的推导方法．(重点) 2．掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用求平行直线间的距离等问题．(难点) 通过对点到直线距离、两条平行直线间距离公式的学习，提升逻辑推理、数学运算和直观想象的数学素养． 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P．若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离呢？ 知识点1　点到直线的距离 名称 点到直线的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 图示 公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝ 1．点P(1，2)到直线y＝2x＋1的距离为(　　) A． B． C． D．2 A　[d＝＝．] 2．若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为，则m的值为________． －4　[由＝，得m＝－4或m＝0，又∵m<0，∴m＝－4．] 知识点2　两条平行直线间的距离 名称 两条平行直线间的距离 定义 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 图示 公式 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ (1)在运用点到直线的距离公式时对直线方程有什么要求？ (2)在应用两条平行直线间的距离公式时对直线方程有什么要求？ [提示]　(1)要求直线的方程应化为一般式． (2)两条平行直线的方程都是一般式，且x，y对应的系数应分别相等． 3．两条平行直线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为(　　) A．3 B．2 C．1 D． C　[d＝＝1．] 类型1　点到直线的距离 【例1】　【链接教材P39例4】 (1)已知点A(a，3)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a的值为________． (2)求点P(1，2)到下列直线的距离： ①y＝x－；②y＝4；③x＝－3． (1)　[由点到直线的距离公式得 ＝1，解得a＝±， 又a>0，所以a＝．] (2)[解]　①把方程y＝x－写成3x－4y－5＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝2． ②法一：把方程y＝4写成0·x＋y－4＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝2． 法二：因为直线y＝4平行于x轴， 所以d＝|4－2|＝2． ③因为直线x＝－3平行于y轴， 所以d＝|－3－1|＝4． 【教材原题·P39例4】 分别求点P(－1，2)到下列直线的距离： (1)2x＋y－10＝0；(2)3x＝2． [解]　(1)根据点到直线的距离公式，得 d＝＝＝2． (2)因为直线3x＝2平行于y轴，所以 d＝＝． 　点到直线的距离的求解方法 (1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后利用点到直线的距离公式． (2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂，要注意数形结合． [跟进训练] 1．求点P0(―1，2)到下列直线的距离： (1)2x＋y―10＝0；(2)x＋y＝2；(3)y―1＝0． [解]　(1)根据点到直线的距离公式得 d＝＝＝2． (2)直线方程可化为x＋y―2＝0， 所以d＝＝． (3)因为直线y―1＝0平行于x轴，所以d＝|2―1|＝1． 类型2　两条平行直线间的距离 【例2】　【链接教材P39例5】 (1)两条直线l1：3x＋4y－4＝0，l2：6x＋my＋2＝0平行，则它们之间的距离为(　　) A．4 B．5 C．6 D．1 (2)已知直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2之间的距离为5，求l1，l2的方程． (1)D　[∵l1∥l2，∴3×m－6×4＝0，∴m＝8． ∴直线l2的方程为6x＋8y＋2＝0，即3x＋4y＋1＝0． 法一：根据两平行直线间的距离公式，得d＝＝1． 法二：在l1上取一点M(0，1)，则点M到l2的距离 d＝＝1即为所求．] (2)[解]　当直线l1，l2斜率存在时，设直线l1、l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，在直线l1上取一点A(0，1)，则点A到直线l2的距离d＝＝5， ∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝， ∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0． 若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件． 综上可知，满足条件的直线方程有两组，即l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0或l1：x＝0，l2：x＝5． 【教材原题·P39例5】 求两条平行直线x＋3y－4＝0与2x＋6y－9＝0之间的距离． 分析　在两条平行直线中的一条直线上任取一点，将两条平行直线之间的距离转化为点到直线的距离． [解]　在直线x＋3y－4＝0上取点P(4，0)，点P(4，0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d就是两条平行直线之间的距离． 因此，两条平行直线之间的距离为d＝＝＝． 　求两条平行直线间的距离的两种思路 (1)利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算． (2)利用两条平行直线间的距离公式求解． [跟进训练] 2．已知直线l的方程为2x－y＋1＝0． (1)求过点A(3，2)，且与直线l垂直的直线l1的方程； (2)求与直线l平行，且到点P(3，0)的距离为的直线l2的方程． [解]　(1)∵直线l的斜率为2，∴所求直线斜率为－， 又∵过点A(3，2)，∴所求直线方程为y－2＝－(x－3)， 即x＋2y－7＝0． (2)依题意设所求直线方程为2x－y＋c＝0， ∵点P(3，0)到该直线的距离为， ∴＝， 解得c＝－1或c＝－11， ∴所求直线方程为2x－y－1＝0或2x－y－11＝0． 类型3　距离公式的综合应用 【例3】　【链接教材P40例6】 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． 1．正方形的中心到其四条边的距离有什么关系？ [提示]　相等． 2．如何设与直线l：x＋3y－5＝0平行的直线的方程？ [提示]　x＋3y＋c＝0(c≠－5)． 3．如何设与直线l：x＋3y－5＝0垂直的直线的方程？ [提示]　3x－y＋a＝0． [解]　设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)． 由得正方形的中心坐标为P(－1，0)， 由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0． 又正方形另两边所在直线与l垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0． ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴＝， 得a＝9或a＝－3， ∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0． ∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0． [母题探究] 1．(变结论)本题条件不变，求正方形的面积． [解]　由得正方形的中心坐标为P(－1，0)． 由点到直线的距离公式得点P(－1，0)到直线x＋3y－5＝0的距离 d＝＝． 这时正方形的边长为，所以正方形的面积为S＝2＝． 2．(变条件)把本例条件改为“直线2x－y＋2＝0和直线x＋y＋1＝0为平行四边形的两条邻边”，求以(1，1)为中心的平行四边形的另两边所在直线的方程． [解]　由得E(－1，0)， 又E(－1，0)关于(1，1)的对称点为(3，2)． 根据平行四边形的性质知，另两边交点为(3，2)，把(3，2)分别代入2x－y＋m＝0，x＋y＋n＝0，解得m＝－4，n＝－5． 故平行四边形的另两边所在直线方程为2x－y－4＝0和x＋y－5＝0． 【教材原题·P40例6】 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． [证明]　设△ABC是等腰三角形，以底边CA所在直线为x轴，过顶点B且垂直于CA的直线为y轴，建立直角坐标系(图1-5-8)． 设A(a，0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)，则C(－a，0)． 直线AB的方程为＝1， 即bx＋ay－ab＝0． 直线BC的方程为＝1， 即bx－ay＋ab＝0． 设底边AC上任意一点为P(x，0)(－axa)，则点P到直线AB的距离为 PE＝＝， 点P到直线BC的距离为 PF＝＝， 点A到直线BC的距离为 h＝＝． 所以 PE＋PF＝＝＝h． 因此，等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． 　1．求参数问题 利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值． 2．求方程的问题 立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解． 3．最值问题 (1)利用对称转化为两点之间的距离问题． (2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离． (3)利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． 1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　) A．7　　　　B．5　　　　　C．3　　　　D．2 A　[直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7．] 2．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1，l2间的距离是(　　) A． B． C．4 D．2 B　[∵l1∥l2，∴解得a＝－1． ∴l1的方程为x－y＋6＝0，l2的方程为－3x＋3y－2＝0，即x－y＋＝0，∴l1，l2间的距离是＝．] 3．已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程是________． 2x－y＋1＝0　[设l的方程为2x－y＋m＝0，由题意知＝，解得m＝1． 故所求直线方程为2x－y＋1＝0．] 4．点P(a，0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为________． (－∞，－3)∪(7，＋∞)　[根据题意，得>3，解得a>7或a<－3．] 5．已知直线l1：3x＋4ay－2＝0(a＞0)，l2：2x＋y＋2＝0． (1)当a＝1时，直线l过l1与l2的交点，且垂直于直线x―2y―1＝0，求直线l的方程； (2)求点M到直线l1的距离d的最大值． [解]　(1)当a＝1时，直线l1：3x＋4y―2＝0， l2：2x＋y＋2＝0， 联立解得交点(―2，2)． 又由直线l垂直于直线x―2y―1＝0，直线x―2y―1＝0的斜率k＝， ∴kl＝―2． ∴直线l的方程为y―2＝―2(x＋2)，即2x＋y＋2＝0． (2)直线l1：3x＋4ay―2＝0(a＞0)过定点N，又M，∴点M到直线l1的距离d的最大值为MN＝＝． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．点到直线的距离公式是什么？ [提示]　点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 2．两平行直线间的距离公式是什么？ [提示]　两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝． 3．运用点到直线的距离公式时要注意什么？ [提示]　在使用点到直线的距离公式时，要特别注意直线方程应为一般式． 4．运用两平行直线间的距离公式时要注意什么？ [提示]　要注意把两直线的方程化为Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0的形式，即x，y对应的系数相等． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $