1.4 两条直线的交点(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

本讲义聚焦“两条直线的交点”核心知识点，系统讲解用解方程组求交点坐标、根据方程解的个数判定直线位置关系（相交、平行、重合），前承直线方程知识，后启位置关系应用，构建代数运算到几何直观的学习支架。 以导弹拦截情境导入，融合思考辨析、例题变式及跟进训练，提升数学运算与直观想象素养。直线系方程应用实例培养逻辑推理，课中助教师高效授课，课后小结与练习帮学生梳理知识，查漏补缺，强化知识掌握。

1.4　两条直线的交点 学习任务 核心素养 1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点) 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．(难点) 通过对两直线交点坐标的学习，提升数学运算、直观想象的数学素养． 中段导弹防御系统是用来对敌方弹道导弹进行探测和跟踪，然后发射拦截导弹，在敌方弹道导弹尚未到达目标之前，在空中对其进行拦截并将其摧毁．假若导弹的飞行路线是一条直线，拦截导弹的飞行路线也是直线，则被拦截的一瞬间即为两直线相交的过程． 那么，把上述问题放在平面直角坐标系中，如何求解两直线的交点坐标？ 知识点　直线的交点与直线的方程组解的关系 方程组 的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则两条直线相交． (　　) (2)若两条直线的斜率都存在且不等，则两条直线相交． (　　) (3)直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示经过直线A1x＋B1y＋C1＝0和直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的所有直线． (　　) (4)直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0有交点的等价条件是A1B2－A2B1≠0． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是(　　) A．(2，2) B．(1，1) C．(1，2) D．(2，1) C　[由得交点坐标为(1，2)，故选C．] 3．当0＜k＜1时，两条直线y＝x＋1，2x－y－k＋2＝0的交点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[联立两直线方程得它们的交点坐标为，因为0<k<1，所以k－1<0，因此点(k－1，k)在第二象限．] 类型1　两条直线的交点问题 【例1】　【链接教材P29例1】 判断下列直线l1与l2是否相交，若相交，求出它们的交点坐标． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3． [解]　法一：(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组有无数个解， 这表明直线l1和l2重合． (3)方程组无解， 这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2． 法二：＝＝， ∴l1与l2相交， 由得 故l1与l2的交点坐标为(3，－1)． (2)由＝＝，知l1与l2重合． (3)l2方程为2x＋y－3＝0， 由＝≠，知l1与l2平行． 【教材原题·P29例1】 分别判断下列直线l1与l2是否相交．若相交，求出它们交点的坐标： (1)l1：2x－y＝7，l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0，l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3． [解]　(1)因为方程组的解为 所以直线l1和l2相交，且交点坐标为(3，－1)． (2)因为方程组有无数组解，所以直线l1和l2重合． (3)因为方程组无解，所以l1∥l2． 　两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． [跟进训练] 1．若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(　　) A．　　　 B．(－∞，2) C． D．∪(2，＋∞) C　[法一：由题意知，直线l1过定点P(－1，2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2，0)、B(0，4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，因为kPA＝－，kPB＝2，所以－＜k＜2．故选C． 法二：由直线l1，l2有交点，得k≠－2． 由 得 又交点在第一象限内， 所以 解得－＜k＜2．故选C．] 类型2　直线恒过定点问题 【例2】　求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标． [证明]　法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0， 令m＝0，得x－3y－11＝0； 令m＝1，得x＋4y＋10＝0． 解方程组得两条直线的交点坐标为(2，－3)． 将点(2，－3)代入直线，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0． 这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)． 法二：将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0． 由于m取值的任意性，有 解得 所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)． 　解含有参数的直线恒过定点的问题 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线求出交点坐标，然后验证该交点就是题目中含参数直线所过的定点． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示直线必过定点(x0，y0)． [跟进训练] 2．不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过的定点坐标是________． (9，－4)　[法一：取m＝1，得直线y＝－4．取m＝，得直线x＝9． 故两直线的交点为(9，－4)，下面验证直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过点(9，－4)．将x＝9，y＝－4代入方程，左边＝(m－1)×9－4×(2m－1)＝m－5＝右边，故直线恒过定点(9，－4)． 法二：直线方程可变形为(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，∵对任意m该方程恒成立， ∴解得故直线恒过定点(9，－4)．] 类型3　过两条直线交点的直线系方程应用 【例3】　【链接教材P30例3】 求过两直线2x－3y－1＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 1．已知一点与斜率，如何求直线的方程？ [提示]　用点斜式写出直线的方程． 2．过两条直线2x－3y－1＝0与x＋y＋2＝0的交点的直线系方程是什么？ [提示]　2x－3y－1＋λ(x＋y＋2)＝0(不包括直线x＋y＋2＝0)． [解]　法一：解方程组 得所以两直线的交点坐标为(－1，－1)． 又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3． 故所求直线方程为y＋1＝－3， 即3x＋y＋4＝0． 法二：设所求直线方程为(2x－3y－1)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－1)＝0．(*) 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行， 所以有 得λ＝． 代入(*)式，得x＋y＋＝0，即3x＋y＋4＝0． [母题探究] 1．(变条件)本例中将“3x＋y－1＝0”改为“x＋3y－1＝0”，则如何求解？ [解]　由例题知直线2x－3y－1＝0和x＋y＋2＝0的交点坐标为(－1，－1)，直线l与x＋3y－1＝0平行，故斜率为－，所以所求直线的方程为y＋1＝－(x＋1)，即x＋3y＋4＝0． 2．(变条件)本例中若将“平行”改为“垂直”，又如何求解？ [解]　设所求直线方程为(2x－3y－1)＋λ(x＋y＋2)＝0， 即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－1)＝0， 由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直， 则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－， 所以所求直线方程为x－3y－2＝0． 【教材原题·P30例3】 已知直线l经过原点，且经过如下两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点，求直线l的方程． [解]　因为方程组的解为 所以两条直线2x＋3y＋8＝0和x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，从而由题意知直线l经过点(－1，－2)． 又直线l经过原点，所以直线l的方程为＝，即2x－y＝0． 　过两条直线交点的直线方程的求法 (1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． (2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线系方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程． 1．直线2x＋y＋8＝0和直线x＋y－1＝0的交点坐标是(　　) A．(－9，－10) B．(－9，10) C．(9，10) D．(9，－10) B　[解方程组得 故两直线的交点坐标为(－9，10)．] 2．(多选题)下列各组直线中，两直线相交的是(　　) A．y＝x＋2和y＝1 B．x－y＋1＝0和y＝x＋5 C．x＋my－1＝0(m≠2)和x＋2y－1＝0 D．2x＋3y＋1＝0和4x＋6y－1＝0 AC　[选项A：两直线显然相交；选项B：两直线平行；选项C：直线x＋my－1＝0过点(1，0)，直线x＋2y－1＝0过点(1，0)，故两直线相交；选项D：两直线平行．] 3．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于________． －　[由得 把(－1，－2)代入x＋ky＝0，解得k＝－．] 4．不论a取何值时，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过第________象限． 四　[方程可化为a(x＋2y)＋(－3x＋6)＝0， 由得又点(2，－1)在第四象限，故直线恒过第四象限．] 5．已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点M在第四象限，求实数m的取值范围． [解]　由得 ∴交点M的坐标为． ∵交点M在第四象限， ∴ 解得－1<m<． ∴m的取值范围是． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．两条直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0相交的充要条件是什么？ [提示]　方程组有唯一解，即A1B2－A2B1≠0． 2．过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程是什么？ [提示]　A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $