1.3 两条直线的平行与垂直(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

1.3　两条直线的平行与垂直 学习任务 核心素养 1．理解并掌握两条直线平行与重合的条件．(重点) 2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．(重点) 3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题．(重点、难点) 通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学素养． 有一天，著名魔术大师拿了一块长、宽都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把这块正方形的地毯改制成宽8分米、长21分米的矩形．地毯匠对魔术师说：“这不可能吧，正方形的面积是169平方分米，而矩形的面积只有168平方分米，除非裁去1平方分米．”魔术师拿出事先准备好的两张图，对地毯匠说：“你就按图(1)的尺寸把地毯分成四块，然后按图(2)的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你尽管放心做吧．”地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽8分米、长21分米．魔术师拿着改好的地毯满意地走了，而地毯匠还在纳闷哩，这是怎么回事呢？ (1)　　　　　 　　(2) 为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行与垂直． 知识点1　两条直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2k1＝k2且b1≠b2 l1∥l2两直线斜率都不存在 图示 如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？ [提示]　不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等． 1．直线3x＋y－a＝0与3x＋y＝0的位置关系是________． 平行或重合　[直线3x＋y－a＝0与3x＋y＝0的斜率都为－3，在y轴上的截距分别为a，0．若a＝0，则两直线重合；若a≠0，则两直线平行．] 知识点2　两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线斜率都存)k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0l1⊥l2 2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)斜率相等的两条直线(两直线不重合)一定平行． (　　) (2)只有斜率之积为－1的两条直线才垂直． (　　) (3)若两条直线垂直，则斜率乘积为－1． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)× 3．下列直线中，与直线l：y＝3x＋1垂直的是(　　) A．y＝－3x＋1 B．y＝3x－1 C．y＝x－1 D．y＝－x－1 D　[因为直线l：y＝3x＋1的斜率为3，则与直线l垂直的直线的斜率为－．] 类型1　两直线平行或垂直的判定 【例1】　【链接教材P23例2、P25例4】 判断下列各组中的直线l1与l2是否平行或垂直： (1)l1：3x－4y－2＝0，l2：6x－8y＋1＝0； (2)l1：3x＋2y－1＝0，l2：6x＋4y－2＝0； (3)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)； (4)l1经过点A(3，4)，B(3，100)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40)． [解]　(1)因为3×(－8)－(－4)×6＝0，而3×1－(－2)×6≠0，所以l1∥l2． (2)因为3×4－2×6＝0，而3×(－2)－(－1)×6＝0，所以l1，l2重合． (3)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1⊥l2． (4)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴．直线l2的斜率k2＝＝0，则l2∥x轴，故l1⊥l2． 【教材原题·P23例2、P25例4】 例2　判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)l1：y＝2x＋1，　l2：y＝2x－1； (2)l1：2x－y－7＝0，　l2：x＋2y－1＝0． [解]　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2． (1)由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝2， 所以k1＝k2． 又直线l1，l2在y轴上的截距分别为1和－1，所以l1与l2不重合， 从而l1∥l2． (2)由直线l1，l2的方程可知k1＝2，k2＝－， 所以k1≠k2，从而l1与l2不平行． 例4　(1)已知四点A(5，3)，B(10，6)，C(3，－4)，D(－6，11)，求证：AB⊥CD； (2)已知直线l1：3x＋5y－10＝0，l2：15x－9y＋8＝0，求证：l1⊥l2． [证明]　(1)由斜率公式，得 kAB＝＝，kCD＝＝－， 则kABkCD＝＝－1， 所以AB⊥CD． (2)由l1，l2的方程可知，它们的斜率k1＝－，k2＝＝， 从而k1k2＝＝－1， 所以l1⊥l2． 　1．判断两条直线平行的方法 (1)①若两条直线l1，l2的斜率都存在，将它们的方程都化成斜截式．如：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2． ②若两条直线l1，l2的斜率都不存在，将方程化成l1：x＝x1，l2：x＝x2，则x1≠x2l1∥l2． (2)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，由A1B2－A2B1＝0得到l1∥l2或l1，l2重合；排除两直线重合，就能判定两直线平行． 2．判断两条直线垂直的方法 (1) (2)若两条直线的方程均为一般式：l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1⊥l2A1A2＋B1B2＝0． [跟进训练] 1．判断下列各组中的直线l1与l2是否平行或垂直： (1)l1：4x＋2y－1＝0和l2：2x－y－2＝0； (2)l1：2x－3y＋4＝0和l2：3y－2x＋4＝0； (3)l1：2x－3y＋4＝0和l2：－4x＋6y－8＝0． [解]　(1)因为4×(－1)－2×2≠0，4×2＋2×(－1)≠0，所以l1，l2相交． (2)l2：3y－2x＋4＝0，可变形为2x－3y－4＝0， 所以2×(－3)－2×(－3)＝0， 又2×(－4)－4×2≠0，所以l1∥l2． (3)由题意知，－4×2＋(－3)×6≠0，l1与l2不垂直． 又2×6－(－3)×(－4)＝0， 2×(－8)－(－4)×4＝0， 所以l1，l2重合． 类型2　由平行或垂直关系求直线的方程 【例2】　【链接教材P23例3】 (1)求过点(－1，3)，且与直线l：3x＋4y－12＝0平行的直线l′的方程． (2)求与直线4x－3y＋5＝0垂直，且与两坐标轴围成的△AOB面积为6的直线方程． [解]　(1)法一：∵l的方程可化为y＝－x＋3， ∴l的斜率为－． ∵l′与l平行，∴l′的斜率为－． 又∵l′过点(－1，3)，由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0． 法二：由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)．将点(－1，3)代入上式得m＝－9． ∴直线l′的方程为3x＋4y－9＝0． (2)由题意可设所求直线方程为3x＋4y＋b＝0． 令x＝0，得y＝－，即可设A； 令y＝0，得x＝－，即B． 又∵△AOB面积为6，即OA·OB＝6， ∴··＝6，解得b＝±12， 故所求直线方程为3x＋4y＋12＝0或3x＋4y－12＝0． 【教材原题·P23例3】 求过点A(2，－3)，且与直线2x＋y－5＝0平行的直线的方程． [解]　已知直线的斜率是－2，因为所求直线与已知直线平行，所以所求直线的斜率也是－2． 根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为 y＋3＝－2(x－2)，即2x＋y－1＝0． 　1．根据平行关系求直线方程的方法 (1)若直线l与已知直线y＝kx＋b平行，则可设l的方程为y＝kx＋m(m≠b)，然后利用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程． (2)若直线l与已知直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)平行，则可设l的方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，然后用待定系数法求参数m，从而求出直线l的方程． 2．根据垂直关系求直线方程的方法 (1)若直线l的斜率存在且不为0，与已知直线y＝kx＋b垂直，则可设直线l的方程为y＝－x＋m(k≠0)，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程． (2)若直线l与已知直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)垂直，则可设l的方程为Bx－Ay＋m＝0，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程． [跟进训练] 2．已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求过点A且与直线l垂直的直线l1的方程． [解]　法一：因为＝－1，kl＝－， 所以＝， 故直线l1的方程为y－2＝(x－2)， 即4x－3y－2＝0． 法二：设所求直线l1的方程为4x－3y＋m＝0． 因为l1经过点A(2，2)，所以4×2－3×2＋m＝0，解得m＝－2．故l1的方程为4x－3y－2＝0． 3．求与直线5x＋6y＋9＝0平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是15的直线方程． [解]　法一：∵直线5x＋6y＋9＝0的斜率为－， ∴设所求直线方程为y＝－x＋b，令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝． 由题意，b>0，>0，∴×b×＝15，∴b＝5， 故所求直线方程为y＝－x＋5， 即5x＋6y－30＝0． 法二：与5x＋6y＋9＝0平行的直线可设为5x＋6y＋m＝0(m≠9)，则令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－． 由题意得故m<0，∴＝15，解得m＝－30， 故所求直线方程为5x＋6y－30＝0． 类型3　平行与垂直在平面几何中的应用 【例3】　【链接教材P25例5】 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0，0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t，2)，其中t＞0．试判断四边形OPQR的形状． [解]　由斜率公式得kOP＝＝t， kQR＝＝＝t， kOR＝＝－， kPQ＝＝＝－， 所以kOP＝kQR，kOR＝kPQ， 从而OP∥QR，OR∥PQ， 所以四边形OPQR为平行四边形． 又kOP·kOR＝－1， 所以OP⊥OR， 故四边形OPQR为矩形． 【教材原题·P25例5】 如图1-3-4，已知三角形的顶点为A(2，4)，B(1，－2)，C(－2，3)，求BC边上的高AD所在直线的方程． [解]　直线BC的斜率为 kBC＝＝－． 因为AD⊥BC， 所以kAD＝－＝． 根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为 y－4＝(x－2)， 即3x－5y＋14＝0． 　利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 [跟进训练] 4．已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)． [解]　设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0， 所以kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直，故AB，BC都不能作为直角梯形的直角腰． 若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD， 因为kBC＝0，所以直线CD的斜率不存在，从而有x＝3． 又kAD＝kBC，所以＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为(3，3)． 若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，因为kAD＝，kCD＝， 所以解得所以点D坐标为． 综上，点D坐标为(3，3)或． 1．(多选题)下列命题中，不正确的是(　　) A．斜率相等的直线一定平行 B．若两条不重合的直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等 C．直线l1：x＝1与直线l2：x＝2不平行 D．直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3平行 ABC　[A错误，斜率相等的直线还可能重合；B错误，当两条不重合的直线l1，l2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在；C错误，直线l1与l2的斜率都不存在，且1≠2，所以两直线平行；D正确，由于直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3的斜率分别为k1＝1－，k2＝－＝1－，则k1＝k2，又直线l1与l2不重合，所以l1∥l2．故选ABC．] 2．若过点A(2，－2)，B(5，0)的直线与过点P(2m，1)，Q(－1，m)的直线平行，则m的值为(　　) A．－1 B． C．2 D． B　[∵kAB＝＝， ∴kPQ＝＝， 解得m＝(经检验，符合题意)．] 3．过点(3，－1)与直线6x＋7y－12＝0垂直的直线方程为________． 7x－6y－27＝0　[直线6x＋7y－12＝0的斜率为－，则与该直线垂直的直线的斜率为． 所以所求直线方程为y＋1＝(x－3)，即7x－6y－27＝0．] 4．直线l1，l2的斜率分别是方程x2－3x－1＝0的两个根，则l1与l2的位置关系是________． 垂直　[设l1，l2的斜率分别为k1，k2，由根与系数的关系可得k1k2＝－1，所以l1⊥l2．] 5．已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0，1)，B(1，0)，C(3，2)，求第四个顶点D的坐标． [解]　设第四个顶点D的坐标为(x，y)， 因为AD⊥CD，AD∥BC， 所以kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC． 所以解得 所以第四个顶点D的坐标为(2，3)． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)平行的充要条件是什么？ [提示]　l1∥l2 2．两直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2垂直的充要条件是什么？ [提示]　l1⊥l2(两直线斜率都存在)k1k2＝－1． 3．与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)平行的直线的方程可设为什么？ [提示]　与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)平行的直线的方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)． 4．与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)垂直的直线的方程可设为什么？ [提示]　与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)垂直的直线的方程可设为Bx－Ay＋C1＝0． 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