1.2.3 直线的一般式方程(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

1.2.3　直线的一般式方程 学习任务 核心素养 1．掌握直线的一般式方程．(重点) 2．理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(重点、难点) 3．会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点) 通过学习直线方程的五种形式的相互转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的数学素养． 初中我们学习过二元一次方程，它的具体形式是Ax＋By＋C＝0．前面我们又学习了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)、斜截式：y＝kx＋b、两点式：＝和截距式：＝1．它们都可以化成为二元一次方程的形式，同时在一定条件下，这种形式也可以转化为斜截式和截距式，我们把Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)叫作直线的一般式方程，下面进入今天的学习． 知识点　直线的一般式方程 (1)定义：方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程，简称一般式． (2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示． (3)系数的几何意义： ①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； ②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． 当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？ [提示]　(1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线． (2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线． (3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线． (　　) (2)直线的其他形式的方程都可化为一般式． (　　) (3)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)√ 2．已知直线2x＋ay＋b＝0在x轴、y轴上的截距分别为－1，2，则a，b的值分别为(　　) A．－1，2 B．－2，2 C．2，－2 D．－2，－2 A　[y＝0时，x＝－＝－1，解得b＝2，当x＝0时，y＝－＝－＝2，解得a＝－1．] 3．直线3x－y＋1＝0的倾斜角为________． 60°　[把3x－y＋1＝0化成斜截式得y＝x＋，∴k＝，倾斜角为60°．] 类型1　直线的一般式方程与其他形式的互化 【例1】　【链接教材P17例5】 (1)已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距． (2)根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式． ①斜率是－，经过点A(8，－2)； ②经过点B(4，2)，平行于x轴； ③在x轴和y轴上的截距分别是，－3； ④经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)． [解]　(1)由l的一般式方程2x－3y＋6＝0得斜截式方程为y＝x＋2． 截距式方程为＝1． 由此可知，直线l的斜率为，在x轴、y轴上的截距分别为－3，2． (2)①由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0． ②由斜截式得y＝2，即y－2＝0． ③由截距式得＝1，即2x－y－3＝0． ④由两点式得＝，即x＋y－1＝0． 【教材原题·P17例5】 求直线l：3x＋5y－15＝0的斜率以及它在x轴、y轴上的截距，并作图． [解]　将直线l的方程3x＋5y－15＝0写成y＝－x＋3， 因此，直线l的斜率为k＝－． 在方程3x＋5y－15＝0中，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝5．所以，直线l在y轴上的截距为3，在x轴上的截距为5． 过两点(5，0)，(0，3)作直线，就得到直线l(图1-2-5)． 　1．求直线的一般式方程的方法 2．由直线的一般式方程转化为四种特殊形式时，一定要注意其运用的前提条件． [跟进训练] 1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． (1)斜率是且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1． [解]　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y＋3－5＝0． (2)由两点式方程可知，所求直线方程为＝，化为一般式方程为2x＋y－3＝0． (3)由截距式方程可得，所求直线方程为＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0． 类型2　直线过定点问题 【例2】　求直线l：(m－1)x－y＋2m＋1＝0所过的定点的坐标． [解]　法一：直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)， 由直线的点斜式方程可知直线l过定点(－2，3)． 法二：直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0． 令解得 ∴直线l过定点(－2，3)． 　直线恒过定点的求解策略 (1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标； (2)将方程变形，把x，y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点． [跟进训练] 2．不论m为何值，直线3x＋2y－12＝0过定点(　　) A． B． C． D． C　[整理直线方程3x＋2y－12＝0，得m＝0，故直线3x＋2y－12＝0过3x＋2y＝0与3x－2y＋12＝0的交点，联立方程解得x＝－2，y＝3，故直线3x＋2y－12＝0过定点．] 类型3　直线一般式方程的应用 【例3】　【链接教材P18例6】 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0． (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． 1．直线l：5ax－5y－a＋3＝0是否过定点？ [提示]　过定点． 2．若直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第二象限，k，b应满足什么条件？ [提示]　若直线y＝kx＋b(k≠0)不经过第二象限，则应满足k>0且b0． [解]　(1)证明：法一：将直线l的方程整理为y－＝a， ∴直线l的斜率为a，且过定点A，而点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限． 法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0． ∵上式对任意的a总成立， ∴必有即 即l过定点A． 而点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限． (2)直线OA的斜率为k＝＝3． 如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率akOA＝3，∴a3． [母题探究] 1．(变条件，变结论)本例中若直线在y轴的截距为2，求a的值．这时直线的一般式方程是什么？ [解]　把方程5ax－5y－a＋3＝0化成斜截式方程为y＝ax＋． 由条件可知＝2，解得a＝－7， 这时直线方程的一般式为7x＋y－2＝0． 2．(变条件，变结论)若直线l：5ax－5y－a＋3＝0的倾斜角为直线x－y＋3＝0的倾斜角的2倍，求直线l的方程． [解]　设直线x－y＋3＝0的倾斜角为α，由k＝tan α知，α＝60°，所以直线l的倾斜角为120°，斜率k＝tan 120°＝－． 又斜率k＝a，所以a＝－， 所以直线方程为5x＋5y－3－＝0． 【教材原题·P18例6】 设m为实数，若直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，根据下列条件分别确定m的值： (1)直线l在x轴上的截距是－3； (2)直线l的斜率是1． [解]　(1)令y＝0，得x＝2m－6． 由题意知2m－6＝－3， 解得m＝． (2)因为直线l的斜率存在，所以m≠0，于是直线l的方程化为y＝－x＋． 由题意知－＝1， 解得m＝－1． 　已知含参的直线的一般式方程求参数的值(范围)的步骤 1．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件(　　) A．bc＝0 B．a≠0 C．bc＝0且a≠0 D．a≠0且b＝c＝0 D　[y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足条件为b＝c＝0，a≠0．] 2．直线x－y－1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． B．2 C．1 D． D　[由题意得直线与坐标轴交点为(1，0)，(0，－1)，故三角形面积为．] 3．斜率为2，且经过点P(1，3)的直线的一般式方程为________． 2x－y＋1＝0　[由点斜式得y－3＝2(x－1)，整理得2x－y＋1＝0．] 4．(教材P19练习T3(1)改编)若直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a＝________． 1　[由题意知a≠0，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝，因为2＝，所以a＝1．] 5．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线． (1)求实数m的取值范围； (2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值． [解]　(1)由题意知m－2≠0，且m2－3m＋2≠0，解得m≠2． (2)由＝1，m≠2，得m＝0． 回顾本节内容，自我完成以下问题： 1．如何把直线的一般式方程化为斜截式与截距式？ [提示]　 一般式 斜截式 截距式 Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0) y＝－x－(B≠0) 2．平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)来表示吗？ [提示]　可以． 3．任何关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)都可以表示平面直角坐标系中的一条直线吗？ [提示]　可以． 方向向量与直线的参数方程 除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的． 如图，设直线l经过点P0(x0，y0)，v＝(m，n)是它的一个方向向量，P(x，y)是直线l上的任意一点，则向量与v共线．根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数t，使＝tv，即(x－x0，y－y0)＝t(m，n)， 所以 ① 在①中，实数t是对应点P的参变数，简称参数．由上可知，对于直线l上的任意一点P(x，y)，存在唯一实数t使①成立；反之，对于参数t的每一个确定的值，由①可以确定直线l上的一个点P(x，y)．我们把①称为直线的参数方程． 从运动学角度看，＝tv(t＞0)可以看成质点P从点P0出发，以速度v＝(m，n)作匀速直线运动，经过 时间t后的位移，因此，质点P的运动轨迹是射线P0M．类似地，你能刻画射线P0N吗？由以上讨论，你能说说方程①的运动学意义吗？ 如果直线l与坐标轴不垂直，那么mn≠0，由①可得 ＝t，＝t， 消去参数t，得 ＝， 即y－y0＝(x－x0)， 这样就得到直线l的点斜式方程． 从另外一个角度思考，因为直线l经过点P0(x0，y0)，且它的一个方向向量为v＝(m，n)，所以直线l的斜率k＝，所以直线l的方程为 y－y0＝(x－x0)． 想一想，在直线的参数方程中，(m，n)的几何意义是什么？ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $