1.1 直线的斜率与倾斜角(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（苏教版）

1.1　直线的斜率与倾斜角 学习任务 核心素养 1．理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点) 2．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点) 1．借助对倾斜角概念的学习，提升数学抽象的数学素养． 2．通过对斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养． 我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数多条直线a，b，c，…，我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？ 知识点1　直线的斜率 对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)． (1)如果x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，是一个定值，我们将其称为直线l的斜率． k＝(x1≠x2)． (2)如果x1＝x2，那么直线l的斜率不存在． (3)对于与x轴不垂直的直线l，它的斜率也可以看作k＝＝＝． 1．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是________． 　[由斜率公式可得＝1，解得m＝．] 知识点2　直线的倾斜角 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0 范围 {α|0α＜π} 作用 表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度 1．任意一条直线都有倾斜角吗？不同直线的倾斜角一定不相同吗？ [提示]　由倾斜角的定义可以知道，任意一条直线都有倾斜角；不同直线的倾斜角可能相同，如平行直线的倾斜角都是相同的． 知识点3　直线的倾斜角与斜率的关系 (1)当直线l与x轴垂直时，直线l的倾斜角为，斜率不存在； (2)当直线l与x轴不垂直时，直线l的斜率k与倾斜角α之间的关系为k＝tan αα≠． 2．所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？ [提示]　不是．若直线没有斜率，则其倾斜角为90°． 2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角α是(　　) A．0°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90° A　[∵k＝＝0，∴α＝0°．] 3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　) A． B． C．1 D． A　[由题意可知，k＝tan 30°＝．] 4．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应． (　　) (2)若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应． (　　) (3)若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等． (　　) (4)直线的倾斜角α的集合{α|0°α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 类型1　直线的倾斜角 【例1】　求图中各直线的倾斜角． (1)　　　　　　(2)　　　　　　　 (3) [解]　(1)如图①，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°． (2)如图②，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°． (3)如图③，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°， ∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°． ①　　　　　　　　　②　　　　　　　　③ 　求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°；当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°． ②注意直线倾斜角的取值范围是0°α＜180°． [跟进训练] 1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α　　　　　　　　　 B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α D　[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α． 故选D．] 类型2　直线的斜率 【例2】　【链接教材P6例1】 (1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　) A．1 B．5 C．－1 D．－5 (2)若A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)三点共线，则a的值为________． (3)如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率． (1)D　(2)4　[(1)∵过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，∴＝tan 135°＝－1，解得y＝－5． (2)由斜率公式得kAB＝＝2，因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，所以2＝，解得a＝4．] (3)[解]　直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，＝tan 30°＝＝tan 120°＝－． 【教材原题·P6例1】 如图1-1-4，直线l1，l2，l3都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3，2)，试计算直线l1，l2，l3的斜率． [解]　设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率，则k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0． 　解决斜率问题的方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用斜率公式k＝(x1≠x2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列式求解． [跟进训练] 2．设点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1，4)，直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________． 4　[依题意知，直线AC的斜率存在，且m≠－1． kAC＝＝＝－1，kBC＝＝，由题意得kAC＝3kBC，即－1＝3×，解得m＝4．] 类型3　直线的倾斜角和斜率的综合 【例3】　已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． [思路探究]　结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间．要特别注意，当l的倾斜角小于90°时，有kkPB；当l的倾斜角大于90°时，则有kkPA． [解]　如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1． (1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k－1或k1． (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是{α|45°α135°}． [母题探究] 1．(变条件)本例中，三点坐标不变，其他条件改为过B的直线l与线段AP有公共点，求直线l的斜率的取值范围． [解]　如例题中解图所示，根据斜率公式得kAB＝＝－，kBP＝＝1，∴直线l的斜率的取值范围为 2．(变条件)本例中，A，B两点坐标不变，其他条件去掉，在直线y＝－1上求一点P，使PA，PB的斜率互为相反数． [解]　∵点P在直线y＝－1上，∴可设点P(x，－1)．由条件可知kPA，kPB一定存在．由斜率公式得kPA＋kPB＝＝0，解得x＝．故所求点P坐标为． 　直线的倾斜角和斜率的关系 (1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)． (2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大． [跟进训练] 3．若点P(x，y)在以A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是________． ，1　[根据已知条件，可知点P(x，y)是点A，B，C围成的△ABC内一动点，那么所求的几何意义是过动点P(x，y)与定点M(1，2)的直线的斜率．由已知，得kAM＝，kBM＝1，kCM＝．利用图象(图略)，可得的取值范围是，1．] 1．(教材P6例1改编)已知直线经过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为(　　) A．3　　　　　　　　　 B．－2 C．2 D．不存在 B　[由直线的斜率公式，得k＝＝－2．] 2．若直线l经过M(2，3)，N(4，3)，则直线l的倾斜角为(　　) A．0° B．30° C．60° D．90° A　[因为M，N两点的纵坐标相等，所以直线l平行于x轴，所以直线l的倾斜角为0°．] 3．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(　　) A．0°α＜90° B．90°α＜180° C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180° C　[直线经过第二、四象限时，直线的倾斜角为钝角，故90°＜α＜180°，选C．] 4．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝________． －1　[kAB＝＝tan 45°＝1，即＝1，∴y＝－1．] 5．已知交于点M(8，6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5，3)，求这四条直线的倾斜角． [解]　l2的斜率为k2＝＝1，∴l2的倾斜角为45°， 由题意可得：l1的倾斜角为22.5°，l3的倾斜角为67.5°，l4的倾斜角为90°． 回顾本节内容，自我完成以下问题： 直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，它们有什么联系？ [提示]　 直线情况 平行于x轴 垂直于x轴 α的大小 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180° k的范围 0 k＞0 不存在 k＜0 k的增减情况 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $