专题02 常用逻辑用语（期中复习讲义）高一数学上学期湘教版2019

专题02 　常用逻辑用语（期中复习讲义） 【考试要求】 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义. 2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系. 3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定． 【命题规律】 以选择题或填空题为主要题型，一般为容易题或中等题，近两年的新课标高考题多为对充要条件的考查，少数涉及到命题及其真假的判断。 1．充分条件与必要条件 若p⇒q，则p是q的 条件，q是p的 条件 p是q的 条件 p⇒q且q⇏ p p是q的 条件 p⇏ q且q⇒p p是q的 条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏ q且q⇏ p 注意：充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若p是q的充分条件，则A⊆B. (2)若p是q的充分不必要条件，则AB. (3)若p是q的必要不充分条件，则BA. (4)若p是q的充要条件，则A＝B. 2．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号 表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) 类型一 命题及其关系 1．(多选题)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是(　　) A．p是真命题 B．¬p：∀x∈R，x＋2>0 C．¬p是真命题 D．¬p：∃x∈R，x＋2>0 2. 已知命题“若函数 在 上是增函数，则 ”，则下列说法正确的是( ) A. 否命题是“若函数 在 上是减函数，则 ” B. 逆命题是“若 ，则函数 在 上是增函数” C. 逆否命题是“若 ，则函数 在 上是减函数” D. 逆否命题是“若 ，则函数 在 上不是增函数” 3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x.则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 4.已知命题“∃x∈R，mx2－x＋1<0”是假命题，则实数m的取值范围是________． 练后感悟 1.求一个命题的其他三种命题时，需注意： （1） 对于不是“若 ，则 ”形式的命题，需先改写为“若 ，则 ”的形式。 （2）若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变。 2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例。 类型二 充分条件与必要条件的判断 1.[天津高考]已知 ，则“ ”是“ ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.[北京高考]设函数 的定义域为 ,则“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最大值为 ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．(多选题)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是(　　) A．a＝－1 B．a＝b C．b＝1 D．ab＝1 5．当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分条件．也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必要的．王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6. 已知 , ，则 是 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 总结反思 充分条件、必要条件的2种判断方法 1.定义法：根据 , 进行判断，适用于定义、定理判断性问题。 2.集合法：根据 , 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题。 类型三 充分条件与必要条件的应用 1.已知 ，非空集合 。若 是 的必要条件，则 的取值范围是 。 2.若集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|bx＞1}，其中b为实数． (1)若A是B的充要条件，则b＝________； (2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是________． 3.已知 , ，且 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. ） D. 总结反思 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决。一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．命题“∃x＞0，x2－2|x|＜0”的否定是(　　) A．∃x＞0，x2－2|x|≥0 B．∃x≤0，x2－2|x|≥0 C．∀x＞0，x2－2|x|≥0 D．∀x≤0，x2－2|x|≥0 2.（2024·新课标Ⅱ卷）已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x.则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 3．已知命题p：∃x∈(0，1)，ex－a≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．a>1 B．a≥e C．a≥1 D．a>e 4.已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝则实数m的取值范围是________． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|2a－1<x<a＋3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围为(　　) A．[－1，0] B．(－1，0) C．[4，＋∞) D．(4，＋∞) 2．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是“∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0” B．∀x∈R，2x>x2 C．若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为1 D．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件 3．命题“大于2的自然数是不等式x2>3的解”的否定为________________________；其否定为________(填“真命题”或“假命题”)． 4．已知“a≤x≤a2＋1”是“－2≤x≤5”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 5．若a，b都是正整数，使a＋b>ab成立的一个充分不必要条件是_________ ____． (写出一个即可) 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．(多选题)下列命题正确的是(　　) A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B．命题“任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x≥1，使得x2≥1” C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的必要不充分条件 D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 2．若“∃x∈，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是________． 3．已知p：|x－1|≤2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若p是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 　常用逻辑用语（期中复习讲义） 【考试要求】 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义. 2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系. 3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定． 【命题规律】 以选择题或填空题为主要题型，一般为容易题或中等题，近两年的新课标高考题多为对充要条件的考查，少数涉及到命题及其真假的判断。 1．充分条件与必要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏ p p是q的必要不充分条件 p⇏ q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏ q且q⇏ p 注意：充分、必要条件与对应集合之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若p是q的充分条件，则A⊆B. (2)若p是q的充分不必要条件，则AB. (3)若p是q的必要不充分条件，则BA. (4)若p是q的充要条件，则A＝B. 2．全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 类型一 命题及其关系 1．(多选题)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是(　　) A．p是真命题 B．¬p：∀x∈R，x＋2>0 C．¬p是真命题 D．¬p：∃x∈R，x＋2>0 解析：CD　当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由量词命题的否定可知，p：∀x∈R，x＋2≤0的否定为¬p：∃x∈R，x＋2>0，故D正确，B错误；¬p是真命题，故C正确． 2. 已知命题“若函数 在 上是增函数，则 ”，则下列说法正确的是( B ) A. 否命题是“若函数 在 上是减函数，则 ” B. 逆命题是“若 ，则函数 在 上是增函数” C. 逆否命题是“若 ，则函数 在 上是减函数” D. 逆否命题是“若 ，则函数 在 上不是增函数” [解析]原命题为“若函数 在 上是增函数，则 ”。则其逆命题为“若 ，则函数 在 上是增函数”；否命题为“若函数 在 上不是增函数，则 ”；逆否命题为“若 ，则函数 在 上不是增函数”。综上所述，B正确。 3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x.则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 解析：B　法一：因为∀x∈R，|x＋1|≥0，所以命题p为假命题，所以¬p为真命题．因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x(x2－1)＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题，故选B. 法二：在命题p中，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以命题p为假命题，¬p为真命题．在命题q中，因为立方根等于本身的实数有－1，0，1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题，故选B. 4.已知命题“∃x∈R，mx2－x＋1<0”是假命题，则实数m的取值范围是________． 解析：若命题“∃x∈R，mx2－x＋1<0”是假命题， 则“∀x∈R，mx2－x＋1≥0”为真命题，所以解得m≥. 答案： 练后感悟 1.求一个命题的其他三种命题时，需注意： （1） 对于不是“若 ，则 ”形式的命题，需先改写为“若 ，则 ”的形式。 （2）若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变。 2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例。 类型二 充分条件与必要条件的判断 1.[天津高考]已知 ，则“ ”是“ ”的( A ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]由题意，若 ，则 ，故充分性成立；若 ，则 或 ，推不出 ，故必要性不成立。所以“ ”是“ ”的充分不必要条件。故选A。 2.[北京高考]设函数 的定义域为 ,则“函数 在 上单调递增”是“函数 在 上的最大值为 ”的( A ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]前推后，一定成立。后推前，若 在 上的最大值为 ，找反例，开口向上对称轴为 的二次函数。故选A。 3.(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：B　法一：因为“a2＝b2”⇔“a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab”⇔“a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B. 法二：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2⇏ a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B. 4．(多选题)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是(　　) A．a＝－1 B．a＝b C．b＝1 D．ab＝1 解析：AC　由ab＋b－a－1＝0，可得(a＋1)(b－1)＝0，解得a＝－1或b＝1.故选AC. 5．当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分条件．也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必要的．王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件． 6. 已知 , ，则 是 的( B ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]由 知 ，所以 对应的 的范围为 ，由 知 ，所以 对应的 的范围为 ，显然 ，所以 是 的必要不充分条件。 总结反思 充分条件、必要条件的2种判断方法 1.定义法：根据 , 进行判断，适用于定义、定理判断性问题。 2.集合法：根据 , 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题。 类型三 充分条件与必要条件的应用 1.已知 ，非空集合 。若 是 的必要条件，则 的取值范围是 。 [解析]由 ，得 ，所以 ，由 是 的必要条件，知 ，则 所以 ，所以当 时， 是 的必要条件，即所求 的取值范围是 。 2.若集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|bx＞1}，其中b为实数． (1)若A是B的充要条件，则b＝________； (2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是________． 解析：(1)由已知可得A＝B， 则x＝2是方程bx＝1的解，解得b＝. (2)若A是B的充分不必要条件，则A→B，所以b＞0，且＜2，所以b＞， 则b的取值范围是. 答案：(1)　(2) 3.已知 , ，且 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. ） D. [解析] ，即 ,记为 。 ，记为 。因为 是 的充分不必要条件，所以 。所以 ，解得 。故选A。 总结反思 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决。一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．命题“∃x＞0，x2－2|x|＜0”的否定是(　　) A．∃x＞0，x2－2|x|≥0 B．∃x≤0，x2－2|x|≥0 C．∀x＞0，x2－2|x|≥0 D．∀x≤0，x2－2|x|≥0 解析：C　由存在量词命题的否定为全称量词命题知，∃x＞0，x2－2|x|＜0的否定为∀x＞0，x2－2|x|≥0.故选C. 2.（2024·新课标Ⅱ卷）已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x.则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 解析：B　法一：因为∀x∈R，|x＋1|≥0，所以命题p为假命题，所以¬p为真命题．因为x3＝x，所以x3－x＝0，所以x(x2－1)＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，解得x＝－1或x＝0或x＝1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，所以¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题，故选B. 法二：在命题p中，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以命题p为假命题，¬p为真命题．在命题q中，因为立方根等于本身的实数有－1，0，1，所以∃x>0，使得x3＝x，所以命题q为真命题，¬q为假命题，所以¬p和q都是真命题，故选B. 3．已知命题p：∃x∈(0，1)，ex－a≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是(　　) A．a>1 B．a≥e C．a≥1 D．a>e 解析：B　∵¬p：∀x∈(0，1)，ex－a<0为真命题，∴a≥e. 4.已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝则实数m的取值范围是________． 解析：当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0， 当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m， 由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m， 所以m≥. 答案： 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|2a－1<x<a＋3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围为(　　) A．[－1，0] B．(－1，0) C．[4，＋∞) D．(4，＋∞) 解析：A　法一：由题意，x2－x－2<0，解得－1<x<2，则A＝{x|－1<x<2}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集，所以且等号不同时成立，解得－1≤a≤0，所以a的取值范围为[－1，0]，故选A. 法二：集合A＝{x|－1<x<2}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集，当a＝－1时，B＝{x|－3<x<2}，符合题意，排除B，C，D，故选A. 2．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是“∃x∈[0，＋∞)，x3＋x<0” B．∀x∈R，2x>x2 C．若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为1 D．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件 解析：ACD　全称量词命题的否定是存在量词命题，易知A正确． B项中，当x＝2时，2x＝x2，则B错误． ∀x∈，tan x≤1，故实数m的最小值为1，C正确． D项中，由不等式性质a>1，b>1⇒ab>1，知D正确． 3．命题“大于2的自然数是不等式x2>3的解”的否定为________________________；其否定为________(填“真命题”或“假命题”)． 解析：改写量词，否定结论，易得命题的否定： 存在大于2的自然数不是不等式x2>3的解． 当x∈N且x>2时，x2>4恒成立，所以该命题是假命题． 答案：存在大于2的自然数不是不等式x2>3的解　假命题 4．已知“a≤x≤a2＋1”是“－2≤x≤5”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 解析：设A＝{x|a≤x≤a2＋1}，B＝[－2，5]. 依题设，AB， 则且等号不同时成立．解之得，－2<a≤2. 答案：(－2，2] 5．若a，b都是正整数，使a＋b>ab成立的一个充分不必要条件是_________ ____． (写出一个即可) 解析：因为a＋b>ab，所以(a－1)(b－1)<1.因为a，b∈N＋，所以(a－1)·(b－1)∈N，所以(a－1)(b－1)＝0，所以a＝1或b＝1.所以a＝1且b＝2是a＋b>ab成立的一个充分不必要条件． 答案：a＝1且b＝2(答案不唯一) 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．(多选题)下列命题正确的是(　　) A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B．命题“任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x≥1，使得x2≥1” C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的必要不充分条件 D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 解析：AD　对于A，<1，即－1<0，即<0，即>0，即a<0或a>1，所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，命题“任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x<1，使得x2≥1”，故B错误； 对于C，因为x≥2且y≥2，所以x2≥4，y2≥4，由不等式的性质得x2＋y2≥8，取x＝0，y＝3，不满足x≥2且y≥2，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的充分不必要条件，故C错误； 对于D，当a≠0，b＝0时，ab＝0，由ab≠0可得a≠0且b≠0，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确． 2．若“∃x∈，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是________． 解析：因为“∃x∈，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，所以“∀x∈，使得2x2－λx＋1≥0恒成立”是真命题，即“∀x∈，使得λ≤2x＋恒成立”是真命题． 令f(x)＝2x＋，x∈， 则f(x)＝2x＋， 当且仅当2x＝，即x＝∈时，上式取等号． 所以f(x)在x∈上的最小值为2，故λ≤2. 答案： 3．已知p：|x－1|≤2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若p是¬q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________． 解析：∵|x－1|≤2，∴－1≤x≤3， 即p：－1≤x≤3. ∵x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)， ∴x≤1－a或x≥1＋a， ∴¬q：1－a＜x＜1＋a， ∵p是¬q的必要不充分条件， ∴解得0＜a≤2， ∴实数a的取值范围是(0，2]. 答案：(0，2] 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $