专题04 函数及其表示（期中复习讲义）高一数学上学期湘教版2019

专题04 函数及其表示（期中复习讲义） 【考试要求】 1. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域； 2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数； 3. 了解简单的分段函数，并能简单应用。 【命题规律】 以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度。 1.函数的概念 （1）函数的定义 ① ， 是两个 。 ②对于 中 一元素 ， 中都有 元素 与之对应。 （2）定义域： 的取值范围 。 （3）值域：函数值的集合。 2.函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域 在函数 , 中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的 ；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。显然，值域是集合 的 。 （2）函数的三要素： 、 和 。 （3）函数的表示法 表示函数的常用方法： 、 和 。 （4）相等函数：如果两个函数的 和 完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据。 注意：值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定。 3.分段函数 若函数在其定义域的 子集上，因对应关系不同而分别用几个 来表示，这种函数称为分段函数。 注意：1.分段函数是一个函数，虽由几个部分构成，但它表示同一个函数； 2.分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 类型一 函数的概念及定义域 1. 下列各曲线表示的 与 之间的关系中， 不是 的函数的是( C ) A. B. C. D. 2．函数f(x)＝＋ln x2的定义域是 ． 3.函数y＝＋(x－1)0的定义域是 ． 4．已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，则函数g(x)＝f(2x)＋ 的定义域为 ． 5．若函数y ＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 6. 若函数 的定义域为 ，则 的值为 。 反思总结： 1．求给定函数的定义域，其实质就是每个含有变量的式子(运算)要有意义，转化为解不等式(组)的问题，对于实际问题，定义域还应使实际问题有意义． 2．若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n，解得x的范围即为f(g(x))的定义域． 类型二 函数的解析式 1.已知 ，求 的解析式； 2.已知 是一次函数且 ，求 的解析式； 3.定义在 内的函数 满足 ，求 的解析式。 4．已知f＝lg x，则f(x)＝ ． 5．已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝ ． 6．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝ ． 总结反思 函数解析式的求法 1.待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法。 2.换元法：已知复合函数 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围。 3.配凑法：由已知条件 ，可将 改写成关于 的表达式，然后以 替代 ，可得 的解析式。 4.消去法：已知 与 或 之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 。 类型三 分段函数 1.设函数 则 。 2.若函数 满足 ，则 的值等于( ) A. B. C. D. 3.设函数 若 ，则实数 的取值范围为 。 4.已知 ，函数 若 ，则 。 5.若 则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 6.定义新运算“★”；当 时， ；当 时， 。设函数 , ，则函数 的值域为 。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．(多选题)下列函数中，与函数y＝x＋2是同一个函数的是(　　) A．y＝2 B．y＝＋2 C．y＝＋2 D．y＝t＋2 2．(多选题)下列所给图形可以是函数图象的是(　　) 3．函数y＝的定义域为(　　) A．(－1，2) B．(－1，2] C．(1，2) D．(1，2] 4．(多选题)设下列函数的定义域为(0，＋∞)，则值域为(0，＋∞)的函数是(　　) A．y＝ex－x B．y＝ex＋ln x C．y＝ D．y＝ln (x＋1) 5．已知函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝的定义域是(　　) A．[0，1] B．(0，1) C．[0，1) D．(0，1] 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.已知函数 的值域为 ，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 2.已知函数 的定义域为 ,当 时， ，当 时， ，当 时， ，则 ( ) A. B. C. D. 3.已知函数 且 ，则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 2．已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞1的解集为 ． 3．已知函数f(x)＝与函数g(x)＝ln x的值域相同，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1] C．[－1，1) D．(－∞，－1]∪[2，＋∞) 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数及其表示（期中复习讲义） 【考试要求】 1. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域； 2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数； 3. 了解简单的分段函数，并能简单应用。 【命题规律】 以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有选择、填空题，又有解答题，中等偏上难度。 1.函数的概念 （1）函数的定义 ① ， 是两个非空数集。 ②对于 中任意一元素 ， 中都有唯一确定的元素 与之对应。 （2）定义域： 的取值范围 。 （3）值域：函数值的集合。 2.函数的有关概念 （1）函数的定义域、值域 在函数 , 中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域；与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域。显然，值域是集合 的子集。 （2）函数的三要素：定义域、值域和对应关系。 （3）函数的表示法 表示函数的常用方法：解析法、图象法和列表法。 （4）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据。 注意：值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定。 3.分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。 注意：1.分段函数是一个函数，虽由几个部分构成，但它表示同一个函数； 2.分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。 类型一 函数的概念及定义域 1. 下列各曲线表示的 与 之间的关系中， 不是 的函数的是( C ) A. B. C. D. [解析]由函数的定义可得C符合题意。 2．函数f(x)＝＋ln x2的定义域是 ． 解析：要使函数有意义，需满足即x≠0且x≠－1， 所以函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，0)∪(0，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(－1，0)∪(0，＋∞) 3.函数y＝＋(x－1)0的定义域是 ． 解析：要使函数有意义，需满足得 所以－3<x<2，且x≠1.故所求函数的定义域为(－3，1)∪(1，2)． 答案：(－3，1)∪(1，2) 4．已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，则函数g(x)＝f(2x)＋ 的定义域为 ． 解析：因为f(x)的定义域为[－2，2]，若g(x)有意义． 则满足解之得－1≤x≤0.所以函数g(x)的定义域为[－1，0]. 答案：[－1，0] 5．若函数y ＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：D　要使函数的定义域为R，则mx2＋4mx＋3≠0恒成立． ①当m＝0时，显然满足条件； ②当m≠0时，Δ＝(4m)2－4m×3<0，得0<m<. 由①②得0≤m<. 6. 若函数 的定义域为 ，则 的值为 。 [解析]要使函数 有意义，则 ，即函数 的定义域是不等式 的解集，所以不等式 的解集为 ，则 解得 所以 。 反思总结： 1．求给定函数的定义域，其实质就是每个含有变量的式子(运算)要有意义，转化为解不等式(组)的问题，对于实际问题，定义域还应使实际问题有意义． 2．若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n，解得x的范围即为f(g(x))的定义域． 类型二 函数的解析式 1.已知 ，求 的解析式； 解（配凑法）因为 ， 所以 , 。 2.已知 是一次函数且 ，求 的解析式； 解（待定系数法）因为 是一次函数， 设 ，所以 。即 ， 所以 解得 所以 的解析式是 。 3.定义在 内的函数 满足 ，求 的解析式。 [答案]解（消去法）当 时，有 。① 以 代替 得, 。② 由①②消去 得， , 。 4．已知f＝lg x，则f(x)＝ ． 解析：令t＝＋1(t>1)，则x＝， ∴f(t)＝lg ，即f(x)＝lg (x>1)． 答案：lg (x>1) 5．已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝ ． 解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝2，得c＝2， f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2ax＋a＋b＝x－1， 所以即所以f(x)＝x＋2. 答案：x＋2 6．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2f·－1，则f(x)＝ ． 解析：在f(x)＝2f·－1中， 将x换成，则换成x，得f＝2f(x)·－1， 由解得f(x)＝. 答案： 总结反思 函数解析式的求法 1.待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法。 2.换元法：已知复合函数 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围。 3.配凑法：由已知条件 ，可将 改写成关于 的表达式，然后以 替代 ，可得 的解析式。 4.消去法：已知 与 或 之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 。 类型三 分段函数 1.设函数 则 。 [解析]因为函数 所以 。 2.若函数 满足 ，则 的值等于( A ) A. B. C. D. [解析]由题意知， 在 上单调递增，在 上单调递减，其图象如图所示。若 ，则 , 不在同一单调区间内，又 ，所以一定有 , ），所以 ，即 ，解得 ，所以 。故选A。 3.设函数 若 ，则实数 的取值范围为 。 [解析]因为函数 所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，即 ，解得 ，即实数 的取值范围为 。 4.已知 ，函数 若 ，则 。 [解析]因为 ,所以 ，所以 ,解得 。 5.若 则不等式 的解集为( A ) A. B. C. D. [解析]当 时，由 ，得 ;当 时，由 ，得 。所以 的解集为 。故选A。 6.定义新运算“★”；当 时， ；当 时， 。设函数 , ，则函数 的值域为 。 [解析]由题意知， 当 时， ；当 时， 。故当 时， 。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．(多选题)下列函数中，与函数y＝x＋2是同一个函数的是(　　) A．y＝2 B．y＝＋2 C．y＝＋2 D．y＝t＋2 解析：BD　函数y＝x＋2的定义域为R. 对于A，y＝2的定义域为[－2，＋∞)，故A错误； 对于B，y＝＋2＝x＋2，定义域为R，解析式相同，故B正确； 对于C，y＝x≠0}，故C错误； 对于D，y＝t＋2，定义域为R，解析式相同，故D正确． 故选BD. 2．(多选题)下列所给图形可以是函数图象的是(　　) 解析：CD　图象A关于x轴对称，x>0时，每一个x对应2个y，图象B中x0对应2个y，所以A，B均不是函数图象；图象C，D可以是函数图象． 3．函数y＝的定义域为(　　) A．(－1，2) B．(－1，2] C．(1，2) D．(1，2] 解析：A　由得－1＜x＜2，所以函数y＝的定义域为(－1，2)．故选A. 4．(多选题)设下列函数的定义域为(0，＋∞)，则值域为(0，＋∞)的函数是(　　) A．y＝ex－x B．y＝ex＋ln x C．y＝ D．y＝ln (x＋1) 解析：CD　对于A，y′＝ex－1(x>0)，在(0，＋∞)上，y′>0， 所以函数y＝ex－x单调递增，其值域为(1，＋∞)，排除A； 对于B，函数y＝ex＋ln x，当x→0时，ln x→－∞，ex→1，故y→－∞，排除B； C项，当x>0时，y＝的值域为(0，＋∞)． D项，当x>0时，ln (x＋1)>0，值域为(0，＋∞)． 5．已知函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝的定义域是(　　) A．[0，1] B．(0，1) C．[0，1) D．(0，1] 解析：B　由于f(x)的定义域是[－1，1]，则解之得0<x<1， ∴函数g(x)的定义域为(0，1)． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.已知函数 的值域为 ，则 的取值范围为( A ) A. B. C. D. [解析]当 时， 的值域为 ，符合题意；当 时，要使 的值域为 ，则必须有 解得 。综上， 。 2.已知函数 的定义域为 ,当 时， ，当 时， ，当 时， ，则 ( B ) A. B. C. D. [解析]因为当 时， ，所以 ，所以 。因为当 时， ，所以 。又当 时， ，所以 。故选B。 3.已知函数 且 ，则不等式 的解集为( C ) A. B. C. D. [解析]由函数 可知当 时， ，所以 ，可得 ，解得 。不等式 即为 ，即 或 解得 或 ，故 。故选C。 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 解析：C　由题意得f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3. ∵log212>1，∴f(log212)＝＝＝6， 因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9. 2．已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞1的解集为 ． 解析：函数f(x)＝则由不等式f(x)＞1可得①，或②. 解①求得－1＜x≤0，解②求得0＜x＜.综上可得，不等式的解集为. 答案： 3．已知函数f(x)＝与函数g(x)＝ln x的值域相同，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1] C．[－1，1) D．(－∞，－1]∪[2，＋∞) 解析：B　由于g(x)＝ln x的值域为R， 所以f(x)＝的值域为R. 当x≥1时，f(x)＝3x≥3. 当x<1时，显然a＝1时，f(x)的值域不为R. 若1－a<0，f(x)>a2＋1－a＝2＋. 所以函数f(x)的值域不是R. 若1－a>0，即a<1时，f(x)<1－a＋a2 要使函数f(x)的值域为R，则1－a＋a2≥3. 解之得a≥2或a≤－1. 又a<1，从而实数a的取值范围为(－∞，－1]. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $