专题09 一元一次方程应用的六类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024七年级上册

专题09 一元一次方程应用的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一元一次方程解决销售问题 类型二、利用一元一次方程解决方案问题 类型三、利用一元一次方程解决配套问题 类型四、利用一元一次方程解决古代问题 类型五、利用一元一次方程解决几何问题 类型六、利用一元一次方程解决电费和水费问题 压轴专练 类型一、利用一元一次方程解决销售问题 一元一次方程解决销售问题总结 一、核心知识点 1.关键公式：利润=售价-成本；利润率=（利润÷成本）×100%；售价=标价×折扣（如8折即×0.8）。 2.等量关系：围绕利润、售价、成本、利润率等量，根据题目条件确定相等关系（如“总利润相等”“售价相同”）。 二、解题技巧 1.设元：通常设成本或标价为未知数x（根据问题所求或便于列方程选择）。 2.列方程：将已知量代入公式，按等量关系列出含x的一元一次方程。 3.求解与检验：解出x后，代入公式验证是否符合实际销售场景（如售价、利润为正数）。 例1．（24-25七年级上·山东青岛·期末）国庆节期间蔬菜加工公司共储存蔬菜吨，根据市场信息，将蔬菜直接销售，每吨可获利元；如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工吨，每吨可获利元；如果进行精加工，每天可加工吨，每吨可获利元．限于公司加工条件，在同一天中只能采用一种方式加工，计划要求必须在节日期间（7天）全部销售出去．为此公司制定了以下几种销售方案： 方案一：直接销售； 方案二：全部粗加工销售； 方案三：7天时间都进行精加工，未来得及加工的在市场上直接销售； (1)上述三种方案那种获利最多？请通过计算说明理由． (2)问：是否存在第四种方案可获得更多利润？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)方案三获利最多，见解析 (2)存在，销售后所获利润为元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用； （1）根据题意分别计算三种销售方案的利润，即可求解； （2）设天用于精加工，则天用于粗加工，根据题意得出，进而计算销售利润，即可求解． 【详解】（1）解：方案三获利最多，理由如下： 方案一：， 方案二：， 方案三：， ， 所以方案三获利最多； （2）存在，销售后所获利润为元 设天用于精加工，则天用于粗加工，由题意： ， 解得： 获利： 【变式1-1】（24-25七年级上·重庆永川·阶段练习）秋风起，桂花飘香，也就进入了吃螃蟹的最好季节，清代文人李渔把秋天称作“蟹秋”，意为错过了螃蟹，便是错过了整个秋季，小贤去水产市场采购大闸蟹，每只极品母蟹标价比至尊公蟹标价高出20元，在不优惠时花260元可购买4只极品母蟹和2只至尊公蟹． (1)极品母蟹和至尊公蟹的单价分别为多少元？ (2)商家在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：极品母蟹和至尊公蟹都按定价的8折销售； 方案二：买一只极品母蟹送一只至尊公蟹． 现小贤要购买极品母蟹40只，至尊公蟹a（）只． ①按方案一购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款_______元（用含a的式子表示）；按方案二购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款_______元（用含a的式子表示）． ②当时，通过计算，说明此时按那种方案购买比较合算？你能给出一种更省钱的方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)至尊公蟹的单价为元，则极品母蟹的单价为元. (2)①； ；②按方案二购买较为合算，见解析；最为省钱的购买方案是：先按方案二购买极品母蟹，再送只至尊公蟹，然后按方案一购买只至尊公蟹，付款元． 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）设至尊公蟹的单价为元，则极品母蟹的单价为元，根据在不优惠时花260元可购买4只极品母蟹和2只至尊公蟹建立方程求解即可； （2）①分别按照方案一和方案二的优惠方案，列式进行计算即可解答；②把代入（1）中的结论，进行计算即可解答；再结合两种优惠方案可同时使用，可先按方案二购买只极品母蟹，再送只至尊公蟹，然后按方案一购买只至尊公蟹，最后进行计算比较即可解答． 【详解】（1）解：设至尊公蟹的单价为元，则极品母蟹的单价为元，则 ， 解得：， ∴， 答：至尊公蟹的单价为元，则极品母蟹的单价为元． （2）解：①由题意得：按方案一购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款 元， 按方案二购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款 元， 按方案一购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款元；按方案二购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款元； ②当时， 按方案一购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款 （元）， 按方案二购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款 （元）， ， 按方案二购买较为合算； 若两种优惠方案可同时使用，则可先按方案二购买只极品母蟹，再送只至尊公蟹，然后按方案一购买只至尊公蟹， 理由： （元）， ， 最为省钱的购买方案是：先按方案二购买只极品母蟹，再送只至尊公蟹，然后按方案一购买只至尊公蟹． 【变式1-2】（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）2024年元旦期间，某商场打出促销广告，如下表所示： 优惠条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元 优惠办法 没有优惠，照原价付款 全部按照九折优惠 其中500元按九折优惠，超过500元部分按照八折优惠 (1)若甲一次性购买的商品原价为198元，则他需要付款____________元；若乙实际付款198元，则乙一次性购买的物品原价为____________元． (2)若甲购物一次性付款466元，则所购物品的原价是____________元． (3)若乙分两次购物，两次购物的原价之和是1000元，且第二次所购物品的原价高于第一次，两次实际付款共884元，则乙两次购物时，所购物品的原价分别是多少元？ 【答案】(1)198；198或220 (2)甲所购物品的原价是520元 (3)乙第一次所购物品的原价是170元或340元，第二次所购物品的原价是830元或660元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数乘法的应用，解题的关键是理解结算方式． （1）根据付款数结合结算方式进行求解即可； （2）设甲所购物品的原价是y元，先求出购买原价为500元商品时实际付款金额，比较后可得出，结合优惠条件即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）由第二次所购物品的原价高于第一次，可得出第二次所购物品的原价超过500元且第一次所购物品的原价低于500元，设乙第一次所购物品的原价是z元，则第二次所购物品的原价是元，分、两种情况列出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ∴甲一次性购买的商品原价为198元，则他需要付款198元； 当商品原价为198元，乙实际付款198元， 当商品原价高于200元时， ∵（元） 又， ∴（元） 所以，乙实际付款198元，则乙一次性购买的物品原价为198元或220元； 故答案为：198；198或220； （2）解：设甲所购物品的原价是y元， ∵， ∴． 根据题意得：， 解得：． 故答案为：520； （3）解：∵第二次所购物品的原价高于第一次， ∴第一次所购物品的原价低于500元，第二次所购物品的原价超过500元， 设乙第一次所购物品的原价是z元，则第二次所购物品的原价是元， ①当时，有， 解得：； ∴（元）； ②当时，有， 解得：， ∴（元） 答：乙第一次所购物品的原价是170元或340元，第二次所购物品的原价是830元或660元． 【变式1-3】（24-25七年级上·全国·期末）小王看到两个超市的促销信息如图所示． 甲超市促销信息栏 乙超市促销信息栏 全场8.8折 不超过200元，不给予优惠 超过200元而不大于500元，打9折 超过500元，500元的部分优惠，超过500元的部分打8折 (1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？ (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ (3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？ 【答案】(1)甲超市付款264元，乙超市付款270元 (2)元 (3)元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． （1）根据图中的信息，可以分别计算出在两家超市需要付款的金额； （2）根据题意和图中的信息，可以列出相应的方程，然后求解即可； （3）根据题意可以计算两种情况下的实际付款金额，然后作差即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 当一次性购物标价总额是元时， 在甲超市需付款：（元）， 在乙超市需付款：（元）， 答：甲超市付款元，乙超市付款元； （2）由图中的信息可知，只有当购物标价总额超过元时，两家超市才可能付款总金额相等， 设当标价总额是元时，甲、乙超市实付款一样， 由题意可得：， 解得， 答：当标价总额是元时，甲、乙超市实付款一样； （3）由题意可得， 小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元时， 需要付款：（元）， 小王一次性到乙超市购物标价元的商品， 需要付款：（元）， （元）， 答：可以节省元． 类型二、利用一元一次方程解决方案问题 一元一次方程解决方案问题总结 一、核心知识点 1.问题特征：需从两种及以上方案中选择最优（如省钱、高效），或找方案效果相等的临界点。 2.等量关系：关键是设未知数（如数量x），表示出不同方案的结果（如费用、工作量），再根据“结果相等”列方程。 二、解题技巧 1.设元：设影响方案结果的变量为x（如购买数量、使用时间）。 2.列方程：分别写出各方案的表达式，令其相等列方程，求解临界点x。 3.判断最优：根据x的实际取值范围，比较不同方案结果，确定最优解。 例2．（24-25七年级上·重庆·期末）在清明节间，小明和小亮等同学随家人一同到苏州去游玩，如图是购买景区门票时，小明与他爸爸的对话： 问题： (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)用哪种方式买票更省钱，说明其中的理由及能节省多少钱？ 【答案】(1)小明他们一共去了8个成人，4个学生； (2)购买团体票的方式买票更省钱，见解析，能节省35元钱． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、有理数混合运算的应用等知识点，读懂题意、列出方程和算式是解题的关键． （1）设小明他们一共去了x个成人，则去了个学生，再根据题意列一元一次方程求解即可； （2）购买15张团体票需元，再与350比较即可解答． 【详解】（1）解：设小明他们一共去了x个成人，则去了个学生， 根据题意得：，解得：， ∴（人）． 答：小明他们一共去了8个成人，4个学生． （2）解：若购买15张团体票，需（元）， ∵， ∴购买团体票的方式买票更省钱，能节省35元钱． 【变式2-1】（24-25七年级上·全国·期末）某旅游景点门票价格如下表：某校七年级（1）和（2）班共105人去游玩，其中七（1）班40多人不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1401元． 购票数量 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 (1)两班各有多少人？ (2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，能省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织游玩，作为组织者，你如何购票更省钱？请说明理由 【答案】(1)七年级（1）班47人，（2）班58人 (2)两个班联合起来，作为一个团体购票，可省351元 (3)直接购买51张票才最省钱，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设七年级（1）班x人，根据题意可以得出，从而可以解答本题； （2）用（1）中求得的费用减去两班联合起来，作为一个团体购票的费用即可求解； （3）计算购买51张票的费用与原来费用比较即可解决问题． 【详解】（1）解：设七年级（1）班x人， ， 解得，， ∴， 答：七年级（1）班47人，（2）班58人； （2）解：（元）， 答：两个班联合起来，作为一个团体购票，可省351元； （3）解：若七年级（1）班按照人数买票的花费为：（元）， 如果七年级（1）班买51张票的花费为：（元）， ∵， ∴七年级（1）班单独组织游玩，作为组织者直接购买51张票最省钱． 【变式2-2】（24-25七年级上·内蒙古包头·开学考试）某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次性缴费240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）． (1)王叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月两次．他选择哪种方式更划算？请你帮王叔叔算一算，选一选． (2)王叔叔一年内游泳达到多少次时，两种付费方式钱数相等？ 【答案】(1)王叔叔选择第二种方式更划算，理由见详解 (2)15 【分析】本题考查了方案选择问题及列方程解决问题，找到等量关系是解题的关键． （1）根据题意计算出两种方式的收费，然后进行比较即可； （2）设一年内游泳达到次时，根据两种付费方式，找出等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：王叔叔选择第二种方式更划算，理由如下： 方式一收费：（元）； 方式二收费：（元）； ∵， ∴王叔叔选择第二种方式更划算； （2）解：设一年内游泳达到次时，两种付费方式钱数相等， 根据题意，得， 解得， 所以，王叔叔一年内游泳达到15次时，两种付费方式钱数相等． 【变式2-3】（25-26七年级上·全国·期末）光明学校组织七年级学生开展研学活动，已知研学基地的票价为每张20元，由各班班长负责买票，下面是一班班长与售票员咨询的对话： 班长：你好!我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团体票有优惠吗？ 售票员：你好!购票人数超过40人的团体票有两种优惠方案，如下： 方案一：若每人都购票，每张门票打八折； 方案二：若打九折，有5人可免票． (1)一班学生人数为50，选择了方案一购票，那么一班购票需要多少元？ (2)二班选择了方案二，购票费用为702元，那么二班有多少人？ (3)三班的学生人数为，三班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问三班有多少人？ 【答案】(1)一班购票需要800元 (2)二班有44人 (3)三班有45人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据方案一列式计算即可； （2）设2班有x名学生，根据购票费用为702元，列出一元一次方程，解方程即可； （3）根据3班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知， ， 答：一班购票需要800元； （2）解：设二班有x人， 由题意，得 解得 答：二班有44人； （3）解：由题意，得 解得， 答：三班有45人． 类型三、利用一元一次方程解决配套问题 一元一次方程解决配套问题总结 一、核心知识点 1. 问题特征：多个部件按固定比例搭配（如1个桌面配4条桌腿），需使各部件数量符合配套比例，避免浪费。 2. 等量关系：根据配套比例，将某一部件数量乘以比例系数，与另一部件数量相等（如桌腿数量=4×桌面数量）。 二、解题技巧 1. 设元：设生产其中一种部件的数量或人数为x（优先设与比例相关的量）。 2. 列方程：根据配套比例，用含x的式子表示另一部件数量，再按等量关系列方程。 3. 验证：求解后需检查结果是否为整数（部件数量为整数），确保符合实际生产情况。 例3．（24-25七年级下·吉林长春·期末）某车间有工人人，每人每天可生产个螺母或个螺杆，已知一个螺杆和两个螺母配套为了使生产出来的螺母、螺杆刚好配套，应安排多少人生产螺母？ 【答案】应安排人生产螺母 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设应安排人生产螺母，则安排人生产螺杆，利用生产螺母的总数量是生产螺杆总数量的倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设应安排人生产螺母，则安排人生产螺杆， 根据题意得：， 解得：． 答：应安排人生产螺母． 【变式3-1】（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）“爱心暖人间，关爱老人我先行”志愿活动启动，学校假期组织52名同学做礼品盒送给敬老院的老人们．平均每人每天加工大礼品盒14个或小礼品盒10个．已知每个大礼品盒可以装3个小礼品盒，问需要分别安排多少名同学加工大、小礼品盒，才能使每天加工的大、小礼品盒刚好配套？ 【答案】需安排10名同学加工大礼品盒，42名同学加工小礼品盒，才能使每天加工的大小礼品盒刚好配套． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 设需安排x名同学加工大礼品盒，则名同学加工小礼品盒，由每个大礼品盒可以装3个小礼品盒从而得出等量关系，列出方程求出即可． 【详解】解：设需安排x名同学加工大礼品盒，则名同学加工小礼品盒， 根据题意得， ， ∴（名） 答：需安排10名同学加工大礼品盒，42名同学加工小礼品盒，才能使每天加工的大小礼品盒刚好配套． 【变式3-2】（25-26七年级上·山东东营·开学考试）某车间有20个工人生产甲、乙两种零件，每2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件8个或乙种零件6个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？ 【答案】应分配12人生产甲种零件，8人生产乙种零件，才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解．设应分配人生产甲种零件，则应分配人生产乙种零件，才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套，根据每人每天能加工甲种零件8个或乙种零件6个，可列方程求解． 【详解】解：设应分配人生产甲种零件，则应分配人生产乙种零件， 由题意得：， 解得， （人． 答：应分配12人生产甲种零件，8人生产乙种零件，才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套． 【变式3-3】（24-25七年级上·全国·期末）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． (1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】(1)生产盲盒A的工人人数为600人； (2)该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． （1）设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为人，根据该工厂共有1000名工人，列出方程，解方程即可； （2）设安排m人生产盲盒A，则安排人生产盲盒B，根据2个盲盒A和3个盲盒B组成，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为人， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：生产盲盒A的工人人数为600人； （2）解：设安排m人生产盲盒A，则安排人生产盲盒B， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：该工厂应该安排250名工人生产盲盒A，750名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套． 类型四、利用一元一次方程解决古代问题 一元一次方程解决古代问题总结 一、核心知识点 1.问题特征：源于古代典籍（如《九章算术》），多为鸡兔同笼、盈不足、工程、分配类，表述含古汉语，需转化为现代数学语言。 2.等量关系：抓住题目中不变的量（如总头数、总工程量、总钱数），以此建立相等关系。 二、解题技巧 1.译题：先将古汉语表述转化为现代汉语，明确已知量和未知量（如“上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗”译为具体数量关系）。 2.设元：设题目中关键未知量为x（如鸡的数量、每亩产量）。 3.列方程求解：根据等量关系列方程，求解后结合古代问题实际（如数量为正整数）验证合理性。 例4．（23-24七年级上·江苏苏州·开学考试）我国古代数学著作《算学启蒙》一书记载：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里；驽马先行一十二日，问良马几何追及之．其大意是：良马每天走240里，劣马每天走150里；劣马先走12天．问良马几天可以追上劣马？（列方程求解） 【答案】20天 【分析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，列方程解决问题． 设良马天可以追上劣马，根据等量关系：劣马每天跑的里数（良马跑的天数劣马先走的天数）良马每天跑的里数良马跑的天数，列方程即可． 【详解】解：设良马天可以追上劣马，则可列方程为 ． 解得：， 答：良马20天可以追上劣马． 【变式4-1】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）古希腊有一位伟大的数学家叫丢番图，他的墓碑留下了可贵的资料，碑文大意如下：他一生的 是幸福的童年， 是无忧无虑的青年．又过了一生的 ，丢番图结了婚．再过5年儿子出生，可这孩子在世界上的时间只有他父亲的一半．儿子去世以后，丢番图在悲痛中又活了4年，也去世了．你能算出丢番图活了多少岁吗？ 【答案】84岁 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据丢番图一生各阶段的时间占比和具体年数，找出等量关系列出方程求解． 设丢番图活了x岁，分别表示出童年、青年、结婚后到儿子出生前、儿子在世及悲痛中生活的时间，根据各阶段时间之和等于他的总年龄列方程求解即可． 【详解】解：设丢番图活了x岁，根据题意得： ， 解得：． 答：丢番图活了84岁． 【变式4-2】（24-25七年级上·全国·期末）古代名著《算术启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天跑里，慢马先走天，那么快马几天可以追上慢马？ 【答案】天 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设快马需要天可以追上慢马，则慢马走了天，根据“快马追上慢马时，两匹马所走的路程相同”列出方程求解即可．正确找到等量关系列出方程是解题关键． 【详解】解：设快马需要天可以追上慢马，则慢马走了天， 依题意得：， 解得：， 答：快马天可以追上慢马． 【变式4-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）跨学科  成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限制猴子的粮食，分早晚两次投喂，早上投喂的粮食是晚上的，猴子对于这个安排很不满意，于是老翁将晚上粮食中的2千克放在早上投喂，这样早上投喂的粮食是晚上的，猴子很满意这样的安排．则调整前早上和晚上分别投喂多少粮食？ 【答案】调整前早上投喂粮食6千克，晚上投喂粮食8千克 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设调整前晚上喂食千克，则早上喂食是千克，根据调整后早上的粮食是晚上的列出一元一次方程求解． 【详解】解：设调整前晚上投喂粮食千克，早上投喂粮食千克， 老翁将晚上粮食中的2千克放在早上投喂后，则晚上投喂粮食千克，早上投喂粮食千克． 根据题意得， 解得， 调整前早上投喂粮食（千克）， 答：调整前早上投喂粮食6千克，晚上投喂粮食8千克． 类型五、利用一元一次方程解决几何问题 一元一次方程解决几何问题总结 一、核心知识点 1.问题特征：围绕几何图形的边长、周长、面积、体积等计算，或图形间数量关系（如线段和差、角的倍分）出题。 2.等量关系：依据几何公式（如矩形周长=2×(长+宽)）或题目给出的关系（如“角A比角B大30°”）建立等式。 二、解题技巧 1.设元：设未知的边长、角度等为x（优先设与所求直接相关的量）。 2.列方程：用含x的式子表示其他相关量，代入几何公式或题目关系列方程。 3.验证：求解后检查结果是否符合几何实际（如边长、角度为正数，三角形三边满足三边关系）。 例5．（25-26七年级上·重庆·开学考试）长方形被分成六个正方形，现在只知道中间一个最小的正方形的面积为4，求长方形的面积． 【答案】长方形的面积为572 【分析】本题主要考查整式的运算及一元一次方程的应用，关键是设出未知数表示出正方形的边长即可．设第四个大正方形的边长为x，然后依次把其他正方形的边长表示出来，列方程求解即可． 【详解】解：∵，故最小的正方形的边长为2； ∴设第四个大正方形的边长为x（如图所示）． ∴， 解得：， ∴， ∴长方形的面积：． 【变式5-1】（2025七年级上·四川成都·专题练习）一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，长比高多，则这个正方形纸板的边长为为多少？ 【答案】正方形的边长 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据正方形边长相等这一条件列出方程． 设长方体的高为，根据正方形纸板边长相等的关系列出方程，求解出高的值，进而求出正方形纸板的边长． 【详解】解：设长方体的高为， 则， 解得：， ， 答：正方形的边长为6cm． 【变式5-2】（2025七年级上·四川成都·专题练习）如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的两部分．现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升．注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平．又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平． (1)水槽的容积是多少？ (2)注满水槽共需几分钟？ 【答案】(1)60升 (2)分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、长方体的体积，熟练掌握一元一次方程的应用是解题关键． （1）设右边每分钟注水升，根据3分钟之后，右边的水会流到左边，根据左边、右边的水的体积相等建立方程，解方程可得的值，再求出长方体水槽的长，然后利用长方体的体积公式计算即可得； （2）利用长方体水槽的体积除以左右两边注水速度即可得． 【详解】（1）解：设右边每分钟注水升， 由题意得：， ， ， ， ， ， （升， 18升立方厘米， （厘米）， （厘米）， （立方厘米）， 60000立方厘米升， 答：水槽的容积是60升． （2）解： （分钟）， 答：注满水槽共需分钟． 【变式5-3】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）为践行劳动教育，学校特意划出一块长方形土地供学生劳作．如图，长方形土地一面靠墙，现将不靠墙的三面向内推进x米修建小路，在小路内侧用篱笆围出一块长方形菜地． (1)当时，篱笆的长度为 米． (2)用x的代数式表示篱笆的长度．（列式并化简） (3)若篱笆长度为36米，求小路的宽度． 【答案】(1)32 (2)米 (3)1米 【分析】（1）根据图形列式计算即可； （2）根据图形列出代数式即可； （3）根据篱笆长度为米列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（米）， 答：篱笆的长度为米； （2）解：米， 答：篱笆的长度为米； （3）解：当篱笆长度是米时，根据解析（2）可得： ， 解得：， 答：小路的宽度为米． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，数形结合，利用方程思想解决问题． 类型六、利用一元一次方程解决电费和水费问题 一元一次方程解决水电费用问题总结 一、核心知识点 1. 问题特征：多为阶梯收费（如用电量分档计价：0-200度0.5元/度，超200度0.6元/度），需根据用量判断所属档位，计算总费用。 2. 等量关系：总费用=各档位用量×对应单价之和，根据“总费用已知”或“两方案费用相等”建立等式。 二、解题技巧 1. 设元：设总用量为x（如用电量x度、用水量x吨），先判断x可能所属档位。 2. 列方程：若x在某档位内，直接用该档位单价列方程；若跨档位，分段表示费用后求和列方程。 3. 验证：求解后确认x是否符合所设档位，避免档位判断错误。 例6．（24-25七年级上·全国·期末）节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？ (2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 【答案】(1)用水在立方米之间的收费标准元/立方米 (2)他家8月份的用水量是32立方米 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解三级阶梯水价收费标准是重点，根据等量关系列方程求解是关键． （1）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以，根据方程即可求出a的值； （2）先根据第（1）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． 答：用水在立方米之间的收费标准元/立方米； （2）当用水量为30立方米时，缴费元， 小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元， 小明家去年8月份用水量超过30立方米， 设他家8月份的用水量是x立方米． 由题意得：， 解得． 答：他家8月份的用水量是32立方米． 【变式6-1】（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）阶梯收水费可以促进节约用水、提高水资源利用效率、增强全民节水意识，并推动节能减排．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费． 月用水量不超过40时，按2.4元/计费； 月用水量超过40时，其中的40仍按2.4元/计费，超过部分按3元/计费． (1)王林家九月份用水53，他家应交多少元水费？ (2)王林家十月份交水费186元，他家这个月的用水量为多少立方米？ 【答案】(1)他家应交135元水费 (2)王林家十月份的用水量为70立方米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，水费问题，以及有理数混合运算的实际应用． （1）根据题意计算出九月份的用水费用即可； （2）设王林家十月份的用水量为x立方米，根据题意列出关于x 的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）． 答：他家应交135元水费； （2）解：设王林家十月份的用水量为x立方米， ∵（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 答：王林家十月份的用水量为70立方米． 【变式6-2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）某市农电公司收电费标准是阶梯型收费，不超过度电，每度电收费元；超过度电，但不超过度电的部分收费是每度电收费元；超过度电的部分收费是每度电元，小明家本月用电度． (1)当时，求出小明家交电费多少元？当时，求出小明家交电费多少元？（用含的代数式表示） (2)若小明家本月平均每度电收费元，求的值． 【答案】(1)当时，小明家应交电费元；当时，小明家应交电费元 (2)的值为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出小明家应交电费金额；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用总价单价数量，结合收费标准，即可用含的代数式表示出小明家应交电费金额； （2）分及两种情况考虑，根据小明家本月平均每度电收费元，可列出关于的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）根据题意得：当时， 小明家应交电费元； 当时， 小明家应交电费元； （2）当时，， 解得：不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：的值为． 【变式6-3】（24-25七年级上·四川资阳·期中）为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市每户居民用水收费价格表为：价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)若该户居民2月份用水，则应交水费_____元； (2)若该户居民3月份用水，则应交水费_____元； (3)若该户居民4月缴了32元水费，则该户居民4月用水_____； (4)若该户居民5月份用水，则5月份应交多少水费（用含x的式子表示）． 【答案】(1)20 (2)44 (3) (4)或元 【分析】本题主要考查根据实际问题列出代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出不同情况下的代数式是解题关键． （1）根据题意，的用水应该分两部分进行缴费，按照题意分别算出最后相加即可； （2）根据题意，的用水应该分三部分进行缴费，按照题意分别算出最后相加即可； （3）根据题意可得该户居民4月用水超出，设该户居民4月用水，根据题意，列出方程，即可求解； （4）根据题意，分两种情况：按照相应的收费标准列出代数式即可． 【详解】（1）解：该户居民2月份用水，则应交水费∶ 元； 故答案为：20 （2）解：该户居民3月份用水，则应交水费∶ 元； 故答案为：44 （3）解：∵用水，则应交水费∶元元， ∴该户居民4月用水超出， 设该户居民4月用水，根据题意得： ， 解得：， 即该户居民4月用水； 故答案为：； （4）解：该户居民5月份用水， 当时，则5月份应交元； 当时，则5月份应交元； 综上所述，5月份应交水费元或元． 一、单选题 1．（25-26七年级上·河南·开学考试）商家获得的利润按照如下公式计算：利润售价进价售价税率，若税率由调整为，且商品的进价和利润都未改变，则商品的售价是原来的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设原售价为，现售价为，进价为，利润为，根据利润公式，分别列出税率调整前后的方程，联立求解与的比值即可，根据所给等量关系得到原来的售价和实际售价的代数式并读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原售价为，现售价为，进价为，利润为， 原税率时：， 整理得：， 新税率时：， 整理得：， 则， 故选：． 2．（24-25七年级上·全国·期末）《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题：今有一群人共买物，人出九，盈六；人出六，不足三，问人数几何？设共有人，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据人数不变，即可得出关于y的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得． 故选：A． 3．（24-25七年级下·福建福州·期末）把1－9这9个数填入的正方形方格中，不管是把横着的3个数相加，还是把竖着的3个数相加，或者把斜着的3个数相加，3个数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数的“九宫格”，其中x的值为（   ） A．1 B．3 C．4 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程进行求解即可，正确识图是解题的关键． 【详解】解∶根据题意，得， 解得， 故选∶A． 二、填空题 4．（25-26七年级上·四川乐山·开学考试）六年级举行速算比赛，答对一道题得10分，答错一道题扣2分，小明同学抢答了10道题，最后得分76分．他答对了 道． 【答案】8 【分析】本题考查了一元一次方程应用．熟练掌握积分问题是解题的关键． 设答对了x道题，根据得分减去扣分等于总分列方程解答． 【详解】解：设答对了x道题，则答错了道题， 依题意得， 解得， 他答对了8道题． 故答案为：8． 5．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这批服装按标价的8折销售．若打折后每件服装仍能获利40元，设这批服装每件的标价为x元，则由题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列方程，根据折扣价等于原价乘以折扣，利润等于售价减去进价，列出方程即可． 【详解】解：设这批服装每件的标价为x元，则由题意可列方程为； 故答案为：． 6．（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）如图所示，已知长方形的长，内有边长相等的小正方形和小正方形，其重叠部分为长方形，设小正方形边长为a，则的长为 （用a的代数式表示），若长方形的宽，长方形的周长为8，则图中阴影部分周长和为 ．    【答案】 / 20 【分析】本题考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用．设小正方形的边长为a，可得出和的长，再根据长方形的周长为8，可建立关于a的方程求解，进而可求阴影部分周长． 【详解】解：根据题意得：，， ∵， ∴， ∴； 根据题意得：， ∵， ∴，，， ∴， ∵长方形的周长为8， ∴， 即， ∴， ∴图中阴影部分周长和为 ． 故答案为：；20 三、解答题 7．（24-25七年级下·山东聊城·期中）古文有一记载：今有共买物，人出六，盈四；人出四，不足四．问人数、物价各几何．大意为：若干人共同买一个物品．如果每人付6元，那么多4元；如果每人付4元，那么差4元．问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元． 【答案】4人，20元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握利用方程解决实际问题的基本思路，设、列、解、答是解题的关键．设有x人，则物品的价值可表示为或，再列方程，解方程即可． 【详解】解：设有x人， 根据题意得，， 解得， 物价：（元）， 答：有4人共同买这件物品，这件物品的价格为20元． 8．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？ 【答案】(1)安排木材制作桌面，则安排制作桌腿 (2)每张餐桌的进价是500元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设安排木材制作桌面，则安排制作桌腿，根据一个桌面配4个桌腿列出方程求解即可； （2）设每张餐桌的进价是y元，则每张餐桌的售价为元，再根据销售额等于售价乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排木材制作桌面，则安排制作桌腿， 由题意得， 解得， ∴， 答：安排木材制作桌面，则安排制作桌腿； （2）解；设每张餐桌的进价是y元， 由题意得，， 解得， 答：每张餐桌的进价是500元． 9．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”和“妮妮”均按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是5500元，求m的值？ 【答案】(1)购进“滨滨”400个，购进“妮妮”600个 (2)100 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用．需要准确梳理数量关系，将实际问题转化为数学方程求解，解题的关键是由数量关系建立等式． （1）设购进“滨滨”的个数为未知数，根据购进两种冰箱贴的总数以及总花费列出方程求解． （2）先分别计算出按标价销售和打折销售的收入，再根据利润的关系列出方程求解． 【详解】（1）解：设购进“滨滨”x个， 因为购进“滨滨”和“妮妮”一共1000个， 所以购进“妮妮”个． 所以， 解得：， 则购进“妮妮”的个数为：（个）． 答：购进“滨滨”400个，购进“妮妮”600个． （2）解：当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个时， 这部分的收入为元． “滨滨”购进400个，卖出m个后，剩余个， 剩余的“滨滨”按八折出售，售价为元/个， 这部分收入为元． “妮妮”购进600个，卖出m个后，剩余个， 剩余的“妮妮”按八折出售，售价为元/个， 这部分收入为元． 所以， 解得：． 10．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，长方形中，已知，，且点E是边的中点，点F是以每秒2个单位的速度从点C出发沿射线方向运动的一个动点． (1)当，求四边形面积．． (2)求点F运动多长时间时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一． 【答案】(1) (2)点运动1.5秒或7.5秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）根据题意表示出各边长进而得出答案； （2）分别利用当在线段上时，以及当在射线上时，分别得出答案． 【详解】（1）解：，，且点是边的中点，， ，， 四边形面积为； （2）解：如图，当在线段上时，设秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一， 则， ， 解得：， 如图，当在射线上时，设秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一， 则 ， 解得：， 答：点运动1.5秒或7.5秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一． 11．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）孝义市“携程旅游百事通”旅行社将带领一批新青年进行研学旅行，本次研学旅行的最后一站是革命圣地——延安，请根据下表信息，回答下列问题． 选择最省钱的租车方案 背景 此次延安之旅共计1日，由旅行社联系大巴车接送大家往返于西安与延安． 信息1 大巴车载客量：49人，小客车载客量：29人，注：载客量均包含司机． 信息2 小客车每辆每天的租金比大客车便宜400元，租用2辆大客车和5辆小客车共需支付租金5700元；每辆车均有一名司机． 信息3 方案一：全部租用小客车（会有一辆车空出16个座位，其余均坐满）； 方案二：全部租用大客车（刚好坐满，且租车量比方案一少两辆）； 方案三：两种型号组合租用． 问题解决 任务1 求大客车和小客车每辆每天的租金． 任务2 求旅行社中参与此次延安1日游活动的游客人数． 任务3 分别计算出不同方案所需的租金，比较并选出最省钱的方案． 【答案】任务1：1100元，700元 任务2：96人 任务3：方案二最省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 对于任务1：设大客车和小客车每辆每天的租金，再根据总租金等于5700列出方程，求出解即可； 对于任务2：设租用了a辆小客车，则租用了辆大客车，根据总人数相等列出方程，求出解； 对于任务3：分别求出三种方案的租金，再比较即可. 【详解】解：任务1：设大客车每辆每天的租金为x元，小客车每辆每天的租金为元，根据题意，得 ， 解得， 则. 所以大客车和小客车每辆每天的租金是1100元，700元； 任务2：设租用了a辆小客车，则租用了辆大客车，根据题意，得 ， 解得， 则（人）. 所以旅行社中参加此次延安1日游活动的游客人数是96人； 任务3：方案一：（元）； 方案二：（元）； 方案三：需要1辆大客车和2辆小客车，即（元）， 可知， 所以选择方案二最省钱. 12．（24-25七年级上·广西南宁·期中）某出租车公司推出专车和快车两种出租车，它们的收费方式如下： 专车：千米以内收费元，超过千米的部分每千米收费元，不收其他费用； 快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程千米；里程大于千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过千米的，超出的部分每千米加收元． (1)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付费用多少元？ (2)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付的费用多少元（用含的式子表示）？ (3)如果乘车路程是千米时，使用快车出行的费用比使用专车出行省4元，求的值． 【答案】(1)使用专车、快车出行各需支付费用元、元； (2)使用专车、快车出行各需支付的费用元、元； (3)的值为或 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，列代数式，一元一次方程的应用，根据题意正确列出代数式和一元一次方程是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列代数式即可； （3）分三种情况讨论：当时，不符合题意；当时，得到，求出；当时，得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：使用专车出行需支付费用为（元） 使用快车出行需支付费用为（元）， 答：使用专车、快车出行各需支付费用元、元； （2）解：当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元）， 答：使用专车、快车出行各需支付的费用元、元； （3）解：当时， 使用专车出行需支付的费用为元， 使用快车出行需支付的费用最少为元， 元， 不符合题意； 当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元） ， 解得； 当时， 使用专车出行需支付的费用为（元）， 使用快车出行需支付的费用为（元）， ， 解得， 综上所述，的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一元一次方程应用的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用一元一次方程解决销售问题 类型二、利用一元一次方程解决方案问题 类型三、利用一元一次方程解决配套问题 类型四、利用一元一次方程解决古代问题 类型五、利用一元一次方程解决几何问题 类型六、利用一元一次方程解决电费和水费问题 压轴专练 类型一、利用一元一次方程解决销售问题 一元一次方程解决销售问题总结 一、核心知识点 1.关键公式：利润=售价-成本；利润率=（利润÷成本）×100%；售价=标价×折扣（如8折即×0.8）。 2.等量关系：围绕利润、售价、成本、利润率等量，根据题目条件确定相等关系（如“总利润相等”“售价相同”）。 二、解题技巧 1.设元：通常设成本或标价为未知数x（根据问题所求或便于列方程选择）。 2.列方程：将已知量代入公式，按等量关系列出含x的一元一次方程。 3.求解与检验：解出x后，代入公式验证是否符合实际销售场景（如售价、利润为正数）。 例1．（24-25七年级上·山东青岛·期末）国庆节期间蔬菜加工公司共储存蔬菜吨，根据市场信息，将蔬菜直接销售，每吨可获利元；如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工吨，每吨可获利元；如果进行精加工，每天可加工吨，每吨可获利元．限于公司加工条件，在同一天中只能采用一种方式加工，计划要求必须在节日期间（7天）全部销售出去．为此公司制定了以下几种销售方案： 方案一：直接销售； 方案二：全部粗加工销售； 方案三：7天时间都进行精加工，未来得及加工的在市场上直接销售； (1)上述三种方案那种获利最多？请通过计算说明理由． (2)问：是否存在第四种方案可获得更多利润？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（24-25七年级上·重庆永川·阶段练习）秋风起，桂花飘香，也就进入了吃螃蟹的最好季节，清代文人李渔把秋天称作“蟹秋”，意为错过了螃蟹，便是错过了整个秋季，小贤去水产市场采购大闸蟹，每只极品母蟹标价比至尊公蟹标价高出20元，在不优惠时花260元可购买4只极品母蟹和2只至尊公蟹． (1)极品母蟹和至尊公蟹的单价分别为多少元？ (2)商家在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案： 方案一：极品母蟹和至尊公蟹都按定价的8折销售； 方案二：买一只极品母蟹送一只至尊公蟹． 现小贤要购买极品母蟹40只，至尊公蟹a（）只． ①按方案一购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款_______元（用含a的式子表示）；按方案二购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款_______元（用含a的式子表示）． ②当时，通过计算，说明此时按那种方案购买比较合算？你能给出一种更省钱的方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？ 【变式1-2】（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）2024年元旦期间，某商场打出促销广告，如下表所示： 优惠条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元 优惠办法 没有优惠，照原价付款 全部按照九折优惠 其中500元按九折优惠，超过500元部分按照八折优惠 (1)若甲一次性购买的商品原价为198元，则他需要付款____________元；若乙实际付款198元，则乙一次性购买的物品原价为____________元． (2)若甲购物一次性付款466元，则所购物品的原价是____________元． (3)若乙分两次购物，两次购物的原价之和是1000元，且第二次所购物品的原价高于第一次，两次实际付款共884元，则乙两次购物时，所购物品的原价分别是多少元？ 【变式1-3】（24-25七年级上·全国·期末）小王看到两个超市的促销信息如图所示． 甲超市促销信息栏 乙超市促销信息栏 全场8.8折 不超过200元，不给予优惠 超过200元而不大于500元，打9折 超过500元，500元的部分优惠，超过500元的部分打8折 (1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？ (2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？ (3)小王两次到乙超市分别购物标价198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多少元？ 类型二、利用一元一次方程解决方案问题 一元一次方程解决方案问题总结 一、核心知识点 1.问题特征：需从两种及以上方案中选择最优（如省钱、高效），或找方案效果相等的临界点。 2.等量关系：关键是设未知数（如数量x），表示出不同方案的结果（如费用、工作量），再根据“结果相等”列方程。 二、解题技巧 1.设元：设影响方案结果的变量为x（如购买数量、使用时间）。 2.列方程：分别写出各方案的表达式，令其相等列方程，求解临界点x。 3.判断最优：根据x的实际取值范围，比较不同方案结果，确定最优解。 例2．（24-25七年级上·重庆·期末）在清明节间，小明和小亮等同学随家人一同到苏州去游玩，如图是购买景区门票时，小明与他爸爸的对话： 问题： (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)用哪种方式买票更省钱，说明其中的理由及能节省多少钱？ 【变式2-1】（24-25七年级上·全国·期末）某旅游景点门票价格如下表：某校七年级（1）和（2）班共105人去游玩，其中七（1）班40多人不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1401元． 购票数量 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 (1)两班各有多少人？ (2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，能省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织游玩，作为组织者，你如何购票更省钱？请说明理由 【变式2-2】（24-25七年级上·内蒙古包头·开学考试）某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次性缴费240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）． (1)王叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月两次．他选择哪种方式更划算？请你帮王叔叔算一算，选一选． (2)王叔叔一年内游泳达到多少次时，两种付费方式钱数相等？ 【变式2-3】（25-26七年级上·全国·期末）光明学校组织七年级学生开展研学活动，已知研学基地的票价为每张20元，由各班班长负责买票，下面是一班班长与售票员咨询的对话： 班长：你好!我们每个班的学生人数都超过40人，请问购买团体票有优惠吗？ 售票员：你好!购票人数超过40人的团体票有两种优惠方案，如下： 方案一：若每人都购票，每张门票打八折； 方案二：若打九折，有5人可免票． (1)一班学生人数为50，选择了方案一购票，那么一班购票需要多少元？ (2)二班选择了方案二，购票费用为702元，那么二班有多少人？ (3)三班的学生人数为，三班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问三班有多少人？ 类型三、利用一元一次方程解决配套问题 一元一次方程解决配套问题总结 一、核心知识点 1. 问题特征：多个部件按固定比例搭配（如1个桌面配4条桌腿），需使各部件数量符合配套比例，避免浪费。 2. 等量关系：根据配套比例，将某一部件数量乘以比例系数，与另一部件数量相等（如桌腿数量=4×桌面数量）。 二、解题技巧 1. 设元：设生产其中一种部件的数量或人数为x（优先设与比例相关的量）。 2. 列方程：根据配套比例，用含x的式子表示另一部件数量，再按等量关系列方程。 3. 验证：求解后需检查结果是否为整数（部件数量为整数），确保符合实际生产情况。 例3．（24-25七年级下·吉林长春·期末）某车间有工人人，每人每天可生产个螺母或个螺杆，已知一个螺杆和两个螺母配套为了使生产出来的螺母、螺杆刚好配套，应安排多少人生产螺母？ 【变式3-1】（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）“爱心暖人间，关爱老人我先行”志愿活动启动，学校假期组织52名同学做礼品盒送给敬老院的老人们．平均每人每天加工大礼品盒14个或小礼品盒10个．已知每个大礼品盒可以装3个小礼品盒，问需要分别安排多少名同学加工大、小礼品盒，才能使每天加工的大、小礼品盒刚好配套？ 【变式3-2】（25-26七年级上·山东东营·开学考试）某车间有20个工人生产甲、乙两种零件，每2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件8个或乙种零件6个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？ 【变式3-3】（24-25七年级上·全国·期末）列一元一次方程解决实际问题（两问均需用方程求解） 第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有1000名工人． (1)若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少200人，请求出生产盲盒A的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由2个盲盒A和3个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或10个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 类型四、利用一元一次方程解决古代问题 一元一次方程解决古代问题总结 一、核心知识点 1.问题特征：源于古代典籍（如《九章算术》），多为鸡兔同笼、盈不足、工程、分配类，表述含古汉语，需转化为现代数学语言。 2.等量关系：抓住题目中不变的量（如总头数、总工程量、总钱数），以此建立相等关系。 二、解题技巧 1.译题：先将古汉语表述转化为现代汉语，明确已知量和未知量（如“上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗”译为具体数量关系）。 2.设元：设题目中关键未知量为x（如鸡的数量、每亩产量）。 3.列方程求解：根据等量关系列方程，求解后结合古代问题实际（如数量为正整数）验证合理性。 例4．（23-24七年级上·江苏苏州·开学考试）我国古代数学著作《算学启蒙》一书记载：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里；驽马先行一十二日，问良马几何追及之．其大意是：良马每天走240里，劣马每天走150里；劣马先走12天．问良马几天可以追上劣马？（列方程求解） 【变式4-1】（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）古希腊有一位伟大的数学家叫丢番图，他的墓碑留下了可贵的资料，碑文大意如下：他一生的 是幸福的童年， 是无忧无虑的青年．又过了一生的 ，丢番图结了婚．再过5年儿子出生，可这孩子在世界上的时间只有他父亲的一半．儿子去世以后，丢番图在悲痛中又活了4年，也去世了．你能算出丢番图活了多少岁吗？ 【变式4-2】（24-25七年级上·全国·期末）古代名著《算术启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天跑里，慢马先走天，那么快马几天可以追上慢马？ 【变式4-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）跨学科  成语“朝三暮四”讲述了一位老翁喂养猴子的故事，老翁为了限制猴子的粮食，分早晚两次投喂，早上投喂的粮食是晚上的，猴子对于这个安排很不满意，于是老翁将晚上粮食中的2千克放在早上投喂，这样早上投喂的粮食是晚上的，猴子很满意这样的安排．则调整前早上和晚上分别投喂多少粮食？ 类型五、利用一元一次方程解决几何问题 一元一次方程解决几何问题总结 一、核心知识点 1.问题特征：围绕几何图形的边长、周长、面积、体积等计算，或图形间数量关系（如线段和差、角的倍分）出题。 2.等量关系：依据几何公式（如矩形周长=2×(长+宽)）或题目给出的关系（如“角A比角B大30°”）建立等式。 二、解题技巧 1.设元：设未知的边长、角度等为x（优先设与所求直接相关的量）。 2.列方程：用含x的式子表示其他相关量，代入几何公式或题目关系列方程。 3.验证：求解后检查结果是否符合几何实际（如边长、角度为正数，三角形三边满足三边关系）。 例5．（25-26七年级上·重庆·开学考试）长方形被分成六个正方形，现在只知道中间一个最小的正方形的面积为4，求长方形的面积． 【变式5-1】（2025七年级上·四川成都·专题练习）一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，长比高多，则这个正方形纸板的边长为为多少？ 【变式5-2】（2025七年级上·四川成都·专题练习）如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的两部分．现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升．注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平．又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平． (1)水槽的容积是多少？ (2)注满水槽共需几分钟？ 【变式5-3】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）为践行劳动教育，学校特意划出一块长方形土地供学生劳作．如图，长方形土地一面靠墙，现将不靠墙的三面向内推进x米修建小路，在小路内侧用篱笆围出一块长方形菜地． (1)当时，篱笆的长度为 米． (2)用x的代数式表示篱笆的长度．（列式并化简） (3)若篱笆长度为36米，求小路的宽度． 类型六、利用一元一次方程解决电费和水费问题 一元一次方程解决水电费用问题总结 一、核心知识点 1. 问题特征：多为阶梯收费（如用电量分档计价：0-200度0.5元/度，超200度0.6元/度），需根据用量判断所属档位，计算总费用。 2. 等量关系：总费用=各档位用量×对应单价之和，根据“总费用已知”或“两方案费用相等”建立等式。 二、解题技巧 1. 设元：设总用量为x（如用电量x度、用水量x吨），先判断x可能所属档位。 2. 列方程：若x在某档位内，直接用该档位单价列方程；若跨档位，分段表示费用后求和列方程。 3. 验证：求解后确认x是否符合所设档位，避免档位判断错误。 例6．（24-25七年级上·全国·期末）节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？ (2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 【变式6-1】（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）阶梯收水费可以促进节约用水、提高水资源利用效率、增强全民节水意识，并推动节能减排．某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费． 月用水量不超过40时，按2.4元/计费； 月用水量超过40时，其中的40仍按2.4元/计费，超过部分按3元/计费． (1)王林家九月份用水53，他家应交多少元水费？ (2)王林家十月份交水费186元，他家这个月的用水量为多少立方米？ 【变式6-2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）某市农电公司收电费标准是阶梯型收费，不超过度电，每度电收费元；超过度电，但不超过度电的部分收费是每度电收费元；超过度电的部分收费是每度电元，小明家本月用电度． (1)当时，求出小明家交电费多少元？当时，求出小明家交电费多少元？（用含的代数式表示） (2)若小明家本月平均每度电收费元，求的值． 【变式6-3】（24-25七年级上·四川资阳·期中）为了增强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市每户居民用水收费价格表为：价目表 每月用水量 单价 不超出的部分 2元/ 超出不超出的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 注：水费按月结算 (1)若该户居民2月份用水，则应交水费_____元； (2)若该户居民3月份用水，则应交水费_____元； (3)若该户居民4月缴了32元水费，则该户居民4月用水_____； (4)若该户居民5月份用水，则5月份应交多少水费（用含x的式子表示）． 一、单选题 1．（25-26七年级上·河南·开学考试）商家获得的利润按照如下公式计算：利润售价进价售价税率，若税率由调整为，且商品的进价和利润都未改变，则商品的售价是原来的（   ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 2．（24-25七年级上·全国·期末）《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题：今有一群人共买物，人出九，盈六；人出六，不足三，问人数几何？设共有人，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·福建福州·期末）把1－9这9个数填入的正方形方格中，不管是把横着的3个数相加，还是把竖着的3个数相加，或者把斜着的3个数相加，3个数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数的“九宫格”，其中x的值为（   ） A．1 B．3 C．4 D．7 二、填空题 4．（25-26七年级上·四川乐山·开学考试）六年级举行速算比赛，答对一道题得10分，答错一道题扣2分，小明同学抢答了10道题，最后得分76分．他答对了 道． 5．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这批服装按标价的8折销售．若打折后每件服装仍能获利40元，设这批服装每件的标价为x元，则由题意可列方程为 ． 6．（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）如图所示，已知长方形的长，内有边长相等的小正方形和小正方形，其重叠部分为长方形，设小正方形边长为a，则的长为 （用a的代数式表示），若长方形的宽，长方形的周长为8，则图中阴影部分周长和为 ．    三、解答题 7．（24-25七年级下·山东聊城·期中）古文有一记载：今有共买物，人出六，盈四；人出四，不足四．问人数、物价各几何．大意为：若干人共同买一个物品．如果每人付6元，那么多4元；如果每人付4元，那么差4元．问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元． 8．（24-25七年级上·辽宁盘锦·期中）制作一张餐桌要用一个桌面和4条桌腿．某家具公司的木工师傅用木材可制作15个桌面或300个桌腿，公司现有的木材． (1)应怎样安排用料才能使制作的桌面和桌腿配套？ (2)家具公司欲将制作餐桌全部出售，一张餐桌可获利，全部出售后销售额为144000元．求每张餐桌的进价是多少？ 9．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）2025年第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”冰箱贴在市场热销，某商场现购进“滨滨”和“妮妮”冰箱贴一共1000个，其中一个“滨滨”进价12元，一个“妮妮”进价15元，总共花费13800元． (1)求购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)在销售过程中“滨滨”、“妮妮”标价分别为20元/个、25元/个，当“滨滨”、“妮妮”各卖出m个后，该商店进行促销，剩余的“滨滨”和“妮妮”均按八折出售，若购进的吉祥物冰箱贴全部销售后利润刚好是5500元，求m的值？ 10．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，长方形中，已知，，且点E是边的中点，点F是以每秒2个单位的速度从点C出发沿射线方向运动的一个动点． (1)当，求四边形面积．． (2)求点F运动多长时间时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一． 11．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）孝义市“携程旅游百事通”旅行社将带领一批新青年进行研学旅行，本次研学旅行的最后一站是革命圣地——延安，请根据下表信息，回答下列问题． 选择最省钱的租车方案 背景 此次延安之旅共计1日，由旅行社联系大巴车接送大家往返于西安与延安． 信息1 大巴车载客量：49人，小客车载客量：29人，注：载客量均包含司机． 信息2 小客车每辆每天的租金比大客车便宜400元，租用2辆大客车和5辆小客车共需支付租金5700元；每辆车均有一名司机． 信息3 方案一：全部租用小客车（会有一辆车空出16个座位，其余均坐满）； 方案二：全部租用大客车（刚好坐满，且租车量比方案一少两辆）； 方案三：两种型号组合租用． 问题解决 任务1 求大客车和小客车每辆每天的租金． 任务2 求旅行社中参与此次延安1日游活动的游客人数． 任务3 分别计算出不同方案所需的租金，比较并选出最省钱的方案． 12．（24-25七年级上·广西南宁·期中）某出租车公司推出专车和快车两种出租车，它们的收费方式如下： 专车：千米以内收费元，超过千米的部分每千米收费元，不收其他费用； 快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程千米；里程大于千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过千米的，超出的部分每千米加收元． (1)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付费用多少元？ (2)如果乘车路程是千米，使用专车、快车出行各需支付的费用多少元（用含的式子表示）？ (3)如果乘车路程是千米时，使用快车出行的费用比使用专车出行省4元，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $