专题01 勾股定理求最值的两种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版八年级上册

专题01 勾股定理求最值的两种考法 类型一、求几何最值问题 1．如图，在中，，，，点D，E分别是上的动点，且，连接，则的最小值是（ ）． A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 如图：过点B作，且使，连接，先由勾股定理求出，，证明，进而依据“”判定和全等得，继而得，由此得当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此即可得出的最小值． 【详解】解：如图：过点B作，且使，连接， 在中，，，， ∴， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点F，E，A共线时，为最小，最小值是， 的最小值是 故选：B． 2．如图，在中，，分别是边上的动点，则的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了最短路径问题，熟练掌握将军饮马定理及其变形，利用三角形面积公式求一边上的高，勾股定理等是解题的关键；作点B关于的对称点， 交于点H，连接，过点作于点D，根据“将军饮马定理”容易得出的最小值为的长，再根据勾股定理和三角形面积公式分别求出的长度，继而求出，即可求解． 【详解】 如图，作点B关于的对称点， 交于点H，连接，过点作于点D，则， ， 的最小值为的长， 在中，， ， 由勾股定理得， ， ， ， 在中， ， ， ， 的最小值为． 故选：A． 3．如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了勾股定理，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．根据题意知点B关于直线的对称点为点A，故当点P与点E重合时，的最小值，求出的值即可得到结论． 【详解】解：垂直平分， 关于对称， 如图，连接， ， ， ∴当P和D重合时，的值最小， 此时，， 在中，，，， ， 周长的最小值是． 故答案为：7． 4．如图，在中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、两点之间线段最短、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．根据折叠的性质，得，故，，当点落在上时，，此时的值最小，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， 如图1，由翻折得， ∵， ∴， ∴， ∴当点落在上时，，此时的值最小， 如图2，当点落在上时，则， 作于点F，于点E，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的三线合一性质、勾股定理等知识点，利用垂直平分线将转化为，找到P、A、D三点共线时最短成为解题的关键． 由作法知是的垂直平分线，可得，线段的最小就是，当A、P、D三点共线时最短，由点D是底边的中点，可，由可得，在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由作法知是的垂直平分线， ∴， ∴， 线段的最小就是， 当A、P、D三点共线时最短， ∵点D是底边的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：． ∴线段的最小值为8． 故答案为8． 6．如图，中，，，，平分．M、N分别是上的点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，勾股定理等等，在上截取，连接，易证明，得到，则，故当三点共线，且时，最小， 即此时最小，最小值即为的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，最小， 即此时最小，最小值即为的长， ∴此时， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 7．如图，，点分别在边上，且，点、分别在边、上，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】作关于的对称点，关于的对称点，连接两对称点，交于．此时有最小值，根据线段垂直平分线性质和两点之间线段最短，，的长度就是所求的的最小值，勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：作关于的对称点，关于的对称点，连接两对称点，交于，连接，如图所示： ，，， 则， 由两点之间线段最短，当四点共线时，有最小值，为的长， ， ， 则是直角三角形， 在中，由勾股定理得， 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及轴对称的性质、两点之间线段最短、直角三角形判定、勾股定理等知识，根据题意，作出图形，利用轴对称的性质求出线段长是解题的关键． 8．如图，在中，，平分交于点，、分别是、上的动点，连接、，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，两点之间线段最短，垂线段最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 在上取点E，使得，连接，，证明，得到，因此．过点C作于点H，则，根据勾股定理求出，进而根据的面积求出，即可解答． 【详解】解：在上取点E，使得，连接，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点H， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为： 9．如图，在中，，，，点D、E分别是边上的动点，且，则的最小值 ． 【答案】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作，使，且点F与点E在直线的异侧，连接，由，，，求得，，而，则，推导出，可证明，得，由，得，所以的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作，使，且点F与点E在直线的异侧，连接， ∵，，， ∴，， ∵，即， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 10．如图，在中，，，，，点为边的中点，点在边上，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，掌握轴对称的性质，进行转化是解题的关键． 过点B作的对称点，连接，由勾股定理得，可得，由对称得：，然后证明，则，故，那么的最小值为，当三点共线时，取得最小值，故周长的最小值为． 【详解】解：过点B作的对称点，连接， ∵，，， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴ 由对称得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴的最小值为，当三点共线时，取得最小值， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 11．如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则最小值是 ，最大值是 【答案】 【分析】此题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 本题分点与点重合，此时的值最大，点与点重合，此时的值最小，求出两个极值即可． 【详解】解：作交的延长线于点， ∴，如图1： 点与点重合，此时的值最大， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， 点与点重合，此时的值最小，如图2： ∵点与点关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 综上所述，最小值是，最大值是， 故答案为：，； 12．如图，在中，，，，点为射线上的一个动点，在的左侧作，其中，，连接，求的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定；过点作，连接，则，证明得出，即到的距离为，作关于的对称点，连接，，根据轴对称的性质得出的最小值为的长，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，连接，则 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴在上运动， ∴ ∴到的距离为 作关于的对称点，连接，， ∴ ∴的最小值为的长， ∵， ∴ 故答案为：． 13．如图，在中，，，，若点P在边上运动，过点P作，垂足为Q，连接，则的最小值是 ． 【答案】/4.8/ 【分析】作点B关于的对称点，过点作于点Q，交于点P，此时有最小值，连接，根据轴对称的性质有，求出，然后根据面积法即可求出答案． 【详解】解：如下图，作点B关于的对称点，过点作于点Q，交于点P， 根据轴对称的性质有， ∴， ∴当点，P，Q三点共线时，有最小值，即的长度， 在中，，，， ， ∴， ∵， ， ， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称—最短路线问题、勾股定理等知识，掌握轴对称的性质，勾股定理是解题的关键． 14．如图，中，，已知，E为上一点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 如图：取的三等分点F（靠近B点），即，，连接；易证可得，再根据三角形的三边关系可得，即可说明当A、D、F三点共线时，的最小值为． 【详解】解：如图：取的三等分点F（靠近B点）， ∵， 即，，连接， ∵E为上一点，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当A、D、F三点共线时，有最小值为，即的最小值为． ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 15．【特例感知】 如图1，小秦把一块三角板（）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与之间的数量关系是___________； 【问题探究】 小秦在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型，如图2，在四边形中，，的面积是18且，求的面积． 【拓展应用】 如图3，在中，，点、分别是边上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，连接．如图3，已知，点是的中点，连接、，求周长的最小值． 【答案】特殊感知：；问题探究：；拓展应用： 【分析】本题考查“一线三等角”模型，勾股定理，折叠的性质； 特殊感知：证明即可得到； 问题探究：过点C作，过点B作的延长线于点N，先证明，得到，，再根据面积得到，再由得到，，最后根据求解即可； 拓展应用：在上取一点，使，连接，将沿翻折得到，对应点，连接，先证明，得到，，，再由和得到，即可得到，再由翻折得到，，，则，最后根据周长为求解即可． 【详解】解：特殊感知： ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； 问题探究： 如图，过点C作，过点B作的延长线于点N， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵的面积是18且， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 拓展应用：如图，在上取一点，使，连接，将沿翻折得到，对应点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴周长为， ∴当、、三点共线时，周长最小，最小值为． 类型二、数形结合法求最值 1．已知均为正数，且，则的最小值是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是构造图形，作于点B，于点C，交延长线于点E，，，，，，根据矩形的性质得出，，根据勾股定理得出，，根据两点之间线段最短，求出结果即可． 【详解】解：构图如下，其中于点B，于点C，交延长线于点E，，，，，， 则四边形是矩形，，， 由勾股定理可知：， ， ∵， ∴的最小值为， 在中，， 由勾股定理，得， ∴的最小值是． 故选A． 2．已知，则A的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是根据代数式的几何意义，利用数形结合思想转化为求最值问题．构造长方形，，，在上取点，使，则，延长至点，使，则可以看作两直角边分别是和5的的斜边长，可以看作两直角边分别是和3的的斜边长，则的最小值，即是的最小值，当、、三点共线时，最小，即A最小，最小值为，求解即可． 【详解】解：如图，构造长方形，，，在上取点，使，则， 延长至点，使， 则可以看作两直角边分别是和5的的斜边长，可以看作两直角边分别是和3的的斜边长， 则的最小值，即是的最小值， 当、、三点共线时，最小，即A最小，最小值为， 此时， 故答案为：． 3．阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题． 类比如上方法，求的最小值为 ． 【答案】10 【分析】借鉴已知解题方法，构造，和，令，，，，则长即为的最小值． 本题考查矩形的性质，线段的最值和勾股定理，利用类比思想，借鉴题目的求解方法是解题的关键． 【详解】解：如图构造图形，中，，，， 则， 延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，， 则， 由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长， 过点E作的垂线，垂足为点F， 根据勾股定理得， ∴的最小值为10． 故答案为：10． 4．问题背景： 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，，，），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． (1)请你将的面积直接填写在横线上：______． (2)思维拓展：若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． (3)探索创新：若三边的长分别为、、（，，且），求这个三角形的面积． (4)直接写出当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) (4)当x为时，函数的最小值是 【分析】（1）计算即可． （2）根据、、，画图计算即可 （3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，、、，画图计算即可． （4）求函数有最小值，即的最小值，实际上就是求x轴上一点到以及两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，即可求得 函数的最小值是． 【详解】（1）根据题意得： =． 故答案为：． （2）根据题意得：、、，画图如下： 根据题意： ． （3）设小矩形的长为m，宽为n，根据题意，、、， 画图如下： 根据题意： =． （4）函数有最小值，即的最小值，实际上就是求x轴上一点到以及两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，所以点到以及的距离即为所求，即． 当x为时，函数的最小值是． 【点睛】本题考查了网格上的三角形，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小鄞同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图， 将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是_____． （2）类比迁移：已知，均为正数，且．求的最大值． 【答案】（1）13；（2） 【分析】本题考查了最短路线问题，解答时涉及列代数式，勾股定理，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，准确构造出符合题意的图形是解决本题的关键． （1）利用给出的图形，标上必要的字母，可以推出，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）构造矩形，取的中点C，作于点C，，可推出的值最大，需的值最大，即当A，D，B三点共线时，的值最大，最大值为，由点C是的中点，，可得出D是的中点，即，再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∵， ∴的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，可得， ∴的最小值是13； 故答案为：13； （2）构造图形如下，矩形，点C是的中点，于点C，， 在中， 由勾股定理，可得， 在中， 由勾股定理，可得， ∴， 要使的值最大，需的值最大， ∴当A，D，B三点共线时，的值最大，最大值为， ∵点C是的中点，， ∴D是的中点， ∴，， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值． 6．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 【答案】（1）PA ， PD；（2）（3）7 【分析】本题考查勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题： （1）利用勾股定理，即可得出结果； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长， 利用勾股定理求出的长即可； （3）构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长，利用（1）的方法进行求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； 故答案为：；； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， ∴的最小值为； （3）如图，构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且， 即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为7， ∴的最小值为7． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 勾股定理求最值的两种考法 类型一、求几何最值问题 1．如图，在中，，，，点D，E分别是上的动点，且，连接，则的最小值是（ ）． A．5 B． C．6 D． 2．如图，在中，，分别是边上的动点，则的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．6 3．如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为 ． 4．如图，在中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ． 5．如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为 ． 6．如图，中，，，，平分．M、N分别是上的点，则的最小值是 ． 7．如图，，点分别在边上，且，点、分别在边、上，则的最小值是 ． 8．如图，在中，，平分交于点，、分别是、上的动点，连接、，若，，则的最小值为 ． 9．如图，在中，，，，点D、E分别是边上的动点，且，则的最小值 ． 10．如图，在中，，，，，点为边的中点，点在边上，则周长的最小值为 ． 11．如图，在中，，，，D，E分别是，边上的点．把沿直线折叠，若B落在边上的点处，则最小值是 ，最大值是 12．如图，在中，，，，点为射线上的一个动点，在的左侧作，其中，，连接，求的最小值为 ． 13．如图，在中，，，，若点P在边上运动，过点P作，垂足为Q，连接，则的最小值是 ． 14．如图，中，，已知，E为上一点，且，连接，则的最小值为 ． 15．【特例感知】 如图1，小秦把一块三角板（）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与之间的数量关系是___________； 【问题探究】 小秦在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型，如图2，在四边形中，，的面积是18且，求的面积． 【拓展应用】 如图3，在中，，点、分别是边上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，连接．如图3，已知，点是的中点，连接、，求周长的最小值． 类型二、数形结合法求最值 1．已知均为正数，且，则的最小值是（   ） A． B．6 C． D． 2．已知，则A的最小值为 ． 3．阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题． 类比如上方法，求的最小值为 ． 4．问题背景： 在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），然后在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，，，），如图①所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种求面积的方法叫做构图法． (1)请你将的面积直接填写在横线上：______． (2)思维拓展：若三边的长分别为、、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的，并求出它的面积． (3)探索创新：若三边的长分别为、、（，，且），求这个三角形的面积． (4)直接写出当x为何值时，函数有最小值，最小值是多少？ 5．（1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小鄞同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图， 将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是_____． （2）类比迁移：已知，均为正数，且．求的最大值． 6．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $