专题02 绝对值几何意义的三种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版七年级上册

专题02 绝对值几何意义的三种考法 类型一、求最值 1．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离可以表示为．那么，数轴上表示数与5两点之间的距离可以表示为______，表示数与两点之间的距离可以表示为______． (2)如果表示数和的两点之间的距离是3，那么______；若数轴上表示数的点位于与2之间，则______． (3)当整数______时，取得最小值______． (4)当整数______时，的值最小，最小值是______． 2．数学实验室： 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是__________； (2)数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是__________； (3)若x表示一个有理数，请直接写出式子的最小值__________； (4)若x表示一个有理数，当时，x的值为__________； (5)试探究：若x、y都表示有理数，请直接写出式子的最小值__________． 3．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为． 问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：、、3，那么A到B的距离是_________，A到C的距离是_________．（直接填最后结果） 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_________（用含绝对值的式子表示）． 问题3：利用数轴探究： ①找出满足的的所有值是_________； ②设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是_________；当的值取在_________的范围时，的最小值是_________． 4．先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：(1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 5．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 6．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离，也就是表示数a与数0的两点之间的距离，表示数轴上表示数a与数b的两点之间的距离．    例1．已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应数是为和2，即x的值为和2． 例2．已知，求x的值． 解：在数轴上与1的距离为2的点对应数为3和，即x的值为3和． 依照阅读材料的解法，完成下列各题： (1)若，则________，若，则________； (2)的最小值是________，若，则________； (3)代数式的最小值为________； (4)求代数式的最小值． 类型二、分类讨论法求最值 1．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 2．同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______；______； (2)若数轴上表示数的点位于与6之间，则的值为______； (3)若，则的值是______； (4)的最小值是______，满足最小值时整数x的和是______． 3．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 4．如图，请回答问题： (1)点B表示的数是 　　，点C表示的数是 　　． (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 　　重合． (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝　　． ②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 　　． ③当x＝　　时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值． ④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？ 类型三、绝对值几何意义的实际应用 1．阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 2．已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为3，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：． 若点在数轴上表示的数为，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：．    (1)如图1， ①若，则的值__________； ②若点在线段上，化简__________； ③由图可知，的最小值是__________． (2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是__________． (3)如图2，在一条笔直的街道上有四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．    3．若A、B两点在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点间的距离等于． (1)可理解为数轴上表示x的点到表示2的点的距离等于1，则________； (2)同理可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足________时，有________（填“最大”或“最小”）值3．    (3)如图所示，某公共汽车运营线路上依次有，，三个汽车站，现要在路旁修建一个加油站M，使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好；    (4)如果公共汽车运营线路上依次有，，，…，共n个汽车站，为使得n个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好． 4(1)点，在数轴上分别表示实数，，，两点之间的距离可表示为． 代数式的几何意义是表示有理数的点到表示数2的点与表示数的点的距离之和．利用几何意义，可求得的最小值为___________． (2)问题探究 如图，点，，，在数轴上分别表示的数为，，，，是数轴上一动点，从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，当点出发___________秒后，到，，三点的距离和最小，此时点所处位置对应的数字为___________，此时到，，三点的距离之和的最小值为___________． (3)问题解决 同心抗疫，情暖居民．疫情防控期间，某一直线沿街有9个小区，依次记为，假定相邻两个小区间隔相同，将这个间隔记为100米．社区想为这9个小区的居民提供防疫物资，决定在路旁建立一个物资供应站．请问点选在何处，才能使这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小？最小值是多少？ 5．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 例如，式子的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与-1所对应的点之间的距离． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）若，则 ；的最小值是 ． （2）若，则的值为 ；若，则的值为 ． （3）是否存在使得取最小值，若存在，直接写出这个最小值及此时的取值情况；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 绝对值几何意义的三种考法 类型一、求最值 1．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离可以表示为．那么，数轴上表示数与5两点之间的距离可以表示为______，表示数与两点之间的距离可以表示为______． (2)如果表示数和的两点之间的距离是3，那么______；若数轴上表示数的点位于与2之间，则______． (3)当整数______时，取得最小值______． (4)当整数______时，的值最小，最小值是______． 【答案】(1)， (2)1或；6 (3)或0或1，2 (4)1，7 【分析】（1）根据“数轴上表示数和数的两点之间的距离可以表示为”即可作答； （2）由“表示数和的两点之间的距离是3”列出方程，解方程即可得到a的值；由“数轴上表示数的点位于与2之间”可知，据此去掉绝对值符号即可得到答案； （3）分三种情况讨论的取值情况，得到“当表示数的点在表示的点和表示1的点之间时（包含端点）”时，的值最小，且为2； （4）根据（3）中结论，可得当表示数的点在和4之间，且同时与表示1的点的距离之和最小时，代数式取得最小值，即时，据此即可求解． 本题考查了绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的几何意义是解题关键． 【详解】（1）解：∵数轴上表示数和数的两点之间的距离可以表示为， ∴数轴上表示数与5两点之间的距离可以表示为， 表示数与两点之间的距离可以表示为， 故答案为：，； （2）解：∵表示数和的两点之间的距离是3， ∴， ∴， ∴或， ∴或； ∵数轴上表示数的点位于与2之间， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1或；6； （3）解：代数式可看成数轴上表示数的点到表示和表示1的点的距离之和， 当表示数的点在表示的点的左侧，或表示1的点的右侧时， 它到这两个点的距离之和大于2，即． 当表示数的点在表示的点和表示1的点之间时（包含端点）， 它到这两个点的距离之和等于2，即． ∴的最小值为2，此时整数是：或0或1．故答案为：或0或1； （4）解：代数式可看成数轴上表示数的点到表示和4三点的距离之和， 由（3）可知，当表示数的点在和4之间，且同时与表示1的点的距离之和最小时， 代数式取得最小值， ∴表示数的点在表示1的点的位置时符合要求， 此时整数是的最小值是7． 故答案为：1，7． 2．数学实验室： 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是__________； (2)数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是__________； (3)若x表示一个有理数，请直接写出式子的最小值__________； (4)若x表示一个有理数，当时，x的值为__________； (5)试探究：若x、y都表示有理数，请直接写出式子的最小值__________． 【答案】(1) (2) (3)6 (4)或 (5) 【分析】本题考查数轴及绝对值，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键； （1）根据题中给出的对数轴上两点之间距离的计算方式即可解决问题． （2）根据数轴上两点之间距离的计算方式即可解决问题． （3）运用数相结合的思想即可解决问题． （4）通过分类讨论的思想进行求解； （5）利用绝对值的几何意义来进行求解． 【详解】（1）解：由题知， 数轴上表示1和的两点之间的距离是：； 故答案为：． （2）解：若点A表示的数是x，点A和B之间的距离是：； 故答案为：． （3）解：因为 所以代数式可看成数轴上表示的点与到表示和表示2的点的距离之和． 表示的点与表示2的点之间的距离为：． 设点所表示的数为， 当点在点左侧或点右侧时， ； 当点在线段上时（包含端点）， ． 所以的最小值是6． 故答案为：6． （4）解：当时，， 解得：，满足； 当时，， 解得：，不满足； 当时，， 解得：，不满足； 当时，， 解得：，满足； 综上所述：x的值为：或； 故答案为：或； （5）解：的几何意义是数轴上到，的距离，到的距离以及与之间的距离之和； 当时，有最小值； 当时，有最小值； 在，时，当，时，有最小值为：， 故的最小值为：， 故答案为：． 3．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为． 问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：、、3，那么A到B的距离是_________，A到C的距离是_________．（直接填最后结果） 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_________（用含绝对值的式子表示）． 问题3：利用数轴探究： ①找出满足的的所有值是_________； ②设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是_________；当的值取在_________的范围时，的最小值是_________． 【答案】问题1：4，8；问题2：；问题3：①4，；②4；；2． 【分析】问题1：根据材料直接计算即可； 问题2：根据材料表示出来并化简即可； 问题3：①分三种情况讨论：x在之间（包含端点），x在3的右侧，x在左侧；②根据x的范围去掉绝对值符号即可得到最小值． 本题考查了绝对值的几何意义及数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的几何意义是解题关键． 【详解】解：问题1：A到B的距离是，A到C的距离是， 故答案为：4，8； 问题2：A到B的距离与A到C的距离之和可表示为， 故答案为：； 问题3：①设点A、B、C在数轴上分别表示数、、， 则表示A到B的距离与A到C的距离之和为6， 结合数轴可知，当A在B、C之间（包含B、C）时，不符合题意， 当A在B右侧时，，解得； 当A在C左侧时，，解得； 故答案为：4，； ②对于， 当的值取在不小于且不大于3的范围时， ； 对于， 当的值取在不小于且不大于2的范围时，的值保持不变，且为其最小值， 这个最小值为； 故答案为：4；；2． 4．先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 5．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了，把数轴分为三段：和，经研究发现，当时，值最小为”． 小明说：“利用数形结合思想可以解决这个问题，若点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，则在数轴上、两点之间的距离．” 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的的取值范围是______，最小值是______． (2)已知，求的最大值和最小值及相应的的取值范围，并写出解答过程． (3)求为何值时，式子有最小值，并求出此最小值． 【答案】(1)， (2)当最大值为；当最小值为 (3)，最小值为 【分析】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，分类讨论是解题关键． （1）根据绝对值分类讨论求解即可； （2）根据绝对值分类讨论求解即可； （3）根据绝对值的几何意义即可求解； 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴式子取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是． 故答案为；． （2）解：当时，； 当时，此时； 当时，； ∴当最大值为；当最小值为； （3）解：， 表示在数轴上的对应点与、、、……、所对应点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为 ． 6．阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离，也就是表示数a与数0的两点之间的距离，表示数轴上表示数a与数b的两点之间的距离．    例1．已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应数是为和2，即x的值为和2． 例2．已知，求x的值． 解：在数轴上与1的距离为2的点对应数为3和，即x的值为3和． 依照阅读材料的解法，完成下列各题： (1)若，则________，若，则________； (2)的最小值是________，若，则________； (3)代数式的最小值为________； (4)求代数式的最小值． 【答案】(1)3或；2或 (2)3；或3 (3) (4)2500 【分析】（1）仿照题意进行求解即可； （2）设点A表示的数为x，点B和点C表示的数分别为，2，则的值即为线段的长度与线段的长度之和，再分当点A在点B左侧时，当点A在点B与C之间时，当点A在点C右侧时，三种情况求出的最小值为3，再由，得到或，据此去绝对值解方程即可； （3）同（2）可得，当时，有最小值，又有当时，有最小值，则当时，有最小值，据此求解即可； （4）同理推出当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵在数轴上与原点距离为3的点对应的数为3和， ∴x的值为3或； ∵在数轴上与距离为4的点对应的数为2和， ∴x的值为2或； 故答案为：3或；2或； （2）解：设点A表示的数为x，点B和点C表示的数分别为，2， ∴的值即为线段的长度与线段的长度之和， 如图所示，当点A在点B左侧时，    如图所示，当点A在点B与C之间时，    如图所示，当点A在点C右侧时，    ∴综上所述，当点A在点B与C之间时，有最小值3； ∵当点A在点B与C之间时，的最小值为3，， ∴或， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，若，则或； 故答案为：3；或3； （3）解：同（2）可得，当时，有最小值， 又∵， ∴当时，有最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：16； （4）解：同（2）可得当时，有最小值， 当时，有最小值， 当时，有最小值， …… 当时，有最小值， ∴当时，有最小值，最小值为． 【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离公式，解绝对值方程，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 类型二、分类讨论法求最值 1．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题： “当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ”． 小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”小明说：“利用数轴可以解决这个问题．” 把数轴分为三段：，和，经研究发现，当时，值最小为3． 请你根据他们的解题解决下面的问题： (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ． (2)已知，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程． 【答案】(1)，8 (2)见解析 【分析】本题考查了绝对值以及数轴的应用，熟练掌握绝对值的定义、数轴以及分类讨论是解题关键． （1）根据四个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案； （2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案． 【详解】（1）解： 当时，，时，最小值， 当时，， 时，最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，取最小值时，相应的的取值范围是，最小值是8． 故答案为：，8； （2）解：当时，，当时，最大， 当时，，无最大值， 当时，，当时，最大， 所以时，有最大值． 2．同学们，我们都知道：表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： (1)______；______； (2)若数轴上表示数的点位于与6之间，则的值为______； (3)若，则的值是______； (4)的最小值是______，满足最小值时整数x的和是______． 【答案】(1)2，6 (2)10 (3)，2 (4)12，10 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，化简绝对值及两点间的距离等知识点， （1）直接根据绝对值的意义求解即可； （2）直接化简绝对值即可； （3）分x在左边，在1右边和在与1之间三种情况讨论求解即可； （4）分当时，当时，当时，当时，当时，五种情况化简绝对值讨论求解即可； 熟练掌握绝对值的相关知识是解题的关键． 【详解】（1），， 故答案为：2；6； （2）∵数轴上表示数x的点位于与6之间， ∴， 故答案为：10； （3）∵表示x到1和到的距离之和为5， ∴当x在左边时，x到1和到的距离之和为， ∴ 当x在1右边时，x到1和到的距离之和为， ∴ 当x在与1之间时，x到1和到的距离之和为， ∴符合题意的整数x为，2， 故答案为：，2； （4）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴综上，当时，的值最小，最小为12， ∴满足最小值时整数x的和是， 故答案为：12；10； 3．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)表示和两点之间的距离是___________；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于如果，那么________． (2)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_________； (3)若，求 (4)求的最小值． 【答案】(1)；或 (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了数轴和绝对值，数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值；借助数轴化简绝对值是解题的关键所在； 根据数轴，观察两点之间的距离即可解决； 根据题意对去绝对值即可求解； 根据题意得出的取值范围，求出符合条件的，即可解答； 根据表示一点到，，三点的距离的和，分情况即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是：， ， 或， 或． 故答案为：；或． （2）数轴上表示数的点位于与之间， ， 故答案为：． （3）， 数的点位于的左边或的右边， 或； （4）表示一点到，，三点的距离的和， 当时，，当时，取得最小值为； 当时，，当时，取得最小值为； 当时，，当接近时，取得最小值接近为； 当时，，当接近时，取得最小值接近； 综上可得，式子的最小值为． 故答案为：． 4．如图，请回答问题： (1)点B表示的数是 　　，点C表示的数是 　　． (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 　　重合． (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝　　． ②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 　　． ③当x＝　　时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值． ④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？ 【答案】(1)﹣2，6 (2)9 (3)①3；②4；③4；④x＝，最小值为 【分析】（1）根据数轴上点的特点，直接求解即可； （2）由折叠可知，折痕点对应的数是2，再由对称性可知点A与数字9重合； （3）①当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小；②当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解；③找到2， 2， 3， 3， 4， 4， 4，4， 4的中间数即为所求；④由2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，可得4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，当x＝时，式子有最小值． 【详解】（1）解：由图可得，点B表示的数是﹣2，点C表示的数是6， 故答案为：﹣2，6； （2）解：∵折叠后点B和点C重合， ∴BC的中点为折痕点， ∴折痕点对应的数是2， ∴点A与数字9重合， 故答案为：9； （3）解：①|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上表示x的点到表示3的点和6的点的距离之和， ∴当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小， ∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为3， 故答案为：3； ②|x﹣4|+|x+3|表示数轴上表示x的点到表示﹣3的点和4的点的距离之和， ∴当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7， ∵|x﹣4|+|x+3|＝7， ∴x的整数值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4， ∴， ∴满足条件的所有整数x的和是4， 故答案为：4； ③2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|表示2倍的x到2的距离，2倍的x到3的距离，5倍的x到4的距离之和， ∴2，2，3，3，4，4，4，4，4的中间数是4， ∴当x＝4时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|的最小值； 故答案为：4； ④2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|， 表示4倍的x到的距离，3倍x到的距离，x到的距离，2倍x到的距离，3倍x到3的距离之和， ∴4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是， ∴当x＝时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|的值最小，最小值为． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时x的取值的一般规律是解题的关键． 类型三、绝对值几何意义的实际应用 1．阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】理解：（）；（）或；（）或；（），；应用：种调配方案，调出的最少车辆数为辆． 【分析】理解：（）根据题意即可求解； （）根据绝对值的意义即可求解； （）分、和三种情况，根据绝对值的性质解答即可求解； （）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 【详解】解：理解：（）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （）当时，， 解得； 当时，， 此时方程无解； 当时，， 解得； 综上，的值为或， 故答案为：或； （）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 由图可得，调出的最少车辆数为辆． 2．已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为3，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：． 若点在数轴上表示的数为，则之间的距离表示为：之间的距离表示为：．    (1)如图1， ①若，则的值__________； ②若点在线段上，化简__________； ③由图可知，的最小值是__________． (2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是__________． (3)如图2，在一条笔直的街道上有四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．    【答案】(1)①或；②3；③5； (2)5 (3)见解析； 【分析】（1）如图1，①分点在点左侧和点在点右侧分别计算即可； ②若点在线段上，得，，然后化简绝对值即可； ③由图1可知，当时，的最小，最小值为5； （2）的几何意义是表示数的点与，1，2三数对应的点的距离之和，即可求解； （3）如图2，建立数轴模型，则点、、、四点分别表示，0，200，400，点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，当满足时，该距离之和最小，最小值为． 【详解】（1）解：①若点在点左侧，得， 若点在点右侧，得； 故的值或． ②若点在线段上，得，， ； ③由图1可知，    当时，的最小， 原式， ， 故答案为：或；3；5； （2）的几何意义是表示数的点与，1，2三数对应的点的距离之和， 当数时，距离之和最小，最小值为，2对应两点间的距离， 的最小值为5； 故答案为：5； （3）如图2，    以其中一点为原点建立数轴，则点、、、四点分别表示，0，200，400，点表示的数为，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， 当满足时，该距离之和最小， ， ， ， 汇合地点的位置在之间时和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小，最小值为1400米． 【点睛】此题考查了绝对值的几何意义以及绝对值的化简，数轴，以及数学常识，弄清题中的方法是解决问题的关键． 3．若A、B两点在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点间的距离等于． (1)可理解为数轴上表示x的点到表示2的点的距离等于1，则________； (2)同理可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足________时，有________（填“最大”或“最小”）值3．    (3)如图所示，某公共汽车运营线路上依次有，，三个汽车站，现要在路旁修建一个加油站M，使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好；    (4)如果公共汽车运营线路上依次有，，，…，共n个汽车站，为使得n个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好． 【答案】(1)1或3 (2)；最小 (3)处最好 (4)当n为奇数时，处最好；当n为偶数时，在、之间（包含，）处最好 【分析】（1）根据绝对值的意义可得，进一步即可求出答案； （2）根据题意可得当表示x的点在A、B之间即时，有最小值3； （3）由（2）的分析可得：当加油站M建在之间时，可取得最小，然后分情况讨论求解即可； （4）由4个、5个汽车站，然后拓展到n个汽车站，仿照（3）的分析得出结论即可． 【详解】（1）由可得：或， 解得：或1； 故答案为：1或3； （2）可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足时，有最小值3．故答案为：，最小；    （3）由（2）的分析可得：当加油站M建在之间时，可取得最小， 当加油站M建在之间时，三个汽车站到加油站M的路程总和为； 当加油站M建在之间时，三个汽车站到加油站M的路程总和为； 当加油站M建在时，三个汽车站到加油站M的路程总和； 综上，当加油站M建在处最好，即可使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小；    （4）如果有，，，共4个汽车站，如图，则由（3）的分析可知：当加油站M建在之间（包含两个端点）时，可使得4个汽车站到加油站M的路程总和最小；    如果有，，，，共5个汽车站，如图，则由（3）的分析可知：当加油站M建在时，可使得5个汽车站到加油站M的路程总和最小；   ……； 综上：当n为奇数时，加油站M建在处最好；当n为偶数时，加油站M建在在、之间（包含，）处最好． 【点睛】本题以数轴为载体，主要考查了数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 164(1)点，在数轴上分别表示实数，，，两点之间的距离可表示为． 代数式的几何意义是表示有理数的点到表示数2的点与表示数的点的距离之和．利用几何意义，可求得的最小值为___________． (2)问题探究 如图，点，，，在数轴上分别表示的数为，，，，是数轴上一动点，从点出发以每秒个单位长度的速度向右运动，当点出发___________秒后，到，，三点的距离和最小，此时点所处位置对应的数字为___________，此时到，，三点的距离之和的最小值为___________． (3)问题解决 同心抗疫，情暖居民．疫情防控期间，某一直线沿街有9个小区，依次记为，假定相邻两个小区间隔相同，将这个间隔记为100米．社区想为这9个小区的居民提供防疫物资，决定在路旁建立一个物资供应站．请问点选在何处，才能使这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小？最小值是多少？ 【答案】(1)3； (2)3，2，7； (3)当点在位置时，这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小，最小值是2000米． 【分析】（1）根据数轴的意义即可得解； （2）分四种情况分析点到三个点距离的和，通过比较确定最小值，从而求出所表示的数及运动的时间即可； （3）根据两点间的距离即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得，表示有理数的点到表示数的点与表示数的点的距离之和， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：根据题意，设点表示的数为， 当时，点到，，三点的距离和是：； 当时，点到，，三点的距离和是：，且； 当时，点到，，三点的距离和是：，且； 当时，点到，，三点的距离和是：，且； ∴当时，点到，，三点的距离和最小值在范围内， 当即时，点到，，三点的距离和最小值是7，点所处位置对应的数字为2， 当时，点出发时间是：（秒）； 故答案为：3，2，7； （3）解：， 当点在或之间时，最小，为800米， 当点在或之间时，最小，为600米， 当点在或之间时，最小，为400米， 当点在或之间时，最小，为200米， 当点在位置时，最小，为0米， ∴最小距离和为：（米）， ∴当点在位置时，这9个小区的居民到点（物资供应站）的距离总和最小，最小值是2000米． 【点睛】本题考查数轴，绝对值的几何意义以及两点间距离，解题的关键是熟练运用数形结合的思想． 5．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 例如，式子的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与-1所对应的点之间的距离． 结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）若，则 ；的最小值是 ． （2）若，则的值为 ；若，则的值为 ． （3）是否存在使得取最小值，若存在，直接写出这个最小值及此时的取值情况；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5或-1；5；（2）或4；或；（3）的最小值为17，此时 【分析】（1）对于直接根据绝对值的性质进行求解即可；设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，则表示的意义即为数轴上一点P到A的距离和到B的距离之和，然后分别讨论P在AB之间，P在A点左侧和P在B点右侧的取值即可得到答案； （2）设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x，由（1）可知当P在AB之间（包含A、B）时，，当P在A点左侧时，当P在B点右侧时，由此可以确定此时P点在A点左侧或在B点右侧，由此进行求解即可；分当时，当时，当时，当时，这四种情况去绝对值进行讨论求解即可得到答案； （3）分当时，当时，当时，当时，这四种情况去绝对值进行讨论求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴或； 设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x， ∴表示的意义即为数轴上一点P到A的距离和到B的距离之和， 如图所示，当P在AB之间（包含A、B）时，； 当P在A点左侧时； 同理当P在B点右侧时； ∴的最小值为5， 故答案为：5或-1；5； （2）设A点表示的数为-2，B点表示的数为3，P点表示的数为x， 由（1）可知当当P在AB之间（包含A、B）时，，当P在A点左侧时，当P在B点右侧时 ∵， ∴当P在A点左侧时即， ∴； 同理当P在B点右侧时即， ∴； ∴当时，或4； 当时， ∵， ∴， 解得符合题意； 当时， ∵， ∴， 解得符合题意； 当时 ∵， ∴， 解得不符合题意； 当时 ∵， ∴， 解得不符合题意； ∴综上所述，当，或； 故答案为：或4；或； （3）当时， ∴， 当时， ∴， 当时 ∴， 当时 ∴， ∴此时 ∴综上所述，的最小值为17，此时． 【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，绝对值方程，数轴上两点之间的距离，解题的关键在于能够熟练掌握绝对值的几何意义． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $