1.1 集合的概念 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第 1 章 集合与常用逻辑用语 1.1集合的概念 课堂小结 “集合”是日常生活中的一个常用词， 现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起. 导入 那么，在数学的世界，我们如何理解“集合”？ 课堂小结 看下面的例子： （1）1~10之间的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一新生； （3）所有的正方形； （4）到直线M的距离等于定长d的所有点； （5）方程的所有解； （6）地球上的七大洲 2，4，6，8，10 全部正方形，无数个 点构成了直线 亚洲、欧洲、北美洲、南美洲、南极洲、非洲、大洋洲 全部新生 情景引入 集合 元素 课堂小结 1：集合的含义 定义集合： 一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。 课堂小结 【情景】军训时教官喊1班集合： 2班学生会不会跑到1班来？ 教官调整了站位后班级里的人有没有发生变化？班级会不会发生改变？ 教官要求报数的目的是什么？一个人是否会报两次？ 1班的同学能不能构成集合？ 确定性 无序性 互异性 情景引入 课堂小结 2：集合元素的特性 1.确定性 集合的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一。 2.互异性 集合中的元素不可以重复，即集合中的任何两个元素都是不同的。 3.无序性 集合中的元素没有先后顺序，即集合与其中元素的排列顺序无关。 集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的 课堂小结 【变式】具有下列特征的对象能否构成一个集合 不能，“体重很重”的标准不明确。 能， 横坐标小于0且纵坐标大于0的点 都是第二象限的点。 不能，“某些”指哪些？标准不明确。 能， 就是小于或等于5的数。 能， 该方程的有理数解为x=0。 课堂小结 3.元素和集合的关系 我们通常用大写拉丁字母A，B，C …表示集合，用小写拉丁字母a，b，c …表示集合中的元素。 已知下面的两个实例： （1）用A表示高一(3)班全体学生组成的集合。 （2）用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学。 思考：那么a，b与集合A分别有什么关系? a是集合A中的元素；b不是集合A中的元素 课堂小结 3.元素和集合的关系 属于符号和不属于符号具有方向性，左边是元素右边是集合。 a∈A a∉A 课堂小结 4.常用数集及其记法 常用的数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 —— ———— —— —— —— 举例 Q R N Z N* 或 N＋ 0,1,2,3，… 1,2,3，… 0,±1,±2, ±3，… 整数+分数 有理数 无理数 4.常用数集及其记法 课堂小结 变式训练 【变式】 用符号“∈”或“ ∉”填空。 (1) 2 N. (2) _______ Q. (3) 0 {0}. (4) b {a,b,c}. 【总结提升】 求解此类问题必须要做到以下两点： ①熟记常见的数集的符号； ②正确理解元素与集合之间的“属于”关系。 课堂小结 5.集合的表示方法 1.列举法： “地球上的四大洋”组成的集合可以表示为： ｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝ 将集合中的元素一一列举出来，并用大括号{ }括起来的方法叫做列举法。 { } 大括号不能缺失 元素间要用逗号隔开——{a,b,c,d} 课堂小结 例题讲解 由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法。例(1)的集合还可以写成： 课堂小结 思考 a 与 {a} 有什么区别？ 是一个元素 是一个集合 课堂小结 思考 你能用列举法表示不等式 x-7<3 的解集吗? 不等式x-7<3的解集是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示。但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即∶x是实数，且x<10，把解集表示为{x∈R|x<10}。 课堂小结 2.描述法： 设A是一个集合，我们把集合A中，所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为： 我们称这种方法为描述法。 P(x)表示该集合中的元素x所具有共同特征 x代表该集合的元素 5.集合的表示方法 温馨提示：有时也用冒号或者分号代替竖线，写成 ｛ ∈A：P()｝或｛ ∈A；P()｝ 课堂小结 偶数集 奇数集 5.集合的表示方法 课堂小结 例题精讲 解 解 课堂小结 例如: 5.集合的表示方法 课堂小结 自然语言是最基本的语言形式，使用范围广，但是具有多义性，有时难于表达。 列举法直观地体现了元素的个体，但是有局限性，多适用于元素个数较少的有限集。 描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于元素共同特征明显的集合，有些集合元素没有明显的共同特征，则不能用描述法。 方程的解集 ｛1｝ ｛| ｝ 思考 你能说出表示集合的三种方法各有什么特点？ 课堂小结 练习（第5页） 1．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）与定点A，B等距离的点； （2）高中学生中的游泳能手。 （1）是，即线段 AB 的垂直平分线。 （2）不是，因为游泳能手与不是能手没有具体的划分标准。 课堂小结 练习（第5页） 课堂小结 1.元素：一般地，我们把研究对象统称为 .元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示. 2.集合：把一些元素组成的总体叫做 (简称为 ).集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 3.集合中元素的特征： ， ， . 4.集合相等：只要构成两个集合的元素是 ，我们就称这两个集合是相等的. 确定性 元素 集合 集 互异性 无序性 一样的 课堂小结 课堂小结 5.元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 ______ a属于集合A 不属于 如果a不是集合A的元素 ______ a不属于集合A 6.常用数集及其记法 名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 ___ 或N+ ___ ___ R a∈A a∉A N N* Z Q 课堂小结 课堂小结 课堂小结 列举法 把集合的所有元素 出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做 . 一一列举 列举法 描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称为描述法. {x∈A|P(x)} 课堂小结 课堂小结 作业 教材第5页：习题1.1 --- 第1-4题 课堂小结 习题1.1 （第5页） 课堂小结 习题1.1 （第5页） 课堂小结 习题1.1 （第5页） （4）｛指南针，活字印刷，造纸术，火药｝ 课堂小结 习题1.1 （第5页） 课堂小结 习题1.1 （第5页） 5．集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的。当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，超过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念。希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”。请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识。 课堂小结 关系 概念 记作 读作 属于 如果a是集合A的元素， 就说a属于集合A ______ a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素， 就说a不属于集合A ______ a不属于 集合A $