专题06 函数的单调性与最值11大题型62题（期中专项训练）高一数学上学期人教版A版

专题06 函数的单调性与最值 题型1 求函数的单调区间（重点） 题型7 比较函数值的大小关系（重点） 题型2 根据解析式直接判断函数的单调性（常考点） 题型8 利用函数单调性求最值或值域（重点） 题型3 复合函数的单调性（重点） 题型9 根据函数的最值求参数 题型4用定义法证明函数的单调性（重点） 题型10 恒成立问题（难点） 题型5 已知函数单调性求参数（常考点） 题型11 能成立（有解）问题（难点） 题型6 根据函数的单调性解不等式（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求函数的单调区间（共5小题） 1．（24-25高一上·云南曲靖·期中）如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广西来宾·期中）函数的单调递减区间是 . 3．（23-24高一上·江西上饶·期末）函数的单调递减区间是 . 4．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数. (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象； (2)写出其单调区间（不用证明）. 5．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的抛物线的一部分. (1)在图中的直角坐标系中画出函数的图象； (2)求函数在上的解析式； (3)写出函数的单调区间. 题型二 根据解析式直接判断函数的单调性（共5小题） 6．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列函数在定义域内是增函数的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）下列函数在定义域上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·天津东丽·期中）下列函数在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·湖南长沙·期中）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列函数中，在区间上递增的是（    ） A． B． C． D． 题型三 复合函数的单调性（共3小题） 11．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 六、填空3题 13．（24-25高一上·重庆·期中）函数的增区间为 ． 题型四 用定义法证明函数的单调性（共13小题） 14．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数，其中，．求的值并用定义法证明函数在区间上单调递减． 15．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式． 16．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 17．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数为奇函数. (1)求a的值； (2)利用定义证明在上单调递增； (3)若存在，使得成立，求k的取值范围. 18．（23-24高一上·北京怀柔·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在单调性并用定义加以证明； (3)设函数（m∈R），若对，都有成立，求m的取值范围． 19．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)证明：在上单调递减. 20．（24-25高一上·北京·期中）设函数是定义在R上的函数，对任意的实数都有，且当时的取值范围是． (1)求证：存在实数使得； (2)当时，求的取值范围； (3)判断函数的单调性，并予以证明． 21．（24-25高一上·广西·期中）已知定义在上的函数满足，当时，. (1)若，求的值. (2)证明：是奇函数且在上为增函数. (3)解关于的不等式. 22．（24-25高一上·福建福州·期中）已知定义在上的函数，，对，，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明单调性； (3)若，求关于的不等式的解集． 23．（24-25高一上·安徽·期中）定义在上的函数满足：①当时，；②对任意实数x，y都有． (1)证明：当时，； (2)判断在上的单调性； (3)解不等． 24．（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知． (1)求，； (2)判断并证明的单调性； (3)解不等式：． 25．（24-25高一上·山东济南·期中）已知定义在上的函数，满足对任意的，都有.当时，，且. (1)求； (2)求证：在上是增函数； (3)解关于x的不等式. 26．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； 题型五 已知函数单调性求参数（共5小题） 27．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的最大值是（    ） A． B． C． D．1 30．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 31．（24-25高一上·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型六 根据函数的单调性解不等式（共5小题） 32．（24-25高一上·吉林延边·期末）定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知定义域为的函数在单调递增，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 35．（24-25高一上·广东江门·期中）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 36．（23-24高一上·贵州黔南·期末）已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（    ） A． B． C． D． 题型七 比较函数值的大小关系（共6小题） 37．（24-25高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·福建莆田·期中）设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·云南曲靖·期中）已知函数的定义域为，，是偶函数，且对于任意的，，都有成立，则（   ） A． B． C． D． 40．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25高一上·北京丰台·期中）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 42．（24-25高一上·北京·期中）已知函数在上单调递增，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型八 利用函数单调性求最值或值域（共6小题） 43．（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高一上·福建泉州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 45．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域是 C．函数 D．的最小值为 46．（24-25高一上·广东梅州·期中）函数在上的值域为 . 47．（24-25高一上·北京·期中）已知函数 (1)判断函数是否具有奇偶性？并说明理由； (2)用函数单调性的定义证明：在上是增函数； (3)求函数在区间上的值域． 48．（23-24高一上·北京·期末）已知函数 ． (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. (2)求出函数在区间上的最大值和最小值. (3)画出函数图象并求出其值域 题型九 根据函数的最值求参数（共4小题） 49．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 50．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 51．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的图像经过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)当时，的最小值为3，求的值. 52．（24-25高一上·内蒙古·期中）已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 题型十 恒成立问题（共5小题） 53．（24-25高一上·浙江·期中）若关于的不等式在当时恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 54．（24-25高一上·安徽·期中）若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 55．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是 . 56．（24-25高一上·新疆·期中）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)若对任意的，都有，求的取值范围. 57．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数，且，． (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． (3)若对，恒成立，求实数的取值范围． 题型十一 能成立（有解）问题（共5小题） 58．（24-25高一上·黑龙江·期中）若“，”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 59．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知函数．若“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 60．（24-25高一上·广西·期中）已知函数.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是 . 61．（24-25高一上·重庆·期中）已知 (1)求函数的解析式. (2)设函数，不等式在上有解，求实数的取值范围. 62．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． $专题06 函数的单调性与最值 题型1 求函数的单调区间（重点） 题型7 比较函数值的大小关系（重点） 题型2 根据解析式直接判断函数的单调性（常考点） 题型8 利用函数单调性求最值或值域（重点） 题型3 复合函数的单调性（重点） 题型9 根据函数的最值求参数 题型4用定义法证明函数的单调性（重点） 题型10 恒成立问题（难点） 题型5 已知函数单调性求参数（常考点） 题型11 能成立（有解）问题（难点） 题型6 根据函数的单调性解不等式（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求函数的单调区间（共5小题） 1．（24-25高一上·云南曲靖·期中）如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象即可得出单调递减区间. 【详解】根据题意，结合函数图象可得函数的单调递减区间为：. 故选：. 2．（24-25高一上·广西来宾·期中）函数的单调递减区间是 . 【答案】/ 【分析】绝对值函数转化为分段函数即可求得递减区间. 【详解】，所以函数的单调递减区间是. 故答案为： 3．（23-24高一上·江西上饶·期末）函数的单调递减区间是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质判断即可. 【详解】二次函数开口向上，对称轴为， 所以函数的单调递减区间为. 故答案为： 4．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数. (1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象； (2)写出其单调区间（不用证明）. 【答案】(1)，图象见解析； (2)增区间为，减区间为 【分析】（1）按的正负分类讨论去掉绝对值号，得到分段函数的形式； （2）观察图象得到函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，当时，， 故. 图象如下图: （2）由图可知：的单调递增区间：； 单调递减区间：. 5．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）设为定义在上的偶函数，如图是函数图象的一部分，当时，是线段；当时，图象是顶点为，且过点的抛物线的一部分. (1)在图中的直角坐标系中画出函数的图象； (2)求函数在上的解析式； (3)写出函数的单调区间. 【答案】(1)图象如图 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据偶函数的图象关于轴对称，作出左半图象即可； （2）根据题设条件，利用待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式即得； （3）结合图象，写出函数的单调区间即可. 【详解】（1）如图，根据函数为偶函数，函数的图象关于轴对称，作出其图如下： （2）当时，； 当时，依题设， 代入点，解得，故此时. 即函数在上的解析式为：. （3）由图知，函数的单调递增区间为：和；单调递减区间为：和. 题型二 根据解析式直接判断函数的单调性（共5小题） 6．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列函数在定义域内是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用各选项中函数式直接判断单调性即可. 【详解】对于A，一次函数在定义域R上单调递增，A是； 对于B，一次函数在定义域R上单调递减，B不是； 对于C，二次函数在定义域R上不单调，C不是； 对于D，二次函数在定义域R上不单调，D不是. 故选：A 7．（24-25高一上·浙江杭州·期中）下列函数在定义域上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数解析式逐项判断函数的单调性即可. 【详解】对于A，函数在定义域R上单调递增，A不是； 对于B，函数的定义域为，在定义域上不单调，B不是； 对于C，函数在定义域R上单调递减，C是； 对于D，函数的定义域为，在定义域上不单调，D不是. 故选：C 8．（24-25高一上·天津东丽·期中）下列函数在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由函数的解析式判断其单调性即可得解. 【详解】为减函数，，在上递减， 是上的增函数，在上是减函数. 故选：C. 9．（24-25高一上·湖南长沙·期中）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性逐一分析即可. 【详解】对于：为一次函数，在上单调递减，不符合题意； 对于：为二次函数，对称轴， 所以在上单调递减，不符合题意； 对于：为反比例函数，在上单调递增，符合题意； 对于：，当时，，则在单调递减，不符合题意； 故选：. 10．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列函数中，在区间上递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式直接判断函数单调性即可. 【详解】对于选项A：若，则在区间上递增，故A正确； 对于选项BCD：、、均在区间上递减，故BCD错误. 故选：A. 题型三 复合函数的单调性（共3小题） 11．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）函数的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数法可求得函数的增区间. 【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 因为内层函数在上递增，在上递减， 外层函数在上为减函数， 因此，函数的增区间为. 故选：B. 12．（24-25高一上·福建福州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求出单调递减区间即可. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 令，则， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：C. 六、填空3题 13．（24-25高一上·重庆·期中）函数的增区间为 ． 【答案】 【分析】由复合函数的单调性求解即可； 【详解】令，由可得或， 又为增函数，的对称轴为，开口向上， 所以函数的增区间为或， 故答案为：. 题型四 用定义法证明函数的单调性（共13小题） 14．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数，其中，．求的值并用定义法证明函数在区间上单调递减． 【答案】，证明见解析 【分析】由可得，然后由单调性定义可完成证明. 【详解】由于，所以，解得．所以. 下面证明在区间上单调递减． 在上任取，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 故函数在区间上单调递减． 15．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式． 【答案】(1)在上的单调递增，证明见解析 (2)所求不等式的解集为 【分析】（1）判断函数的单调性，再证明对，且，都有，结合定义可得结论； （2）先证明函数为奇函数，再结合函数性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】（1）（1）因为函数在上单调递增，故在上的单调递增． 证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以在上的单调递增．                                                                                         （2）因为，定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以为奇函数． 由， 得，即， 又，， 由（1）知在上的单调递增， 所以，所以， 所以不等式的解集为． 16．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数. (1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最大值为1，最小值为. 【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论； （2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值. 【详解】（1）证明：任取，且， 则 因为，，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知在区间上单调递增， 所以，， 所以函数在区间上的最大值为1，最小值为. 17．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数为奇函数. (1)求a的值； (2)利用定义证明在上单调递增； (3)若存在，使得成立，求k的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数解析式明确其定义域，利用奇函数性质建立方程，并结合奇函数定义验证，可得答案； （2）在定义域上任意取，利用作差法，根据指数函数的单调性，结合函数单调性定义，可得答案； （3）利用函数的奇偶性与单调性化简不等式，再利用分离参数整理不等式，根据二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）因为函数为奇函数，定义域为，所以，即， 此时，则，满足题意，所以. （2）证明：由（1）知，，任取，，且， 则， 因为，则，，所以，即，所以在上单调递增. （3）由，即， 因为函数在上单调递增，所以，即， 由题意，存在实数，使得成立，则， 令（），则，由， 当时，，即， 所以k的取值范围为. 18．（23-24高一上·北京怀柔·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在单调性并用定义加以证明； (3)设函数（m∈R），若对，都有成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由及求解，再检验即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）由题意可得成立，当时，，求出函数在上的最大值，代入求解即可． 【详解】（1）由题意可得，解得， 此时，x∈R， 由于，满足为R上的奇函数， 所以； （2）函数在上单调递增，证明如下： 任取， 则， 因为， 所以即 所以， 即，所以， 所以函数在上单调递增； （3）由题意可得成立， 由（2）可知在上单调递增， 所以， 所以在上恒成立， 又因为，开口向上，对称轴， 所以当时， ； 所以当时，则有，解得； 当时，则有，解得，不满足，故舍去； 综上，． 19．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)证明：在上单调递减. 【答案】(1)0； (2)偶函数，理由见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）令代入已知条件即可得结果； （2）令求得，再令并结合奇偶性定义，即可得判断； （3）令，且，结合已知即可证结论. 【详解】（1）令，则. （2）为偶函数，理由如下： 令，则， 令，则，即为偶函数. （3）令，则，故， 所以，则， 故，在上单调递减，得证. 20．（24-25高一上·北京·期中）设函数是定义在R上的函数，对任意的实数都有，且当时的取值范围是． (1)求证：存在实数使得； (2)当时，求的取值范围； (3)判断函数的单调性，并予以证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)单调递减，证明见解析. 【分析】（1）令结合题设可得，即可证； （2）令得到，若，结合已知即可求范围； （3）令，应用函数单调性定义求证即可. 【详解】（1）令，则， 当时的取值范围是，即，故， 显然存在，使，得证； （2）令，则，即， 若，则，故，即， 而，则，当时，取值范围是； （3）单调递减，证明如下： 令，则， 所以，则， 由题设及（2）知，，则，即， 所以单调递减，得证. 21．（24-25高一上·广西·期中）已知定义在上的函数满足，当时，. (1)若，求的值. (2)证明：是奇函数且在上为增函数. (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由题意可知：，利用赋值法求函数值； （2）根据题意结合奇函数和单调性的定义分析证明； （3）根据题意可得，结合单调性可得，解不等式即可. 【详解】（1）由，可得. 令，得， 令，，得，得， 令，得； 令，得. （2）由（1）知， 令，得，所以， 则是奇函数. 任取，，且，则， 则. 因为当时，， 所以，即， 所以在上为增函数. （3）由（2）可知，， 即，所以. 因为在上为增函数， 则，即， 因式分解得. 当时，不等式的解集为； 当时，不等式变为，不等式无解； 当时，不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 22．（24-25高一上·福建福州·期中）已知定义在上的函数，，对，，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明单调性； (3)若，求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据所给关系式利用赋值法计算可得； （2）构造，根据函数单调性定义证明； （3）依题意可得，结合（2）的单调性得到，即，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）因为，，都有且， 所以，则， ，则， 所以. （2）在上单调递增，证明如下： 因为，，都有，即， 在R上任取且，则，所以，则. 又， 所以函数在上单调递增. （3）不等式即， 即， 即， 又函数在上单调递增，所以不等式等价于， 即，又，所以不等式等价于， 当，即时，不等式等价于，所以不等式的解集为； 当，即时，解得，即不等式的解集为； 当，即时，解得，即不等式的解集为； 综上可得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 23．（24-25高一上·安徽·期中）定义在上的函数满足：①当时，；②对任意实数x，y都有． (1)证明：当时，； (2)判断在上的单调性； (3)解不等． 【答案】(1)证明见解析 (2)增函数 (3) 【分析】（1）赋值法可直接求出结果； （2）利用单调性得定义即可判断； （3）根据题意原不等式等价于，然后利用函数得单调性解不等式即可. 【详解】（1）令，则，所以．    当时，，则．在中， 令，则，所以 （2）设，则，所以． 于是， 故在上是增函数． （3）由题意知，原不等式等价于   由（2），在上是增函数得到，，且， 解得． 故原不等式的解集是． 24．（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知． (1)求，； (2)判断并证明的单调性； (3)解不等式：． 【答案】(1)； (2)在上单调递增，证明见解析 (3)或 【分析】（1）利用赋值法即可求，的值； （2）根据函数单调性的定义即可判断的单调性并证明； （3）结合函数单调性将不等式进行转化，即，可解不等式. 【详解】（1）令，则，， 令，则， 又，； （2）任取，且， 则， ∵， ∴， ∴， 即， 所以在上单调递增． （3）由， 即， 也就是， 即，因为在上是增函数， 所以， 可得不等式解集为或. 【点睛】关键点点睛：由，即，也就是，即，再结合函数单调性即可解不等式. 25．（24-25高一上·山东济南·期中）已知定义在上的函数，满足对任意的，都有.当时，，且. (1)求； (2)求证：在上是增函数； (3)解关于x的不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）令，即可求解； （2）由，结合题意，利用定义法即可证明； （3）由题意，将原不等式转化为，利用函数的单调性解不等式可得，分类讨论解含参的一元二次不等式即可. 【详解】（1）令，所以. （2）任取，且， 因为， 所以， 因为时，，所以， 所以，即， 所以在上是增函数. （3）， 所以， 则， 因为，所以， 所以，所以， 由（2）得在上是增函数， 所以，即， 所以， 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 26．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法先计算，再利用赋值法令，结合奇函数的定义计算即可； （2）先令得出，结合为奇函数及单调性的定义通过赋值计算即可证明. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 不妨令，得， 解得或， 又不存在，使得，故， 令，得， 故，即， 因此为奇函数； （2）时，， 则， 当且仅当，等号成立， 又不存在，使得，则， 于是时，， 又为奇函数，则时，， 于是对， 任取，则， 而， 又，则， 于是，故， 因此在上单调递增； 【点睛】思路点睛：先赋值及结合奇函数定义可证明奇偶性；通过判定，再根据单调性的定义作差证明即可. 题型五 已知函数单调性求参数（共5小题） 27．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意函数解析式可化为，利用反比例函数图象的平移和性质可得，解不等式即可得到结果. 【详解】由题意得，. ∵函数在区间上单调递减， ∴，解得，即的取值范围是. 故选：C. 28．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质得到或，解得即可. 【详解】因为函数在上具有单调性， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：B 29．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】变形得到，从而得到在上单调递增，分和两种情况，结合二次函数对称轴，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以， 即， 令，则， 故在上单调递增， 当时，满足在上单调递增， 当时，为二次函数， 需满足或， 解得或， 综上，，实数a的最大值为. 故选：C. 30．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合二次函数及反比例函数的性质，列出不等式求解即可. 【详解】因为当时，， 函数的图象开口向下，对称轴为， 又因为当时，， 又因为函数在R上单调递增， 所以，解得. 故选：D. 31．（24-25高一上·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一次函数和二次函数的图象和性质及分段函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知当时，单调递增，则①， 当时，是对称轴为，开口向下的抛物线，则②， 因为函数是增函数，所以③， 由①②③解得， 故选：C 题型六 根据函数的单调性解不等式（共5小题） 32．（24-25高一上·吉林延边·期末）定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，的值与的单调性，再分类讨论，，，与五种情况，结合的性质即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且， 所以，，在上单调递增， 当时，成立； 当时，成立； 当，即时，，即有，可得； 当时，，，可得，可得； 当时，，，可得，可得； 综上，或，即的取值范围是. 故选：B. 【点睛】易错点睛：本题容易忽略的情况，从而出现漏解的情况. 33．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知定义域为的函数在单调递增，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知可得函数关于点对称，结合单调性可得函数在上单调递增，再转化不等式为，由单调性即可列不等式得解集. 【详解】因为，则，所以函数关于点对称， 又函数在单调递增，所以函数在上单调递增， 即函数在上单调递增， 不等式转化为， 所以，即，解得， 故不等式的解集为. 故选：C. 34．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知定义在R上的函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的性质，利用性质求解不等式. 【详解】依题意，函数，函数是上的奇函数， ，函数分别是上的减函数和增函数， 因此函数是上的增函数，不等式， 则，解得，所以原不等式的解集为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是准确分析出给定函数的单调性和奇偶性. 35．（24-25高一上·广东江门·期中）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据已知可得函数在上单调递减，由为偶函数，可得在上单调递增，进而可得，然后利用单调性即可求解不等式． 【详解】 由对任意的，，可知函数在上单调递减， 因为为偶函数， 所以在上单调递增， 因为，所以， 所以当或时，，当时，， 因为， 所以或， 所以或，即． 故选：D． 36．（23-24高一上·贵州黔南·期末）已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件得到或，然后由单调性解不等式，即可求解. 【详解】不等式等价或， 又是函数图象上两点，即，， 且是定义在上的减函数，故或， 所以或，即不等式解集为. 故选：A 题型七 比较函数值的大小关系（共6小题） 37．（24-25高一上·河南郑州·期中）函数在区间上单调递减，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以不能判断的大小关系； B：因为，且函数在区间上单调递减， 所以有，因此本选项不正确； C：因为，所以不能判断的大小关系； D：由B可知本选项正确， 故选：D 38．（24-25高一上·福建莆田·期中）设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得到，再根据函数的单调性判断即可. 【详解】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，，所以， 则. 故选：B. 39．（24-25高一上·云南曲靖·期中）已知函数的定义域为，，是偶函数，且对于任意的，，都有成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇偶性可得的对称轴，结合已知关系式可得单调性，由此依次判断各个选项即可. 【详解】是偶函数，，图象关于对称， 对于任意的，，都有成立， 在上单调递增，在上单调递减； 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D. 40．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上单调递增，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据单调性和奇偶性分析内层函数值大小关系，然后再根据外层函数的单调性直接比较大小即可. 【详解】由题意可知，在上单调递减，在上单调递增；在上单调递增； A：因为，但的符号无法确定， 所以大小关系不确定，故A错误； B：由条件可知，，又因为，且在上单调递增， 所以，故B正确； C：因为，且在上单调递增，所以，故C正确； D：因为在上单调递增，所以，所以，故D正确； 故选：A. 41．（24-25高一上·北京丰台·期中）已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】由函数的单调性和奇偶性计算即可； 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在区间上单调递增，所以在单调递减； ， 所以，即， 故选：C. 42．（24-25高一上·北京·期中）已知函数在上单调递增，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用对称性将不在上的自变量值转化到上对应的自变量值，再根据单调性比较函数值大小. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以有. 那么，. 已知函数在上单调递增. 在上，，根据单调性，当时，，所以. 即，也就是. 故选：A. 题型八 利用函数单调性求最值或值域（共6小题） 43．（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性求解. 【详解】由得，所以的定义域为． 因为与在上均为增函数， 所以在上为增函数， 所以，即函数的值域为. 故选：A. 44．（24-25高一上·福建泉州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数单调性可得函数的值域. 【详解】由得且. ∵在上为减函数，在上为增函数， ∴在上均单调递减. 当且时，，当时，， ∴函数的值域为. 故选：D. 45．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B．的定义域是 C．函数 D．的最小值为 【答案】D 【分析】设，利用换元法求出，再逐项判断即可； 【详解】设，则， 所以，即， 对于A，不存在，故A错误； 对于B，定义域为，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由函数的单调性可得在定义域上为增函数，所以的最小值为，故D正确； 故选：D. 46．（24-25高一上·广东梅州·期中）函数在上的值域为 . 【答案】 【分析】根据对勾函数的性质求出函数的单调性，求出端点函数值，即可得解. 【详解】由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以函数在上的值域为. 故答案为： 47．（24-25高一上·北京·期中）已知函数 (1)判断函数是否具有奇偶性？并说明理由； (2)用函数单调性的定义证明：在上是增函数； (3)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)函数不具有奇偶性 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）通过函数定义域不关于原点对称可得函数不具有奇偶性. （2）利用定义法即可证明函数在上是增函数. （3）根据函数单调性可求函数的最值，即可得到值域. 【详解】（1）函数定义域为， 由于函数定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性. （2）. ，且，则 ， ∵，∴， ∴，即， ∴在上是增函数. （3）由（2）得，函数在上是增函数， ∴， ∴函数在区间上的值域为. 48．（23-24高一上·北京·期末）已知函数 ． (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. (2)求出函数在区间上的最大值和最小值. (3)画出函数图象并求出其值域 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2)最大值为，最小值为； (3)作图见解析，. 【分析】（1）将的解析式变形为即可判断单调性，再根据定义法证明函数单调性的步骤即可证明。 （2）由（1）的结论即可利用单调性求出最大值和最小值. （3）利用图象变换即可画出大致图象，由即可求出值域. 【详解】（1）函数在区间上单调递增. 任取，则， 由，得，则， 即，因此， 所以函数在区间上单调递增. （2）由（1）知函数在区间上单调递增，则，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. （3）函数的图象，可由反比例函数的图象向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到，大致图象如下： 函数，而，则， 所以的值域为. 题型九 根据函数的最值求参数（共4小题） 49．（23-24高一上·四川眉山·期中）已知函数的最小值为8.则实数的值是（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将原函数分离常数，由题意，结合反比例函数的性质建立方程，解之即可. 【详解】由， 而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减， 又其在上的最小值为8， 所以，解得. 故选：C. 50．（24-25高一上·陕西咸阳·期中）若函数在区间内存在最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质列式计算即可. 【详解】函数图象的对称轴为直线， 由函数在区间内存在最大值，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 51．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的图像经过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)当时，的最小值为3，求的值. 【答案】(1) (2)在上单调递减；证明见解析 (3)1 【分析】（1）代入已知点坐标求得参数值得函数解析式； （2）根据单调性定义证明； （3）结合单调性得最小值从而可求解． 【详解】（1）由题意知函数的图像经过点， 故，解得， 故； （2）函数在上单调递减； 证明：设，且， 则 ， 因为，故， 即，故函数在上单调递减. （3）由（2）知在是减函数， 因此，解得或， 又，所以． 52．（24-25高一上·内蒙古·期中）已知函数. (1)若恒成立，求的最大值； (2)若在上单调，求的取值范围； (3)求在上的最小值为，求. 【答案】(1) (2) (3)或5 【分析】（1）由一元二次不等式恒成立，结合图象推得，解之即得； （2）先求函数的单调区间，依题使为其单调区间的子集，解不等式即得； （3）由函数的单调性，根据给定区间与其对称轴的关系，分类考虑分别求解即得. 【详解】（1）由题意得恒成立，则， 解得， 所以a的最大值为. （2）由题意得图象的对称轴为直线， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或， 解得或，即a的取值范围为. （3）当，即时，在上单调递减，， 解得，舍去； 当，即时，在上单调递增，， 解得，符合题意； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得或0（，舍去）. 故或5. 题型十 恒成立问题（共5小题） 53．（24-25高一上·浙江·期中）若关于的不等式在当时恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为一次函数在区间上的函数值恒大于，由此求解出结果. 【详解】因为， 所以关于的一次函数在时恒有， 所以只需在时都有即可，所以，解得， 所以的取值范围是， 故选：A. 54．（24-25高一上·安徽·期中）若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为不等式对恒成立，结合不等式在R上恒成立问题计算即可求解. 【详解】由，得原不等式可转化为， 即对恒成立， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：B 55．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，结合对勾函数单调性可求得，根据恒成立的思想可求得结果. 【详解】， 当时，， 令，则在上单调递增，， ，当时，恒成立， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 56．（24-25高一上·新疆·期中）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)若对任意的，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用配凑法直接求解即可； （2）任取，由可得结论； （3）根据单调性可得，根据可构造不等式求得结果. 【详解】（1），. （2）在上单调递增，证明如下： 任取， ， ，，，， 在上单调递增. （3）由（2）知：在上单调递增，， ，解得：，的取值范围为. 57．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数，且，． (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． (3)若对，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意列出方程组并解出即可得； （2）结合单调性定义，令，求出的正负即可得； （3）结合函数单调性，可得，解出即可得. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故； （2）在上单调递增，证明如下： 令，则， 由，故，，即， 故在上单调递增； （3）由在上单调递增， 则当时，有， 即. 题型十一 能成立（有解）问题（共5小题） 58．（24-25高一上·黑龙江·期中）若“，”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知，然后求在时的最小值即可. 【详解】若“，”为真命题，则，又函数的图像开口向上，对称轴为，所以时，，所以. 故选：B 59．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）已知函数．若“，使得成立”为真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据一次函数的单调性求得，从而对恒成立，分离参数，利用二次函数性质求解即可. 【详解】，使得成立，， 又由在上单调递增，， 即对恒成立，， 即对恒成立，， 又由在上单调递增， 时，时，， . 故选：B． 60．（24-25高一上·广西·期中）已知函数.对于任意的，存在，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意，需满足，继而结合函数单调性求出两函数的最小值，讨论的范围，并解不等式即可求得答案. 【详解】由题意知，对于任意的，存在，使得， 即需满足， 函数在上单调递减，所以， 当时，在区间上单调递增，则， 所以，解得，所以， 当时，在区间上单调递减，则， 所以，解得，所以， 当时，符合题意， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 61．（24-25高一上·重庆·期中）已知 (1)求函数的解析式. (2)设函数，不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得函数的解析式. （2）利用基本不等式求的最小值，问题转化为，由此可得的取值范围. 【详解】（1）∵， ∴. （2）由题意得， ， ∵，∴， ∴，当且仅当，即时，等号成立， ∴当时，， ∵不等式在上有解， ∴，故， ∴实数的取值范围是. 62．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)若任意，都有成立，求实数的取值范围； (3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)R． (2) (3)． 【分析】（1）利用作差法计算可得，即可求解； （2）由题意可得在恒成立.法一：根据一元二次不等式恒成立问题计算即可求解；法二：利用分离参数法可得，结合基本不等式求出即可； （3）由题意可知，结合二次函数的图象与性质分别求出，建立不等式，解之即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以，即， 所以的解集为R． （2）若对任意，都有成立，即在恒成立， 解法一：设，对称轴， 由题意，只须， ①当即时，在上单调递增， 所以，符合题意，所以； ②当即时，在上单调递减，在单调递增， 所以，解得且， 所以． 综上，． 解法二：不等式可化为，即， 设， 由题意，只须， 当且仅当即时等号成立，则， 所以，即． （3）若对任意，存在，使得不等式成立， 即只需满足， ，对称轴在上递减，在上递增， 所以； ，对称轴， ①即时，在递增， 所以恒成立； ②即时，在递减，在递增， ， 所以，故； ③即时，在递减，， 所以，解得. 综上：． $