专题04 基本不等式12大题型60题（期中专项训练）高一数学上学期人教版A版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04基本不等式 题型归纳·内容导航 题型1基本不等式求积的最大值（重点） 题型7条件等式变形求最值（难点） 题型2基本不等式求和的最小值（重点） 题型8：基本不等式链的应用 题型9利用基本不等式在恒成立问题中求参数 题型3基本不等式“1”的妙用求最值（重点） 的范围（重点） 题型4二次与二次（或一次）的商式的最值 题型10利用基本不等式证明不等式 题型5换元法求最值（常考点）（难点） 题型11基本不等式的实际应用（常考点) 题型6两次应用基本不等式求最值（难点） 题型12权方和不等式（拓展）（重点） 题型通关•靶向提分 题型一基本不等式求积的最大值（共5小题） 1.(24-25高一上四川德阳期中)若实数x>0,y>0,且x+y=1,则9y的最大值为() A.1 B.2 c 0. 2.(24-25高一上陕西汉中.期末)若a>0,b>0,且a+b=3,则() A.b有最小值为 3 B.b有最大值为2 C.b有数小值为号 D.b有最大值为 3.(24-25高一上山西期中)已知0<a<√2，则aV2-a2的最大值为() A.月 B.2 C.1 D.2 4.(24-25高一上海南省直辖县级单位期中)若0<x<2,则3x2-x的最大值为 5.(24-25高一上.上海期中)设xy>0,若4x+1=1,则二的最大值为 y 题型二基本不等式求和的最小值（共3小题） 1/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(24-25高一上河南郑州期中)若a>1,则a+ 4 () a-1 A.有最小值5B.有最大值5 C.有最小值4 D.有最大值4 7,C24-25高一上天津和平期末)若xER且x<1,则4x+的最大值为() A.-2 B.0 C.2 D.8 8.（24-25高一上海南儋州期中)已知x>-4,则2x+1 的最小值为() x+4 A.2W2-8 B.2√2+8 C.2W2 D.2√2+4 9.(24-25高一上陕西汉中期中)函数fx)=x+1在(0，+0)上的最小值是 10.(24-25高一上.天津宁河期中)已知a>0,b>0,且ab=4,则a+b的最小值为 题型三基本不等式“1”的妙用求最值（共10小题） 11.(24-25高一上浙江温州-期中)已知正数a,b满足1+，1 足。+6+1，则a+b的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 12.(24-25高一上福建南平期中)已知X、y(0,+m),且满足上+=2，那么x+2y的最小值为（) x 2v A.4 B.2 C.1+ 2 D.1- 2 13.（24-25高一上云南昆明期末)已知m>0,n>0,且m+n=mn,则4m+n的最小值为()· A.9 B.8 C.6 D.5 14 14.（24-25高一上·湖北期末)己知x,y为正实数，且2x+y=1,则二+-的最小值为() A.2√2 B.6+4V2 C.82 D.9 1 15.(23-24高一上陕西咸阳·阶段练习)已知实数x满足0<x< ,则二+2的最小值为() x1-3x A.9 B.18 C.27 D.36 16.(24-25高一上-山东济宁期中)已知a>-1b>0,a+2b-1=0,则2+的最小值为（） a+l b A.1 B.2 C.3 D.4 17.(24-25高三上河南阶段练习)已知a>0,6>0,且2+ -+二=1，则a+2b的最小值为() atb b A.2 B.3+2√2 C.5√2 D.6 2/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.(24-25高一上·浙江绍兴期中)已知实数x>0,y>0, x中于y本1，则x+2y的最小值是 19.（24-25高一上吉林长春期末)已知x>1,y>0,x2-3x+y=0,则 4+的最小值为—一 x-1'y 20。(24-25高一上.四川泸州期中)若正数a,b满足4a+6=9,则上+2的最小值为 a b 题型四二次与二次（或一次）的商式的最值（共5小题） 21.(23-24高一上江苏宿迁期中)已知2<x<4,则 的最小值为 x-2+4-x 22.(22-23高一上上海浦东新期中)函数y=，,2x一的值域是 x2-x+4 3k3+3k 一23-24高一上上海浦东新期中)已知实数>0，则2+44 3 的最大值为 24.(24-25高一上·甘肃兰州期中)求解下列各题： 1求y=+3x+4x<0)的最大值。 2x 2求y=+8(x>的最小值。 x-1 (3)已知x>0,y>0且4x+y=y,若x+y>m2+8m恒成立，求实数m的取值范围. 25.(24-25高一上浙江杭州期中)(1)若x>0,求x+4的最小值，并写出取得最小值时x的值。 (2)若x>2,求函数f=-2x+4的最小值，并写出取得最小值时x的值。 x-2 题型五换元法求最值（共4小题） 26.(23-24高一上·浙江杭州期中)己知实数x、y满足x(x+y)=2+2y2,则7x2-y2的最小值为 27.(24-25高一上浙江·期中)设x>0,y>0,x+2y=2,则 V 的最大值为」 (x-2)y-1)+4 28.(24-25高一上重庆期中)若正实数x,y满足3x-2+8y-1=4-3x-2y,则2x+兰+3的最小 x y 值是 29.(24-25高一上广东江门期中)已知a,b∈R,(1)若a,b都是正数，且ab=a+b+3,则ab的最小 2+十6+的最大值为一 1 1 值为；(2)若a+b=4,则 3/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型六两次应用基本不等式求最值（共4小题） 30.(2-23高-上重庆九龙坡期中)已知a,b,c是正实数，且b+c=6,则ac+20+4最小值 bc a+l 为 31.(2-23高二下重庆渝中期末)对任意的正实数，b,c,满足6+c=1,则3ab+a+12的最小值 bc a+l 为 32.(24-25高一上重庆期中)已知正实数a、b、c满足b+c=1,则+1的最小值为一 2b1+c 8ab2+a+16的最小值为 bc a+l 2 33.(24-25高一上山东威海期中)己知实数m,n满足m>2n>0,则m2+ (m-2m的最小值为 题型土条件等式变形求最值（共7小题） 34.(24-25高三上广东深圳-阶段练习)已知a,b都是正实数，ab+2a+b=4,则a+b的最小值为() A.2 B.V6-2 C.2√6-3 D,√6-1 35.(24-25高-上湖北期中)设正实数X,y满足x+3+y+2=13,则 y 20_3的最小值为（) x v A.1 B.3 C.5 D.7 36.(24-25高一上·安微合肥期中)（多选）若实数a,b满足aC+bC-nab=9,n∈R则下列说法正确的 为() A.当n=1时，a+b最大值为18 B.当n=1时，a+b最小值为-6 C.当n=3时，ab有最大值 D.当a=3时，a6鼓小值号 37.(22-23高一上浙江湖州阶段练习)（多选）已知a,b为正实数，且ab+2a+b=16,则() A.2a+b的最小值为8 B.1 a+1干b+2的最小值为V2 C.ab的最大值为8 D.+,的绿小值为 10 38.（24-25高一上.重庆期中)若x,y∈R满足x2+4y2-2xy=1,则x2+4y2的最大值是，y的最小 值是一· 39.(24-25高一上河南·期中)己知正数x,y满足x+3y+2y=6,则Vxy的最大值为一 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 40.(23-24高一上陕西西安期末)己知x>0,y>0,m>0,且(x-y) =4,则m的最小值为 x V 题型八基本不等式链的应用（共3小题） 41.（24-25高一上四川遂宁期中)已知a>0,6>0,则叶b, 2，ab, a2+b2 2ab V2’ 中最大的是() a+b A. a2+b2 B.√ab C.atb D. 2ab 2 2 a+b 42.(22-23高一上河北邯郸期末)（多选）若a>0,b>0,且a≠b,则() A.a+b a'+b a2+b2 2>V2 B.a+b 2 2 C.vab>atb 2 D.Jab<atb 2 十六、解8答题 43.(24-25高一上：陕西宝鸡阶段练习)均值不等式a+b≥Vaba>0,b>0)可以推广成均值不等式链，在 2 2 不等式的证明和求最值中有着广泛的应用，具体为： 2 2 a b (1)上面给出的均值不等式链是二元形式，其中， 回+方≥a,b(a>0,b>0指的是两个正数的平方平均数不 2 小于它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算 数平均数（无需证明）； (2)若一个直角三角形的直角边分别为4，b,斜边c=4,求直角三角形周长1的取值范围. 题型九利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围（共5小题） 21 44.(24-25高一上福建福州阶段练习)已知实数x,y>0,且二+二=1，若2x+y>m2-8m恒成立，则实 x y 数m的取值范围为() A.{m-1<m<9}B.{m-9<m<1}C.{m-1≤m≤9}D.{mm<-1或m>9} 45.（24-25高一上安微池州期中)已知x>0,y>0,且x+y=5,若 +1≥2m+1恒成立，则实数 4 x+1y+2 m的取值范围是() 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C. D.（-00,4 46.(24-25高一上.四川达州期中)已知a>0,b>0, 若不等式m≤4a+9 二恒成立，则实数m的最大 a+b ab 值为() A.64 B.25 C.13 D.12 47.(24-25高一上·天津滨海新期中)已知x>2,若2x+2 >m2-2m恒成立，则实数m的取值范围 -2 是一 48.(24-25高一上山东临沂·期中)已知关于x的不等式ax2-3x+2>0的解集为{xx01或x>b}. (1)求a,b的值： 2)当x>0,y>0且满足+6=1时，有2x+y≥k:2-k+2恒成立，求实数的取值范围 x V 题型土利用基本不等式证明不等式（共3小题） 49.(24-25高一上上海期中)(1)已知a>1,求证：a+1<4+1 2-1a-1i (2)已知正数、y满足x+3y=2,求证：+之2+5 x y 50.(24-25高一上福建宁德期中)(1)已知x>0,y>0,且x+4y=4V3,求y的最大值； (2)证明：x、y、z∈(0，+∞)，（x+4y)y+z)(4z+x)≥323z. 51.(24-25高一上山西期中)设a,b均为正数，且a+b=1· (1)求a2+b2-4ab的最小值； 2证明：4+26+b2+40-9≥0， ab 题型十一基本不等式的实际应用（共5小题） 52.(23-24高一上.安微黄山·期末)我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的 对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腈的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平 方等于两直角边的平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于10，则这个直角三角形周长的最大值为() A.24 B.10W3+10 C.10v2+10 D.20 53.（24-25高一上.四川眉山期中)用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长10m,则 能围成的菜园面积的最大值为」 -m2. 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 54.(23-24高一上·天津北辰.期中)某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2,房屋正面每平方 米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为3m,且不计房 屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为元： 55.(23-24高一上北京怀柔期末)某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y （万元)与年产量x(吨)之间的关系式为y=x2+3000,且当年产量是100吨时，总成本为6000万元.平 均成本=总成本 总产量 (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本； (2)若企业每吨产品的出厂价为90万元，当年利润不少于3000万元时，则该生产线年产量的最小值应为多 少吨？（利润=销售额-成本） 56.(23-24高一上广东广州期末)如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方 体沉淀箱.设箱体的长度为Q米，高度为b米，现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时，该沉淀箱的 体积最大，并求体积的最大值. a 题型土二权方和不等式（拓展）（共4小题） 57.(23-24高一上·陕西西安期中)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很 广泛的应用，其表述如下：设m,n,x,y均为大于零的实数，则m+心≥m+川，当且仅当- =二时等 x y x+y 'x V 号成立。根据权方和不等式，函数fx)=2+,20<x< 的最小值为() x1-4x 4 A.4 B.8 C.16 D.18 58.(22-23高一上·贵州贵阳期末)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很 广泛的应用，其表述如下：设a,b,七，y>0,则心+≥a+b,当且仅当-附，等号成立，根 x y x+y x V 椒方和不等式，函数-子20<号引的最小为一 59.(24-25高一上江苏无锡期中)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 广泛的应用，其表述如下：设正数a,b,x,,满足+≥(a+ ,当且仅当=时，等号成立，则 x v x+y x y 函数fx=3+,160<x< 的最小值为 x1-3x 60.(24-25高一上河北期中)若a,>0,b,>0(i=1,2,…,n),m>0,则不等式 a+4+…+a）m ,当且仅当县=马==马时，等号成立这个不等式叫做权方 bm bm (6+b,+…+b) 和不等式，m称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中 一个重要的不等式. (1若a,>0,6>0(i=,2,证明二维形式的权方和不等式：g+三≥a+a by b2 b+b2 (2)己知x,>0i=1,2,…,5),x1+2x2+3x3+4x4+5x=30,求x2+2x+3x+4x+5x的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数x,y满足x2+y'-3x+2=0,求x+2的最大值， 3x-2 解：由权方和不等式得 x+2y.x+2y列2+2y 3x-2+P可t-5, 所以x+2y的最大值是5. 3x-2 8/8专题04 基本不等式 题型1 基本不等式求积的最大值（重点） 题型7 条件等式变形求最值（难点） 题型2 基本不等式求和的最小值（重点） 题型8 基本不等式链的应用 题型3 基本不等式“1”的妙用求最值（重点） 题型9 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围（重点） 题型4二次与二次(或一次)的商式的最值 题型10 利用基本不等式证明不等式 题型5 换元法求最值（常考点）（难点） 题型11 基本不等式的实际应用（常考点） 题型6 两次应用基本不等式求最值（难点） 题型12 权方和不等式（拓展）（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 基本不等式求积的最大值（共5小题） 1．（24-25高一上·四川德阳·期中）若实数，，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式进行求解即可. 【详解】，，， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故选：C 2．（24-25高一上·陕西汉中·期末）若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】D 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，当且仅当时取等号，解得. 故选：D. 3．（24-25高一上·山西·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】由，然后利用基本不等式求最大值． 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号， 所以的最大值为1. 故选：C. 4．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·期中）设，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式直接求解即可. 【详解】解：因为，， 所以根据基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为 故答案为： 题型二 基本不等式求和的最小值（共3小题） 6．（24-25高一上·河南郑州·期中）若，则（    ） A．有最小值5 B．有最大值5 C．有最小值4 D．有最大值4 【答案】A 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】，当且仅当时等号成立， 故的最小值为， 故选：A. 7．（24-25高一上·天津和平·期末）若且，则的最大值为（   ） A． B．0 C．2 D．8 【答案】B 【分析】利用不等式的基本条件“一正，二定，三相等”，对式子配凑完再提个负号即可得到结果. 【详解】因为，所以，即， ， 当且仅当，解得：或（舍），即当时，等号成立. 故选：B 8．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原式化为，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 9．（24-25高一上·陕西汉中·期中）函数在上的最小值是 ． 【答案】2 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立； 故答案为：. 10．（24-25高一上·天津宁河·期中）已知， 且，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】直接运用基本不等式：求解即可. 【详解】∵， ， ∴，当且仅当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 题型三 基本不等式“1”的妙用求最值（共10小题） 11．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据，展开根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意， ，当且仅当，即时取等号. 故选：B 12．（24-25高一上·福建南平·期中）已知、，且满足，那么的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为知、，且满足， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 13．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知，，且，则的最小值为（   ）． A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】A 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 14．（24-25高一上·湖北·期末）已知x，y为正实数，且，则 的最小值为（    ） A．2 B． C． D．9 【答案】B 【分析】利用乘“1”法即可求出最值. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 15．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数x满足，则的最小值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【分析】利用，结合基本不等式求和的最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 16．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故选：D 17．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】利用“1”的妙用结合基本不等式可求最小值. 【详解】，，， 当且仅当，即，时等号成立， 因此所求最小值为， 故选：B. 18．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知实数，则的最小值是 . 【答案】 【分析】表示，再利用的代换解出最小值即可. 【详解】由题意可得 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 则的最小值是. 故答案为： 19．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】法一：由题意可得，则，又，则，化简后借助基本不等式计算即可得；法二：由题意可得，再借助权方和不等式计算即可得. 【详解】法一：借助基本不等式“1”的活用： 由，，，则， 即，则， 则 ， 当且仅当，即，即、时，等号成立. 法二：借助权方和不等式： 由，，，则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 20．（24-25高一上·四川泸州·期中）若正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 题型四 二次与二次(或一次)的商式的最值（共5小题） 21．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可. 【详解】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 22．（22-23高一上·上海浦东新·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 23．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. 故答案为： 24．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 25．（24-25高一上·浙江杭州·期中）（1）若，求的最小值，并写出取得最小值时的值. （2）若，求函数的最小值，并写出取得最小值时的值. 【答案】（1）4，    （2）6， 【分析】（1）根据基本不等式求解即可； （2）将函数化成的形式，然后用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因，则有， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为4；      （2）当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最小值为6. 题型五 换元法求最值（共4小题） 26．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，令，，则，即可用含、的式子表示、，再代入，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为实数，满足， 化为， 令，，则． 联立可得，， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是用含、的式子表示、，再利用基本不等式求出最小值. 27．（24-25高一上·浙江·期中）设，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用已知条件化简，再根据换元法转化后根据基本不等式解答即可. 【详解】， ， 令 又， ，当且仅当时等号成立, , 在上单调递减， 时， 的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法和基本不等式的知识点，通过“对勾函数”求解最值. 28．（24-25高一上·重庆·期中）若正实数，满足，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】设，得到，假设得到矛盾，即有，结合且，将目标式化为，最后应用基本不等式求最小值. 【详解】设，则，即， 若，则，而，仅当时等号成立， 所以，显然与矛盾，所以， 由上，由，即，则， 所以 ，当且仅当时等号成立， 所以，，即，时，目标式最小值为4. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：应用换元法，结合基本不等式得到，再由将目标式整理只为含的表达式为关键. 29．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为 ；（2）若，则的最大值为 . 【答案】 9 【分析】（1）直接由基本不等式得，再将看成一个整体解一元二次不等式即可. （2）方法一：首先根据得，通分后将代入，再利用判别式法求最值即可； 方法二：设，，代入化简可得，利用分离常数法与基本不等式求解即可. 【详解】（1），为正数，且， ，，. （2）方法一：因为，所以，所以， 等号成立当且仅当， 从而， 令，设， 显然，则， 因为关于的一元二次方程有实数根，所以， 整理得，即， 解得， 注意到，从而， 等号成立当且仅当， 即， 所以经检验的最大值，即的最大值为. 方法二：设，， 则 . 故答案为：. 【点睛】常见的求最值的方法有：观察法(图象法)、配方法、基本不等式法、分离常数法、函数单调性求最值、判别式法等. 题型六 两次应用基本不等式求最值（共4小题） 30．（22-23高一上·重庆九龙坡·期中）已知，，是正实数，且，则最小值为 . 【答案】 【分析】首先变形为，再根据，变形为，展开后，利用基本不等式求最小值，最后再用基本不等式求最小值. 【详解】由题，， 其中 ， 当且仅当，即时取等， 故 ， 当且仅当时，即时取等. 故答案为： 31．（22-23高二下·重庆渝中·期末）对任意的正实数a，b，c，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据条件，得到，利用基本不等式得到，再通过构造，二次运用基本不等式即可求出结果. 【详解】因为 ，当且仅当时取等号. 故答案为：. 【点睛】关键点晴：解答本题的关键在于，利用条件将变形成，再整理成，再利用均值不等式即可求出结果. 32．（24-25高一上·重庆·期中）已知正实数、、满足，则的最小值为 ，的最小值为 . 【答案】 ； / 【分析】根据基本不等式中常值代换法可得第一空；利用两次基本不等式计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取得最小值； 易知 ， 当且仅当第一个不等号可取等号， 当且仅当第二个不等号可取等号. 故答案为：；. 【点睛】思路点睛：对于第一空可用常值代换即灵活运用“1”构造乘积为定值计算；对于第二空观察式子结构，灵活运用“1”构造齐次式，两次使用基本不等式计算即可，需注意等号成立的情况. 33．（24-25高一上·山东威海·期中）已知实数，满足，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由，得即为，变形后两次运用基本不等式即可求解 【详解】因为，所以， ∴ 当且仅当，即时等号成立 所以的最小值为8. 故答案为：8. 题型七 条件等式变形求最值（共7小题） 34．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知都是正实数，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件得，通过配凑变形，利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立，此时， 所以的最小值为. 故选：C. 35．（24-25高一上·湖北·期中）设正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得出，利用基本不等式可得出的最小值. 【详解】设，则，， 当且仅当时，即，时，等号成立． 故选：B． 36．（24-25高一上·安徽合肥·期中）（多选）若实数a， b满足 则下列说法正确的为（   ） A．当时，最大值为 B．当时， 最小值为 C．当时， 有最大值 D．当时，最小值 【答案】ABD 【分析】对于A，B，D利用重要不等式判断即可；对于C，运用“万能k法”判断方程是否有解即可. 【详解】对于A，当时，，解得， 当且仅当时等号成立，有最大值，最大值为18，选项A正确； 对于B，当时，，则， 所以，即， 当且仅当时时有最小值，最小值为，选项B正确； 对于C，当时，， 设，则化为， 即， 因为关于的方程有解， 所以，解得， 所以没有最大值，选项C错误； 对于D，当时，， 则，当且仅当时等号成立， 有最小值，最小值为，选项D正确． 故选：ABD． 37．（22-23高一上·浙江湖州·阶段练习）（多选）已知，为正实数，且，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】A，利用变形，利用基本不等式求解即可；B，由可得，利用基本不等式求解即可；C，利用，解一元二次不等式即可；D，原式变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】由得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值，对 , ， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错 因为，当且仅当时取等号， 解不等式得，故的最大值为，C对 ， 当且仅当即时取等号， 此时取得最小值，D正确 故选：ACD. 38．（24-25高一上·重庆·期中）若满足，则的最大值是 ，的最小值是 . 【答案】 2 【分析】将等式变形后运用基本不等式即可求得最值. 【详解】因，由，可得， 即得，当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最大值是； 因，，即得， 当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最小值是. 故答案为：2；. 39．（24-25高一上·河南·期中）已知正数x，y满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式得到，然后解不等式即可. 【详解】由基本不等式可得， 所以， 解二次不等式得， 当且仅当时取等号． 即的最大值为. 故答案为：． 40．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知，，，且，则m的最小值为 . 【答案】9 【分析】将所给条件式变形，结合基本不等式得关于的不等式，求解即可. 【详解】由，得，即. 因为，所以， 当且仅当时，取等号， 令，则，解得或（舍去）， 即，当且仅当时，取等号， 故的最小值是9. 故答案为：9． 题型八 基本不等式链的应用（共3小题） 41．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【详解】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 42．（22-23高一上·河北邯郸·期末）（多选）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据作差法结合条件可判断AB，利用基本不等式可判断CD. 【详解】，且， 所以，即，故A错误，B正确； 所以，即，故C错误，D正确. 故选：BD. 十六、解8答题 43．（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式的证明和求最值中有着广泛的应用，具体为：． (1)上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数（无需证明）； (2)若一个直角三角形的直角边分别为a，b，斜边，求直角三角形周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过类比写出三元形式. （2）根据基本不等式求得的范围，进而求得三角形周长的取值范围. 【详解】（1）由类比可得出: 三元形式：. 证明：要证即证， ， ，即当且仅当时等号成立. （2）， 由（1）， 当且仅当取“”， 又，， 所以三角形周长的取值范围. 题型九 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围（共5小题） 44．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据基本不等式“1”的妙用先求得的最小值，进而转化问题为，解不等式即可求解. 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 要使恒成立，则， 解得，即实数的取值范围为. 故选：A. 45．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 46．（24-25高一上·四川达州·期中）已知，，若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B．25 C．13 D．12 【答案】B 【分析】将不等式变形为，利用基本不等式即可得出答案． 【详解】，，则， 不等式 恒成立，即恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数m的最大值为. 故选：B. 47．（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知 ，若恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求不等式左侧的最小值，根据不等式恒成立只需右侧小于左侧的最小值，应用基本不等式求左侧最小值，再解一元二次不等式求范围. 【详解】由，， 当且仅当时取等号，故原不等式最小值为8， 由于题设不等式恒成立，则，即， 所以. 故答案为： 48．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知关于的不等式的解集为或. (1)求a，b的值； (2)当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由不等式解的结构特征可得且和是方程的两个根即可由根与系数的关系求解. （2）先由（1）结合基本不等式“1”的妙用方法求出，再由恒成立得不等式，解该不等式即可得解. 【详解】（1）由题可知，且和是方程的两个根， 所以，此时原不等式为即， 该不等式解集为或，符合， 所以. （2）由（1）得， 所以， 当且仅当即时等号成立，所以有最小值为8. 因为恒成立，所以即， 解方程得或， 所以不等式的解集为. 所以满足题意的实数的取值范围为. 题型十 利用基本不等式证明不等式（共3小题） 49．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，求证：； （2）已知正数x、y满足，求证：. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】（1）运用作差比较法作差通分整理后即可证明； （2）利用常值代换法和基本不等式即可求得的最小值，从而得证. 【详解】（1）由， 因，则，，故， 即得，故得证； （2）因正数x、y满足， 则 ， 当且仅当时等号成立. 由解得：， 即当，时等号成立，故得证. 50．（24-25高一上·福建宁德·期中）（1）已知，，且，求的最大值； （2）证明：、、，. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最大值； （2）利用基本不等式可证得所求不等式成立. 【详解】（1）因为，，且， 由基本不等式可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为； （2）因为、、都是正数， 由基本不等式可得，，， 由不等式的基本性质可得， 当且仅当时，等号成立. 故. 51．（24-25高一上·山西·期中）设，均为正数，且. (1)求的最小值； (2)证明：， 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式放缩求解； （2）把不等式右边的式子变形为， 再利用“1”的代换，凑出积为定值，从而求得最小值． 【详解】（1），均为正数，且， ， ，， （当且仅当时取“”）， 的最小值为； （2） ， 当且仅当，时等号成立， 故不等式. 题型十一 基本不等式的实际应用（共5小题） 52．（23-24高一上·安徽黄山·期末）我国古代著名数学巨著《周髀算经》记载着周朝时期的商高与周公的对话，商高提出了“勾三股四弦五”特例.后来古希腊的毕达哥拉斯学派用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于，则这个直角三角形周长的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这个直角三角形的两条直角边长分别为、，利用勾股定理和基本不等式可求得的最大值，由此可得出该直角三角形周长的最大值. 【详解】设这个直角三角形的两条直角边长分别为、，由勾股定理可得， 由基本不等式可得，所以， 即，故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此这个直角三角形周长的最大值为. 故选：C. 53．（24-25高一上·四川眉山·期中）用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长，则能围成的菜园面积的最大值为 . 【答案】 【分析】设矩形菜园的长为，宽为，得到，得到围成的菜园的面积，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设矩形菜园的长为，宽为，可得， 则围成的菜园的面积， 当且仅当即时等号成立， 所以围成菜园的最大面积为. 故答案为：. 54．（23-24高一上·天津北辰·期中）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 55．（23-24高一上·北京怀柔·期末）某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为y=ax2+3000，且当年产量是100吨时，总成本为6000万元．平均成本=． (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本； (2)若企业每吨产品的出厂价为90万元，当年利润不少于3000万元时，则该生产线年产量的最小值应为多少吨？（利润=销售额-成本） 【答案】(1)100吨， 60万元 (2)100吨 【分析】（1）由题意可知，当x=100时，y=6000，由此可求出a的值，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知，年利润，令，求出x的取值范围即可． 【详解】（1）当年产量是100吨时，总成本为6000万元， 所以，解得， 所以， 所以生产每吨产品的平均成本为， 当且仅当，即x=100， 所以当年产量为100吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低成本为60万元； （2）由题意可知，年利润， 令，得， 解得：， 所以该生产线年产量的最小值应为100吨． 56．（23-24高一上·广东广州·期末）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱.设箱体的长度为米，高度为米.现有制箱材料60平方米.问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值. 【答案】米，米；立方米 【分析】根据面积列出方程，据此条件利用均值不等式解出的范围即可得解. 【详解】由题意，，即，， 所以，即， 解得，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以. 即当，各为6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米. 题型十二 权方和不等式（拓展）（共4小题） 57．（23-24高一上·陕西西安·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设m，n，x，y均为大于零的实数，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．18 【答案】D 【分析】利用权方和不等式求解. 【详解】， 当且仅当，即时取得等号， 所以函数的最小值为18， 故选:D. 58．（22-23高一上·贵州贵阳·期末）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为 ． 【答案】8 【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可. 【详解】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立， 又，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故答案为：8. 59．（24-25高一上·江苏无锡·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为 ． 【答案】49 【分析】根据题中给的不等式可求得结果. 【详解】因为正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当即时，等号成立，此时的最小值为49， 故答案为：49. 60．（24-25高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 【答案】(1)证明见解析； (2)60； (3)解法不正确，理由见解析. 【分析】（1）将证明转化为证明，可以通过利用基本不等式来证明； （2）将变形成，利用权方和不等式结合已知条件，即可求解； （3）利用.权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足. 【详解】（1）证明： ，当且仅当时，等号成立. 因为，所以. （2） ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为.. （3）这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以本方程无实数解， 所以，的最大值不是5. $