专题08 函数性质的综合应用12大题型65题（期中专项训练）高一数学上学期人教版A版

专题08 函数性质的综合应用 题型1 求函数值（常考点） 题型7 抽象函数中的对称性问题（难点） 题型2 函数图象或解析式的判断（常考点） 题型8 周期性对称性的综合应用（重点） 题型3 单调性奇偶性结合比较大小关系（重点） 题型9 周期性奇偶性的综合应用（重点） 题型4单调性奇偶性结合解不等式（重点） 题型10 奇偶性对称性的综合应用（重点） 题型5 抽象函数中奇偶性问题（常考点） 题型11 函数性质的全部综合应用（难点） 题型6 抽象函数中的周期性问题（重点） 题型12 函数新定义（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求函数值（共5小题） 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于对称，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·福建莆田·期中）（多选）已知函数对任意实数均满足，则（   ） A．为偶函数 B． C． D．函数在区间上不单调 4．（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则或 5．（24-25高一上·上海·期中）已知函数，且同时满足下列三个条件： ①对任意的，都有成立； ②对任意的，都有成立； ③对于，都有成立， 则 ． 题型二 函数图象或解析式的判断（共4小题） 6．（24-25高一上·广东佛山·期中）函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·吉林长春·期末）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   8．（24-25高一上·重庆·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在的图像大致为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·四川南充·期中）函数的大致图象如图所示，则可能是（    ）    A． B． C． D． 题型三 单调性奇偶性结合比较大小关系（共4小题） 10．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 11．（22-23高一上·山东聊城·期中）已知函数是上的奇函数，对任意的，，设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·北京·期中）已知奇函数在上是增函数，．若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 13．（2024·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 题型四 单调性奇偶性结合解不等式（共6小题） 14．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知偶函数的定义域为，对于任意均有，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·山东菏泽·期中）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·四川南充·期中）已知函数的定义域为，，都有，且，都有，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，且是上的增函数，若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·北京怀柔·期末）若函数为偶函数，且在内是增函数，又，则的解集是（） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的奇函数，对任意，有，的解集为（    ） A． B． C． D． 题型五 抽象函数中奇偶性问题（共7小题） 20．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 21．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 22．（24-25高一上·辽宁·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．函数是奇函数 D．函数是增函数 23．（22-23高一上·北京·期末）已知函数对任意实数m、n都满足等式，当时，，且． (1)判断的奇偶性； (2)判断的单调性，求在区间上的最大值； (3)是否存在实数a，对于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 24．（23-24高一上·浙江·期中）定义在的函数满足：对任意的，都有，且当时，. (1)求证：函数是奇函数； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若，且恒成立，求实数的取值范围. 25．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 26．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)当，证明在上单调递增，并求不等式的解集. 题型六 抽象函数中的周期性问题（共4小题） 27．（24-25高三上·宁夏中卫·期中）函数满足，当，，则 ． 28．（23-24高一上·山东济南·期末）定义域为的奇函数满足，且当时，，则的值为 . 29．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则 . 30．（24-25高一上·天津·期中）已知在上是周期为3的奇函数，当时，，则 . 题型七 抽象函数中的对称性问题（共5小题） 31．（24-25高一上·北京·期中）函数的图象关于（   ） A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．点对称 32．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（   ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4049 33．（24-25高一上·四川自贡·期中）已知三次函数有唯一对称中心，据此结论完成的对称中心 . 34．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到．函数对称中心是 ，进而求值 ． 35．（24-25高一上·上海·期中）已知，．函数的图像是一个中心对称图形．若函数与函数的图像交点分别为，，…，（为正整数），则 ．注：． 题型八 周期性对称性的综合应用（共2小题） 36．函数对任意，都有的图形关于对称，且，则（    ） A．1 B． C．0 D．2 37．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数满足，，且，则的值为（    ） A．96 B． C．102 D． 题型九 周期性奇偶性的综合应用（共6小题） 38．（23-24高一下·湖北·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C．1 D．2 39．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知定义在上的奇函数，其图象关于轴对称，当时，，则（   ） A． B． C． D． 40．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的偶函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．10 41．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 42．（2024高三·全国·专题练习）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则 ． 43．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若是定义在上的奇函数，，，则 ． 题型十 奇偶性对称性的综合应用（共5小题） 44．（23-24高一上·重庆·期末）定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 45．（23-24高一上·福建宁德·期末）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，，均有，则（    ） A．335 B．345 C．356 D．357 46．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知函数的定义域为，，函数是奇函数，的图象关于直线对称，则（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 47．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． 48．（24-25高一上·江苏扬州·期中）为定义在上的奇函数，函数图象关于直线对称，且，则 . 题型十一 函数性质的全部综合应用（共10小题） 多选题 49．（24-25高一上·湖北荆州·期中）已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C． D． 50．（24-25高一上·吉林·期中）已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C． D．若，则 51．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上是减函数 C． D．不等式的解集为 52．（24-25高一上·山东威海·期中）已知函数为上的奇函数，对任意的，成立，又时，单调递增，则（    ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C． D． 53．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）定义在上的函数，对，都有，且当时，恒成立，则（   ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C． D．任意实数都满足 54．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数在R上单调，且对任意恒成立，则（   ） A． B．若在R上单调递增，则 C．是奇函数 D．是奇函数 55．（24-25高一上·广东广州·期中）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递增 56．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数的定义域为，且，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．在上具有单调性 57．（24-25高一上·江苏·期末）已知函数的定义域为，且，函数在上单调递增，则下列命题为真命题的是（    ） A．的图象关于点对称 B．为偶函数 C．的图象关于直线对称 D．若，则 58．（24-25高一上·甘肃天水·期末）若满足对任意的实数都有，且，则下列判断正确的有（    ） A．是奇函数 B．在定义域上单调递增 C．当时，函数 D． 题型十二 函数新定义（共7小题） 59．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，被称为“高斯函数”，其中表示不超过的最大整数.已知，均为正数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 60．（24-25高一上·江苏徐州·期中）定义运算“”：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 61．（24-25高一上·福建南平·期中）若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 62．（24-25高一上·辽宁·期末）若函数的定义域、值域均为，则称为区间上的方正函数． (1)若为区间上的方正函数，求实数的值； (2)是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由． 63．（24-25高一上·陕西西安·期末）若在函数定义域内存在，使得成立，则称具有性质. (1)试判断函数是否具有性质； (2)证明：所有二次函数都具有性质； (3)若函数且具有性质，求实数的取值范围. 64．（24-25高一上·浙江杭州·期中）小方同学在阅读高等数学时发现两则定义， 定义1，设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的下凸函数．如图2． 定义2．设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的上凸函数．如图3． 例如，函数在为上凸函数，在上为下凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小方同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：若是区间上的下凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当，时等号成立）．结合阅读材料回答下面的问题： (1)已知为下凸函数，若，求的最大值； (2)求证：二次函数是上凸函数． (3)设，，且，求的最小值． 65．（24-25高一上·四川巴中·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． (1)用定义证明函数在为单调递增函数； (2)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由； (3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． $专题08 函数性质的综合应用 题型1 求函数值（常考点） 题型7 抽象函数中的对称性问题（难点） 题型2 函数图象或解析式的判断（常考点） 题型8 周期性对称性的综合应用（重点） 题型3 单调性奇偶性结合比较大小关系（重点） 题型9 周期性奇偶性的综合应用（重点） 题型4单调性奇偶性结合解不等式（重点） 题型10 奇偶性对称性的综合应用（重点） 题型5 抽象函数中奇偶性问题（常考点） 题型11 函数性质的全部综合应用（难点） 题型6 抽象函数中的周期性问题（重点） 题型12 函数新定义（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 求函数值（共5小题） 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 2．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于对称，当时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设得到、，结合已知求相关函数值，即可求结果. 【详解】由，则①， 由，则②， 由①有，结合②有， 所以，故， 由的图象关于对称，则③， 由①有，结合②③有， 所以，则， 由知：， 由知：， 且， 综上，. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据题设得到、为关键. 3．（24-25高一上·福建莆田·期中）（多选）已知函数对任意实数均满足，则（   ） A．为偶函数 B． C． D．函数在区间上不单调 【答案】ACD 【分析】用替换，则，可推导，即可判断；利用赋值法可判断；由可判断；计算满足的的值，由此可得，即可判断. 【详解】选项，中， 用替换，则， 两式相减得：，即可得：，故正确； 选项，令，则，需求， 令，则，需求， 令，则， 因为为偶函数，所以， 所以， 由上述两式可得：， 所以，故错误； 选项，由选项知，，故正确； 选项，，注意到两系数之和为3， 若令， 则有，所以， 令，求得，取， 则，即，则， 即函数在区间上不单调，故正确. 故选：. 【点睛】方法点睛：验证抽象函数的奇偶性时，可取一对相反数代入；抽象函数求某一点函数值的问题可尝试代入，，等特殊值，再通过式子的加减变换求出所求的函数值. 4．（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则或 【答案】BCD 【分析】根据赋值法，函数的奇偶性的概念，函数的单调性的概念，可得是偶函数且在上单调递增，从而再针对各个选项分别求解即可． 【详解】对选项A，令，则，所以， 再令，则，所以，所以选项A错误； 对选项B，定义在上的函数，定义域关于原点对称， 令，则， 所以，所以， 所以是偶函数，所以选项B正确； 对选项C，设，则， 因为当时，，所以， 由，知， 所以，所以， 所以在上单调递增， 因为，所以，所以选项C正确； 选项D，由选项B分析可知是偶函数，由选项C知在上单调递增， 所以在上单调递减，又， 若，则，解得且，所以选项D正确． 故选：BCD． 5．（24-25高一上·上海·期中）已知函数，且同时满足下列三个条件： ①对任意的，都有成立； ②对任意的，都有成立； ③对于，都有成立， 则 ． 【答案】/0.9375 【分析】由①得，再得出，从而求得，进而有时，，然后再计算． 【详解】由①得，∴， 因此由②得， 又，而， 所以，所以， 所以，又，所以，从而， 由③得时，， 所以， 而，所以， 所以， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：通过对已知条件中变量赋值得出函数值，如，为了求，需要结合两个条件得出，再结合可求得，利用单调性可得出函数的一部分表达式：时，，然后利用已知条件化所求值式子中的自变量值到此范围后即可得．实际上可用反证法证明，从而很快求得， 题型二 函数图象或解析式的判断（共4小题） 6．（24-25高一上·广东佛山·期中）函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数探讨函数的性质，进而确定其大致图象. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，选项AC不满足； 当时，，此时恒成立，B不满足，D符合题意. 故选：D 7．（24-25高一上·吉林长春·期末）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确答案. 【详解】因为的定义域为，且， 所以是奇函数，图像关于原点对称，由此排除CD选项. 又因为，排除A选项. 故选：B. 8．（24-25高一上·重庆·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在的图像大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的解析式，可得函数为奇函数，排除C选项，在上函数值大于0，排除D选项，再由接近8，排除A，只有B的图象接近函数的图象. 【详解】解：设函数在上，定义域关于原点对称， 又因为， 所以函数为奇函数，排除C选项， 当时，，排除D选项， 当时，，所以A不正确，B正确. 故选：B. 9．（24-25高一上·四川南充·期中）函数的大致图象如图所示，则可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象分析的奇偶性以及定义域，然后逐项判断即可. 【详解】由图象可知，为奇函数且定义域为， 对于A：定义域为关于原点对称，，是偶函数，不符合； 对于B：定义域为，不符合； 对于C：定义域为关于原点对称，，是奇函数，符合； 对于D：定义域为，不符合； 故选：C. 题型三 单调性奇偶性结合比较大小关系（共4小题） 10．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件可得，再利用单调性比较大小即得. 【详解】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C 11．（22-23高一上·山东聊城·期中）已知函数是上的奇函数，对任意的，，设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定数在上单调递增，是上的偶数，变换得到，，，根据单调性得到答案. 【详解】，即， 故函数在上单调递增，是上的奇函数， 故是上的偶数， ，，. ，故. 故选：A 12．（24-25高一上·北京·期中）已知奇函数在上是增函数，．若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断的奇偶性与在上的单调性，根据奇偶性与单调性判断即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且在上单调递增， 则定义域为，， 又，所以是偶函数， 又在上是增函数，所以当时， 设，则，所以，即， 所以在上是增函数， 所以，又， 所以，即． 故选：C. 13．（2024·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数满足的表达式以及，利用赋值法即可计算出的大小. 【详解】由可得， 令，代入可得，即， 令，代入可得，即， 令，代入可得，即； 由可得， 显然可得. 故选：A 【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解. 题型四 单调性奇偶性结合解不等式（共6小题） 14．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知偶函数的定义域为，对于任意均有，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在单调递减，又函数为偶函数，且 所以不等式等价于,即，解之即可. 【详解】因为的定义域为，且对于任意均有， 所以在单调递减， 又函数为偶函数，且 由，得，等价于， 所以， 即， 解得：， 所以实数的取值范围是：， 故选：B. 15．（24-25高一上·山东菏泽·期中）设函数，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性和奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】易知：函数（）为偶函数，图象关于轴对称，且函数在上单调递增，在上单调递减. 所以， 所以或且，. 即：. 故选：B 【点睛】关键点点睛：分析函数的定义域，奇偶性，单调性，把不等式转化为代数不等式时，要注意函数定义域的限制. 16．（24-25高一上·四川南充·期中）已知函数的定义域为，，都有，且，都有，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】采用赋值法先分析的奇偶性，再根据条件得到的单调性，然后将函数值大小关系转化为自变量大小关系，从而可求结果. 【详解】因为，都有， 令，则，解得， 令，则，解得， 令，则， 又的定义域为关于原点对称，所以为偶函数； 因为，都有， 即，都有， 所以在上单调递减， 所以在上单调递减，所以在上单调递增， 又因为， 所以， 由此解得或， 故选：A. 17．（24-25高一上·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，且是上的增函数，若，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，可得到结论. 【详解】因为是上的增函数，且， 所以当时，；当时，． 因为是定义在上的奇函数，所以的图象关于原点对称， 所以当时，； 当时，． 故不等式等价于或， 解得或． 故选：C. 18．（23-24高一上·北京怀柔·期末）若函数为偶函数，且在内是增函数，又，则的解集是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式． 【详解】因为函数为偶函数，且在内是增函数， 所以在上单调递减， 则可化为或， 所以或， 所以或. 故选:D. 19．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的奇函数，对任意，有，的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件判断函数的单调性，再利用奇函数的性质将不等式进行转化，最后求解不等式. 【详解】已知对任意，有，这表明当时，；当时，. 即当时，，所以函数在上是减函数. 因为是定义域为的奇函数，所以，那么. 所以可化为，即. 由于在上是减函数，且，根据减函数的性质可得. 得到.可得. 所以不等式的解集为. 故选：B. 题型五 抽象函数中奇偶性问题（共7小题） 20．（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【分析】用赋值法，先令求得，再令求解后即可判断． 【详解】在中， 令，则，又，所以， 令得，所以， 所以是偶函数， 故选：B． 21．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【分析】对于A，令，可求出进行判断，对于B，令，可求出进行判断，对于CD，令，可求出，从而可求出，进而可判断其奇偶性. 【详解】对于A， 令，则，得， 所以或， 当时，不恒成立，所以，所以A错误， 对于B，令，则，得， 所以，或， 由选项A可知，所以，所以B错误， 对于CD，令，则，由选项A可知， 所以，所以， 令，则， 所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确， 故选：D 22．（24-25高一上·辽宁·期中）（多选）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．函数是奇函数 D．函数是增函数 【答案】ACD 【分析】首先利用赋值法求的值，再令，，求，并代入求函数的解析式，并赋值判断BD. 【详解】令，，则，因为， 所以， 令，，得， 即，，所以，故A正确； 令，，所以，为奇函数，故C正确； 由，令，得，故B错误； 上式中令为，得，为增函数，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件等式，合理给变量赋值，以及赋变量. 23．（22-23高一上·北京·期末）已知函数对任意实数m、n都满足等式，当时，，且． (1)判断的奇偶性； (2)判断的单调性，求在区间上的最大值； (3)是否存在实数a，对于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)奇函数； (2)为上的减函数；在上的最大值为6； (3)存在，实数a的取值范围为． 【分析】（1）赋值法得到，，得到函数的奇偶性； （2）先由时，利用赋值法得到函数单调递减，再用赋值法和奇偶性得到，从而得到在区间上的最大值； （3）先根据单调性得到，问题转化为，恒成立，令，为一次函数，得到不等式组，求出实数a的取值范围. 【详解】（1）取，则， ∴， 取，，则， ∴对任意恒成立， ∴为奇函数； （2）任取且， 则， 因为，故， 令，则有， 即， ∵时，， 故时，， ∴， ∴． 故为上的减函数． ∴，， ∵，， 令，则，故， 因为 令，则，即， 由（1）知：为奇函数，故， 故，解得：， 故， 故在上的最大值为6； （3）∵在上是减函数， ∴， ∵，对所有，恒成立． ∴，恒成立； 即，恒成立， 令，则，即， 解得：或． ∴实数a的取值范围为． 24．（23-24高一上·浙江·期中）定义在的函数满足：对任意的，都有，且当时，. (1)求证：函数是奇函数； (2)求证：函数在上是减函数； (3)若，且恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明； （2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明； （3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理. 【详解】（1）令，则有， 令，则有， ， 是奇函数. （2）设则 所以， 因为，所以，即，则， 又，所以，所以， 所以，即， 所以在上是减函数. （3）由（1）（2）知在上是减函数，且为奇函数， 所以当时，函数的最小值为， 所以恒成立， 等价于：恒成立， 即恒成立， 设，是关于的一次函数， 所以，即，则， 则. 25．（23-24高一上·福建福州·阶段练习）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)为奇函数； (2)在上的单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）通过特殊值以及函数的奇偶性的定义判断即可； （2）判断函数的单调性，利用单调性的定义证明即可； （3）结合已知利用函数的单调性化简不等式，分离参数，转化为最值求解即可． 【详解】（1）结合题意：由函数的定义域为,且， 取，则，即， 取，则，所以， 所以为奇函数. （2）在R上的单调递减，证明如下： 任取，且，则， 令，则， 因为为奇函数，所以， 因为当时，，所以， 即，所以在上的单调递减. （3）由，得， 因为，所以， 因为在上的单调递减，所以， 即时，恒成立， 等价于对任意时，恒成立， 令，则， 所以， 所以， 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解题关键是利用进行恰当的赋值,转化为函数的单调性与奇偶性问题,最后一问主要是借助单调性，并进行分参，将恒成立问题转化为最值问题. 26．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)当，证明在上单调递增，并求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析，不等式解集为或 【分析】（1）令求，令求. （2）令得，结合函数的定义域得为偶函数. （3）用定义法结合题目条件证明在上单调递增，根据函数为偶函数得到在上单调递减，利用函数的单调性求不等式的解集. 【详解】（1）令得，故， 令得，故. （2）令得. ∵是定义在非零实数集上的函数， ∴为偶函数. （3）设任意的， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴函数在上单调递增. ∵在上单调递增，且为偶函数， ∴在上是减函数， ∵， ∴， ∴且，解得且， ∴不等式的解集为或. 题型六 抽象函数中的周期性问题（共4小题） 27．（24-25高三上·宁夏中卫·期中）函数满足，当，，则 ． 【答案】1 【分析】根据函数关系计算得出函数周期为4，再结合已知，求得，从而得解. 【详解】∵，∴， 则函数的周期为4， ∴， 又∵，，∴， 所以. 故答案为：1 28．（23-24高一上·山东济南·期末）定义域为的奇函数满足，且当时，，则的值为 . 【答案】1 【分析】由奇函数的性质以及周期性代入即可求解. 【详解】由题意. 故答案为：1. 29．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则 . 【答案】 【分析】先求出函数的周期，利用周期性将化为，再利用函数的奇偶性，有，代入解析式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以的周期为，且为偶函数，即， 当时，，. 故答案为： 30．（24-25高一上·天津·期中）已知在上是周期为3的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据周期可得，根据奇函数得，代入已知条件即可求解. 【详解】因为的周期为3，且为奇函数， 所以. 故答案为： 题型七 抽象函数中的对称性问题（共5小题） 31．（24-25高一上·北京·期中）函数的图象关于（   ） A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．点对称 【答案】A 【分析】用代换判断的关系判断A、C；根据函数的概念判断B；根据是否恒成立判断D. 【详解】由，且定义域为R， 所以函数图象关于原点对称，A对，C错； 由， 显然不恒成立，D错； 由函数的对应关系可知，函数图象不可能关于x轴对称，B错. 故选：A 32．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数既是二次函数又是幂函数，若函数，则（   ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4049 【答案】D 【分析】根据已知有，进而可得、，利用对称性求目标式的值. 【详解】由题可知：，则， 所以，且， 则 . 故选：D 33．（24-25高一上·四川自贡·期中）已知三次函数有唯一对称中心，据此结论完成的对称中心 . 【答案】 【分析】由对称中心概念即可求解. 【详解】由题意对于，， ， 所以的对称中心是. 故答案为： 34．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到．函数对称中心是 ，进而求值 ． 【答案】 【分析】利用函数图象平移可得出函数的对称中心，结合对称性可得出，再利用倒序相加法可得出所求代数式的值. 【详解】因为函数， 所以，函数的图象可由反比例函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 因为函数为奇函数，其对称中心为原点， 故函数对称中心，故， 记， 则 ， 故. 故答案为：；. 35．（24-25高一上·上海·期中）已知，．函数的图像是一个中心对称图形．若函数与函数的图像交点分别为，，…，（为正整数），则 ．注：． 【答案】 【分析】由已知可得，即可证，即函数与都关于点对称，进而可得解. 【详解】 由已知，则， 则， 即函数关于点对称， 且，函数在上单调递增， 又， 则，， 即函数关于点， 且在，，，上分别单调递减， 作出函数与的图像如图所示， 可知函数与有个交点， 分别为，，，， 且与，与分别关于点对称， 即， 故答案为：. 题型八 周期性对称性的综合应用（共2小题） 36．函数对任意，都有的图形关于对称，且，则（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】根据可得函数的周期为，再根据的图形关于对称，则的图象关于点对称，从而根据周期性和对称性即可得解. 【详解】解：因为函数对任意，都有， 所以函数的周期为， 将的图形向左平移1个单位可得的图象， 又的图形关于对称， 所以的图象关于点对称， 故为R上的奇函数， 所以． 故选：B． 37．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数满足，，且，则的值为（    ） A．96 B． C．102 D． 【答案】C 【分析】根据题意，推得既关于成轴对称，又关于点成中心对称，由和，结合函数的对称性和周期性，即可求解. 【详解】根据题意，函数满足，可得函数关于点成中心对称， 又由函数满足，即 所以函数关于对称， 所以函数既关于成轴对称，又关于点成中心对称， 所以，且函数的周期， 又因为，所以， 可得， 所以 . 故答案为：. 题型九 周期性奇偶性的综合应用（共6小题） 38．（23-24高一下·湖北·期中）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由是定义在上的奇函数，可得，结合可得函数的周期为4，利用周期性求解即可. 【详解】由已知是定义在上的奇函数，所以， 由于可知，所以， 进而得到周期为4，. 故选：B. 39．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知定义在上的奇函数，其图象关于轴对称，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用对称性及奇函数的性质计算即得. 【详解】由函数的图象关于轴对称，得， 由函数是上的奇函数，得，因此， 又当时，，所以. 故选：B 40．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的偶函数满足，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．10 【答案】A 【分析】先利用偶函数性质和已知等式得到函数的周期，再根据周期和已知等式计算. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以. 已知，将换为，可得，又因为，所以. 由和可得. 令，则，那么，又因为，所以， 即，所以函数的周期是，所以. 在中，令，可得，即，解得，所以. 故选：A. 41．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为奇函数得对称中心为，结合为偶函数，求周期为，从而求出，即可得到的值. 【详解】因为为奇函数，则，且函数的图象关于中心对称，即， 因为为偶函数，所以，则， 所以，，所以，故的周期为， 因为， 所以， 故选：B. 【点睛】关键点点睛： 由为奇函数，为偶函数，求对称中心和对称轴，推函数的周期，关于抽象函数考查对称性和周期性的综合题，一般都是借助题中的条件找到对称中心和对称轴再推周期. 42．（2024高三·全国·专题练习）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则 ． 【答案】1 【分析】因为是定义域为的奇函数，则，并且，可得函数的周期为，根据函数性质可得，进而求得结果. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，， 又，所以，即， 所以，即是以为周期的奇函数， ，又，， 则，故， 则． 故答案为：. 43．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）若是定义在上的奇函数，，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，推得，得到的周期为，再求得的值，结合周期性，即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，故， 又因为，所以，故， 所以，即的周期为， 由于为定义在上的奇函数，且， 可得，，， 所以， 则. 故答案为：. 题型十 奇偶性对称性的综合应用（共5小题） 44．（23-24高一上·重庆·期末）定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性以及已知条件，求得的周期；再根据函数的周期性，结合奇偶性即可求得函数值. 【详解】因为为奇函数，所以，因为为偶函数，所以，即， 从而，得 ， 所以以4为周期的周期函数， ， ， 所以． 故选：A 45．（23-24高一上·福建宁德·期末）函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，，均有，则（    ） A．335 B．345 C．356 D．357 【答案】B 【分析】根据题意，求得的图象关于对称，的图象关于对称，结合，分别求得和的值，即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可得，所以， 所以函数的图象关于对称， 又由为奇函数，可得， 即，所以函数的图象关于对称， 由，均有，，所以， 因为的图象关于对称，可得， 又因为的图象关于对称，， 可得，所以， 因为，联立方程组，可得， 所以. 故选：B. 46．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知函数的定义域为，，函数是奇函数，的图象关于直线对称，则（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 【答案】B 【分析】应用题目所给条件，确定函数图像的对称性，代入可求出的对称轴，对称中心和周期. 【详解】由为奇函数，，可得，即函数图象关于对称，； 由关于对称，得，即，的图象关于点中心对称； 结合条件关于直线对称，， 可以得出. 对于选项A，已知条件不足以确定的奇偶性，A选项错误； 对于选项B，的图象可以由的图象向右平移一个单位得到，故对称中心为，是奇函数，B选项正确； 对于选项C，由已知只能得到，不能确定的取值，C选项错误； 对于D选项，，D选项错误. 故选：B 47．（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且在上单调递增，则下列错误的是（　　） A． B．为函数图象的一条对称轴 C．函数在上单调递减 D． 【答案】D 【分析】由为奇函数可得，取，即可判断A；由为偶函数可得，即可判断B；分析可得在上单调递增，结合B选项可判断C；由，取，即可判断D． 【详解】A选项，因为奇函数，则， 令，得，可得，故A正确； B选项，因为偶函数，则， 即为函数图象的一条对称轴，故B正确； C选项，由，得为图象的一个对称中心， 又在上单调递增，则在[2,4]上单调递增， 所以在当单调递增， 又由B选项可知函数在上单调递减，故C正确； D选项，由B选项，，令，可得，故D错误． 故选：D． 48．（24-25高一上·江苏扬州·期中）为定义在上的奇函数，函数图象关于直线对称，且，则 . 【答案】 【分析】由函数奇偶性，对称性通过赋值计算即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，则， 则 又函数图象关于直线对称，则， 所以， 所以， 所以， 故答案为： 题型十一 函数性质的全部综合应用（共10小题） 多选题 49．（24-25高一上·湖北荆州·期中）已知函数的定义域均为，且，若的图象关于直线对称，则以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用对称性、和周期性的性质，结合与之间的关系，逐项判断即可． 【详解】可得， 又， ，故，C正确 的图象关于直线对称， ， ， ， ，，，B正确； 的图象关于直线对称， ，，是偶函数； 又， ， ，又是偶函数， ， 是偶函数，故A错误， 由得，根据是偶函数，， 又，，由，， ，D正确． 故选：BCD． 50．（24-25高一上·吉林·期中）已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】对A：由是奇函数可得，即可得解；对B：由，借助赋值法计算即可得解；对C：借助所得函数的周期性，结合周期性与赋值法计算即可得；对D：由，计算即可得. 【详解】对A：由是奇函数，则，又定义域为， 故的图象关于点对称，故A正确； 对B：由，则， 故，故周期为，故，故B正确； 对C：，令，有， 故，故C错误； 对D：由， 则 ，故D正确. 故选：ABD. 51．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在上是减函数 C． D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】利用赋值法求得，从而得以判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，从而判断函数的单调性，即可判断B；利用抽象函数的性质求得式子的值，由此得以判断C；先求得，再将不等式转化为，从而得到关于的不等式，解之即可判断D. 【详解】对于A，因为， 令，得，所以，故A正确； 对于B，令，得，所以， 任取，且，则， 因为，所以，即，所以， 所以在上是减函数，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，因为，，所以， 又因为， 所以由得，故， 因为在上是减函数， 所以，解得， 所以不等式的解集为，故D正确. 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：对于解含抽象函数的不等式问题，一般先利用抽象函数的性质求得其在定义域上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题. 52．（24-25高一上·山东威海·期中）已知函数为上的奇函数，对任意的，成立，又时，单调递增，则（    ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据奇函数性质以及对赋值可判断选项. 【详解】函数为上的奇函数，所以，所以 对于A，令，则，所以可得，故A正确； 对于B，由A知，所以可得， 令，可得， 由奇函数性质可得， 令，则可得，令，则可得 则，由此可知是函数的对称轴，故B正确； 对于C，由A知，令，则， 所以，又时，单调递增， 故，则，故C错误； 对于D，令，则，所以， 再根据奇函数性质可知，所以，故D正确. 故选：ABD 53．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）定义在上的函数，对，都有，且当时，恒成立，则（   ） A．是偶函数 B．在上单调递增 C． D．任意实数都满足 【答案】BCD 【分析】利用赋值法计算可得C正确；根据奇偶性定义以及函数单调性定义可判断为奇函数，且在上单调递增，可判断A错误B正确；易知，再由奇函数性质以及单调性计算可得D正确. 【详解】对于C，令，则，所以，故C正确； 对于A，令得，所以， 即，又不恒为0，所以只能为奇函数，故A错误； 对于B，令，且，故， 因为时，，所以， 即，所以，所以在上单调递增，故B正确； 对于D，由在上成立，得， 由为增函数，所以， 又为奇函数，所以，所以，故D正确， 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数性质得出奇偶性以及单调性，再根据不等式性质判断得出结论. 54．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数在R上单调，且对任意恒成立，则（   ） A． B．若在R上单调递增，则 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】ABD 【分析】A选项，令得，或1，根据函数单调性排除，A正确；C选项，令，变形得到，不满足，C错误；B选项，由单调性得到，由条件得，故B正确；D选项，变形得到，故为奇函数，D正确； 【详解】A选项，中，令得， ，解得，解得或1， 令得，即， 若，满足上式， 若得，但函数在R上单调，故，不合要求， 综上，，A正确； C选项，中，令得，当时，， 由于只有时，才有，当为其他数时，不满足， 故不是奇函数，C错误； B选项，在R上单调递增，， 故， 因为，所以， 所以，故B正确； D选项，因为，所以， 当时，，， 所以， 故为奇函数，D正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：抽象函数的单调性或奇偶性研究，通常情况下要利用赋值法，得到特殊点的函数值，再进行合理赋值，结合函数的单调性的定义，奇偶性的定义进行求解 55．（24-25高一上·广东广州·期中）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（    ） A． B． C．当时， D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，对于A，取可得；对于C，取，再由条件当时，推理可得；对于B，虽能用基本不等式，但因在上的符号不定，得不出结论；对于D，运用单调性定义法推导即可. 【详解】对于A，由， 取，得，故A正确； 对于C，由， 取，因，故，即， 当时，，则，故，即，故C正确； 对于B，由， 取，可得，，整理得，， 因为，，当且仅当时取等号， 由选项C可知的符号可正可负，故不一定有， 即不一定成立，故B错误； 对于D，任取，则， 依题意，，而， 则，即， 即在上是增函数， 于是对于， 任取，因为，则，即， 即函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题选项D的解决关键在于，熟练掌握单调函数的定义，利用构造函数法分析抽象函数的单调性，从而得解. 56．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数的定义域为，且，则（   ） A． B． C．为奇函数 D．在上具有单调性 【答案】ABC 【分析】运用赋值法结合函数性质逐个判断即可得． 【详解】对A：令，则有，即，故A正确； 对B：令，则有，即， 由，故，即，故B正确； 对C：函数的定义域为，则函数的定义域为， 令，则有， 即，即， 故函数为奇函数，故C正确； 对D：令，则有， 即，即有， 则当时，有，即， 故在上不具有单调性，故D错误． 故选：ABC． 57．（24-25高一上·江苏·期末）已知函数的定义域为，且，函数在上单调递增，则下列命题为真命题的是（    ） A．的图象关于点对称 B．为偶函数 C．的图象关于直线对称 D．若，则 【答案】ACD 【分析】由可判断A，根据平移变换得为奇函数判断B，由题干等量函数关系得判断C，根据单调性及对称性列不等式求解判断D. 【详解】由知，故的图象关于点对称，A正确； 的图象由的图象向左平移一个单位得到， 故的图象关于点对称，即为奇函数，B错误； 由，知：， 所以的图象关于直线对称，C正确； 因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减， 若，且，由的图象关于直线对称知， 平方化简得，解得，D正确. 故选：ACD 【点睛】结论点睛：①如果，则图象关于直线对称； ②如果或，则图象关于点点对称； ③如果，则图象关于点对称. 58．（24-25高一上·甘肃天水·期末）若满足对任意的实数都有，且，则下列判断正确的有（    ） A．是奇函数 B．在定义域上单调递增 C．当时，函数 D． 【答案】BD 【分析】利用新定义结合函数的性质进行判断，计算出判断A；先利用证明所有有理数，有，然后用任意无理数都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得，这样可判断C，由此再根据单调性定义判断B，根据定义计算，然后求得D中的和，从而判断D. 【详解】对于选项A，令，则， 即不可能是奇函数，选项A不正确； 证明，对于任意. 假设存在，使得， 则，与矛盾， 故对于任意， 所以对于任意， 因为，所以对任意正整数， ， 所以， 同理， 对任意正有理数，显然有（是互质的正整数）， 则， 对任意正无理数，可得看作是某个有理数列的极限， 而，所以与的极限，所以， 综上对所有正实数，有，选项C不正确， 设，则，所以， 则， 所以在定义域上是增函数，选项B正确； 由已知， 所以， 所以， 选项D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解函数新定义，利用函数奇偶性的判断和函数单调性的证明即可判断AB选项. 题型十二 函数新定义（共7小题） 59．（24-25高一上·贵州六盘水·期末）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，被称为“高斯函数”，其中表示不超过的最大整数.已知，均为正数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由高斯函数定义结合举特例可得答案. 【详解】注意到当时，，则“”不是“”的充分条件， 又注意到时，可得，即， 则“”是“”的必要条件，则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 60．（24-25高一上·江苏徐州·期中）定义运算“”：，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得函数为，再分段求值域即可. 【详解】由，可得， 所以， 当时，， 当时，在上单调递增，所以， 当时，在上单调递减，所以， 所以的值域为. 故选：A. 61．（24-25高一上·福建南平·期中）若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数的单调性，求出该函数在、上的值域，分析可知，函数的值域为，结合分段函数的值域可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为，且， 由题意可知，函数的值域为， 因为函数在上单调递增，当时，， 函数在上为增函数， 当时，， 由题意可得，则有，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于分段函数的单调性，求出函数在每段区间上的值域，再由并集运算得出不等式组求解. 62．（24-25高一上·辽宁·期末）若函数的定义域、值域均为，则称为区间上的方正函数． (1)若为区间上的方正函数，求实数的值； (2)是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不存在；理由见解析. 【分析】（1）分析函数在上的单调性，求出函数值域，结合方正函数的定义，可求的值. （2）分析函数的性质，结合单调性和奇偶性，还有方正函数的定义，分析的存在情况. 【详解】（1）因为，函数图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递增， 由题意，为区间上的方正函数， 所以当时，； 当时，，解得或（舍去）. 因此，若为区间上的方正函数，则实数的值为. （2）不存在，理由如下： 对函数，因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 又当时，，所以函数在上单调递减， 由奇函数性质可知，函数在上单调递减. 如存在实数对，使得函数为区间上的方正函数， 则，即，又， 显然，所以，，所以， 即，解得，这与矛盾. 故不存在实数对，使得函数为区间上的方正函数. 63．（24-25高一上·陕西西安·期末）若在函数定义域内存在，使得成立，则称具有性质. (1)试判断函数是否具有性质； (2)证明：所有二次函数都具有性质； (3)若函数且具有性质，求实数的取值范围. 【答案】(1)不具有； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）由性质P定义可完成判断； （2）设，分别写出，， 然后通过比较各项可得相应的，即可完成证明； （3）由题可得，然后由可得答案. 【详解】（1）由题，若是否具有性质， 则在上有解， 但由，方程显然无解，则不具有性质； （2）证明：设， 则，. 令，可得，则对任意二次函数， 存在，使二次函数具有性质. 即所有二次函数都具有性质； （3）因函数且具有性质， 则. 因，则不递减，则. 又 ，即对于， 存在，使函数且具有性质. 则 64．（24-25高一上·浙江杭州·期中）小方同学在阅读高等数学时发现两则定义， 定义1，设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的下凸函数．如图2． 定义2．设函数是定义在区间I上的连续函数，若，都有，则称为区间I上的上凸函数．如图3． 例如，函数在为上凸函数，在上为下凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小方同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：若是区间上的下凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当，时等号成立）．结合阅读材料回答下面的问题： (1)已知为下凸函数，若，求的最大值； (2)求证：二次函数是上凸函数． (3)设，，且，求的最小值． 【答案】(1)2； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据下凸函数的定义，列出不等式求解得答案. （2）利用上凸函数的定义，列式计算得证. （3）构造并证明它在上为下凸函数，再利用琴生不等式求出最小值. 【详解】（1）由为下凸函数，得，因此，当且仅当时取等号， 则，即，所以的最大值是2. （2）函数的定义域为R， ， ，当且仅当时取等号， 因此恒成立，所以二次函数是上凸函数. （3）令，设， 则 ，即， 于是函数在上为下凸函数， 依题意，， 即， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【点睛】思路点睛：本题第3问，构造函数并证明其凹凸性，再利用琴生不等式求出最小值. 65．（24-25高一上·四川巴中·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部反比例对称函数”． (1)用定义证明函数在为单调递增函数； (2)已知函数，试判断是不是“局部反比例对称函数”．并说明理由； (3)若是定义在区间上的“局部反比例对称函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)不是“局部反比例对称函数”，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，设，用作差法证明； （2）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，判断方程有无实数解即可； （3）根据题意，由“局部反比例对称函数”的定义，方程在有解，令，将问题转化为方程在上有解，再根据一元二次方程根的分布求解. 【详解】（1）证明：根据题意，，设，则. 则有，即， 所以函数在为单调递增函数. （2）根据题意，不是“局部反比例对称函数”，理由如下： 已知函数，若，则， 即，所以，所以方程无实数解， 即不存在实数，使成立， 故不是“局部反比例对称函数”. （3）根据题意，是定义在区间上的“局部反比例对称函数”， 则方程，即在上有解. 整理得：. 令，由，得， 所以问题转化为方程在上有解. 设函数，则其图象开口向上，对称轴为. 分类讨论： ①当时，只需，即， 解得，所以； ②当时，只需，即， 解得，所以. 综上，实数的取值范围为. $