专题07 函数的奇偶性与对称性8大题型45题（期中专项训练）高一数学上学期人教版A版

专题07 函数的奇偶性与对称性 题型1 用定义法证明具体函数的奇偶性（重点） 题型5 由奇偶性求函数解析式（常考点） 题型2 用定义法证明抽象函数的奇偶性（重点） 题型6 由奇偶性求参数（常考点） 题型3 已知函数或判断函数的奇偶性求值（常考点） 题型7 由函数奇偶性解不等式（难点） 题型4最大值+最小值及f(a)+f(-a)（常考点） 题型8 函数的对称性及应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 用定义法证明具体函数的奇偶性（共7小题） 1．（24-25高一上·吉林白城·期中）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3) 2．（24-25高一上·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)． (2)． 3．（24-25高一上·重庆渝北·期中）判断函数的奇偶性 4．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数，且. (1)求a的值； (2)判断函数的奇偶性. 5．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知. (1)判断并证明该函数的奇偶性； (2)画出该函数的图象. 6．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知是定义在上的函数，且，. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并用定义证明； (3)求函数在上的值域. 7．（24-25高一上·河南漯河·期中）已知函数，其中，，. (1)当时，证明：函数在区间上是减函数. (2)讨论函数的奇偶性，并说明理由. (3)当时，若实数满足，求实数的范围. 题型二 用定义法证明抽象函数的奇偶性（共6小题） 8．（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 9．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． (1)求与的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断的单调性，并证明. 10．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 11．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 12．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 13．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； 题型三 已知函数或判断函数的奇偶性求值（共5小题） 14．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数，若，则（   ） A． B． C．1 D．3 15．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则的值为（   ）. A． B． C． D． 16．（24-25高一上·北京·期中）设函数，是奇函数，则的值是（   ） A． B． C． D．8 17．（24-25高一上·广东广州·期中）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ． 18．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数，若，则 . 题型四 最大值+最小值及f(a)+f(-a)（共5小题） 19．（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 20．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，其中，为奇函数，若，则 ． 21．（24-25高一上·福建三明·期中）已知函数且，则的值为 ． 22．（24-25高一上·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 23．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 题型五 由奇偶性求函数解析式（共3小题） 24．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， ． 25．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，为偶函数，，则 ． 26．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 题型六 由奇偶性求参数（共5小题） 27．（24-25高一上·湖南·期中）若为奇函数，则实数（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 28．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高一上·四川巴中·期中）函数为奇函数，则的值为 ． 31．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 32．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知函数为奇函数，则等于 ． 题型七 由函数奇偶性解不等式（共5小题） 33．（24-25高一上·吉林延边·期末）定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·广西·期末）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 36．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知奇函数满足 ，且在上单调递减，则的解集是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型八 函数的对称性及应用（共8小题） 38．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 39．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数，函数是定义在上的奇函数，若与的图象的交点分别为，…，，则（   ） A． B． C．0 D．2 40．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（    ） A． B． C．3 D．4 41．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为则（    ） A．2 B．1 C． D．0 42．（24-25高一上·上海·期末）若函数的对称中心是则 43．（24-25高一上·黑龙江·期末）已知函数为定义在上的奇函数，则 . 44．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到．函数对称中心是 ，进而求值 ． 45．（24-25高一上·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. $专题07 函数的奇偶性与对称性 题型1 用定义法证明具体函数的奇偶性（重点） 题型5 由奇偶性求函数解析式（常考点） 题型2 用定义法证明抽象函数的奇偶性（重点） 题型6 由奇偶性求参数（常考点） 题型3 已知函数或判断函数的奇偶性求值（常考点） 题型7 由函数奇偶性解不等式（难点） 题型4最大值+最小值及f(a)+f(-a)（常考点） 题型8 函数的对称性及应用（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 用定义法证明具体函数的奇偶性（共7小题） 1．（24-25高一上·吉林白城·期中）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3) 【答案】(1)奇函数 (2)既是奇函数又是偶函数． (3)偶函数 【分析】先求出函数的定义域并判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）因为，所以． 又因为， 所以为奇函数． （2）因为函数的定义域为，关于原点对称，且， 所以． 所以既是奇函数又是偶函数． （3）的定义域是， 对，都有． 当时，，； 当时，，． 综上可知，对于，都有，故为偶函数． 2．（24-25高一上·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)． (2)． 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）先求函数的定义域，再求与的关系即可判断函数的奇偶性； 【详解】（1）令，， ， 所以， 所以函数为偶函数. （2）令， ，解得或， 所以，所以既有，又有， 所以函数既是奇函数又是偶函数. 3．（24-25高一上·重庆渝北·期中）判断函数的奇偶性 【答案】非奇非偶函数. 【分析】利用函数奇偶性定义直接判断得解. 【详解】函数有意义，，解得且， 所以函数的定义域为，该定义域关于数0不对称， 所以函数是非奇非偶函数. 4．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数，且. (1)求a的值； (2)判断函数的奇偶性. 【答案】(1) (2)为奇函数. 【分析】（1）将代入，解出的值. （2）按照定义法证明奇偶性的步骤，先判断定义域是否关于原点对称，再判断与的关系即可. 【详解】（1）由已知可得，，   解得： （2）由（1）知，，定义域为关于原点对称， 又，所以为奇函数. 5．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知. (1)判断并证明该函数的奇偶性； (2)画出该函数的图象. 【答案】(1)为偶函数，证明见解析 (2)函数图象见解析 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）根据函数解析式画出函数图象. 【详解】（1）为偶函数，证明如下： 因为，定义域为， 当时，，则； 当时，，则； 又，综上可得对任意的，均有， 所以为偶函数； （2）由可得的图象如下所示： 6．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知是定义在上的函数，且，. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并用定义证明； (3)求函数在上的值域. 【答案】(1)； (2)为奇函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）根据，求出的值即可求函数解析式； （2）根据奇偶性的定义证明即可； （3）证明函数在上的单调性，从而可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，得， 所以. （2）的定义域为，关于原点对称， 又, 所以为奇函数. （3）设， 则 . 因为，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 又， 所以函数在上的值域为. 7．（24-25高一上·河南漯河·期中）已知函数，其中，，. (1)当时，证明：函数在区间上是减函数. (2)讨论函数的奇偶性，并说明理由. (3)当时，若实数满足，求实数的范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)时，为偶函数，且时，为非奇非偶函数,理由见解析 (3)或 【分析】（1）由函数单调性的定义证明即可. （2）由函数奇偶性定义进行判断即可. （3）应用函数的偶函数的性质再结合函数的单调性得出不等关系，计算即可求出参数范围. 【详解】（1）由题， 设任意， 则 ， 因为， 所以，且， 则， 所以，即， 所以函数在区间上是减函数. （2）因为，定义域为R， 则， 若为偶函数，则， ； 若为奇函数，则， 所以因为为变量，所以无解； 所以时，为偶函数，且时，为非奇非偶函数. （3）因为当时，，为偶函数， 所以， 所以，又因为函数在区间上是减函数， 所以函数在区间上是增函数， 所以，所以或， 所以或 题型二 用定义法证明抽象函数的奇偶性（共6小题） 8．（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)为偶函数，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法结合已知条件可求解； （2）令，结合条件和函数奇偶性定义判断. 【详解】（1）令，得， 令，得， 因为，所以，， 令，得，即， 因为，所以，所以. （2）为偶函数. 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数. 9．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． (1)求与的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断的单调性，并证明. 【答案】(1)， (2)奇函数 (3)是上的减函数，证明见解析 【分析】（1）通过赋值即可求解； （2）令，结合可判断； （3）令，由可判断，即可判断其单调性. 【详解】（1）令，则，即， ， ； （2）令，则，即，可得为奇函数； （3）是上的减函数. 证明：令，则， 则， 由时，， 可得，即有，即，即， 则是上的减函数. 10．（23-24高一上·江西抚州·期末）已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可； （2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有， 令，得， 令，得， 令， 得， 是奇函数. （2）， ， ， 设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 因为， ，则，解得， 不等式的解集为或. 11．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，奇函数 (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得； （2）先证明 时, ，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在 在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数； （3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的 成立问题，结合一次函数的图象即可求得. 【详解】（1）因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. （2） 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数; （3）在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则解得或 即实数的取值范围为. 12．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数是定义在上的增函数，并且满足，． (1)求和的值； (2)判断函数的奇偶性； (3)解关于的不等式 【答案】(1)， (2)奇函数 (3) 【分析】（1）通过赋值法来确定函数的特殊值； （2）根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性； （3）运用函数奇偶性，结合函数的单调性求解不等式即可. 【详解】（1）令，得，解得． ，； （2）因为函数的定义域为R，， 令，则有，，即， ∴函数为奇函数； （3）因为，所以， 又因为， 即由，则， 即， 又因为为增函数，所以，解得， 故x的取值范围为． 13．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法先计算，再利用赋值法令，结合奇函数的定义计算即可； （2）先令得出，结合为奇函数及单调性的定义通过赋值计算即可证明. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 不妨令，得， 解得或， 又不存在，使得，故， 令，得， 故，即， 因此为奇函数； （2）时，， 则， 当且仅当，等号成立， 又不存在，使得，则， 于是时，， 又为奇函数，则时，， 于是对， 任取，则， 而， 又，则， 于是，故， 因此在上单调递增； 【点睛】思路点睛：先赋值及结合奇函数定义可证明奇偶性；通过判定，再根据单调性的定义作差证明即可. 题型三 已知函数或判断函数的奇偶性求值（共5小题） 14．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数，若，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】， 则为奇函数，即， 故选:C. 15．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由即可求解. 【详解】依题意，函数是定义域为的奇函数， 所以. 故选：D 16．（24-25高一上·北京·期中）设函数，是奇函数，则的值是（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】由是奇函数，得，代入即可求. 【详解】因为是奇函数， 所以， 所以. 故选：A 17．（24-25高一上·广东广州·期中）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质求得答案. 【详解】依题意，若函数是定义在R上的奇函数， 所以. 故答案为：. 18．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性计算即可. 【详解】易知，即为奇函数， 所以. 故答案为：. 题型四 最大值+最小值及f(a)+f(-a)（共5小题） 19．（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】构造函数，由奇偶性定义可知为奇函数，知，由此可求得结果. 【详解】， 设，定义域为， 则，所以函数为奇函数， 所以，则，即. 故选：C. 20．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，其中，为奇函数，若，则 ． 【答案】 【分析】根据奇偶性可得到结果. 【详解】因为为奇函数，则，所以 则，即， ， 故答案为：. 21．（24-25高一上·福建三明·期中）已知函数且，则的值为 ． 【答案】 【分析】构造函数，根据的奇偶性计算出的值. 【详解】令，定义域为且关于原点对称， 因为，所以为奇函数， 所以，所以， 代入，可得， 故答案为：. 22．（24-25高一上·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】4 【分析】构造函数，根据奇偶性定义可知为奇函数，从而代入运算即可. 【详解】是定义在上的奇函数，则有， ， 设，函数定义域为， ，为奇函数， 则有，即，所以. 故答案为：4. 23．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【分析】将函数（），化简为（），构造函数（），判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 令，（） 则，即为奇函数， 则， 又函数，（）的最大值为，最小值为， 得，则， 故答案为：4048. 题型五 由奇偶性求函数解析式（共3小题） 24．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】根据偶函数的性质求解即可. 【详解】若，则， 当时，，所以， 又因函数是偶函数，所以 所以当时，， 故答案为： 25．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，为偶函数，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由函数解析式和奇偶性可得，，从而由可得，综合可得的解析式． 【详解】函数为奇函数，则， 为偶函数，则， 因为①，则， 所以②， 则由①-②可得. 故答案为：． 26．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】根据题意结合奇函数定义求解即可. 【详解】若，则，可得， 又因为函数是定义在R上的奇函数， 所以. 故答案为：. 题型六 由奇偶性求参数（共5小题） 27．（24-25高一上·湖南·期中）若为奇函数，则实数（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】先由奇函数的性质得到，从而求得的值，再进行检验即可得解. 【详解】因为为奇函数， 所以，即， 解得，此时，其定义域为， 且， 即为奇函数，所以满足题意. 故选：B. 28．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案． 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 29．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】的对称中心为，根据为奇函数得到关于对称即可得解； 【详解】， 因为， 所以的对称中心为， 由题意得函数为奇函数关于对称， 则关于对称， 解得， 故选：A. 30．（24-25高一上·四川巴中·期中）函数为奇函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据奇函数定义，由恒成立求解即可. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 因为为奇函数，所以对任意， 都有. 则， 所以. 故答案为：. 31．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 . 【答案】2 【分析】根据奇函数性质得到，代入化简得到答案. 【详解】若函数为奇函数， 则， 解得：. 故答案为：. 32．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知函数为奇函数，则等于 ． 【答案】 【分析】根据奇函数求出时的解析式，对照所给解析式得出a，b即可得解． 【详解】设，则，所以， 所以， 又当时，，所以，，故， 故答案为：． 题型七 由函数奇偶性解不等式（共5小题） 33．（24-25高一上·吉林延边·期末）定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，的值与的单调性，再分类讨论，，，与五种情况，结合的性质即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且， 所以，，在上单调递增， 当时，成立； 当时，成立； 当，即时，，即有，可得； 当时，，，可得，可得； 当时，，，可得，可得； 综上，或，即的取值范围是. 故选：B. 【点睛】易错点睛：本题容易忽略的情况，从而出现漏解的情况. 34．（24-25高一上·广西·期末）已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，可得是奇函数，且在上是增函数，由，可得，即，利用单调性解不等式即可. 【详解】设函数，则， 所以，显然定义域关于原点对称，所以是奇函数. 因为是上的增函数，是上的减函数， 所以是上的增函数. 等价于， 即. 因为是奇函数，所以. 因为是上的增函数，所以，即，解得或. 故选：. 35．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性，结合题设，判断函数的单调性，继而分类讨论求解不等式，可得答案. 【详解】不妨令，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递增， 又为定义在上的奇函数，则， 则在上单调递增，又，所以， ①当时，不等式等价于，等价于， 等价于，等价于，解得， ②当时，不等式等价于，等价于， 等价于，等价于，解得， 综上可得，不等式的解集为. 故选：C 36．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知奇函数满足 ，且在上单调递减，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇函数性质得到，又，在上单调递减，推出，在上单调递减，故和时，满足要求，得到答案. 【详解】为奇函数，故， ， 又，在上单调递减， 故当时，，此时，不合要求， 当时，，此时，满足要求， 由对称性可知，在上单调递减， 故当时，，此时，满足要求， 当时，，此时，不合要求， 综上，的解集为. 故选：B. 37．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知不等式转化后得出函数在上是增函数，不等式转化为，然后由偶函数与单调性求解即可． 【详解】不妨设，所以， 则， 所以， 令，则， 所以在上单调递增， 又是偶函数，所以， 即也是偶函数，则其在上单调递减， 因为，所以， 则， 所以，解之得． 故选：D 题型八 函数的对称性及应用（共8小题） 38．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 【答案】C 【分析】由已知，得，则，即可求得结果. 【详解】因为函数，所以， 所以， 所以. 故选：C. 39．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数，函数是定义在上的奇函数，若与的图象的交点分别为，…，，则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据给定的函数，求出函数与图象的对称中心，再利用对称性求出值. 【详解】函数定义域为， 而，则函数的图象关于点对称， 由函数是定义在上的奇函数，得， 即，则函数的图象关于点对称， 因此函数与的图象的交点关于点对称， 则， 所以. 故选：A 40．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】由奇函数的性质结合题意计算可得； 【详解】设，则为奇函数， 可得，由奇函数的定义域关于原点对称可得 即，, 由可得， 即， 所以， 故选：A. 41．（24-25高一上·江苏南京·期中）已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据得中心对称以及中心对称点，进而分析得也关于对称，从而得到两函数图象交点也是对称的，由此得解. 【详解】由得关于对称， 由得， 即， 所以也关于对称， 因此两函数图象交点也是对称的， 假设点与点对称， 则，所以推理可得. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明两函数图象交点也是对称的，求出. 42．（24-25高一上·上海·期末）若函数的对称中心是则 【答案】1 【分析】根据函数图象关于点对称，可得，整理可求出的值. 【详解】因为函数的对称中心是， 所以. 即. 整理得：， 所以，所以. 故答案为：1 43．（24-25高一上·黑龙江·期末）已知函数为定义在上的奇函数，则 . 【答案】 【分析】根据对称性可得，即可求解. 【详解】由于为定义在上的奇函数， 故的对称中心为，则，. 故答案为：2025 44．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到．函数对称中心是 ，进而求值 ． 【答案】 【分析】利用函数图象平移可得出函数的对称中心，结合对称性可得出，再利用倒序相加法可得出所求代数式的值. 【详解】因为函数， 所以，函数的图象可由反比例函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 因为函数为奇函数，其对称中心为原点， 故函数对称中心，故， 记， 则 ， 故. 故答案为：；. 45．（24-25高一上·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)，或. 【分析】（1）函数的对称中心为，进而验证用函数为奇函数即可； （2）记，进而证明为奇函数即可得证； （3）令，进而由可求实数、的值. 【详解】（1）函数的对称中心为. 验证如下： 因为函数， 定义域，即定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，即函数的对称中心为. （2）证明：记， 定义域为R，即定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以的对称中心为. （3）， 令 ， 因为是奇函数， 所以， 即， 整理得，进而得， 解得或. $