第2章 微专题3 圆锥曲线中的证明与探索性问题(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第二章 平面解析几何 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 1．证明问题 圆锥曲线证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素的位置关系，如某直线(曲线)过定点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些相关量相等或不等，某些量是定值等． 解决此类问题主要是依据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相应的性质应用、代数变形、数值运算等进行证明． 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 2．探索性问题 圆锥曲线中的探索性问题具有开放性和发散性，此类问题的条件和结论不完备，需要结合已知条件或假设新的条件进行探究、观察、分析、抽象、概括等，是高考的常考题型，以解答题的形式出现，难度一般较大． 主要的命题角度有：①点的存在性；②曲线的存在性；③最值的存在性；④探索命题是否成立等，涉及此类问题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系． 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 常用的解题技巧：存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素存在；否则，元素不存在． 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 类型1　证明问题 【例1】　已知抛物线C：y2＝4x，直线l交C于A，B两点． (1)若弦AB的中点是，求直线l的方程； (2)设A，若y1y2＝－12，求证：直线l过定点． 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 [思路导引]　(1)判断在抛物线开口之内，且不在x轴上，直线l的斜率存在，设为k，且设，代入抛物线方程，作差后，结合中点坐标公式和直线的斜率公式可得k，再由点斜式方程可得所求直线方程． (2)讨论直线l的斜率不存在和存在，且斜率存在时分k＝0和k≠0两种情况，设出直线方程，联立抛物线方程，结合根与系数的关系和直线恒过定点的求法，即可得证． 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 [解]　(1)由于在抛物线开口之内，且不在x轴上， 所以直线l的斜率存在，设为k，且设A， 可得 4x2 ，两式相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)， 即k＝＝2，则直线l的方程为y－1＝2，即y＝2x－5． 检验直线l存在，且方程为y＝2x－5． 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 (2)证明：若直线l的斜率不存在，可得x＝x1(其中x1＝x2)，将x＝x1代入抛物线方程y2＝4x，可得y1＝， 则y1y2＝－4x1＝－12，即x1＝3，直线AB过． 若直线l的斜率存在，设为k，当k≠0时，设l的方程为y＝kx＋b，将y＝kx＋b代入抛物线的方程消去x可得y2－y＋b＝0， 所以y1y2＝，即有－12＝，所以b＝－3k， 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 所以直线l的方程为y＝k，则直线l恒过定点． 当k＝0时，直线l的方程为y＝y1＝y2， 又y1y2＝－12，即 －12 < 0，此时不存在直线l满足题意． 综上，直线l恒过定点． 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 【例2】　已知椭圆C的方程为：＝1(a>b>0)，右焦点为F，且离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切，证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝． 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 [解]　(1)由题意知⇒椭圆C的方程为＋y2＝1． (2)证明：当M，N，F三点共线时，设直线MN的方程为x＝my＋，如图所示， 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 圆心O(0，0)到MN的距离d＝＝1⇒m2＝1， 联立⇒(m2＋3)y2＋2my－1＝0⇒4y2＋2my－1＝0， |MN|＝，必要性成立． 下证充分性，当|MN|＝时，设直线MN的方程为x＝ty＋n， 此时圆心O(0，0)到MN的距离d＝＝1，n2－t2＝1， 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 联立⇒(t2＋3)y2＋2tny＋n2－3＝0， Δ＝4t2n2－4(t2＋3)(n2－3)＝12(t2－n2＋3)＝24， 且|MN|＝⇒t2＝1，∴n2＝2， ∵MN与曲线x2＋y2＝b2(x＞0)相切，∴n＞0，n＝， ∴直线MN的方程为x＝ty＋恒过点F， ∴M，N，F三点共线，充分性得证． 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 类型2　探索性问题 【例3】　已知抛物线y2＝2px(p＞0)经过点P(4，4)，其焦点为F，过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，定点M(5，0)． (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l的斜率为1，求△ABM的面积； (3)设点Q在抛物线C上，试问直线2x－y＋6＝0上是否存在点N，使得四边形PQFN是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 [解]　(1)因为抛物线y2＝2px(p＞0)经过点P(4，4)，所以16＝8p，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x． (2)由(1)可知F(1，0)，所以直线l的方程为y＝x－1． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－6x＋1＝0， 则x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝8， 点M(5，0)到直线y＝x－1的距离为． 所以△ABM的面积为． 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 (3)假设存在满足题意的点N，设N(t，2t＋6)，Q(x0，y0)， 因为四边形PQFN是平行四边形，所以， 所以(4－t，－2t－2)＝(x0－1，y0)， 所以 即Q(5－t，－2t－2)， 将点Q(5－t，－2t－2)代入抛物线方程，可得(－2t－2)2＝4(5－t)，即t2＋3t－4＝0， 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 解得t＝－4或1，所以Q(9，6)或Q(4，－4)． 经检验，四边形PQFN是平行四边形， 所以直线2x－y＋6＝0上存在点N，使得四边形PQFN是平行四边形，此时Q(9，6)或Q(4，－4)． 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 【例4】　已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M． (1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)； (2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 [解]　(1)由题意，得解得a2＝2， 故椭圆C的方程为＋y2＝1． 设M(xM，0)．因为m≠0，所以－1＜n＜1． 直线PA的方程为y－1＝x， 所以xM＝，即M． 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 (2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n)． 设N(xN，0)，则xN＝． “存在点Q(0，yQ)，使得∠OQM＝∠ONQ”等价于“存在点Q(0，yQ)，使得”，则yQ满足＝|xM||xN|． 因为xM＝＋n2＝1， 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 所以＝|xM||xN|＝＝2． 所以yQ＝或yQ＝－． 故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，且点Q的坐标为或． 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 章末综合测评(一)　动量守恒定律 微专题强化练(三)　圆锥曲线中的证明与探索性问题 1．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)过点A(－3，2)，且离心率e＝． (1)求该双曲线的标准方程； (2)如果B，C为双曲线上的动点，直线AB与直线AC的斜率互为相反数，证明直线BC的斜率为定值，并求出该定值． 2 4 3 题号 1 22 [解]　(1)由题意解得a2＝8，b2＝32，故双曲线的标准方程为＝1． (2)证明：设点B(x1，y1)，C(x2，y2)，设直线AB的方程为y－2＝k(x＋3)， 代入双曲线方程，得(4－k2)x2－2k(3k＋2)x－(3k＋2)2－32＝0， 2 4 3 题号 1 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 ∴－3＋x1＝，y1＝， ∴B， 同理C， ∴kBC＝＝6为定值． 2 4 3 题号 1 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 2．已知椭圆的两焦点分别为F1(－1，0)和F2(1，0)，短轴的一个端点为． (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆上是否存在一点P使得PF1⊥PF2？若存在求△PF1F2的面积，若不存在，请说明理由． 2 4 3 题号 1 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 25 [解]　(1)椭圆的两焦点分别为(－1，0)和(1，0)，短轴的一个端点为， ∴c＝1，b＝，∴a＝＝2，∴椭圆的标准方程为＝1． (2)假设椭圆上存在点P(x0，y0)，使得PF1⊥PF2， 则＝(－1－x0，－y0)·(1－x0，－y0)＝0，即＝1， 联立得＝－8，此方程无解． ∴椭圆上不存在点P，使得PF1⊥PF2． 2 4 3 题号 1 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 26 3．已知点A(－2，0)，B(2，0)均为曲线C上的点，P为曲线C上异于A，B的任意一点，且满足直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为－． (1)求曲线C的方程； (2)若曲线C的右焦点为F，过M(4，0)的直线l与曲线C交于点D，E，求证：直线FD与直线FE的斜率之和为定值． 2 4 3 题号 1 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 27 [解]　(1)设P(x，y)．因为kPA·kPB＝－， 所以(x≠±2)， 化简得＝1(x≠±2)． 又A(－2，0)，B(2，0)均为曲线C上的点， 所以曲线C的方程为＝1． 2 4 3 题号 1 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 28 (2)证明：当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x＝ty＋4，D(x1，y1)，E(x2，y2)． 联立得(3t2＋4)y2＋24ty＋36＝0， Δ＝144(t2－4)＞0，y1＋y2＝－， y1y2＝， 所以，即3(y1＋y2)＝－2ty1y2． 2 4 3 题号 1 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 29 又F(1，0)，所以kFD＝， 所以kFD＋kFE＝＝0． 当直线l的斜率为0时，易知kFD＋kFE＝0． 综上，直线FD与直线FE的斜率之和为定值0． 2 4 3 题号 1 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 30 4．已知A(－2，0)，B(2，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是3． (1)求点M的轨迹C的方程； (2)过点N(2，3)能否作一条直线m与轨迹C交于P，Q两点，且点N是线段PQ的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，请说明理由． 2 4 3 题号 1 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 31 [解]　(1)设M(x，y)，x≠±2，则直线AM的斜率kAM＝，直线BM的斜率kBM＝，由kAM·kBM＝3，得＝3， 整理得3x2－y2＝12(x≠±2)， 即轨迹C的方程为＝1(x≠±2)． (2)假设存在满足条件的直线m． 易知直线m的斜率存在，设直线m的斜率为，Q(x2，y2)， 2 4 3 题号 1 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 32 则两式相减得＝0，即． ∵N(2，3)是线段PQ的中点， ∴＝2，即k＝2， 2 4 3 题号 1 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 33 故直线m的方程为2x－y－1＝0． 由得x2－4x＋13＝0，Δ＝－36＜0，此时直线m与轨迹C不相交． 故假设不成立，即不能作出满足条件的直线． 2 4 3 题号 1 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 34 谢 谢！ 微专题强化练 微专题3　圆锥曲线中的证明与探索性问题 $