第2章 微专题2 直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 微专题2　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 第二章 平面解析几何 微专题2　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 1．定值问题的处理方法 (1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值． 微专题2　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 2．最值问题的处理方法 (1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r；当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为r－d(其中d为圆心到直线的距离，r为圆的半径)． (2)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点与最长弦垂直的弦就是最短弦． 微专题2　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 (3)对于求含有分式型的代数式的最值，可以考虑利用斜率的几何意义． (4)求形如y＋ax的代数式的最值，设y＋ax＝b，考虑利用直线在y轴上的截距来求． 微专题2　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 类型1　定值问题 【例1】　已知圆C：x2＋y2＝16，直线l：3x－4y＋5＝0． (1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线的方程． (2)已知点A(0，6)，在直线OA上(O为坐标原点)是否存在定点B(不同于点A)，满足对圆C上任一点P，都有为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由． 微专题强化练 微专题2　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 [解]　(1)设所求直线的方程为4x＋3y＋b＝0． 由题意知圆C的圆心C(0，0)，半径r＝4． ∵所求直线与圆C相切，∴＝4，得b＝±20， ∴所求直线方程为4x＋3y＋20＝0或4x＋3y－20＝0． (2)设点B(0，t)，t≠6． 当P为圆C与y轴的上交点(0，4)时，＝； 当P为圆C与y轴的下交点(0，－4)时，＝． 依题意，＝，解得t＝6(舍去)或t＝． 下面证明点B对于圆C上任一点P，都有为定值． 设P(x，y)，则x2＝16－y2， ∴＝＝＝， ∴＝，为定值． 故满足条件的点B的坐标为． 类型2　定点问题 【例2】　已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A． (1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标． (2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 微专题强化练 微专题2　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 [解]　(1)由题可知，圆M的圆心为M(0，4)，半径r＝2． 设P(2a，a)，连接MA，MP(图略)． 因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°． 在Rt△MAP中，|MP|2＝|AM|2＋|AP|2，故|MP|＝4． 又|MP|＝＝， 所以＝4，解得a＝0或a＝， 所以点P的坐标为(0，0)或． (2)设点P的坐标为(2b，b)． 因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆是以MP为直径，MP的中点为圆心的圆， 所以圆N的方程为(x－b)2＋＝，即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0． 由 解得或 所以圆N过定点(0，4)和． 类型3　最值(范围)问题 【例3】　已知直线l经过点P(－2，3)，且其倾斜角α的余弦值为． (1)求直线l的方程； (2)判断直线l与圆C：________的位置关系；如果相交，记交点为A，B，求经过A，B两点的圆的面积的最小值；如果相离，过直线l上的点E作圆C的切线，切点为F，求EF长的最小值． 现给出两个条件：①(x＋3)2＋y2＝25；②(x－2)2＋y2＝16，从中选出一个条件填在横线上，写出一种方案即可． 微专题强化练 微专题2　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 [解]　(1)因为直线l的倾斜角的余弦值为，则倾斜角的正切值为，所以直线l的斜率k＝， 即直线l方程为y－3＝(x＋2)，即x－2y＋8＝0． (2)选①． 圆心C(－3，0)，r＝5，则圆心C到直线l的距离d＝＝＜5，所以直线l与圆C相交． 易知以AB为直径时，所求圆的面积最小． 由解得或 不妨令A(－8，0)，B(0，4)， 则|AB|＝＝4，面积最小为π×(2)2＝20π． 选②． 圆心C(2，0)，r＝4，则圆心C到直线l的距离d＝＝2＞4， 所以直线l与圆C相离． 因为|EF|＝＝， 所以当CE⊥l，即|CE|＝d＝2时|EF|最小， 此时|EF|＝＝2． 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 一、选择题 1．若直线l：ax＋y－2a＝0(a∈R)与圆C：x2＋y2－2mx＋4＝0至少有一个交点，则实数m的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－2] 微专题强化练(二)　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 √ 17 A　[将圆C的方程整理为(x－m)2＋y2＝m2－4，∴m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2．由圆C的标准方程可知圆心C(m，0)，半径r＝．将直线l的方程整理为a(x－2)＋y＝0，则直线l恒过定点(2，0)．∵直线l与圆C至少有一个交点， ∴(2，0)在圆C内部或圆上，即4－4m＋4≤0，解得m≥2．综上可知，实数m的取值范围为(2，＋∞)．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 2．已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 √ 微专题强化练 微专题2　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 19 B　[将点(1，2)的坐标代入圆的方程x2＋y2－6x＝0，可得12＋22－6×1＝－1＜0，所以点(1，2)在圆内．由垂径定理可知，过该点的直线被圆所截得的最短弦为与过该点的直径垂直的弦．如图，A(3，0)，B(1，2)，C为最短弦与圆的一个交点，圆心A到最短弦所在直线的距离|AB|＝＝2．因为圆A的半径为3，BC⊥AB，所以在Rt△ABC中，由勾股定理，得|BC|＝ ＝＝1，所以弦长的最小值为2．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 20 3．已知直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m＜3)所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点，点A为定点(2，0)，则|PA|的最大值为(　　) A． B．5＋ C．2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 √ 微专题强化练 微专题2　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 21 D　[由题意，得圆心C(－3，m)到直线4x＋3y＋1＝0的距离为． 结合垂径定理，得＝，化简得|3m－11|＝5． 因为m＜3，故m＝2． 又|AC|＝＝，半径为， 所以|PA|的最大值为．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 22 4．(多选题)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 √ √ 微专题强化练 微专题2　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 23 ACD　[由题意知直线AB：＝1，即x＋2y－4＝0，圆心(5，5)到直线x＋2y－4＝0的距离d＝＝．因为＋4＜10，所以A项正确．因为－4＜2，所以B项错误．当直线PB与圆相切时，∠PBA取得最值．如图，当切点在点P的位置时，∠PBA最小，此时圆心(5，5)到点B的距离为＝，则|PB|＝＝3；当切点 在点P′的位置时，∠PBA最大，同理可得|PB|＝ 3．所以C、D项正确．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 24 5．(多选题)已知圆M：(x－a)2＋(y－b)2＝3(a，b∈R)与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且|AB|＝，则下列结论错误的是(　　) A．a2＋b2＝4 B．四边形OAMB的面积为 C．a＋b的最小值为－ D．是定值 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 √ √ 微专题强化练 微专题2　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 25 ABC　[圆M的圆心M(a，b)，半径r＝，则△MAB为边长为的等边三角形， 由|OA|＝|OB|＝1，|AB|＝，得△OAB中AB边上的高h＝＝， 所以S△OAB＝＝，S△MAB＝×()2＝， 所以S四边形OAMB＝＝，故B错误． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 26 由两圆相交可得－1＜＜＋1， 两圆方程相减可得直线AB的方程为2ax＋2by－(a2＋b2－2)＝0， 由|AB|＝，可得O到直线AB的距离为d＝h＝＝，即(a2＋b2－2)2＝a2＋b2， 所以a2＋b2＝4或a2＋b2＝1，故A错误． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 27 令a2＋b2＝4，因为2(a2＋b2)≥(a＋b)2， 所以(a＋b)2≤8， 即－2≤a＋b≤2， 当且仅当a＝b时取等号， 则a＋b的最小值为－2；故C错误． ＝||·||·cos 60°＝＝，故D正确．故选ABC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 28 二、填空题 6．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝144，则的最小值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 1　[因为(x＋5)2＋(y－12)2＝144，表示圆心为A(－5，12)，半径r＝12的圆， 而表示圆上的点B(x，y)与原点(0，0)的距离， 又|AO|＝＝13， 所以的最小值为|AO|－r＝13－12＝1．] 1 微专题强化练 微专题2　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 29 7．已知点A(－4，0)，B(－1，0)，C(－4，3)，动点P，Q满足＝＝2，则||的取值范围是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 [6，14] 微专题强化练 微专题2　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 30 [6，14]　[设P(x，y)，则|PA|＝，|PB|＝， 因为＝2，所以＝2，即x2＋y2＝4，因此点P在以原点O为圆心，2为半径的圆上， 同理可得点Q也在以原点O为圆心，2为半径的圆上． 又因为＝2，所以当P和Q重合，且C，O，P三点共线时，||取得最值， 因此||max＝2(|OC|＋2)＝＝2(|OC|－2)＝6．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 31 三、解答题 8．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0． (1)若圆C与圆x2＋y2－8x－12y＋36＝0外切，求m的值． (2)当m＝1时，由直线l：x－y＋4＝0上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB(A，B为切点)，试探究四边形PACB的外接圆是否过定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 微专题强化练 微专题2　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 32 [解]　(1)圆C的方程可化为：(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，所以5－m＞0，即m＜5， 方程x2＋y2－8x－12y＋36＝0可化为：(x－4)2＋(y－6)2＝16，因为两圆外切，所以圆心距d＝＝5＝＋4， 解得m＝4，符合题意，所以m＝4． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 33 (2)由题意可知四边形PACB的外接圆是以PC中点为圆心，为半径的圆，设P(a，a＋4)，则圆的方程为(x－a)(x－1)＋(y－a－4)(y－2)＝0， 整理得：x2＋y2－(a＋1)x－(a＋6)y＋3a＋8＝0， 式子可化为：x2＋y2－x－6y＋8－a(x＋y－3)＝0， 联立方程 整理得：2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－， 所以外接圆恒过定点(1，2)和． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 34 谢 谢！ 微专题强化练 微专题2　直线与圆的定值(定点)、最值(范围)问题 $