章末综合测评1 空间向量与立体几何(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

综合测评卷参考答案 章末综合测评(一) 1．C　[a＋3b＝(－3，2，5)＋3(1，5，－1)＝(0，17，2)，则a·(a＋3b)＝(－3，2，5)·(0，17，2)＝0＋34＋10＝44．] 2．C　[由题意，得|a|＝|b|＝|c|＝1， a·b＝a·c＝b·c＝， 所以|a－b－c|＝＝ ＝ (a－b－c)·b＝a·b－b2－b·c＝－1， 设向量a－b－c和b的夹角为θ， 则cos θ＝ 又θ∈[0，π]，所以θ＝] 3．D　[因为EC＝2PE，，所以， 所以 又， 所以故选D．] 4．A　[因为BC⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，所以PA⊥BC． 又PA⊥AB，且BC∩AB＝B，所以PA⊥平面ABCD．以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，C(1，2，0)，P(0，0，2)，B(1，0，0)，M，所以＝(1，2，0)，，求得平面AMC的一个法向量为n＝(－2，1，1)．又平面ABC的一个法向量＝(0，0，2)，所以cos<n，， 所以二面角B⁃AC⁃M的余弦值为] 5．A　[如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则E，F，A，D1， ∴， ∴cos<， 即异面直线EF与AD1所成角的余弦值为故选A．] 6．D　[因为a⊥(a－λb)， 所以a·(a－λb)＝|a|2－λa·b＝0， 所以|a|2＝λa·b，所以14＝λ(2＋2＋3)＝7λ，解得λ＝2．故选D．] 7．C　[取AC的中点E，连接BE，则BE⊥AC，如图，建立空间直角坐标系Bxyz，则A，D(0，0，1)，则．∵平面ABC⊥平面AA1C1C，BE⊥AC，∴BE⊥平面AA1C1C，∴为平面AA1C1C的一个法向量．设AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sin α＝|cos<] 8．B　[因为在三棱锥P⁃ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝60°， 所以以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 则C(0，4，0)，P(0，4，4)，A(0，0，0)，B(4，0，0)，所以＝(0，4，0)，＝(4，0，0)，＝(0，4，4)． 设平面PAB的一个法向量n＝(x，y，z)， 则取z＝1，得n＝(0，－，1)为平面PAB的一个法向量， 所以点C到平面PAB的距离d＝故选B．] 9．BD　[对于A：当λ＝0时λa＝0，此时显然不是平面α的法向量，故A错误． 对于B：当C，D，E三点共线时，∥，又，所以∥，则直线AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE． 当C，D，E三点不共线时，可以作为平面CDE内的一组基底，因为，设在平面CDE内存在，所以相等， 则AB∥MN，所以直线AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE，故B正确． 对于C：因为≠1，所以P，A，B，C四点不共面，故C错误． 对于D：因为是空间的一个基底， 所以a，b，c不共面，则a，b，a＋c不共面，故也是空间的一个基底，故D正确．故选BD．] 10．ABD　[由题意知，A1(2，0，3)，B(2，2，0)，B1(2，2，3)，C1(0，2，3)，所以＝(－2，0，3)，＝(0，2，－3)，故A，B正确；n·＝(－3，3，－2)·(0，2，－3)≠0，故C错误；设平面A1BC1的一个法向量为m＝(x，y，z)，则 令x＝－3，得m＝(－3，－3，－2)，易得平面A1B1C1的一个法向量为n1＝(0，0，1)，则cos<m，n1>＝，结合题图可知二面角B⁃A1C1⁃B1的余弦值为，故D正确．故选ABD．] 11．AD　[以B为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设BD＝2，则B(0，0，0)，D(2，0，0)，C(0，2，0)，A(0，)，∴＝(2，0，0)，＝(0，，－)，＝(0，2，0)，＝(2，－，－)，＝(－2，2，0)，则＝(2，0，0)·(0，，－)＝0，A正确．易得平面BCD的一个法向量为n1＝(0，0，)，平面ACD的一个法向量为n2＝(，1，1)，n1·n2≠0，B错误≠，C错误．易得平面ABC的一个法向量为＝(2，0，0)，设直线DC与平面ABC所成的角为θ，则sin θ＝，所以θ＝30°，故D正确．] 12．2　[因为向量a＝，向量 b＝，且a∥b， 所以，解得m＝2．] 13．　[由H向BC作垂线，垂足为E，连接AE，由三垂线定理知AE⊥BC， 所以∠AEH为二面角A⁃BC⁃D的平面角， 即∠AEH＝ 因为AH＝3，所以AE＝2 设正三角形ABC的边长为a，则，所以a＝4． 所以S△ABC＝×4×2] 14　[如图，连接EC．在△PEC中，PE＝1，EC＝，PC＝， 所以PE2＋EC2＝PC2， 所以PE⊥EC． 因为PE⊥DE，DE∩EC＝E，DE，EC⊂平面BCDE，所以PE⊥平面BCDE． 以E为坐标原点，以的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，所以＝(1，－1，0)，＝(0，－1，1)，＝(1，1，－1)，＝(－1，0，0)． 设平面PBD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则令x＝1，得n＝(1，1，1)， 所以C到平面PBD的距离d＝ 因为cos<，n>＝，所以PC与平面PBD所成角的余弦值为] 15．解：(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)， D(0，1，0)，P(0，0，2)，E，从而＝(，1，0)，＝(，0，－2)． 设的夹角为θ，则 cos θ＝ 所以AC与PB所成角的余弦值为 (2)由于点N在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则＝－x，，1－z． 由NE⊥平面PAC可得， 即 化简得 即N点的坐标为，0，1时，NE⊥平面PAC． 16．(1)证明：因为BC∥AD，BC＝2，AD＝4，M为AD的中点，所以BC∥MD，BC＝MD， 四边形BCDM为平行四边形，所以BM∥CD，又因为BM⊄平面CDE， CD⊂平面CDE，所以BM∥平面CDE． (2)解：如图所示，作BO⊥AD交AD于点O，连接OF． 因为四边形ABCD为等腰梯形，BC∥AD，AD＝4，AB＝BC＝2，所以CD＝2， 结合(1)四边形BCDM为平行四边形，可得BM＝CD＝2，又AM＝2， 所以△ABM为等边三角形，O为AM的中点，所以OB＝ 又因为四边形ADEF为等腰梯形，M为AD中点，所以EF＝MD，EF∥MD， 四边形EFMD为平行四边形，FM＝ED＝AF， 所以△AFM为等腰三角形，△ABM与△AFM底边上中点O重合，OF⊥AM，OF＝＝3． 又因为BF＝2，则OB2＋OF2＝BF2，所以OB⊥OF，所以OB，OD，OF互相垂直， 以OB方向为x轴，OD方向为y轴，OF方向为z轴，建立空间直角坐标系， 则F(0，0，3)，B(，0，0)，M(0，1，0)，E(0，2，3)，＝(－，1，0)，＝(－，0，3)，＝(－，2，3)， 设平面BFM的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则 令x1＝，得y1＝3，z1＝1， 即m＝(，3，1)． 设平面EMB的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)， 则 令x2＝，得y2＝3，z2＝－1， 即n＝(，3，－1)则cos<m，n>＝，则sin<m，n>＝， 故二面角F⁃BM⁃E的正弦值为 17．(1)证明：(法一)依题意，得，所以B2C2∥A2D2． (法二)以点C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B2(0，2，2)，C2(0，0，3)，A2(2，2，1)，D2(2，0，2)， 所以＝(0，－2，1)，＝(0，－2，1)， 所以，所以B2C2∥A2D2． (2)解：建立空间直角坐标系，建系方法同(1)中法二，设BP＝n(0≤n≤4)，则P(0，2，n)， 所以＝(2，0，1－n)，＝(0，－2，3－n)． 设平面PA2C2的一个法向量为a＝(x1，y1，z1)， 所以 令x1＝n－1，得a＝(n－1，3－n，2)为平面PA2C2的一个法向量． 设平面A2C2D2的一个法向量为b＝(x2，y2，z2)， 由(1)法二知，＝(－2，－2，2)，＝(0，－2，1)， 所以 令y2＝1，得b＝(1，1，2)为平面A2C2D2的一个法向量， 所以|cos 150°|＝|cos<a，b>|＝， 整理得n2－4n＋3＝0，解得n＝1或n＝3， 所以BP＝1或BP＝3， 所以B2P＝1． 18．解：(1)在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG． 证明如下：如图所示， 取PC的中点H，连接FH，GH， 所以FH∥CD，FH＝CD， AG∥CD，AG＝CD， 所以FH∥AG，FH＝AG， 所以四边形AGHF为平行四边形， 则AF∥GH． 又GH⊂平面PCG，AF⊄平面PCG， 所以AF∥平面PCG． (2)选择①AB⊥BC： 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC， 由题意知AB，AD，AP两两垂直， 以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系． 因为PA＝AB＝2， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)， 所以＝(0，1，1)，＝(－2，－1，1)． 设平面FAC的一个法向量为μ＝(x，y，z)， 所以 取y＝1，得μ＝(－1，1，－1)为平面FAC的一个法向量， 平面ACD的一个法向量为v＝(0，0，1)． 设二面角F⁃AC⁃D的平面角为θ， 则cos θ＝， 所以二面角F⁃AC⁃D的余弦值为 选择②FC与平面ABCD所成的角为： 因为PA⊥平面ABCD，取BC中点E， 连接AE， 取AD的中点M，连接FM，CM， 则FM∥PA，且FM＝1， 所以FM⊥平面ABCD， FC与平面ABCD所成角为∠FCM， 所以∠FCM＝ 在Rt△FCM中，CM＝， 又CM＝AE，所以AE2＋BE2＝AB2， 所以BC⊥AE， 所以AE，AD，AP两两垂直． 以AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为PA＝AB＝2， 所以A(0，0，0)，B(，－1，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)， 所以＝(0，1，1)，＝(－，0，1)． 设平面FAC的一个法向量为a＝(x，y，z)， 则 取x＝，得a＝(，－3，3)为平面FAC的一个法向量， 平面ACD的一个法向量b＝(0，0，1)， 设二面角F⁃AC⁃D的平面角为θ， 则cos θ＝ 所以二面角F⁃AC⁃D的余弦值为 选择③∠ABC＝： 因为PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥BC，取BC中点E，连接AE． 因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°， 所以△ABC是正三角形，因为E是BC的中点，所以BC⊥AE， 所以AE，AD，AP两两垂直， 以AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 因为PA＝AB＝2，所以A(0，0，0)，B(，－1，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，E(，0，0)，F(0，1，1)，P(0，0，2)， 所以＝(0，1，1)，＝(－，0，1)． 设平面FAC的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则 取x＝，得m＝(，－3，3)为平面FAC的一个法向量， 平面ACD的一个法向量n＝(0，0，1)， 设二面角F⁃AC⁃D的平面角为θ， 则cos θ＝， 所以二面角F⁃AC⁃D的余弦值为 19．(1)证明：取CB1中点P，连接NP，MP， 由N是B1C1的中点，故NP∥CC1，且NP＝CC1， 由M是DD1的中点，故D1M＝CC1，且D1M∥CC1， 则有D1M∥NP，D1M＝NP， 故四边形D1MPN是平行四边形，故D1N∥MP． 又MP⊂平面CB1M，D1N⊄平面CB1M， 故D1N∥平面CB1M． (2)解：由题意知，AB，AD，AA1两两垂直，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，B1(2，0，2)，M(0，1，1)，C(1，1，0)，C1(1，1，2)， 则有＝(1，－1，2)，＝(－1，0，1)，＝(0，0，2)． 设平面CB1M与平面BB1C1C的一个法向量分别为m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)， 则有 分别取x1＝x2＝1，则有y1＝3，z1＝1，y2＝1，z2＝0， 即m＝(1，3，1)，n＝(1，1，0)， 设平面CB1M与平面BB1C1C的夹角为θ， 则cos θ＝|cos<m，n>|＝， 故平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值为　 (3)由＝(0，0，2)，平面CB1M的一个法向量m＝(1，3，1)， 则有， 即点B到平面CB1M的距离为 1/12 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末综合测评(一)　 满分：150分　时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则a·(a＋3b)＝(　　) A．(0，34，10) B．(－3，19，7) C．44 D．23 2．已知不共面的三个向量a，b，c都是单位向量，且夹角都是，则向量a－b－c和b的夹角为(　　) A．　　　B．　　　 C．　　　D． 3．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　) A． B． C．1 D． 4．如图，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2.若AB＝1，则二面角B-AC-M的余弦值为(　　) A． B． C． D． 5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，A1B1的中点，则异面直线EF与AD1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 6．已知向量a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　) A．－2 B．－ C． D．2 7．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝1，D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成的角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 8．在三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝60°，则点C到平面PAB的距离是(　　) A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中正确的是(　　) A．若a是直线l的方向向量，l⊥α，则λa是平面α的法向量 B．若＝λ＋μ，则直线AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE C．A，B，C三点不共线，对平面ABC外任意一点O，若＝，则P，A，B，C四点共面 D．若是空间的一个基底，m＝a＋c，则也是空间的一个基底 10．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则(　　) A．B1的坐标为(2，2，3) B．＝(－2，0，3) C．平面A1BC1的一个法向量为n＝(－3，3，－2) D．二面角B-A1C1-B1的余弦值为 11．如图(1)是一副直角三角板的示意图．现将两三角板拼成直二面角，连接AD，得到四面体ABCD，如图(2)所示，则下列结论中正确的是 (　　) A．＝0 B．平面BCD⊥平面ACD C．异面直线BC与AD所成的角为60° D．直线DC与平面ABC所成的角为30° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量a＝，向量 b＝，若a∥b，则实数m的值为__________． 13．如图，在四面体A-BCD中，△ABC为正三角形，四面体的高AH＝3，若二面角A-BC-D的大小为，则△ABC的面积为__________． 14．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕将△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝，则C到平面PBD的距离为__________；PC与平面PBD所成角的余弦值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点． (1)求AC与PB所成角的余弦值； (2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标． 16．(本小题满分15分)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，ED＝，FB＝2，M为AD的中点． (1)证明：BM∥平面CDE； (2)求二面角F-BM-E的正弦值． 17．(本小题满分15分)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3. (1)证明：B2C2∥A2D2； (2)点P在棱BB1上，当二面角P-A2C2-D2为150°时，求B2P. 18．(本小题满分17分)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答． ①AB⊥BC； ②FC与平面ABCD所成的角为； ③∠ABC＝. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝2，PD的中点为F. (1)在线段AB上是否存在一点G，使得AF∥平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由； (2)若__________，求二面角F-AC-D的余弦值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19．(本小题满分17分)如图，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点． (1)求证D1N∥平面CB1M； (2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值； (3)求点B到平面CB1M的距离． 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $