2.6.2 双曲线的几何性质（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）

2.6.2 双曲线的几何性质 题型一 由双曲线方程研究几何性质 1．（23-24高二下·安徽·月考）双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东青岛·期中）等轴双曲线C的一个焦点为，则它的实轴长为（    ） A． B．2 C．4 D． 3．（24-25高二上·河南南阳·期中）（多选）已知双曲线，下列选项正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的实轴长为8 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的离心率为 4．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为 . 题型二 由几何性质求双曲线标准方程 1．（23-24高二上·江西赣州·期中）以椭圆的焦点为焦点，离心率的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏连云港·月考）若双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为，虚轴长为，则双曲线的标准方程为 ． 3．单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整．如图①是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图②是其中截面最细附近处的部分图象，已知上、下底面与地面平行．现测得下底面直径米，上底面直径米，与间的距离为80米，与上下底面等距离的处的直径等于，若在最细处建立如图③的平面直角坐标系，则该双曲线的方程为 ． 4．（24-25高二上·广西梧州·月考）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 题型三 求双曲线的离心率 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南南阳·月考）过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于两点，且是坐标原点，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D．3 3．（24-25高二上·广西柳州·期中）（多选）设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，则和的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁鞍山·期中）已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是 ． 题型四 由双曲线渐近线有关的问题 1．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东·期中）已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西汉中·期中）（多选）以为渐近线的双曲线可以是（    ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作的切线与的两支分别交于两点，若，则的渐近线方程为 ． 题型五 直线与双曲线的位置关系 1．（23-24高二上·江苏泰州·期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 2．（23-24高二下·江西九江·开学考试）若直线l过点，且与双曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有 条． 3．（23-24高二上·北京·月考）若直线过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有 条 4．（24-25高二上·上海·期中）已知双曲线过点且它的两条渐近线方程为与. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线右支交于不同两点，求k的取值范围． 题型六 直线与双曲线相交弦长问题 1．（23-24高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 4．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 题型七 双曲线的中点弦问题 1．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东泰安·月考）直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是 . 4．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 题型八 双曲线的综合问题 1．（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为，双曲线C的离心率为2，右焦点为F，O为坐标原点. (1)求双曲线C的方程； (2)若经过右焦点F的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，点N满足，求直线ON的斜率的取值范围. 2．（23-24高二下·陕西延安·期末）已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 3．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程． (2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由． 4．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 1．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知双曲线，点为上一点，过分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形（为原点）的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．（24-25高二上·江西上饶·月考）已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，右顶点为；过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·江西·月考）（多选）已知双曲线，则（    ） A．的取值范围是 B．时，的渐近线方程为 C．的焦点坐标为 D．可以是等轴双曲线 4．（24-25高二上·山东·月考）（多选）已知双曲线，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是（    ） A．四边形ABCD一定是平行四边形 B．四边形ABCD可能为菱形 C．AB的中点可能为 D．的值可能为 5．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为 . 6．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为 . 7．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线：的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)若上两点，关于点对称，求直线的方程； (3)过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6.2 双曲线的几何性质 题型一 由双曲线方程研究几何性质 1．（23-24高二下·安徽·月考）双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在双曲线中，，，， 所以焦距为．故选：B． 2．（24-25高二上·山东青岛·期中）等轴双曲线C的一个焦点为，则它的实轴长为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【解析】由题意，设等轴双曲线方程为：， 注意到双曲线的焦点在轴上，则， 双曲线方程可化为， 由焦点可知，，则， 于是实半轴为，于是实轴长是.故选：D 3．（24-25高二上·河南南阳·期中）（多选）已知双曲线，下列选项正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的实轴长为8 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的离心率为 【答案】BD 【解析】因为，，焦点在轴上， 所以双曲线的渐近线方程为，实轴长为8，故A错误，B正确； 因为，所以双曲线的焦距为， 离心率为，故C错误，D正确．故选：BD. 4．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的一条渐近线为，则的焦距为 . 【答案】 【解析】根据双曲线方程，有双曲线的渐近线为， 又因为双曲线的一条渐近线为，即，所以， 所以焦距为. 故答案为： 题型二 由几何性质求双曲线标准方程 1．（23-24高二上·江西赣州·期中）以椭圆的焦点为焦点，离心率的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆化为标准方程为， 焦点为，双曲线的半焦距， 离心率，， ， 双曲线的标准方程为．故选：A． 2．（24-25高二上·江苏连云港·月考）若双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为，虚轴长为，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【解析】由若双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线标准方程可设为：， 由虚轴长为，可知，再由渐近线方程为，可知， 所以双曲线标准方程为：. 故答案为：. 3．单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整．如图①是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图②是其中截面最细附近处的部分图象，已知上、下底面与地面平行．现测得下底面直径米，上底面直径米，与间的距离为80米，与上下底面等距离的处的直径等于，若在最细处建立如图③的平面直角坐标系，则该双曲线的方程为 ． 【答案】 【解析】依题意可得，则，，； 设双曲线方程为，则， 解得， 故所求的双曲线方程为． 故答案为： 4．（24-25高二上·广西梧州·月考）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为双曲线焦点在轴上，实轴长为8，离心率为， 所以，解得，所以， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）依题意，可设所求双曲线的标准方程为. 因为焦距为，所以， 所以. 又渐近线方程为，所以， 则，所以所求双曲线的标准方程为. 题型三 求双曲线的离心率 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线（，）的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵双曲线的一条渐近线经过点， ∴此渐近线方程为，即， ∴离心率.故选：B. 2．（24-25高二上·河南南阳·月考）过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于两点，且是坐标原点，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为. 由 ∵为线段的中点， ∴，则为等腰三角形. ∴, 连接，由双曲线的的渐近线的性质可得 ∴ ∴，即. ∴双曲线的离心率为，所以.故选：A. 3．（24-25高二上·广西柳州·期中）（多选）设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，则和的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为双曲线的渐近线的斜率小于， 所以，则，即， ，即，故选：AC 4．（24-25高二上·辽宁鞍山·期中）已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是 ． 【答案】 【解析】因为是中点，即是的中位线， 则， 可得，， 又因为，则，，关系 则， 所以双曲线的离心率是. 故答案为：. 题型四 由双曲线渐近线有关的问题 1．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知双曲线的实轴长为，则，解得， 所以该双曲线的渐近线方程为．故选：A. 2．（23-24高二下·广东·期中）已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为双曲线的离心率为，所以，可得， 故双曲线的渐近线方程为．故选：A. 3．（24-25高二上·陕西汉中·期中）（多选）以为渐近线的双曲线可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于选项A，由得渐近线方程为，所以选项A错误， 对于选项B，由得渐近线方程为，所以选项B正确， 对于选项C，由得渐近线方程为，所以选项C错误， 对于选项D，由得渐近线方程为，所以选项D正确，故选：BD. 4．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作的切线与的两支分别交于两点，若，则的渐近线方程为 ． 【答案】 【解析】设过的直线与相切于点，过点作于， 易知，由相似比得， 所以，又，所以， 又点在上，所以，则， 在中，由余弦定理得，， 结合，代入化简得， 所以，即， 故渐近线方程为． 故答案为：． 题型五 直线与双曲线的位置关系 1．（23-24高二上·江苏泰州·期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【解析】因为双曲线的渐近线方程为， 所以，当时，直线与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有一个交点.故选：C    2．（23-24高二下·江西九江·开学考试）若直线l过点，且与双曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有 条． 【答案】4 【解析】当直线l的斜率不存在时，直线为，与曲线有且只有一个公共点． 当直线l的斜率存在时，可设直线为， 代入曲线方程整理得， 若，则， 此时有两条分别平行于双曲线的两条渐近线的直线，与曲线有且只有一个公共点； 当时，则由，得， 此时有一条直线与曲线相切，有且只有一个公共点． 综上，这样的直线共有4条． 故答案为：4 3．（23-24高二上·北京·月考）若直线过点且与双曲线仅有一个公共点，则这样的直线有 条 【答案】 【解析】 当直线的斜率不存在时，直线过双曲线的右顶点， 方程为，满足条件，此时满足条件的有一条直线； 当直线的斜率存在时，若直线与两渐近线平行， 也能满足与双曲线有且仅有一个公共点，此时满足条件的有两条直线； 综上，满足条件的直线共有3条． 故答案为：3 4．（24-25高二上·上海·期中）已知双曲线过点且它的两条渐近线方程为与. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线右支交于不同两点，求k的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为与, 故设双曲线方程为：， 因为双曲线过，故即，故双曲线方程为：. （2）由可得， 因为直线与双曲线右支交于不同两点， 所以，故. 题型六 直线与双曲线相交弦长问题 1．（23-24高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由双曲线的方程得，，直线的方程为① 将其代入双曲线方程消去得，，解之得，． 将，代入①，得，， 故．故选：C． 2．已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 【答案】 【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线为， 联立，得， 设，则， 所以，解得，经检验符合题意； 则，. 弦长. 故答案为：. 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ． 【答案】 【解析】设双曲线与直线交于两点， 由消去整理得， 则，解得，且， 所以． 由，解得，所以． 故答案为： 4．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：； 又因为点在双曲线上，所以，解得：， 所以双曲线的标准方程为： （2）设， 由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即， 联立，消去可得：， 所以，， 所以 题型七 双曲线的中点弦问题 1．（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意.故选：D 2．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，， 两式相减并化简得，即， 当时，设直线的倾斜角为， 是以为底边的等腰三角形，所以， 所以， 则. 根据对称性可知，当时，， 综上所述，直线的斜率为.故选：D 3．（23-24高二上·山东泰安·月考）直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是 . 【答案】 【解析】设直线与双曲线的交点为， 联立方程组，整理得， 则，且， 设弦的中点为，则， 代入直线方程可得， 所以截得弦的中点坐标为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由题意，知，解得，故双曲线的方程为． （2）设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 题型八 双曲线的综合问题 1．（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）已知双曲线，其焦点到渐近线的距离为，双曲线C的离心率为2，右焦点为F，O为坐标原点. (1)求双曲线C的方程； (2)若经过右焦点F的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，点N满足，求直线ON的斜率的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）根据题意得，得， ∴双曲线C的方程为； （2）∵，∴，∴， 设点， 设直线l的方程为，与双曲线C的方程联立， 整理得， 则，整理得， 由根与系数的关系得，于是 注意到，于是，解得， 又点N满足，即，整理得， 两式消除得，代入消去m得， 因此点N的轨迹是以为焦点，实轴长为4的双曲线的右支， 其渐近线斜率为， ∴直线的斜率范围为. 2．（23-24高二下·陕西延安·期末）已知双曲线经过点． (1)求的离心率； (2)设直线经过的右焦点，且与交于不同的两点，点N关于x轴的对称点为点P，证明：直线过定点． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由双曲线经过点， 则有，解得， 即双曲线的标准方程为，则， 所以离心率，故的离心率为； （2）由（1）知的右焦点为，直线， 设，，由点N关于x轴的对称点为点P，则， 联立，得， 由题可知，即， 且， 则， 则直线的直线方程为， 由对称性可知，直线若过定点，则必在轴上， 令，得 当，且时， ， 所以直线过定点. 3．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程． (2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由． 【答案】(1)；(2)是，定直线 【解析】（1）根据对称性，到的一条渐近线的距离，则． 由，知，得，则， 故的方程为． （2）点在定直线上． 依题可设直线的方程为，，， 联立方程组，整理得，必有， 则，，则． 直线的方程为，直线的方程为， 整理得，解得． 故点在定直线上． 4．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）依题意左、右顶点分别为，， 所以，解得， 将代入得，解得， 故双曲线方程为； （2）设，，直线的方程为， 将代入整理得，， ∴，，又由， 代入上式得，解得，， 因为的重心在轴上，所以， 所以，代入双曲线得， 故或． 1．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知双曲线，点为上一点，过分别作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则四边形（为原点）的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】双曲线C：，即， 为等轴双曲线，渐近线的夹角为，则四边形为矩形， 设点，且， 点到渐近线的距离为， 点到渐近线的距离为， 则四边形的面积为.故选：B. 2．（24-25高二上·江西上饶·月考）已知为坐标原点，双曲线的左焦点为，右顶点为；过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如下图所示： 不妨取渐近线，则左焦点到渐近线距离； 又，于是，可得,故离心率， 因此渐近线方程为，直线斜率为1，其方程为，可得， 又，则，所以直线的方程为， 联立双曲线方程整理可得； 易知是该方程的一个实数根，另一根即为； 所以，可得， 于是轴，又因为 所以．故选：B 3．（24-25高三下·江西·月考）（多选）已知双曲线，则（    ） A．的取值范围是 B．时，的渐近线方程为 C．的焦点坐标为 D．可以是等轴双曲线 【答案】ACD 【解析】对于选项A，因为表示双曲线， 所以，解得，所以选项A正确； 对于选项B，当时，双曲线方程为， 其渐近线方程为，所以选项B错误； 对于选项C，由选项A得0，所以焦点在轴上，设的半焦距为， 则，解得，故其焦点坐标为，所以选项C正确； 对于D，若为等轴双曲线，则，解得，所以选项D正确，故选：ACD. 4．（24-25高二上·山东·月考）（多选）已知双曲线，过原点的直线AC，BD分别交双曲线于A，C和B，D四点（A，B，C，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为，则下列结论正确的是（    ） A．四边形ABCD一定是平行四边形 B．四边形ABCD可能为菱形 C．AB的中点可能为 D．的值可能为 【答案】AD 【解析】由双曲线的中心对称性可知，点A，B分别关于原点与C，D对称，故，， 所以四边形ABCD一定是平行四边形，而直线AC，BD斜率之积为， 则AC与BD不垂直，所以四边形ABCD不可能为菱形，A正确，B错误； 设，，则，， 两式作差得， 若的中点为，可得， 代入上式，求得，故AB的方程为， 联立方程组，整理得，可得， 则，此时，故C错误； 当点A位于第一象限，点B位于第二象限， 设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为，结合双曲线渐近线， 易知，，可得， 又因为，所以的取值范围为； 当点A位于第四象限，点B位于第一象限，同理，可得的取值范围为． 综上的取值范围为，所以D正确．故选：AD. 5．（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知双曲线与直线相交于，两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【解析】设，中点为，则，故， 因为，故， 所以，而， 故，故，故， 故答案为： 6．（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点且斜率为2的直线与的一条渐近线在第四象限相交于点，四边形为平行四边形.若直线的斜率，则的离心率的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意可得，， 由于为平行四边形，故, 直线的方程为，渐近线方程， 联立， 故, 所以， 因此，化简得， 故离心率为， 故答案为： 7．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知双曲线：的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)若上两点，关于点对称，求直线的方程； (3)过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示） 【答案】(1)；(2)；(3)， 【解析】（1）依题意，双曲线：的离心率为，且经过点， 所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）依题意，上两点，关于点对称， 由，两式相减并化简得， 所以直线的方程为. 由消去得，， 因此直线必与双曲线有两个交点，所以直线的方程为. （3）根据题意，直线的斜率都存在且不为，双曲线的右焦点为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以,.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$