第2章 探究课5 探究圆锥曲线中的对称问题(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

　探究圆锥曲线中的对称问题 1．对称问题包括点对称和轴对称两种题型．其中点对称问题利用中点坐标公式和代入法即可解决．解决轴对称问题的一般思路为：若A，B两点关于对称轴对称，则直线AB与对称轴垂直，且线段AB的中点在对称轴上，即对称轴是线段AB的垂直平分线．解决对称问题应注意条件的充分利用，如斜率、截距等，同时还应注意各量之间的关系． 2．利用点在圆锥曲线内部解决对称点问题 (1)按常规约定：含有焦点的区域为圆锥曲线的内部．那么，易得点P(x0，y0)在椭圆＝1内部的充要条件是＜1(若把不等号改为相反的方向，则为点P在椭圆外部的充要条件)．若点P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p＞0)内部，则有<2px0(p＞0)等．应用如上结论，可使许多问题的解答更简捷、巧妙． (2)这类题型的常规解法是判别式法．如果曲线上存在两点关于直线y＝kx＋b对称，那么这两点的直线方程设为：y＝－x＋m，代入曲线方程，消去变量x(或y)得到一个关于y(或x)的一元二次方程．利用中点在直线y＝kx＋b上和方程有两个根，则其“判别式大于零”使问题得以解决． 【典例】　若抛物线y＝x2上存在关于直线y＝m(x－3)对称的两点，求实数m的取值范围． [解]　(法一)当m＝0时，不符合题意，设直线AB：y＝－x＋b与抛物线y＝x2的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)．由得mx2＋x－mb＝0，Δ＝1＋4m2b＞0，x1＋x2＝－．因为x0＝，所以y0＝－＋b＝＋b．因为M在对称轴y＝m(x－3)上，所以＋b＝m，所以b＝，所以Δ＝1＋4m2b＝1＋4m2＝－12m3－2m2－1＞0，所以12m3＋2m2＋1＜0，即(2m＋1)(6m2－2m＋1)＜0．因为6m2－2m＋1恒大于0，所以2m＋1＜0，所以m＜即实数m的取值范围为． (法二)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上关于直线y＝m(x－3)对称的两点，M(x0，y0)是AB的中点，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0．由y1＝，得y1－y2＝，所以＝x1＋x2＝2x0．又因为A，B是抛物线上关于直线y＝m(x－3)对称的两点，所以2x0·m＝－1，即x0＝－，所以y0＝＝－3m，即．又点M在抛物线的内部，所以－－3m＞，即12m3＋2m2＋1＜0，所以(2m＋1)(6m2－2m＋1)＜0．因为6m2－2m＋1恒大于0，所以2m＋1＜0，所以m＜，即实数m的取值范围为． 　解决对称问题要牢牢抓住垂直且平分这一重要几何性质． 已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点． (1)若以AB为直径的圆过坐标原点O，求实数a的值； (2)是否存在实数a，使A，B两点关于直线y＝x对称？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． [解]　(1)由得(3－a2)x2－2ax－2＝0．由题意，得解得－＜a＜且a≠±．　① 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 又⊥，即x1x2＋y1y2＝0． 而y1y2＝a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1， 则(a2＋1)·＋1＝0， 解得a＝±1，且满足①． 所以实数a的值为±1． (2)假设存在实数a，使A，B两点关于直线y＝x对称，则直线y＝ax＋1与y＝x垂直，所以a＝－2，即直线AB的方程为y＝－2x＋1． 将a＝－2代入x1＋x2＝，得x1＋x2＝4， 所以线段AB中点的横坐标为2，纵坐标为y＝－2×2＋1＝－3． 但AB的中点(2，－3)不在直线y＝x上，故不存在实数a，使A，B两点关于直线y＝x对称． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $