2.8 直线与圆锥曲线的位置关系(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

2．8　直线与圆锥曲线的位置关系 学习任务 1．通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系．(逻辑推理) 2．会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题．(数学运算) 激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向能武器．目前我国的高能激光武器完全有能力击毁或致盲国外的间谍卫星(在以地球为焦点的椭圆形轨道上运行的低空卫星)．假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星，就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题． 知识点1　直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0． 方程特征 交点个数 位置关系 直线 与 椭圆 a≠0，Δ＞0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ＜0 0 相离 直线 与双 曲线 a＝0 1 直线与双曲线的渐近线平行且两者相交 a≠0，Δ＞0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ＜0 0 相离 直线 与抛 物线 a＝0 1 直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交 a≠0，Δ＞0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ＜0 0 相离 直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？ [提示]　不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行(或重合)时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交． 知识点2　圆锥曲线的弦及弦长公式 1．圆锥曲线的弦 一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长．简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段． 2．求圆锥曲线的弦长 若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则求弦长|AB|的常用方法有： (1)交点法：联立直线l与圆锥曲线C的方程，求出两交点A，B的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长，即|AB|＝． (2)弦长公式法：若直线l的斜率k存在，则|AB|＝＝＝＝(k≠0)； 若直线l的斜率不存在，则|AB|＝|y1－y2|＝． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线x＝2与椭圆＋y2＝1相切． (　　) (2)一条直线与双曲线两支的交点个数最多为2． (　　) (3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)× 2．直线y＝x＋1与椭圆＝1的位置关系是(　　) A．相交　　 B．相切 C．相离 　 D．相切或相交 A　[(法一)直线过点(0，1)，而0＋<1，即点(0，1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交． (法二)联立直线与椭圆的方程， 有消去y，得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)>0， 所以直线与椭圆相交．] 3．直线y＝x＋3与双曲线＝1(a>0，b>0)的交点个数是(　　) A．1　　 　 B．2 C．1或2　　 　 D．0 A　[因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝ 平行，所以它与双曲线只有1个交点．] 4．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于(　　) A．　　B．　　C．2　　D．2 A　[令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x2－8x＋1＝0，所以x1＋x2＝2，x1x2＝＝．] 类型1　直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用 【例1】　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝kx－1，试讨论满足下列条件的实数k的取值范围． (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． [思路导引]　要研究直线与双曲线的公共点个数，通常需联立直线与双曲线的方程，并对方程组解的个数进行讨论． [解]　由得(1－k2)x2＋2kx－5＝0．① (1)直线l与双曲线有两个公共点，则方程①有两个不相等的根． ∴ 解得－<k<且k≠±1， ∴实数k的取值范围为∪(－1，1)． (2)直线l与双曲线只有一个公共点，则方程①只有一解． 当1－k2＝0，即k＝±1时，方程①只有一解； 当1－k2≠0时，应满足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0，解得k＝±． 故k的值为±1或±． (3)直线l与双曲线没有公共点，则方程①无解． ∴解得k<－或k>， ∴实数k的取值范围为． 　关于直线与圆锥曲线的交点个数判断 (1)代数法：直线与圆锥曲线的方程联立、消元， ①如果得到的是一元二次方程，则利用Δ判断方程根的个数，即直线与圆锥曲线交点的个数； ②如果得到的是一元一次方程，则表示直线与双曲线的渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行(或重合)，此时直线与圆锥曲线有一个交点． (2)几何法：一般适用直线与双曲线的位置关系，可以判断直线的斜率与渐近线斜率的大小，结合图象可以判断直线与双曲线的交点个数． 提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交． [跟进训练] 1．设双曲线Γ的方程为x2－＝1．设l是经过点M(1，1)的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程． [解]　(1)当直线l斜率不存在时，方程为x＝1，显然与双曲线Γ相切，只有一个交点，符合题意． (2)当直线l的斜率存在且与双曲线Γ相切时，设斜率为k， 则直线l的方程为y－1＝k(x－1)， 即y＝kx－k＋1， 联立方程 消去y得(4－k2)x2－2k(1－k)x－[(1－k)2＋4]＝0， 因为直线l和双曲线Γ有且仅有一个公共点， 所以Δ＝4k2(1－k)2＋4(4－k2)[(1－k)2＋4]＝0， 化简得5－2k＝0， 所以k＝， 所以直线l的方程为y＝， 即5x－2y－3＝0． (3)当直线l与双曲线Γ的渐近线平行时，也与双曲线Γ有且仅有一个公共点，因为双曲线Γ的渐近线方程为y＝±2x， 所以直线l的斜率为±2， 所以直线l的方程为y－1＝2(x－1) 或y－1＝－2(x－1)， 即2x－y－1＝0或2x＋y－3＝0． 综上所述，直线l的方程为x＝1或5x－2y－3＝0或2x－y－1＝0或2x＋y－3＝0． 类型2　弦长问题及中点弦问题 【例2】　椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程． [思路导引]　本题有两种解法．一是利用设点、代入、作差，借助斜率解题的方法，可称为“点差法”．二是利用圆锥曲线弦长的基本求法，先利用两点间距离公式求出含a，b的关系式，再借助弦所在直线的斜率求解． [解]　(法一)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0． 而， 代入上式可得b＝a． 因为|AB|＝＝2，即(x2－x1)2＝4，其中x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根， 又因为(x1＋x2)2－4x1x2＝(x2－x1)2＝4， 所以＝4． 将b＝a代入，解得a＝， 所以所求椭圆的方程是y2＝1． (法二)由 得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以x1＋x2＝， 则|AB|＝＝． 因为|AB|＝2， 所以＝1．① 设C(x，y)，则x＝． 因为OC的斜率为，所以， 代入①，解得a＝， 所以所求椭圆的方程是y2＝1． 　1．直线与圆锥曲线相交时弦长的求法 (1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．(客观题常用) (2)点距法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．(不常用) (3)弦长公式法：它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系求解．(常用方法) 2．中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率． (2)根与系数的关系法：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． [跟进训练] 2．已知直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若线段AB的中点为，则线段AB的长度为_______________________． 8　[依题意显然直线的斜率存在，设直线为y－2＝k(x－3)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由，消去y整理得k2x2－x＋(2－3k)2＝0， 当k＝0时，显然不成立． 当k≠0时，x1＋x2＝， 又＝3得＝6，解得k＝1，当k＝1时直线x－y－1＝0， 又焦点F(1，0)满足直线x－y－1＝0，所以|AB|＝|FA|＋|FB|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝x1＋x2＋2， 又x1＋x2＝6，所以|AB|＝8．] 类型3　圆锥曲线中的最值及范围问题 【例3】　已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的焦距为，其中一条渐近线的方程为x－y＝0．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A，B两点． (1)求椭圆E的方程； (2)若点P为椭圆E的左顶点，，求＋ [解]　(1)由双曲线＝1的焦距为3，得c＝， 所以a2＋b2＝．① 由题意知，② 由①②解得a2＝3，b2＝， 所以椭圆E的方程为y2＝1． (2)由(1)知P． 设G(x0，y0)，由， 得＝2(－x0，－y0)． 即解得 所以G． 设A(x1，y1)，则B(－x1，－y1)， ＝． 又因为x1∈，所以∈[0，3]， 所以， 所以． 　求圆锥曲线中参数的范围或最值常用方法 (1)求参数范围的方法 根据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围． (2)求最值问题的方法 ①几何法 题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决． ②代数法 题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法、单调性法等． [跟进训练] 3．(多选题)已知P(x，y)为曲线x＝2上一动点，则(　　) A．的最小值为2 B．P到直线y＝－x－2的距离的最小值为 C．的最小值为6 D．存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离 BCD　[由题意，曲线x＝2，化简可得x2＝4y(x≥0)，则曲线x＝2为抛物线x2＝4y的右半部分，如图所示． 因为抛物线x2＝4y，可得抛物线的焦点坐标为F(0，1)，准线方程为l：y＝－1． 对于A中，由＝|PF|≥1，所以A错误； 对于B中，结合图象可得，原点到直线y＝－x－2的距离取得最小值， 最小值为d＝，所以B正确； 对于C中，由点A(1，5)到准线l：y＝－1的距离为d，点P到准线l：y＝－1的距离为d1， 则＝|PF|＋|PA|＝d1＋|PA|≥d＝5＋1＝6， 所以的最小值为6，所以C正确； 对于D中，根据抛物线的定义，点P到焦点F(0，1)的距离等于点P到准线的距离，所以D正确． 故选BCD．] 类型4　圆锥曲线中的定值、定点问题 【例4】　设椭圆E：＋y2＝1(a＞1)的右焦点为F，右顶点为A，且，其中O为坐标原点，e为椭圆的离心率． (1)求E的方程； (2)设过F且斜率不为零的直线l与E交于M，N两点，过M作直线m：x＝a2的垂线，垂足为M1，证明：直线M1N恒过一定点，并求出该定点的坐标． [解]　(1)设椭圆E的半焦距为c， 依题意得，即a2＝2c2． 又a2＝1＋c2，故a2＝2，所以E的方程为＋y2＝1． (2)证明：由(1)得，F(1，0)，又直线l的斜率不为零，故可设l的方程为x＝ty＋1， 由得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，又直线m为x＝2，所以M1(2，y1)， 则y1＋y2＝－，所以y1＋y2＝2ty1y2． 又直线M1N的方程为y＝(x－2)＋y1， 又x2＝ty2＋1，所以＝2y1， 所以M1N的方程为y＝2y1(x－2)＋y1， 即y＝2y1． 故直线M1N恒过定点． 　(1)动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)． (2)动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． [跟进训练] 4．已知抛物线G：y2＝4x的焦点与椭圆E：＝1(a>b>0)的右焦点F重合，椭圆E的长轴长为4． (1)求椭圆E的方程； (2)过点F且斜率为k的直线l交椭圆E于A，B两点，交抛物线G于M，N两点，请问是否存在实常数t，使为定值？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． [解]　(1)因为抛物线G：y2＝4x的焦点为(1，0)，所以c＝1，又a＝2， 则b2＝a2－c2＝3， 故椭圆E的方程为＝1． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)， 设直线l的方程为y＝k(x－1)，与椭圆E的方程联立 得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，Δ1>0， 所以x1＋x2＝， 所以|AB|＝＝． 直线l的方程y＝k(x－1)， 与抛物线G的方程联立 得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ2>0， 所以x3＋x4＝，x3x4＝1， 所以|MN|＝x3＋x4＋2＝． 所以， 要使为常数， 则8＋3t＝6， 解得t＝－， 故存在t＝－，使得为定值． 1．直线y＝kx＋2与椭圆＝1有且只有一个交点，则k的值是(　　) A．　　　　 B．－ C．± 　 D．± C　[由得x2＋12kx＋6＝0， 由题意知Δ＝＝0，解得k＝±，故选C．] 2．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是(　　) A．x－4y－3＝0 　 B．x＋4y＋3＝0 C．4x＋y－3＝0 　 D．4x＋y＋3＝0 C　[设弦两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－2． 因为A，B在抛物线上，所以＝8x2， 两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)， 所以＝－4， 所以直线AB方程为y＋1＝－4(x－1)，即4x＋y－3＝0．] 3．直线l过定点(2，1)，且与双曲线－y2＝1有且只有一个公共点，则这样的不同直线的条数为________． 2　[因为点(2，1)在渐近线上，所以这样的不同直线l的条数为2， 一条与另一条渐近线平行，另外一条与双曲线相切，此时斜率不存在．] 4．过椭圆＝1的焦点F的弦中最短弦长是________． 　[由椭圆的几何性质可知，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦长最短， 弦长为．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．解决直线与圆锥曲线位置关系时需要注意什么问题？ [提示]　解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数．确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和曲线有一个公共点并不一定相切． 2．如何处理与弦中点有关的问题？ [提示]　(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解． (2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系． 3．如何求解圆锥曲线中的定值、定点问题？ [提示]　(1)求定值问题常见的方法 ①直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．其解题步骤为： ②从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)定点问题的一般求解步骤 有些题也可以采用特殊到一般的方法，根据动点或动直线的特殊情况探索出动点，再证明该动点与变量无关． 课时分层作业(二十五)　直线与圆锥曲线的位置关系 一、选择题 1．若直线y＝kx＋1与椭圆＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A．{m|m>1} B．{m|m≥1或0<m<1} C．{m|0<m<5且m≠1} D．{m|m≥1且m≠5} D　[ 由于直线y＝kx＋1恒过点M(0，1)，要使直线y＝kx＋1与椭圆＝1恒有公共点，则只要M(0，1)在椭圆的内部或在椭圆上． 从而有解得m≥1且m≠5．] 2．已知椭圆＝1(a＞b＞0)，斜率为2的直线与椭圆相交于两点M，N，MN的中点坐标为(1，－1)，则椭圆C的离心率是(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． B　[设M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以 两式相减得b2(y1＋y2)(y1－y2)＋a2(x1＋x2)(x1－x2)＝0， 所以b2(－2)(y1－y2)＋2a2(x1－x2)＝0， 所以－b2＋a2＝0， 所以－2b2＋a2＝0，所以－2(a2－c2)＋a2＝0，所以e＝．故选B．] 3．直线AB过椭圆＝1内一点P(1，n)，若点P为弦AB的中点，设k1为直线AB的斜率，k2为直线OP的斜率，则k1·k2的值为(　　) A．－ 　 B．－ C． 　 D．2 A　[设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝n， 所以k1＝，又点A与B在椭圆上，所以＝1，作差可得＝0，即， 所以k1·k2＝，故选A．] 4．(多选题)若直线y＝2x－1与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点，则m的值可能为(　　) A．3 　 B．4 C．8 　 D．10 AB　[联立得x2－4x＋m＋1＝0，又因为直线与双曲线只有一个交点，故①当直线与双曲线的渐近线平行时，4－m＝0，即m＝4； ②当直线与双曲线相切时，Δ＝16－4×＝4m2－12m＝0， 解得m＝3或0(舍去)．故选AB．] 5．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为(　　) A． 　 B． C． 　 D． A　[(法一)易知直线y＝x＋4与抛物线y2＝4x相离，设直线y＝x＋m与抛物线y2＝4x相切，则由得y2－4y＋4m＝0，所以Δ＝16－16m＝0，得m＝1，则直线y＝x＋4与y＝x＋1的距离d＝．故选A． (法二)设抛物线上一点P，则点P到直线x－y＋4＝0的距离d＝，当t＝2时，d取得最小值．] 二、填空题 6．已知椭圆C：＝1(b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点．若△F1AB是等边三角形，则b的值等于________． 　[因为△F1AB是等边三角形，故|F1A|＝|F1B|，故A，B关于x轴对称，故AB⊥x轴．故∠F1F2A＝90°，∠F1AF2＝60°， 故|AF1|＝2|AF2|，又|AF1|＋|AF2|＝＝6，故|AF2|＝2，故|F1F2|＝2，即c＝，所以9－b2＝3，b＝．] 7．过双曲线＝1的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为________． 　[双曲线＝1的右焦点为F2(3，0)， 所以直线l的方程为y＝(x－3)． 由得5x2＋6x－27＝0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－， x1x2＝－， 所以|AB|＝．] 8．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________． 　[设双曲线方程为＝1(a＞0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，而kBF＝－． 所以＝－1，整理得b2＝ac． 所以c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0， 解得e＝或e＝(舍去)．] 三、解答题 9．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为2． (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线OQ斜率的最大值． [解]　(1)由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，所以C的方程为y2＝4x． (2)由(1)知F(1，0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则＝(x2－x1，y2－y1)，＝(1－x2，－y2)， 因为，所以可得 又点P在抛物线C上，所以＝4x1，即(10y2)2＝，化简得，则点Q的轨迹方程为y2＝． 设直线OQ的方程为y＝kx，易知当直线OQ与曲线y2＝相切时，斜率可以取最大值， 联立y＝kx与y2＝并化简，得k2x2－＝0，令Δ＝＝0， 解得k＝±，所以直线OQ斜率的最大值为． 10．(多选题)已知两点A，若直线上存在点P，使得＝2，则称该直线为“点定差直线”．下列直线中，是“点定差直线”的有(　　) A．y＝x＋1 　 B．y＝3x＋1 C．y＝2x＋4 　 D．y＝x＋3 AD　[因为＝2<，故P点的轨迹方程为双曲线的右支，其中a＝1，c＝2，则b2＝c2－a2＝4－1＝3，所以双曲线为x2－＝1(x>0)，渐近线方程为y＝±x． y＝x＋1的斜率为1<，故与x2－＝1(x>0)有交点，A正确； y＝3x＋1的斜率3>，且与y轴交点为，故与x2－＝1(x>0)无交点，B错误； y＝2x＋4的斜率2>，且与y轴交点为，故与x2－＝1(x>0)无交点，C错误； y＝x＋3的斜率<，故与x2－＝1(x>0)有交点，D正确．故选AD．] 11．(多选题)已知双曲线C：＝1与双曲线Ω：＝1有相同的渐近线，且过点P，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，则下列说法中正确的有(　　) A．若双曲线C上一点M到它的焦点F1的距离等于16，则点M到另一个焦点F2的距离为10 B．若N是双曲线C左支上的点，且|NF1|·|NF2|＝32，则△F1NF2的面积为16 C．过点(3，0)的直线l与双曲线C有唯一公共点，则直线l的方程为4x－3y－12＝0或4x＋3y－12＝0 D．过点Q(2，2)的直线与双曲线＝1相交于A，B两点，且Q(2，2)为弦AB的中点，则直线AB的方程为4x－y－6＝0 BD　[对于A，设双曲线C：＝k(k>0)，把点P的坐标代入得k＝，则双曲线C：＝1，则a＝3，b＝4，c＝5． 所以|16－|MF2||＝6， 所以|MF2|＝22或10，所以A选项错误； 对于B，由题得|NF2|－|NF1|＝6， |NF1|·|NF2|＝32， 所以|NF2|2＋|NF1|2＝100＝×32＝16，所以B选项正确； 对于C，点(3，0)为双曲线的右顶点，当直线l垂直x轴时，满足题意，此时直线方程为x＝3；当直线有斜率时，此时直线与渐近线平行，则直线方程为y＝±(x－3)，即直线l的方程为4x－3y－12＝0或4x＋3y－12＝0，所以直线l的方程为4x－3y－12＝0或4x＋3y－12＝0或x＝3，所以C选项错误； 对于D，由题得双曲线方程为＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝1，两式相减得＝0，又＝2，所以2(x1－x2)－(y1－y2)＝0，所以kAB＝4．所以直线AB的方程为4x－y－6＝0，所以D选项正确．] 12．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点A(x1，y1)，交双曲线的渐近线于点B(x2，y2)且x1＜0＜x2．若|FB|＝3|FA|，则双曲线的离心率是________． 　[由题意知，过左焦点F(－c，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋c)，联立⇒B， ∵|FB|＝3，F(－c，0)⇒＝3(x1＋c，y1)⇒A， ∵A在双曲线上，∴＝1⇒e＝．] 13．如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作直线，与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若＝________． y＝(x－1)　　[抛物线的焦点坐标为F(1，0)， 准线方程为x＝－1，设C(－1，m)，B(a，b)， 因为，所以(－2，m)＝3(a－1，b)＝(3a－3，3b)， 则3a－3＝－2，m＝3b，即a＝，此时b2＝4×， 得b＝－，即m＝－2， 则C，则AB的斜率k＝，则直线方程为y＝(x－1)， 代入y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，得x1＋x2＝＝x1＋x2＋2＝．] 14．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C上的点A的横坐标为1，且． (1)求抛物线C的方程； (2)过焦点F作两条相互垂直的直线(斜率均存在)，分别与抛物线C交于M，N和P，Q四点，求四边形MPNQ面积的最小值． [解]　(1)由已知，1＋，解得p＝，故抛物线C的方程为y2＝x． (2)由(1)知，F，设直线MN的方程为x＝my＋(m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则直线PQ的方程为x＝－， 联立得y2－my－＝0，则Δ＝m2＋1>0，∴y1＋y2＝m，y1y2＝－， ∴＝m2＋1， 同理可得＋1， ∴四边形MPNQ的面积S＝(m2＋1)≥2， 当且仅当＝m2，即m＝±1时等号成立，∴四边形MPNQ面积的最小值为2． 15．已知点A(2，1)在双曲线C：＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若tan ∠PAQ＝2 ，求△PAQ的面积． [解]　(1)因为点A(2，1)在双曲线C：＝1(a＞1)上，所以＝1，解得a2＝2，即双曲线C：－y2＝1． 易知直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立可得，(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0， 所以Δ＝16m2k2＋4(2m2＋2)(1－2k2)＞0⇒m2＋1－2k2＞0，x1＋x2＝－， 所以由kAP＋kAQ＝0可得，＝0， 即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0，即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，所以2k×＋(m－1－2k)×－4(m－1)＝0， 化简得，8k2＋4k－4＋4m(k＋1)＝0，即(k＋1)(2k－1＋m)＝0，所以k＝－1或m＝1－2k， 当m＝1－2k时，直线l：y＝kx＋m＝k(x－2)＋1， 过点A(2，1)，与题意不符，舍去，故k＝－1． (2)不妨设直线AP，AQ的倾斜角为α，β(α＜β)，因为kAP＋kAQ＝0 ，所以α＋β＝π， 因为tan ∠PAQ＝2 ，所以tan (β－α)＝2 ，即tan 2α＝－2 ， 即tan2α－tanα－＝0，解得tan α＝， 于是，直线AP：y＝(x－2)＋1，直线AQ：y＝＋1， 联立可得，x2＋2 x＋10－4 ＝0， 因为方程有一个根为2， 所以xP＝， 同理可得，xQ＝． 所以PQ：x＋y－＝0，|PQ|＝， 点A到直线PQ的距离d＝， 故△PAQ的面积为． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $