2.8 直线与圆锥曲线的位置关系 第2课时 直线与圆锥曲线的位置关系(二) (Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教B版）

**基本信息** 本同步练聚焦“直线与圆锥曲线的位置关系”，通过基础巩固、能力提升、综合探究三层设计，实现从单一知识点到复杂情境的递进，培养数学逻辑推理与模型构建能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|抛物线、双曲线的焦点弦、距离公式等单一知识点|选择填空（1-9题），直接应用定义与公式，巩固运算能力| |提升层|圆锥曲线与向量、最值交汇的综合应用|多选题（7、12题）及★标记题（11、13题），强化知识迁移| |综合层|椭圆与直线位置关系的复杂情境探究|解答题（14、16题），需构建方程模型，培养数学建模与逻辑推理|

第2课时　直线与圆锥曲线的位置关系(二) 1.[2026·江苏宿迁高二期末] 过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,点A在第一象限,有|AF|=4|FB|,则直线l的斜率是 (　 ) A. B. C. D. 2.[2025·江苏扬州高二期中] 已知抛物线y2=4x,则抛物线上一点P到直线x-y+5=0的最小距离为 (　 ) A.2 B.4 C. D.5 3.已知双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点M在C的左支上,过点M作C的一条渐近线的垂线,垂足为N,则|MF2|+|MN|的最小值为 (　 ) A.2+ B.2+ C.2 D.4 4.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,A,B是双曲线C上关于原点对称的两个点,M是双曲线C上异于A,B的动点,若直线MA的斜率k1=2,则MB的斜率k2= (　 ) A.-24 B.- C.24 D. 5.如图,点A,B,C在抛物线y2=4x上,抛物线的焦点F在AB上,AC与x轴交于点D,|AF| =|AD|,AB⊥BC,则|FD|= (　 ) A.3 B.4 C.2 D.3 6.已知点A,B在抛物线y2=x上且位于x轴的两侧,O为坐标原点,若·=12,则△AOB的面积的最小值为 (　 ) A.6 B.8 C.10 D.12 7.(多选题)[2025·武汉高二期末] 已知O为坐标原点,抛物线y2=8x,过抛物线的焦点F的直线l自上而下,分别交抛物线和圆(x-2)2+y2=4于A,C,D,B四点,则 (　 ) A.·=-12 B.|AC|·|BD|=4 C.当直线l的斜率为时,|AB|·|AF|= D.4|AF|+|BF|≥18 8.已知点P是双曲线C:-=1上一点,则点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为　　　　.  9.已知抛物线的方程为y2=4x,A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且·=5(其中O为坐标原点),若直线AB过定点M,则M的坐标为　　　　.  10.(13分)[2026·安徽宿州高二期中] 已知椭圆C1:+=1的左、右焦点分别为A,B,左、右顶点分别为E,F,双曲线C2:-=1(a>0,b>0)的焦点为E,F,顶点为A,B,M(x0,y0)(y0≠0)为双曲线C2上一点. (1)求C2的标准方程; (2)求直线AM,BM的斜率之积. ★11.已知A,B,C,D是椭圆E:+=1上四个不同的点,且M(1,1)是线段AB,CD的交点,且==3,若l⊥AC,则直线l的斜率为 (　 ) A. B. C. D.2 12.(多选题)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上不同于左、右顶点的任意一点,则下列说法正确的是 (　 ) A.△PF1F2的周长为8 B.△PF1F2的面积的最大值为 C.·的取值范围为[2,3) D.|PF1||PF2|的取值范围为(3,4] 13.已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(2,3),点A为其左顶点,且直线AM的斜率为,则椭圆C的方程为　　　　　　;点N为椭圆C上任意一点,则△AMN的面积的最大值为　　　　.  ★14.(15分)[2025·云南昆明高二期末] 已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F1(-,0),且C经过点P. (1)求椭圆C的方程; (2)设椭圆C与y轴的正半轴交于点D,直线l:y=kx+m与C交于A,B两点(l不经过点D),且AD⊥BD,证明:直线l经过定点. 15.已知直线x-3y+1=0与椭圆Γ:+y2=1相交于A,B两点,若椭圆上存在点C,使得∠ACB=90°,则点C的坐标为　　　　　　.  ★16.(15分)[2025·哈尔滨高二期末] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的半长轴长为2,离心率为. (1)求椭圆C的方程. (2)设点A为椭圆C的左顶点,过原点的直线与椭圆C相交于P,Q两点(点P,Q不在坐标轴上),直线AP,AQ分别交y轴于M,N两点,判断直线PN和QM的交点是否在定直线上?并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　直线与圆锥曲线的位置关系(二) 1.B　[解析] 由题知,抛物线的准线方程为x=-1,F(1,0),设A,B在准线上的射影分别是C,D,过B作BE⊥AC于E.设|AF|=4m(m>0),则|BF|=m,|AC|=4m,|BD|=m.在Rt△ABE中,|AE|=3m,|AB|=5m,|BE|==4m,则直线AB的斜率k=tan∠BAE=.故选B. 2.A　[解析] 易知直线x-y+5=0与抛物线y2=4x没有交点,由题意可知,当平行于直线x-y+5=0的直线与抛物线相切,且点P为切点时,点P到直线x-y+5=0的距离最小.设切线方程为x-y+m=0,即y=x+m,由可得y2-4y+4m=0,所以Δ=16-16m=0,解得m=1,此时P(1,2),所以点P到直线x-y+5=0的最小距离为=2.故选A. 3.D　 [解析] 由题意得|MF2|-|MF1|=2,故|MF2|=|MF1|+2,焦点F1(-c,0)到渐近线的距离d===b,则|MF2|+|MN|=|MF1|+2+|MN|≥|F1N|+2≥b+2,当且仅当M,F1,N三点共线且F1N垂直于渐近线时取等号,所以|MF2|+|MN|的最小值为b+2=2+2=4.故选D. 4.D　[解析] 由题意可得e==,则b===a.设M(s,t),A(m,n),则B(-m,-n).由-=1,-=1,两式相减可得=,即==,所以k1k2=·==.因为k1=2,所以k2=. 5.B　[解析] 设A(,2y1),B(,2y2),C(,2y3),则kAB==,kAC=,kBC=.因为|AF|=|AD|,所以kAB+kAC=+=0,即y2+y3=-2y1,则kBC==-.因为F(1,0)在直线AB上,所以kAB=,又AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1,即·=-1,所以=3,则点A在直线x=3上,又△AFD是等腰三角形,点F,D关于直线x=3对称,所以点D的坐标为(5,0),故|FD|=4.故选B. 6.B　[解析] 设直线AB的方程为x=ty+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0),将x=ty+m代入y2=x,可得y2-ty-m=0,由根与系数的关系有y1·y2=-m,y1+y2=t.∵·=12,∴x1x2+y1y2=12,∴(y1y2)2+y1y2-12=0,又点A,B位于x轴的两侧,∴y1y2=-4,∴m=4,故直线AB所过的定点M的坐标是(4,0).故△AOB的面积S=×4×|y1-y2|=2=2≥8,当且仅当t=0,即直线AB垂直于x轴时,△AOB的面积取得最小值,最小值为8.故选B. 7.ABD　[解析] 由题意可得F(2,0)为圆(x-2)2+y2=4的圆心.设直线l的方程为x=ty+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由可得y2-8ty-16=0,所以y1+y2=8t,y1y2=-16.对于A,·=x1x2+y1y2=+y1y2=4-16=-12,故A正确;对于B,|AC|·|BD|=(|AF|-2)·(|BF|-2)=(x1+2-2)·(x2+2-2)=x1x2==4,故B正确;对于C,当直线l的斜率为时,直线l的方程为y=(x-2),联立直线与抛物线方程可得3x2-20x+12=0,可得x1=6,x2=,所以|AB|·|AF|=(x1+x2+4)(x1+2)=×8=,故C错误;对于D,+=+===,将y1+y2=8t,y1y2=-16代入可得+==,所以4|AF|+|BF|=2(4|AF|+|BF|)=10++≥10+2=18,当且仅当|BF|=2|AF|=6时等号成立,故D正确.故选ABD. 8.　[解析] 由双曲线C的方程知a=6,b=4,则双曲线C的渐近线方程为y=±x,即3x±2y=0.设P(x0,y0),则-=1,即4-9=144.因为点P到渐近线3x+2y=0的距离d1=,点P到渐近线3x-2y=0的距离d2=,所以d1d2==. 9.(5,0)　[解析] 设直线AB的方程为x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2).由消去x整理得y2-4ty-4m=0,则Δ=16(t2+m)>0,y1+y2=4t,y1·y2=-4m.因为·=5(其中O为坐标原点),所以x1·x2+y1·y2=5,又因为=4x1,=4x2,所以x1=,x2=,可得·+y1·y2=5,因为点A,B位于x轴的两侧,所以y1·y2=-20或y1y2=4(舍去),可得-4m=-20,解得m=5,所以x=ty+5,所以直线AB经过定点M(5,0). 10.解:(1)由题意得,椭圆C1:+=1的左、右焦点分别为A(-1,0),B(1,0), 左、右顶点分别为E(-2,0),F(2,0), 所以双曲线C2的左、右焦点分别为E(-2,0),F(2,0),左、右顶点分别为A(-1,0),B(1,0), 则双曲线的半焦距c=2,半实轴长a=1,故双曲线的半虚轴长b=, 故双曲线C2的标准方程为x2-=1. (2)因为M(x0,y0)在双曲线C2上,所以-=1,所以=3-3①, 所以直线AM,BM的斜率之积为kMA·kMB=·===3, 所以直线AM,BM的斜率之积为3. 11.C　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),因为=3,所以=3,即则又A(x1,y1),B(x2,y2)都在椭圆E上,所以+=1,且(4-x1)2+(4-y1)2=9,两式相减得(4-2x1)×4+(4-2y1)×4=8,即(2-x1)+(2-y1)=1①,同理可得(2-x3)+(2-y3)=1②,由②-①得(x1-x3)+(y1-y3)=0,所以kAC==-,因为l⊥AC,所以直线l的斜率为-=.故选C. [技巧点拨] 直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题,常用点差法,该方法计算量小,模式化强,易于掌握,若相交弦涉及=λ(λ≠0)的定比分点问题,也可以用点差法的升级版,即定比点差法求解. 12.BCD　[解析] 根据题意得,a=2,b=,c==1,则△PF1F2的周长为2a+2c=4+2=6,故A错误;由已知得F1(-1,0),F2(1,0),则|F1F2|=2,所以△PF1F2的面积S=|F1F2|·|yP|=|yP|≤,当P为上、下顶点时等号成立,故B正确;设P(x,y),则-2<x<2,所以·=(-1-x,-y)·(1-x,-y)=x2-1+y2=x2-1+3-x2=x2+2,x∈(-2,2),所以·∈[2,3),故C正确;|PF1|+|PF2|=2a=4,设|PF1|=t,则t∈(1,3),所以|PF1|·|PF2|=t(4-t)=-t2+4t=-(t-2)2+4,所以|PF1|·|PF2|的取值范围为(3,4],故D正确.故选BCD. 13.+=1　18　[解析] 由题意可知直线AM的方程为y-3=(x-2),即x-2y=-4.当y=0时,x=-4,所以a=4.因为椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(2,3),所以+=1,解得b2=12,所以椭圆C的方程为+=1.设与直线AM平行的直线的方程为x-2y=m,当该直线与椭圆C相切时,与AM距离比较远的直线与椭圆C的切点为N,此时△AMN的面积取得最大值.将x-2y=m代入椭圆方程+=1,化简可得16y2+12my+3m2-48=0,则Δ=144m2-4×16(3m2-48)=0,即m2=64,解得m=±8,与直线AM距离比较远的直线的方程为x-2y=8,所以直线AM与直线x-2y=8之间的距离d==,又|AM|==3,所以△AMN的面积的最大值为×3×=18. 14.解:(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由椭圆C的一个焦点为F1(-,0),得c=, 则椭圆C的另一个焦点为F2(,0),又C经过点P, 所以2a=|PF1|+|PF2|=+=+=4, 即a=2,所以b==1,所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)证明:由(1)得D(0,1).由得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 则Δ=16+64k2-16m2>0,即1+4k2-m2>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=. 由AD⊥BD得,·=x1x2+(y1-1)(y2-1)=0,即=0, 所以5m2-2m-3=0,解得m=1或m=-. 当m=1时,直线l的方程为y=kx+1,直线l经过点D,舍去;当m=-时,直线l的方程为y=kx-,显然满足Δ>0,直线l经过定点. 15.(0,-1)或　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去x整理得11y2-6y-1=0,则y1+y2=,y1y2=-,所以x1+x2=3(y1+y2)-2=-,所以|AB|=·=,又∠ACB=90°,所以点C在以AB为直径的圆上,且不与A,B重合,即点C在圆+=上.由可得或 故点C的坐标为(0,-1)或. 16.解:(1)由题意得a=2,因为离心率e==,所以c=1,所以b=,所以椭圆C的标准方程为+=1. (2)设P(x0,y0),则Q(-x0,-y0),且+=1,即3+4=12,因为A(-2,0),所以直线PA的方程为y=(x+2),则M,直线QA的方程为y=(x+2),则N, 所以直线PN的方程为y-=x,直线QM的方程为y-=x. 联立直线PN与直线QM的方程得x+=x+,化简可得x=2, 直线PN与直线QM的交点过定直线x=2. [技巧点拨] 本题中确定点P的坐标,就自然可以得到点Q的坐标,进而得到直线AP,AQ的方程及M,N的坐标,也就是说点P位置的改变引起了其他量的改变,对于这类问题,常用“设点法”. 学科网（北京）股份有限公司 $