2.3.3 直线与圆的位置关系(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

2.3.3　直线与圆的位置关系 学习任务 1．理解直线与圆的三种位置关系．(直观想象) 2．会用代数法和几何法判断直线与圆的位置关系．(逻辑推理、数学运算) 3．能解决直线与圆位置关系的综合问题．(数学运算) “大漠孤烟直，长河落日圆．”这是唐代诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面太阳落山的图片． 图片中，地平线与太阳的位置关系是怎样的？结合初中知识，总结直线与圆有哪几种位置关系． 知识点1　直线与圆的位置关系的判定 直线Ax＋By＋C＝0，AB≠0，圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2，r＞0． 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定 方法 几何法：设圆心到直线的距离为d d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 (1)利用代数法判断直线与圆的位置关系时，不必求出方程组的实数解，只需将直线方程代入圆的方程中，并消去一个未知数，得到一个关于x(或y)的一元二次方程，由Δ与0的大小关系判断方程解的个数，进一步判断两者的位置关系． (2)利用几何法判断直线与圆的位置关系时，必须准确计算出圆心坐标、圆的半径长及圆心到直线的距离． (3)对于具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定，代数法是从方程角度考虑，但较烦琐；几何法是从几何角度考虑，方法简单，也是判断直线与圆的位置关系的常用方法． 知识点2　直线与圆相切的几个重要结论 1．自一点引圆的切线的条数 (1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线． (2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点． (3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线． 2．切线方程的几个重要结论 (1)经过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2． (2)经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2． (3)经过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＋D·＋E·＋F＝0． 3．切线长公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长 d＝． (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝． 1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　) A．过圆心　　　　 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 D　[圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝，0<d<r，所以相交但不过圆心．] 2．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是(　　) A．相切　　　　　 B．相交 C．相离 D．随a的变化而变化 B　[∵直线y＝ax＋1恒过定点(0，1)，且点(0，1)在圆x2＋y2－2x－3＝0的内部， ∴直线与圆相交．] 3．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(　　) A．0或2 B．2 C． D．无解 B　[由于直线与圆相切， 故＝，解得m＝0(舍去)或m＝2．] 4．从圆(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2，3)向圆引切线，则切线长为________． 2　[圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，半径为1， 点P(2，3)到圆心(1，1)的距离为＝， 则切线长为＝2．] 类型1　直线与圆位置关系的判定 【例1】　【链接教材P113例1】 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0．当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． [解]　(法一)将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0． 则Δ＝4m(3m＋4)． (1)当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当Δ<0时，即－<m<0时，直线与圆相离， 即直线与圆没有公共点． (法二)已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2，1)，半径r＝2． 圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝＝． (1)当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； (2)当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； (3)当d>2时，即－<m<0时，直线与圆相离， 即直线与圆没有公共点． 【教材原题·P113例1】 【例1】　已知直线y＝x＋b，圆x2＋y2＝2，分别求直线与圆相交、相切、相离时b的取值范围． [解]　(方法一)联立直线的方程与圆的方程，得方程组 从方程组中消去y，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0， ③ 这个方程的判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2)． 当且仅当－2<b<2时，Δ>0，方程③有两个不相等的实数解，此时直线与圆有两个公共点，直线与圆相交； 当且仅当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，方程③有两个相等的实数解，此时直线与圆只有一个公共点，直线与圆相切； 当且仅当b<－2或b>2时，Δ<0，方程③没有实数解，此时直线与圆没有公共点，直线与圆相离． (方法二)因为圆的半径r＝，圆心O(0，0)到直线y＝x＋b的距离为d＝． 当且仅当d<r，即<，－2<b<2时，直线与圆相交； 当且仅当d＝r，即＝，b＝2或b＝－2时，直线与圆相切； 当且仅当d>r，即>，b<－2或b>2时，直线与圆相离． 　判断直线与圆的位置关系常用的方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离． (2)代数法：Δ＝b2－4ac [跟进训练] 1．(1)若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是(　　) A．－5<m<15　　 B．m<－5或m>15 C．m<4或m>13 D．4<m<13 (2)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 (1)B　(2)A　[(1)圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径为2， 由题意，圆心到直线3x＋4y＋m＝0的距离d＝>2， 所以m<－5或m>15． (2)(法一)直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C相交． (法二：几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆C相交． (法三：代数法)由 消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， Δ＝(－2m2)2－4(1＋m2)(m2－5)＝4(4m2＋5)>0，故直线l与圆C相交．] 类型2　求圆的切线方程 【例2】　【链接教材P113例2】 (1)如图，已知M(x0，y0)为圆O：x2＋y2＝4上一点，求过点M的圆O的切线l的方程； (2)求过点N(2，2)且与圆O：x2＋y2＝4相切的直线的方程． [解]　(1)因为M(x0，y0)是l与圆O的切点，可知＝4，且过点M的半径OM与l垂直，即＝(x0，y0)是l的一个法向量，于是可得切线l的点法式方程为x0(x－x0)＋y0(y－y0)＝0． 整理，得x0x＋y0y＝． 所以，过点M的圆O的切线l的方程为x0x＋y0y＝4． (2)由|ON|＝＝4，知点N在已知圆O外．先考虑过点N且具有斜率k的直线，可设其方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y－2k＋2＝0． 此直线与圆O相切当且仅当圆心O(0，0)到该直线的距离为2，所以＝2，即(k－)2＝k2＋1，解得k＝． 因此，得到过点N的圆O的一条切线，它的方程为x－y－＋2＝0，即x－y＋4＝0， 过点N可以作圆O的两条切线，故另一条切线的斜率不存在，则其方程只能是x＝2，即x－2＝0． 因此，所求直线的方程为x－y＋4＝0或x－2＝0． 【教材原题·P113例2】 【例2】　已知M(1，2)是圆x2＋y2＝5上一点，求圆的过点M的切线方程． [解]　(方法一)如果切线的斜率不存在，则切线方程为x＝1，但圆心O(0，0)到x＝1的距离为1，不等于圆的半径，矛盾． 因此切线的斜率一定存在，设为k，从而切线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，从而由圆心到切线的距离等于圆的半径可知＝， 解得k＝－，所以切线的点斜式方程为y－2＝－(x－1)，因此所求方程为x＋2y－5＝0． (方法二)圆的圆心为O，而且OM是与切线垂直的，如图2­3­10所示． 因为kOM＝＝2，所以切线的斜率为－，从而可知切线的点斜式方程为y－2＝－(x－1)，因此所求方程为x＋2y－5＝0． 　关于圆的切线问题 (1)几何法：设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求未知量，进而求出切线方程； (2)代数法：设出切线方程，与圆的方程联立，消元得到一元二次方程，利用Δ＝0求未知量，进而求切线方程． 提醒：(1)设切线方程时注意斜率是否存在； (2)求过圆外一点的圆的切线时，若用代数法，消元得到的方程是一次方程，或用几何法求出的切线只有一条，则另一条切线的斜率是不存在的，可根据圆外点的坐标直接写出方程． [跟进训练] 2．与直线y＝x＋3平行且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相切的直线的方程为____________． x－y＋5＝0和x－y－3＝0　[(法一)设所求直线的方程为y＝x＋m，即x－y＋m＝0． 圆(x－2)2＋(y－3)2＝8的圆心坐标为(2，3)，半径为2， 由＝2，解得m＝5或m＝－3． 所以所求直线的方程为x－y＋5＝0和x－y－3＝0． (法二)设所求直线的方程为y＝x＋m，与圆的方程联立，得 消去y，得2x2＋(2m－10)x＋m2－6m＋5＝0， 所以Δ＝(2m－10)2－8(m2－6m＋5)＝0， 即m2－2m－15＝0，解得m＝5或m＝－3， 所以所求直线的方程为x－y＋5＝0和x－y－3＝0．] 类型3　直线截圆所得弦长问题 【例3】　直线l经过点P(5，5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4，求l的方程． [解]　据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，与圆C相交于，y2)． (法一)联立方程得 消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0． 由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0， 解得k＞0．又x1＋x2＝－，x1x2＝， 由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)． 所以|AB|＝＝ ＝ ＝＝4． 两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝或k＝2，符合题意． 故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0． (法二)如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半． 在Rt△AHO中，|OA|＝5， |AH|＝|AB|＝×4＝2， 则|OH|＝＝． 所以＝，解得k＝或k＝2． 所以直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0． [母题探究] (变条件)直线l经过点P(2，－1)且被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长最短，求此时直线l的方程． [解]　圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝25，圆心C(3，1)．因为|CP|＝＝＜5，所以点P在圆内．当CP⊥l时，弦长最短． 又kCP＝＝2，所以kl＝－，所以直线l的方程为y＋1＝－(x－2)，即x＋2y＝0． 　直线与圆相交时弦长的2种求法 (1)几何法：如图(1)，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有＋d2＝r2，则|AB|＝2． (2)代数法：如图(2)所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0)． [跟进训练] 3．(源自人教A版教材例题)已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长． [解]　(法一)联立直线l与圆C的方程，得 消去y，得x2－3x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝1． 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点． 把x1＝2，x2＝1分别代入方程①，得y1＝0，y2＝3． 所以，直线l与圆C的两个交点是A(2，0)，B(1，3)． 因此|AB|＝＝． (法二)圆C的方程x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，因此圆心C的坐标为(0，1)，半径为，圆心C(0，1)到直线l的距离 d＝＝<． 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点． 如图，由垂径定理，得|AB|＝2＝． 1．(教材P115练习A T1改编)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相切　　　　　 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 B　[因为圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝<1， 所以直线与圆x2＋y2＝1相交， 又(0，0)不在y＝x＋1上， 所以直线不过圆心．] 2．过点P(－2，3)的直线l与圆x2＋y2＋2x－2y－3＝0相切，则直线l的方程是(　　) A．x＝－2或x－2y＋8＝0 B．x－2y＋8＝0 C．x＝－2或2x＋y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0 B　[把圆的方程化为标准方程，得(x＋1)2＋(y－1)2＝5．因为P(－2，3)在圆上，所以过点P的切线有且只有一条，且P为切点．显然过点P(－2，3)且斜率不存在的直线x＝－2与圆相交，不符合题意， 所以可设直线l的斜率为k，则k·＝－1，解得k＝，所以直线l的方程为y－3＝(x＋2)，即x－2y＋8＝0．] 3．若圆C：(x－5)2＋(y＋1)2＝m(m＞0)上有且只有一点到直线4x＋3y－2＝0的距离为1，则实数m的值为(　　) A．4　 B．16　 　　 C．4或16　　 D．2或4 A　[由题意知直线与圆相离， 则有＝1，解得m＝4，故选A．] 4．圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2的圆的方程为________． (x－2)2＋(y＋1)2＝4　[设圆的半径为r，由条件， 得圆心到直线y＝x－1的距离d＝＝．又由题意知，半弦长为， 所以r2＝2＋2＝4，得r＝2． 所以圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何正确选择判断直线与圆的位置关系的方法？ [提示]　(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法． (2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较烦琐，则用代数法． (3)已知直线与圆相交求有关参数值时，根据弦心距、半弦长、半径的关系或者这三条线段形成的三角形的性质求解，而弦心距可利用点到直线的距离公式列式，进而求解即可． 2．利用代数法判断直线与圆的位置关系时需要注意什么问题？ [提示]　(1)代入消元过程中消x还是消y取决于直线方程的特点，尽量减少分类讨论，如若直线方程为x－ay＋1＝0，则应将其化为x＝ay－1，然后代入消去x． (2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项系数为零，则判别式无意义． 课时分层作业(十六)　直线与圆的位置关系 一、选择题 1．(教材P115练习A T1改编)已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，直线l与圆C的位置关系是(　　) A．过圆心　　　　　 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心 D　[圆心(7，1)到直线l的距离d＝＝2．因为d<r＝6， 所以直线l与圆C相交，把圆心(7，1)代入直线方程不成立，故不过圆心．] 2．已知点P是直线l：x＋y－3＝0上的动点，由点P向圆O：x2＋y2＝4作切线，则切线长的最小值为(　　) A．2　 B．　　　 C．　　　 D． C　[由题意可知圆心O(0，0)，半径r＝2．分析知点P向圆O所作的切线长最小时，OP⊥l．圆心O到直线l的距离为，所以切线长的最小值为＝．] 3．(多选题)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程有(　　) A．x＋y＝0 B．x－y＝0 C．x＝0 D．x＋y＝4 ABD　[圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2．可分为两种情况讨论： (1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx， 则＝，解得k＝±1． (2)直线在x，y轴上的截距均不为0， 则可设直线方程为＝1(a≠0)， 即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝， 解得a＝4(a＝0舍去)．] 4．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点C(－2，3)，则直线l的方程为(　　) A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0 A　[由圆的一般方程可得圆心O(－1，2)，由圆的性质易知O(－1，2)，C(－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB·kOC＝－1⇒kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝x＋2，即x－y＋5＝0．] 5．(多选题)在同一直角坐标系中，直线ax－y＋a＝0与圆(x＋a)2＋y2＝a2的位置可能是(　　) 　 A　　　　B　　　　　C　　　　　D AD　[圆(x＋a)2＋y2＝a2的圆心(－a，0)，半径为|a|， 由题意可得d＝， 不妨设＜|a|，可得＜1，即1－2a＋a2＜1＋a2，当a＞0时，恒成立，可知A正确，B不正确； 当a＜0时，不等式不成立，说明直线与圆相离，但是直线的斜率为负数，所以C不正确，截距是负数，所以D正确．] 二、填空题 6．若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2＋(y－1)2＝1相切于点B，则|AB|＝________． 　[设直线AB的方程为y＝x＋b，则点A(0，b)， 由于直线AB与圆x2＋(y－1)2＝1相切，且圆心为C(0，1)，半径为1， 则＝1，解得b＝－1或b＝3，所以|AC|＝2， 因为|BC|＝1，故|AB|＝＝．] 7．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则圆心坐标为____________________，四边形ABCD的面积为__________． (1，3)　10　[圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内，由圆的性质可知最长弦|AC|＝2，最短弦BD恰以E(0，1)为中点，且与AC垂直，设点F为其圆心，坐标为(1，3)． 故|EF|＝，∴|BD|＝2＝2， ∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝10．] 8．已知M(x，y)是圆x2＋y2＝1上任意一点，则的取值范围是________． 　[设＝k，则直线y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1有公共点， 所以≤1，即3k2≤1， 所以－≤k≤．] 三、解答题 9．已知圆C的圆心在直线y＝－2x上，且过点(2，－1)，(0，－3)． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程． [解]　(1)圆C的圆心在直线y＝－2x上，设所求圆心坐标为(a，－2a)．设圆C：(x－a)2＋(y＋2a)2＝r2， 因为过点(2，－1)，(0，－3)， 所以解得a＝1，r＝． 所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2． (2)直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2． ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0， 此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件； ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx， 由于直线l被圆C截得的弦长为2，故圆心到直线l的距离为d＝1， 故由点到直线的距离公式得d＝＝1，解得k＝－， 所以直线l的方程为y＝－x． 综上所述，直线l的方程为x＝0或y＝－x． 10．已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　) A．1＋ B．4 C．1＋3 D．7 C　[将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为(x－2)2＋(y－1)2＝9，其表示圆心为(2，1)，半径为3的圆．设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值，此时＝3，解得z＝1±3，故z＝x－y的最大值为1＋3，故选C．] 11．已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝16，直线l：x＋y－3m＋1＝0，下列说法正确的是(　　) A．直线l与圆C可能相切 B．圆C被y轴截得的弦长为 C．直线l恒过定点 D．直线l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线l的方程为x－2y－4＝0 D　[C选项：将直线l的方程整理为m(2x＋y－3)＋(－x－y＋1)＝0， 由解得 则无论m为何值，直线l恒过定点A(2，－1)，故C选项错误； A选项：∵圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝16， ∴圆心C，r＝4， ∵＝＝<4，即定点A在圆内，故直线l恒与圆有两个交点，故A选项错误； B选项：令x＝0，则(y－1)2＝15，解得y＝1±，故圆C被y轴截得的弦长为2，故B选项错误； D选项：当截得的弦长最短时，此时直线l垂直于圆心与定点的连线，则直线l的斜率为，此时直线l的方程为y＋1＝，即x－2y－4＝0，故D正确．故选D．] 12．若圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________． －　[易得圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴对称的是圆D：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆D上存在点N在直线kx＋y＋3＝0上，所以直线kx＋y＋3＝0与圆D相切或相交时满足题意，即≤1，解得－≤k≤0，所以实数k的最小值为－．] 13．如图是一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________m． 2　[如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，设圆心为C，圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)，将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10， 所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100．当水面下降1 m后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝，所以当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2m．] 14．平面直角坐标系中，已知圆C的圆心是，半径是1，直线l的方程为x－2y＋m＝0，点A． (1)若l与圆C相切，求m的值； (2)若l经过点A，求直线l与圆的交点的坐标； (3)若过点A的直线l′截得圆C的弦长，求l′的斜率的取值范围． [解]　(1)圆C的方程为x2＋(y－1)2＝1． 由题意知，圆心C到直线l的距离d＝＝＝1， 解得m＝2＋或2－． (2)若直线l过点A，则m＝1，直线l的方程为x－2y＋1＝0， 联立直线l与圆C的方程解得或 即交点坐标分别为． (3)设直线l′斜率为k，则直线l′的方程为y＝k，即kx－y＋k＝0． 设圆心C到直线l′的距离为d′，有＋＝1， 因为，所以d′≤， 即d′＝＝， 解得≤k≤， 故l′的斜率的取值范围是． 15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点． (1)求四边形PACB面积的最小值； (2)直线上是否存在点P，使∠BPA＝60°？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由． [解]　(1)(法一)如图，连接BC，PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为． 化简圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0为(x－1)2＋(y－1)2＝1，故C(1，1)，|AC|＝1， 所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|． 因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1， 所以当|PC|2最小时，|AP|最小． 因为|PC|2＝(1－x)2＋＝＋9． 所以当x＝－时＝9 所以|AP|min＝＝2． 即四边形PACB面积的最小值为2． (法二)化简圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0有(x－1)2＋(y－1)2＝1，故C(1，1)，|AC|＝1， 又S四边形PACB＝2S△PAC＝2×|AC|·|AP|＝|AC|·＝，故当|CP|最小时四边形PACB面积最小，此时|CP|为C到直线的3x＋4y＋8＝0的距离，|CP|＝＝＝3，此时最小面积为S四边形PACB＝＝2． (2)由(1)知圆心C到P点的距离|PC|＝3是C到直线上的最小值，若∠BPA＝60°易得|PC|＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的． 18/18 学科网（北京）股份有限公司 $