课时分层作业5 空间中的平面与空间向量(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

课时分层作业(五) 1．B　[a·b＝(2，4，－3)·(－1，2，2)＝－2＋8－6＝0， 所以a⊥b，所以平面α与平面β垂直．] 2．AC　[设P(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－3)．由n·＝0，得x－1＋y－2＋z－3＝0，即x＋y＋z＝6．结合选项知选AC．] 3．D　[因为平面α经过三点O(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，0，2)， 所以＝(2，2，0)，＝(0，0，2)． 设平面α的一个法向量n＝(x，y，z)， 则 取x＝－1，得n＝(－1，1，0)， 所以平面α的一个法向量可以是(－1，1，0)．] 4．A　[由长方体的性质有平面ABB1A1∥平面CC1D1D，又A1E⊂平面ABB1A1，所以A1E∥平面CC1D1D，故选项A正确； 因为E为棱BB1的中点，且A1B1⊥BB1，所以A1E与BB1不垂直，所以若A1E⊥平面BCC1B1，则A1E⊥BB1，这与A1E和BB1不垂直相矛盾，故选项B错误； 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设DA＝a，DC＝b，DD1＝c， 则A1(a，0，c)，E，D1(0，0，c)，F， 所以 因为不是共线向量，且＝b2>0， 所以A1E与D1F不平行，且A1E与D1F不垂直，故选项C，D错误． 故选A．] 5．BD　[对于A，因为向量a，b不共线，所以l1，l2不平行，故A不正确； 对于B，因为n＝－2a，所以a∥n，故B正确； 对于C，因为a·n＝0×(－2)＋2×0＋0×2＝0，所以a⊥n，所以l∥α或l⊂α，故C不正确； 对于D，因为m·n＝－6＋0＋6＝0，所以α⊥β，故D正确．故选BD．] 6．－8　[因为直线l∥平面α，所以直线l的方向向量与平面α的一个法向量垂直，即2×1＋m×＋1×2＝0，所以m＝－8．] 7．1　[＝(1，1，0)，＝(－1，－1，－2)， 因为a＝(－1，y，z)为平面ABC的一个法向量，所以a·＝0，a·＝0， 所以－1＋y＝0，1－y－2z＝0， 联立解得y＝1，z＝0，所以y＋z＝1．] 8．DM⊥PC(答案不唯一)　[连接AC(图略)，因为底面各边都相等，所以BD⊥AC．由题意易知，AC为PC在平面ABCD内的射影．又BD⊥AC，由三垂线定理知BD⊥PC，所以当DM⊥PC时，即有PC⊥平面BMD．又PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD．] 9．证明：建立如图所示的空间直角坐标系． D是坐标原点，设DC＝a． (1)连接AC交BD于G，连接EG， 依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E 因为底面ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为， 所以 又＝(a，0，－a)，所以， 所以PA∥EG．而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB． (2)依题意得B(a，a，0)，＝(a，a，－a)，， 所以＝0， 所以⊥，即PB⊥DE． 又已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E， 所以PB⊥平面EFD． 10．ABD　[以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则A1(1，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F，B(1，1，0)，D1(0，0，1)， 所以＝(－1，0，－1)，＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，1)， 所以＝0，＝0， 从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC．] 11．D　[以A1为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系A1xyz(图略)，则A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，B(1，0，1)，D0，1，，P(0，2，0)，所以＝(1，0，1)，＝0，1，，＝(－1，2，0)，设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则取z＝－2， 则x＝2，y＝1，所以n＝(2，1，－2)为平面A1BD的一个法向量．假设在B1P上存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD，设，则＝(－λ，2λ，0)，所以也是平面A1BD的一个法向量，所以n＝(2，1，－2)与共线，则有，此时λ无解，故在B1P上不存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD．故选D．] 12　－10　[因为u＝(－1，2，4)，v＝(t，－1，－2)(t∈R)分别是平面α，β的法向量， 所以若α∥β，则u∥v，所以，即t＝； 若α⊥β，则u⊥v，所以－t－2－8＝0，即t＝－10．] 13．(－1，2，1)(答案不唯一)　　[由题意，得E(0，0，0)，A(0，0，2)，D(0，2，2)，F(0，3，0)，C(2，4，0)，所以＝(0，1，－2)，＝(2，2，－2)，＝(2，4，0)．设平面DFC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则不妨令z＝1，可得n＝(－1，2，1)为平面DFC的一个法向量．设＝(2λ，4λ，0)，0≤λ≤1， 则G(2λ，4λ，0)，＝(2λ，4λ，－2)． 因为AG∥平面CDF，所以⊥n， 则·n＝－2λ＋8λ－2＝0，解得λ＝，即，故EG＝|] 14．解：因为PA⊥平面ABC， 所以PA⊥BC． 又因为AC⊥BC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC． 而AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF． 又因为F是点A在PC上的射影， 所以AF⊥PC， 又BC∩PC＝C，所以AF⊥平面PBC， 所以AE在平面PBC内的射影为EF． 又因为E为A在PB上的射影， 所以AE⊥PB． 由三垂线定理的逆定理知EF⊥PB． 15．解：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A，C，D1的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)，所以＝(－3，4，0)，＝(－3，0，2)． 设平面ACD1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则所以 取z＝6，则x＝4，y＝3，所以，n＝(4，3，6)是平面ACD1的一个法向量． 由A1，C，B1的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得＝(0，4，0)，＝(－3，0，－2)．设点P满足(0≤λ≤1)，则＝(－3λ，0，－2λ)，所以＝(－3λ，4，－2λ)． 令n·＝0，得－12λ＋12－12λ＝0，解得λ＝，这样的点P存在． 所以，当，即P为B1C的中点时，A1P∥平面ACD1． 1/5 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时分层作业(五)　空间中的平面与空间向量 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共110分 一、选择题 1．若平面α与β的法向量分别是a＝(2，4，－3)，b＝(－1，2，2)，则平面α与β的位置关系是(　　) A．平行　　　 　　　 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 2．(多选题)点P0(1，2，3)在平面α内，平面α＝{P|n·＝0}，其中n＝(1，1，1)是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是(　　) A．(2，－4，8) B．(3，4，5) C．(3，2，1) D．(－2，5，4) 3．平面α经过三点O(0，0，0)，A(2，2，0)，B(0，0，2)，则平面α的一个法向量可以是(　　) A．(1，0，1) B．(1，0，－1) C．(0，1，1) D．(－1，1，0) 4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱BB1，B1C1的中点，以下说法正确的是(　　) A．A1E∥平面CC1D1D B．A1E⊥平面BCC1B1 C．A1E∥D1F D．A1E⊥D1F 5．(多选题)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是(　　) A．若两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2，－2，－1)，b＝(－2，－2，1)，则l1∥l2 B．若直线l的方向向量是a＝(1，1，2)，平面α的一个法向量是n＝(－2，－2，－4)，则l⊥α C．若直线l的方向向量是a＝(0，2，0)，平面α的一个法向量是n＝(－2，0，2)，则l∥α D．若两个不同的平面α，β的法向量分别是m＝(3，－4，2)，n＝(－2，0，3)，则α⊥β 二、填空题 6．已知直线l∥平面α，且直线l的方向向量为(2，m，1)，平面α的一个法向量为，则m＝_________. 7．在平面ABC中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的一个法向量，则y＋z＝__________. 8．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(注：填写一个正确的答案即可) 三、解答题 9．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.求证： (1)PA∥平面EDB； (2)PB⊥平面EFD. 10．(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则以下结论正确的是(　　) A．EF⊥AC B．EF⊥A1D C．EF与BD1异面 D．EF∥BD1 11．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在B1P上，则(　　) A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD B．当点Q为线段B1P靠近点P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD D．在B1P上不存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD 12．设u＝(－1，2，4)，v＝(t，－1，－2)(t∈R)分别是平面α，β的法向量．若α∥β，则t＝__________；若α⊥β，则t＝__________． 13．如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别为线段AB，CD的中点，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图(2)所示的立体图形，且以E为坐标原点建立空间直角坐标系Exyz.在线段EC上存在点G，使得AG∥平面CDF，则平面CDF的一个法向量n＝__________，EG＝__________． 14．在空间四边形PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，若A在PB，PC上的射影分别为E，F.求证EF⊥PB. 15．(源自人教A版教材例题)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2.线段B1C上是否存在点P，使得A1P∥平面ACD1? 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $