精品解析：四川省达州市第一中学2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题

达一中高二级2024年秋季学期入学考试 数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两集合的交集定义即得. 【详解】由题意，，则. 故选：C. 2. 设，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘除运算，化简复数，由复数模的公式求. 【详解】，所以. 故选：B. 3. 设向量，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用投影向量的定义及向量数量积、模长的坐标运算求在方向上的投影向量. 【详解】由在方向上的投影向量. 故选：C 4. 已知某地最近天每天的最高气温（单位：℃）分别为，则10天最高气温的第80百分位数是（    ） A. 15 B. 21 C. 21.5 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】结合百分位数的定义，直接求解即可. 【详解】将此组数据从小到大排列：14,16,17,18,19,20,21,21,22,23， 且共有10个数，因为，所以第80百分位数为. 故选：C. 5. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则该三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值可得，即可结合正弦定理求解． 【详解】由，,则， 由，则， 由于，则， ，均为三角形的内角，，即， 故该三角形的形状是等腰三角形． 故选：B． 6. 已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数量积的运算结合夹角公式可得. 【详解】因为，，所以， 又，所以， 又， 所以向量与夹角的正弦值为. 故选：D. 7. 已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，根据条件求出棱台的高，利用棱台体积公式求出答案. 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则⊥底面，过点作⊥于点，则⊥底面， 因为上、下底面边长分别为2和4，所以， 故，， ，因为棱与底面所成的角为，则，故，则， 故该正四棱台的体积为. 故选：A. 8. 三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理先求出底面三角形的外接圆半径，再利用为三棱锥的高，为外接球半径），即可求解． 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，所以， 设的外接圆半径为， 则，所以， 平面，且， 设三棱锥外接球半径为， 则，即， 所以三棱锥外接球的表面积为． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 班长统计了去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法正确的是（ ） A. 阅读数量最大的是8月份 B. 阅读数量最小的是1月份 C. 阅读数量最大的月份比最小的月份多55本 D. 每月阅读数量超过40的有4个月 【答案】AC 【解析】 【分析】根据折线图提供的数据，对选项中的结果进行判断. 【详解】对于A，根据折线统计图可知，课外阅读数量最多的是8月份，所以A正确； 对于B，根据折线统计图可知，课外阅读数量最少的是6月份，所以B不正确； 对于C，课外阅读数量最多为83本，最少为28本，83−28=55，所以C正确； 对于D，每月课外阅读数量超过40的月份有2月，3月，4月，5月，7月，8月，共6个月，所以D不正确. 故选：AC. 10. 已知三条不重合的直线、、，两个不重合的平面、，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，且，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断即可. 【详解】若，，，则有可能平行，A错误； ∵，，∴，∵，∴，B正确； ∵，，，，、不一定相交，∴、不一定平行；C错误； ∵，，有可能，∴D错误； 故选：B 11. 函数（，，）的部分图象如图所示，下列正确的是（ ） A. ， B. 函数的图象关于直线对称 C. 若，则 D. 函数的最小正周期为，函数是奇函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可得，结合图象过点，，可求函数解析式，进而逐项计算可得结论. 【详解】由题意可得，又因为函数过点， 所以，所以，又因为，所以， 又函数的第二个关键点的坐标为，所以，解得，故A正确； 所以，由， 所以函数的图象不关于直线对称，故B错误； 若，则可得，所以， ，故C正确； 函数的最小正周期为， ， 所以，函数是奇函数，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由斜二测画法的知识求解． 【详解】在直观图中，四边形为等腰梯形，，而， 则，由斜二测画法得原四边形是直角梯形，，如图． 所以四边形的面积为． 故答案为： 13. 已知事件A和B互斥，且，，则______. 【答案】0.4## 【解析】 【分析】根据互斥事件及对立事件的概率相关知识进行求解. 【详解】∵事件A和B互斥，∴， 又，∴， ∴. 故答案为：0.4. 14. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67°、30°，此时气球的高是46m，河流的宽度约等于___________m. （参考数据：，，，，） 【答案】60 【解析】 【分析】先作辅助线，过点作垂直于的延长线于点，先解求出，再在中利用正弦定理即可求. 【详解】 如图，过点作垂直于的延长线于点， 在中，，， 所以， 在中，，，， 由正弦定理可得： 可得：， 所以河流的宽度约等于， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示和相等向量的定义得到关于的方程组，解之即可得解； （2）用向量线性运算的坐标表示求得与，再利用向量垂直的坐标表示即可得解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以，解得， 所以 【小问2详解】 因为，则， 又，， 所以，解得， 故实数k的值为. 16. 的内角对边分别为，且. （1）求角的大小： （2）若，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换求出C； (2)根据已知条件平方相减可得到再根据余弦定理可得出，根据三角形面积公式可得结果. 【小问1详解】 因为，根据正弦定理边角互化，以及恒等变换可得 内角，所以 则可得，又因， 所以 【小问2详解】 根据余弦定理可知， 则可得， 又因，且， 可得， 可得 则 17. 《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； 【答案】（1） 取的中点，连接， 由分别为的中点， 所以且， 又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面 （2） 因为，所以， 因为底面，底面，所以， 又因为平面，且， 所以平面，又平面， 所以， 因为，，所以，， 又因为平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，则由三角形中位线定理及平行四边形的性质可证得四边形为平行四边形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理证得平面，则，由，可得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）若从成绩位于区间[80，90）和[90，100]的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在[80，90）的概率； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1求的值. （2）根据分层抽样的概念，古典概型概率公式求解即可. （3）根据加权平均数与方差公式计算即可． 【小问1详解】 由题意，解得：. 【小问2详解】 由题可知，成绩在区间的频数为：； 成绩在区间的频数为：. 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为，成绩在的频数为. 再从这7份答卷中随机抽取两份，这两份答卷的成绩都落在的概率为：. 【小问3详解】 因为落在与的频率比为， 所以，． 19. 已知函数． （1）求最小正周期； （2）将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向右平移个单位，最后得到函数，求函数的对称中心； （3）若在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） ， （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式，辅助角公式化简，再结合正弦型函数周期公式求最小正周期； （2）根据函数图象变换法则求函数的解析式，结合正弦函数性质求其对称中心； （3）由已知可得在上恒成立，再结合正弦函数性质求的值域，结合恒成立性质可得结论. 【小问1详解】 因为 ， 所以函数的最小正周期为． 【小问2详解】 将函数的图象的横坐标缩小为原来的， 可得到函数的图象， 再将的函数图象向右平移个单位，最后得到函数的图象， 则， 令=，得， 所以对称中心为，. 【小问3详解】 当时，， 则， 所以， 所以在区间上的值域为． 由，得， 由在上恒成立， 得，解得， ∴实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达一中高二级2024年秋季学期入学考试 数学试题 总分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 设向量，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某地最近天每天的最高气温（单位：℃）分别为，则10天最高气温的第80百分位数是（    ） A. 15 B. 21 C. 21.5 D. 22 5. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则该三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 6. 已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱与底面所成的角为，则此四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 班长统计了去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），并绘制了如图所示的折线统计图，下列说法正确的是（ ） A. 阅读数量最大的是8月份 B. 阅读数量最小的是1月份 C. 阅读数量最大的月份比最小的月份多55本 D. 每月阅读数量超过40的有4个月 10. 已知三条不重合的直线、、，两个不重合的平面、，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，且，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 11. 函数（，，）的部分图象如图所示，下列正确的是（ ） A. ， B. 函数的图象关于直线对称 C. 若，则 D. 函数的最小正周期为，函数是奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形的面积为_______． 13. 已知事件A和B互斥，且，，则______. 14. 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67°、30°，此时气球的高是46m，河流的宽度约等于___________m. （参考数据：，，，，） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 16. 的内角对边分别为，且. （1）求角的大小： （2）若，且，求的面积. 17. 《九章算术》中有这样一段话：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”，这里所谓的“阳马”，就是底面是矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，四棱锥为阳马，底面，分别为的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面； 18. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市建设的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）若从成绩位于区间[80，90）和[90，100]的答卷中，采用分层随机抽样，抽取7份，再从这7份中随机抽取两份，求这两份答卷的成绩都落在[80，90）的概率； （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 19. 已知函数． （1）求最小正周期； （2）将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向右平移个单位，最后得到函数，求函数的对称中心； （3）若在上恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $