1.3.2 空间向量运算的坐标表示 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二 学期 (秋季) 课题 空间向量运算的坐标表示 教学目标 1.掌握空间向量的坐标运算、向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式； 2.通过类比，根据向量的坐标，会判断两个向量共线或垂直； 3.会应用空间向量坐标的运算解决简单的立体几何问题。 教学重难点 教学重点： 向量的坐标运算，夹角公式，距离公式，空间向量平行和垂直的条件。 教学难点： 1. 类比平面向量运算的坐标向空间向量运算坐标的推广； 2.利用空间向量的坐标表示解决一些立体几何问题。 教学过程 1、 复习导入 在前面，我们学习了空间向量基本定理，对空间任意都可用三个不共面的表示；并用其构建了空间直角坐标系，由此有了空间向量中 点的坐标和向量的坐标表示。由此我们把向量的运算转换为数的运算，今天我们就大胆的类比猜想把向量的坐标运算从平面拓展到空间。 2、 新知探究 问题1 你能类比平面向量的线性运算和数量积运算的坐标表示，得出空间向量运算的坐标表 示并给出证明吗？ 设 则 类比猜想，我们可以得到： 设空间向量 类比猜想 你能给出证明吗？ 设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则，，所以. 利用向量数量积的分配律以及，， 得. 其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们课下自己完成。 由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的.类似的，我们有：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标. 设计意图：让学生大胆类比猜想出相关结果，要想保证其准确，必须经过严格的证明，努力提升学生的逻辑思维. 问题2 回顾平面向量运算的坐标表示确定位置关系的公式,在空间向量中又有哪些公式呢？ 设 当时，的充要条件是 设 类似平面向量运算的坐标表示，我们可以得到： 当时，，，； 本节课我们从坐标运算的角度得到了数量积运算的坐标表达为， 因此在空间中的充要条件可以表示为： 当时，； 问题3 回顾平面向量运算的坐标表示确定模长、夹角等问题,在空间向量中又有哪些公式呢？ 平面向量的长度和夹角公式： 设 .. 类比平面向量的结论，我们继续得到空间向量的长度和夹角公式： 设 ；. 设计意图：由线性运算和数量积运算从平面到空间的拓展和严格的证明，让学生学会从一般到特殊的思想，得出在空间中位置关系和度量关系的相关公式。 问题4 类比平面两点间的距离，你能猜想得出空间两点间的距离嘛？ 设, ，则 类比猜想得到： 设, ，则 追问1 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗? 如图建立空间直角坐标系Oxyz，设， 是空间中任意两点，则. 于是. 所以. 这就是空间两点间的距离公式. 追问2 空间向量的两点间距离在长方体中又有怎样的几何意义呢？ 设空间中任意两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)，以线段P1P2为体对角线作长方体，使它的所有棱分别与坐标轴平行，则有：Q(x2,y2,z1)和R(x1,y2,z1)在Rt∆P1QP2中，有: 设计意图：带学生量化空间中任意两点间的位置关系，在几何学中，距离是最基本的度量之一，通过计算两点间的距离，我们可以在图形中直观地标注这一数值，从而加深对空间结构的理解。 至此，我们类比着平面向量运算的坐标表示，得到了空间向量运算的坐标表示，将向量的运算与向量的坐标结合后，可以使立体几何中的很多问题变得简单。下面我们结合具体的例题加深对所学知识的理解。 3、 典例辨析 例2 如图1.3-8，在正方体中，，分别是，的中点．求证． 追问1 如何用向量刻画直线垂直呢？ 要证明，只要证明，即证．我们只要用坐标表示，，并进行数量积即可． 追问2 如何建立恰当的空间直角坐标系？ 证明：不妨设正方体的棱长为2，建立如图1.3-8所示的空间直角坐标系，则 , ，所以 又因为点,所以. 所以. 所以,即. 追问3 你能从例2的解答过程中分析根据立体几何问题转化为向量求解问题的基本思路吗？ 设计意图：是使学生体会“根据问题特点建立适当的空间直角坐标系，用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题”的基本思路.本题中，正方体的特征很明显，以此为背景建立空间直角坐标系难度不大.后续还可以让学生尝试建立不同的坐标系解决问题，使学生体会“适当”的含义. 例3 如图1.3-9，在棱长为1的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，． （1）求的长． （2）求与所成角的余弦值． 分析：（1）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出 点，的坐标，利用空间两点间的距离公式求出的 长．（2）与所成的角就是，所成的角或它的补角．因此，可以通过，的坐标运算得到结果．根据条件建立适当的空间直角坐标系,用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题. 解：（1）建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系，则点的坐标为，点的坐标为．于是． （2）由已知，得，，，， 所以，， ，． 所以， 所以． 所以，与所成角的余弦值为． 追问1 两直范围是[ 0°, 90°] 而向量夹角的取值范围是[ 0°, 180°] 追问2 如果解得两向量所成角为钝角时，那么此时两直线所成角与两向量所成角有什么关系呢？ 当两向量所成角为钝角时，此时两直线所成角与两向量所成角互补； 当两向量所成角为锐角时，此时两直线所成角与两向量所成角相等. 设计意图：使学生进一步体会例2中求解问题的基本思路.对于问题(1),在建立空间直角坐标系后，引导学生说出利用空间两点间的距离公式求解.对于问题(2),引导学生用两向量夹角的余弦值来求解，通过解决完该题，向学生提出两直线夹角与两向量夹角的关系，明晰其区别和联系。 四、课堂小结 基本知识: 1、空间向量线性运算及数量积运算的坐标表示; 2、空间向量中垂直、平行向量坐标之间的关系; 3、空间中两点间的距离和空间两向量夹角余弦值的计算. 思想方法： 1、类比、猜想、证明、得出结论； 2、用向量计算或证明几何问题时的基本思路. 设计意图：从课堂所学的基本知识和思想方法两个方面进行小结，先让学生从基本知识方面总结，教师再带领学生阐述思想方法，培养学生学会对一节课内容的总结和回顾，及时查漏补缺。 五、作业布置 必做题：课本P22练习题第1、2、4、5题； 选做题：课本P23习题1.3第6、8题. 设计意图：从课后的必做题检测学生当堂所学情况，夯实基础，对于选做题的设计，为了体现学生的个体差异性，拓展能力，让不同层次的学生都能有所学有所获，提高学生的知识应用水平。 学科网（北京）股份有限公司 $