1.3.2 空间向量运算的坐标表示 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“空间向量运算的坐标表示”核心知识点，通过类比平面向量坐标运算，以“探究一”引导学生自主推导空间向量加减、数乘、数量积的坐标表示，搭建平面到空间的知识迁移支架，梳理运算规律及应用脉络。 此资料以类比探究与问题链驱动为特色，如引导学生推导数量积坐标表示培养逻辑推理，通过“建系-求坐标-用公式”三部曲提升数学运算与数学语言表达素养，助力教师高效教学，帮助学生形成用数学思维解决立体几何问题的能力。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高二年级 学期 秋季 课题 1.3.2空间向量运算的坐标表示 教学目标 1.掌握空间向量加减、数乘、数量积的坐标运算； 2.会根据向量的坐标，判断两个向量平行或垂直； 3.掌握向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式，并能解决简单的立体几何问题： 4.在研究空间向量运算的坐标表示及其应用的过程中，体会类比、转化与化归的数学思想， 提升数学运算、逻辑推理等数学素养。 教学重难点 教学重点： 空间向量垂直，平行及模长的坐标表示。 教学难点： 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题。 教学过程 前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标 对应起来 那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，同学们是否可以 探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？ 【探究一】 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运 算的坐标表示并给出证明吗？ 平面向量运算的坐标表示 空间向量运算的坐标表示 设a=(a,a2),b=(6,b2)设a=(a,a,a),b=(b,b,b) 加法：a+b=(a+b,a,+b)a+b=(a1+b,a2+b2,a3+b3) 减法；a-b=(4-b,4-b)a-b=(a1-b,42-b2,4-b) 数乘：a=(g,,),2∈R a=(2a,a2,a),元∈R 数量积：a·b=a1b1+a2b2 a·b=a1b1+a2b2+a3b3 下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示 设{i,j,k}为空间的一个单位正交基底 a=ai+a2j+ask,b=bi+b2j+b3k a.b=(a,i+azj+agk)(bi+b2j+b3k) =a bii+a bij+a bi.k+abji+ab2jj +ab3jk+asbk.i+asb2k.j+abak.k 因为i产jj=kk=1,ij=k=k·0 所以a·b=a1b1+a2b2+a3bs 由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完 全一致的。 类似地，我们有：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐 标减去起点坐标。 平面向量的坐标表示 空间向量的坐标表示 设P(xy1),P2(x2,2) 设P(1,,),(x2,y2,22) PD2=(x2-x,y3-)PE=(x2-x,2-,22-) 问题1：平面向量的坐标可以用于表示向量平行、垂直等特殊位置关系，以 及解决关于长度、夹角等的计算问题，空间向量呢？ 平面向量平行的坐标表示 空间向量平行的坐标表示 设a=(a,a2),b=(b,b2) 设a=(a,a2,a3),b=(b,b2,b) 当b≠0时，a∥b 当b≠0时，a∥b 台a=b(2∈R) 台a=b(2∈R) 台(a,a2)=2(b,b2)(2∈R) 台(a1,a2,a)=2(b,b2,b)(元∈R) [a,Ib (ZER) a=Ab 能否换成 a2=b a2=b,(2eR)a=4=a? ÷4b-a,b=0 a,=2b 问题2：设a=(a1a2),b=(b1b2),当b≠0时， a1=b1 a2=Ab2(AeR) a3=1b3 能否表示为后=贵=？ b≠0台bb2b3至少-个不0 因此，只有bb2bg均不0时，a/b=忌=是= 特殊地，当b=0时，b与任意向量平行 问题1：平面向量的坐标可以用于表示向量平行、垂直等特殊位置关系，以 及解决关于长度、夹角等的计算问题，空间向量呢？ 平面向量垂直的坐标表示 空间向量垂直的坐标表示 设a=(a,a2),b=(,b2) 设a=(a1,42,a),b=(6,b2,b) a⊥b a⊥b 台a·b=0 →a·b=0 →a1b1+a2b2=0 →a1b1+a2b2+a3b3=0 问题1：平面向量的坐标可以用于表示向量平行、垂直等特殊位置关系，以 及解决关于长度、夹角等的计算问题，空间向量呢？ 平面向量长度、夹角的坐标表示 空间向量长度、夹角的坐标表示 设a=(a,42),b=(b,b2) 设a=(a,a,a),b=(6,b2,b) la=va-a=yai+a lal va a=ya2+a"+a" cos(a,b〉= ab cos(a,b)= a…b laol lallo ab,+ab, ab,abz +ab; vaG+aGV+b吲 va2+a2+a:b2+b,2+b2 【探究二】你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 如图建立空间直角坐标系0-z, 设(：，，Z),(:2,2)是空间任意两点， 则PE=0E-0E=(:-xy2-,3-2 所以=VPg·PE=V-x广+0-)广+(3-2 这就是空间两，点间的距离公式 特别地，设P(xy,z则OP=V+y+z 例题1如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABC,D,中，E,F分别是 BB,D,B,的中点，求证EF⊥DA; 问题3如何用向量刻画两条直线垂直？ EF⊥DA→ EF LDA 三EF·DA,=0 问题4如何建立空间直角坐标系？ AD⊥CD,AD⊥DD,CD⊥DD → 空间直角坐标系 证明： 如图，以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-z 不妨设正方体的棱长为1 又4(1,0,10，D(0,0,0)2 所以DA=(1,0,1)-(0,0,0)=(1,0,1), 所以FD=(1+(x0+1= +0+=0 2 所以EF⊥DA,即EF⊥DA. 问题5：你能从例题的解答中体会解决此类问题的基本思路吗？ 立恰当坐标 向量表示元 进行向量 由运算结 果定 运算 论 简记：建系→点坐标向量坐标→代入公式求解 例题2如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB,CD,中，M为BC的中点， E,F分别在棱48，CDL,BE=4,DR=CD D (I)求AM的长. (2)求BE与DE所成角的余弦值. (3)设DC的中点为G,求证：BE,∥GE (1)【分析】 利用条件建立适当的空间直角坐标系 0 写出点A、M的坐标 利用空间两，点间的距离公式求出AM的长， 解：(1)建立如图的空间直角坐标系O)z,则 点A的座标为L0,0点M的坐标为[行月 于是AM G0旷g可-9 问题6 两条直线的夹角与两向量的夹角有区别吗？ 有，它们的取值范围不同 0 a →d 直线a,b夹角0∈[0，]， 向量a,b夹角(a,b∈[0，π] 当aje[引时，a啡当ae怎时，gra 所以cos0=cos(a,b (2)南巴知得，B1,0)E11,Do.0,0).F0,1 所以，丽-1o)-(0 明-小-aao-g=四 所以-00(》11- 16 15 所以cos(BE,DF}= BEDF 16 s15 BED丽 面x而7 4 4 15 所以BE,与DR所成角的余弦值1 问题7本节课你学到了什么？ 1.空间向量运算的坐标表示 加减、数乘、数量积 2.空间向量坐标运算的应用 位置关系：平行、垂直 计算问题：长度、夹角 3.用坐标法解决立体几何问题的“三部曲” 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 4.数学思想 类比、化归与转化 课后作业 1.已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),求：（1)3a-b:(2)a·b 2.已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x,且a⊥b,求的值 3.如图，正方体OABC-D'AB'C的棱长为a,点N,M分别在AC,BC 上，AN=2CN,BM=2MC I)求MN的长， (2)求OC与MN所成角的余弦值， 第3题图 4.(课后思考题)除了本节课介绍的坐标法外，你还有其它方法证明 或求解本节课例题吗？并体会不同方法的特点，