1.5.1 全称量词与存在量词 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦全称量词与存在量词，系统讲解相关概念、符号记法及真假判断。通过对比含变量未限定（非命题）与含量词限定（命题）的语句导入，搭建从具体到抽象的学习支架，引导学生理解量词的限定作用。 其亮点在于以数学眼光观察语句差异培养抽象能力，通过例题逻辑推理（如判断“所有素数都是奇数”为假）发展推理意识，符号记法（∀、∃）强化数学语言表达。课堂小结梳理方法，助力学生构建知识体系，教师可高效实施教学。

全称量词与存在量词 1 新知探究1 思考：下列语句是命题吗? (1) x>3； (2) 2x＋1是整数； (3) 对所有的x，x>3； (4) 对任意一个x，2x＋1是整数． 分析： 语句(1)(2)中含有变量x,由于 不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假,所以它们不是命题. 2 新知探究1 思考：下列语句是命题吗? (1) x>3； (2) 2x＋1是整数； (3) 对所有的x R，x>3； (4) 对任意一个x Z，2x＋1是整数． 比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系? 分析： 语句(3)在(1)的基础上,用短语“所有的”对变量x进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用短语“任意一个”对变量x进行限定.从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，因此(3)(4)是命题. 3 新知生成1 1、全称量词、全称量词命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． 含有全称量词的命题叫做全称量词命题． 常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等． 例如：每一个正方形都是矩形；对任意的n Z，2n+1是奇数． 4 新知生成1 2、全称量词命题的符号记法 通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，… 表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称量词命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立 ” 可用符号简记为：∀x M，p(x)． 读作：“对任意x属于M，都有p(x)成立”． 5 例题精讲1 例1：判断下列全称量词命题的真假． (1)所有的素数都是奇数； (2)∀x R，|x|＋1≥1； (3)对每一个无理数x，x2也是无理数． 分析： 要判断全称量词命题“∀x M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立； 如果在集合M中找到一个元素xo，使得p(xo)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题. 6 例题精讲1 例1：判断下列全称量词命题的真假． (1)所有的素数都是奇数； 解： 2是素数，但2不是奇数，所以，全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题. 7 例题精讲1 例1：判断下列全称量词命题的真假． (2)∀x R，|x|＋1≥1； 解： ∀x R，总有|x|≥0，因而|x|＋1≥1，所以，全称量词命题“∀x R，|x|＋1≥1”是真命题. 8 例题精讲1 例1：判断下列全称量词命题的真假． (3)对每一个无理数x，x2也是无理数． 解： 是无理数，但=2是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题. 9 新知探究2 下列语句是命题吗?比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系? (1) 2x＋1＝3； (2) x能被2和3整除； (3) 存在一个x R，使2x＋1＝3； (4) 至少有一个x Z，x能被2和3整除． 容易判断，(1)(2)不是命题.语句(3)在(1)的基础上,用短语“存在”对变量x的取值进行限定;语句(4)在(2)的基础上,用短语“至少有一个”对变量x的取值进行限定.所以，(3)(4)是命题,都是真命题. 10 新知生成2 3、存在量词，存在量词命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． 含有存在量词的命题叫做存在量词命题． 常见的存在量词还有“有些”“有一个” “对某些”“有的”等． 例如：有的正方 形不是矩形；有一个素 数不是奇数． 11 新知生成2 4、存在量词命题的符号记法 存在量词命题“存在M中的元素x，使得p(x)成立 ”. 可用符号简记为：∃x M，p(x)． 读作：“存在一个x属于M，使得p(x)成立”． 12 例题精讲2 例2：判断下列存在量词命题的真假． (1)有一个实数x，使x2＋2x＋3=0； (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3)有些平行四边形是菱形． 分析： 要判断存在量词命题“∃x M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使得p(x)成立即可 ； 如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题． 13 例题精讲2 例2：判断下列存在量词命题的真假． (1)有一个实数x，使x2＋2x＋3=0； 解： (1)由于∆=22-4×3=-8<0，因此一元二次方程x2+2x+3=0无实根.所以，存在量词命题“有一个实数x，使x2+2x+3=0”是假命题． 14 例题精讲2 例2：判断下列存在量词命题的真假． (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； 解： (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题． 15 例题精讲2 例2：判断下列存在量词命题的真假． (3)有些平行四边形是菱形． 解： (3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题. 16 课堂小结 1、全称量词命题的符号记法； ∀x M，p(x)． 17 课堂小结 2、判定全称量词命题的真假； 对于全称量词命题“∀x P (x)要判断它为真,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断它为假,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)不成立. 18 课堂小结 3、存在量词命题的符号记法； ∃x M，p(x)． 19 课堂小结 4、判定存在量词命题的真假． 对于存在量词命题“∃x , P (x)要判断它为真,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立;要判断它为假,需要判断“∀x , P (x)不成立”. 20 课堂小结 1、全称量词命题的符号记法； ∀x M，p(x) ． 2、判定全称量词命题的真假； 对于全称量词命题“∀x M，p(x) ”,要判断它为真,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断它为假,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)不成立. 3、存在量词命题的符号记法； ∃x M，p(x) ． 4、判定存在量词命题的真假． 对于存在量词命题“∃x M，p(x) ”,要判断它为真,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立;要判断它为假,需要判断“∀x M，p(x)不成立”. 21 $