专题04 图形的相似（十四大题型）（期中专项训练）九年级数学上学期北师大版

专题04 图形的相似 题型1 成比例线段（常考点） 题型8 证明三角形的对应线段成比例 题型2 黄金分割（易错点） 题型9 相似三角形的判定与性质综合（难点） 题型3 平行线分线段成比例（重点） 题型10 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型4 相似图形与相似多边形的性质（常考点） 题型11 相似三角形——动点问题（难点） 题型5 探索三角形相似的条件 题型12 重心的有关性质 题型6 选择或补充条件使两个三角形相似 题型13 相似三角形实际应用（重点） 题型7 相似三角形的判定综合（难点） 题型14 图形的位似（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 成比例线段 （共11小题） 1．（24-25九年级上·全国·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建·期中）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，则（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·全国·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 5．（24-25九年级上·四川巴中·期中）若，求代数式的值为 ． 6．（23-24九年级上·广东河源·期中）已知a、b、b、c是比例线段，其中，则线段b的长为 ． 7．（24-25九年级上·重庆·期中）如果，那么 ． 8．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知，求的值． 9．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知． (1)如果，求a的值； (2)求代数式的值． 10．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 11．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 题型二 黄金分割（共5小题） 12．（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）在中华经典美文阅读中，小明发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长是24厘米，则它的宽为 厘米． 13．（23-24九年级上·广东梅州·期中）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（     ） A． B．2a C． D．4a-1 14．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，已知，则 ．（答案保留根号） 15．（24-25九年级上·河北保定·期中）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且，若，求的长（结果保留根号）． 16．（24-25九年级上·广东珠海·期中）小明同学进行探究学习以下内容：“一个点把一条线段分为两段，如果其中较长的一段与整个线段的比等于较短一段与较长一段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，较长的一段与整个线段的比值（或较短一段与较长一段的比值）叫做黄金分割数．” 探究发现：在现实生活中，黄金分割无处不在；如图1，我国国旗上的正五角星也存在黄金分割数，如：． 问题解决： (1)如图2，已知线段AB的长为1，线段AB上的点，满足关系式．请你计算的长度，并判断的长度是否为黄金分割数． (2)如图2，若在线段上再取一个点，满足；在线段上取一点，，……以此类推，在线段上取一点满足．请你直接写出的长度． 题型三 平行线分线段成比例（共6小题） 17．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·广东茂名·期中）如图，直线，，，，则的长为（   ） A．3 B．1.5 C．4 D．2 19．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在中，，，，为中点，点在射线上运动，直线交直线于点，若，则的长为 ． 20．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，已知，，则 ． 21．（24-25九年级·山东滨州·期中）如图，在的方格纸中，点都在格点上，在图中仅用无刻度的直尺，把线段三等分（保留画图痕迹，不写画法）． 22．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 题型四 相似图形与相似多边形的性质（共7小题） 23．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   24．（24-25九年级上·福建三明·期中）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（   ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 25．（22-23九年级上·全国·期中）在如图所示的三个矩形中，相似的是（   ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 26．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列命题中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圆都相似，正确命题的有 ．（填序号） 27．（24-25九年级上·江西抚州·期中）已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是6，那么第二个矩形较长的一边长是 ． 28．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，一个矩形休闲广场的长为，宽为，广场内左右两侧的两条纵向人行小路的宽均为3.5m，如果设上下两侧的两条横向人行小路的宽都为m，那么当为多少时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似？ 29．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，四边形四边形． (1)_____度； (2)求边x，y的长． 题型五 探索三角形相似的条件（共8小题） 30．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 31．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 32．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 （填一个即可）． 33．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 34．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：．    35．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出，中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的高线与边交于点D，求证：． 36．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，已知是边上的中线，且，，求证：． 37．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，，D为边上一点，．求证：． 题型六 选择或补充条件使两个三角形相似（共4小题） 38．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 39．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，在中，D，E分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似． 40．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点E在的边上，请用尺规作图法在边上求作一点F，使得．（保留作图痕迹，不写作法）      41．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，点D为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点E，使与相似．（保留作图痕迹，画出一种即可，不写作法），并写出证明．    题型七 相似三角形的判定综合（共3小题） 42．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（　　） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 43．（24-25九年级上·陕西西安·期中）在三角形纸片ABC中，，，，沿图中虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似的是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并说明理由． 题型八 证明三角形的对应线段成比例（共3小题） 45．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（    ）    A． B． C． D． 46．（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图，，，那么与的相似比为 ．    47．（23-24九年级上·河南周口·期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 题型九 相似三角形的判定与性质综合（共6小题） 48．（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知，相似比为，若的周长是9，则的周长为（   ）． A．1 B．3 C．6 D．9 49．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 50．（2025九年级上·全国·期中）如图，相交于点E，若，，则的长为 ． 51．（24-25九年级上·吉林·期中）已知，且面积比为，则与的对应角平分线之比为 ． 52．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在中，，，点，分别在边，上，若与相似，且，求的长． 53．（24-25九年级上·四川资阳·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 题型十 在网格中画与已知三角形相似的三角形（共3小题） 54．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 55．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是 ． 56．（24-25九年级上·浙江·期中）正方形网格中，三个顶点都在网格格点上的三角形叫做格点三角形．请分别在图2，图3中画一个大小不一样的格点三角形，且与图1中的格点三角形相似（不包括全等）． 题型十一 相似三角形——动点问题（共3小题） 57．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 58．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过 秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 59．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，与相似． 题型十二 重心的有关性质（共3小题） 60．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，已知，是的中线， 点G是的重心， 过G作交于点E，交于点F． 若面积为36， 则的面积为（        ） A．4 B．6 C．8 D．9 61．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，点是的重心，连接交于，则 ． 62．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在 中，D、E、F分别为边的中点，相交于点 O， ．试求出线段的长．(结果保留根号)    题型十三 相似三角形实际应用（共7小题） 63．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E与点C，A共线.已知：，，测得，，，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，则河宽为（   ） A． B． C． D．无法确定 64．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知莹莹的眼睛离地面高度为，同时量得莹莹与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为 ． 65．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为，图中A，B，C，D在同一条直线上， (1)求的长； (2)求点E到地面的高度． 66．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，小张所在的数学小组想测量教学楼正后方水塔的高度．当小张站在与教学楼和水塔在同一直线的点处时，刚好看到教学楼顶端与水塔顶端在一条直线上，此时他与教学楼的距离为．已知教学楼的高为，小张的眼睛到地面的距离为．求水塔的高度． 67．（24-25九年级上·河南郑州·期中）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，再用皮尺分别测量，，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点，于点，于点，米，米，米，米，求这棵树的高度（的长）． 68．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 69．（24-25九年级上·河南郑州·期中）陕甘边革命根据地照金纪念馆是全国爱国主义教育示范基地．周末，小希和爸爸一起去陕甘边革命根据地参观，看到伫立在门门的雕像，他们想要配合测量该雕像（）的高度．已知爸爸的身高是（），小希的身高是（），小希在距离雕像的C处（）看雕像的顶端E的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点B，C，F在水平地面上的一条直线上，雕像和两人都垂直于水平地面，求雕像的高度． 题型十四 图形的位似（共10小题） 70．（24-25九年级上·重庆合川·期中）如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为，若的周长为4，则的周长等于（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 71．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 72．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 73．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图：在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C为平面内一动点，且，连接，作（点D在x轴上方），使，，当C点坐标为 时，长度最大，的最大值为 ． 74．（24-25九年级上·吉林长春·期中）按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有 ． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 75．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，且，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点O，且矩形的周长是矩形周长的，则点B的对应点的坐标是 ． 76．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心，（保留作图痕迹） (2)若，位似比是，求的长． 77．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上． (1)画出向左平移4个单位长度的； (2)以点O为位似中心，在第一象限画出位似图形，使与的相似比为． 78．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为， ， ，若与关于点O位似，且点A的对应点坐标为．    (1)请在图中做出（点B的对应点为点，点C的对应点为点）． (2)若中边上的高为m，则中边上的高为_________（用关于m的代数式表示）． (3)连接 则与四边形的面积比为________． 79．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图，的三顶点分别为，，．请画出一个以原点O为位似中心，且与相似比为的位似图形，并写出各顶点的坐标．（只需画出一种情况，） $专题04 图形的相似 题型1 成比例线段（常考点） 题型8 证明三角形的对应线段成比例 题型2 黄金分割（易错点） 题型9 相似三角形的判定与性质综合（难点） 题型3 平行线分线段成比例（重点） 题型10 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型4 相似图形与相似多边形的性质（常考点） 题型11 相似三角形——动点问题（难点） 题型5 探索三角形相似的条件 题型12 重心的有关性质 题型6 选择或补充条件使两个三角形相似 题型13 相似三角形实际应用（重点） 题型7 相似三角形的判定综合（难点） 题型14 图形的位似（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 成比例线段 （共11小题） 1．（24-25九年级上·全国·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查了比例线段，判断四条线段是否成比例，可将它们的长度按从小到大排序，检验首尾两段的乘积是否等于中间两段的乘积． 根据成比例线段的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·福建·期中）已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断解答即可． 【详解】解：A.由可得，等式不成立； B.由可得，等式不成立； C.由可得，等式成立； D. 由可得，即，等式不成立； 故选：C． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）若线段a，b，c，d是成比例线段，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，根据成比例线段的定义，四条线段满足，即与的比等于与的比。将已知数值代入比例式，解方程即可求出的值。 【详解】解：线段，，，是成比例线段， ， 将，，代入， 可得：， 整理得：， 解得：， 故选：C． 4．（24-25九年级上·全国·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．根据比例线段的定义，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，对选项一一分析，即可得出答案． 【详解】解析：A．，四条线段不成比例，故A不符合题意； B．，四条线段不成比例，故B不符合题意； C．，四条线段不成比例，故C不符合题意； D．，四条线段成比例，故D符合题意． 故选D． 5．（24-25九年级上·四川巴中·期中）若，求代数式的值为 ． 【答案】/ 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确用k表示x、y．由，设，，再代入化简求值即可． 【详解】解：由，设，（）， ∴， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·广东河源·期中）已知a、b、b、c是比例线段，其中，则线段b的长为 ． 【答案】6 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查成比例线段，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 根据成比例线段的定义列式计算即可． 【详解】解：∵a、b、b、c是比例线段，其中， ∴，即，解得：或（不合题意舍弃）． 故答案为：6． 7．（24-25九年级上·重庆·期中）如果，那么 ． 【答案】/ 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知，求的值． 【答案】6 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，通过“设法”表示出、、是解题的关键．设，那么，，，然后代入求解即可． 【详解】解：设 那么，，， 9．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知． (1)如果，求a的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键． （1）设，然后代入求出k，进而可求出a； （2）设，然后代入化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴设， ∴． 10．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】成比例线段、比例的性质 【分析】本题考查了比例线段． （1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入求解得到k，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解，即可求出线段k的长． 【详解】（1）解：设，则，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项， ∴， 解得或（舍去）， ∴线段． 11．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】成比例线段、比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）利用，可设，，则，然后解出k的值即可得到a、b的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：设， 则，， 所以，， 解得， 所以，，； （2）∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∴线段． 题型二 黄金分割（共5小题） 12．（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）在中华经典美文阅读中，小明发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长是24厘米，则它的宽为 厘米． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义：“一个点把一条线段分成两条线段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的”．根据黄金分割的定义得到书的宽与长之比为，即它的宽，然后进行近似计算即可 【详解】解：书的宽与长之比为黄金比，长为厘米， 它的宽厘米． 故答案为：． 13．（23-24九年级上·广东梅州·期中）神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（     ） A． B．2a C． D．4a-1 【答案】C 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查黄金比例，掌握知识点是解题的关键． 设相邻下一圈螺纹的直径为x，根据黄金比例，列方程求解即可． 【详解】解：设相邻下一圈螺纹的直径为x， 根据题意得： ． 故选：C． 14．（24-25九年级上·浙江舟山·期中）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，已知，则 ．（答案保留根号） 【答案】/ 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查黄金分割，直接利用黄金分割的定义计算即可．解题的关键是掌握黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割的比值是，即． 【详解】解：∵为的黄金分割点（），， ∴， ∴， ∴的长度为． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·河北保定·期中）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且，若，求的长（结果保留根号）． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的判定和性质，理解黄金分割知识是解答关键． 根据正方形的性质和平行线的性质得到四边形是矩形，再利用矩形的性质和黄金分割来求解． 【详解】解：四边形是正方形， ． 又， ， ， 四边形是矩形， ． 又， ． 16．（24-25九年级上·广东珠海·期中）小明同学进行探究学习以下内容：“一个点把一条线段分为两段，如果其中较长的一段与整个线段的比等于较短一段与较长一段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，较长的一段与整个线段的比值（或较短一段与较长一段的比值）叫做黄金分割数．” 探究发现：在现实生活中，黄金分割无处不在；如图1，我国国旗上的正五角星也存在黄金分割数，如：． 问题解决： (1)如图2，已知线段AB的长为1，线段AB上的点，满足关系式．请你计算的长度，并判断的长度是否为黄金分割数． (2)如图2，若在线段上再取一个点，满足；在线段上取一点，，……以此类推，在线段上取一点满足．请你直接写出的长度． 【答案】(1)的长度为黄金分割数 (2) 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割的定义； （1）设，根据题意列出方程，进而根据黄金分割数的定义，即可求解． （2）根据（1）可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵线段的长为1，线段上的点，满足关系式． 设，则， ∴， 解得：或（舍去）； ∴的长度为黄金分割数； （2）解：由（1）可得的长是的长的一个黄金分割数，即，的长是的长的一个黄金分割数，即， ……以此类推，， 由（1）可得， ∴． 题型三 平行线分线段成比例（共6小题） 17．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，直线，分别交直线、于点、、、、、，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ，，， 选项B、C、D不符合题意； ，故A选项符合题意； 故选：A． 18．（24-25九年级上·广东茂名·期中）如图，直线，，，，则的长为（   ） A．3 B．1.5 C．4 D．2 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】先求出，再根据平行线分线段成比例定理列比例式得，进而求解即可． 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确的找出对应线段是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故选：C 19．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）在中，，，，为中点，点在射线上运动，直线交直线于点，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】由平行判断成比例的线段、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、勾股定理，过作于，根据中位线定理可知、，根据，可知，根据平行线分线段成比例定理可知，根据，可得，在中，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如下图所示，过作于， ， ，而为中点， ，， 又， ， ， ， ， ， 在中，． 故答案为： ． 20．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，已知，，则 ． 【答案】12 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：12． 21．（24-25九年级·山东滨州·期中）如图，在的方格纸中，点都在格点上，在图中仅用无刻度的直尺，把线段三等分（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】见解析 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：如图所示即为所求： 22．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解决此题的关键． （1）根据，得到，结合，求出的长即可； （2）根据，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得，． ． ． ∴ ∴． 题型四 相似图形与相似多边形的性质（共7小题） 23．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】相似图形 【分析】本题考查了相似图形，根据相似图形的概念即可作出判断．判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关． 【详解】解：由相似图形的概念知，选项中D的两个图形不相似； 故选：D． 24．（24-25九年级上·福建三明·期中）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（   ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【知识点】相似图形、相似多边形 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【详解】解：观察可得：甲和丁对应角相等，对应边成比例，且形状相同，大小不同． 故选：D． 25．（22-23九年级上·全国·期中）在如图所示的三个矩形中，相似的是（   ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙 【答案】B 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，掌握两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形是解题的关键．分别求出三个矩形的邻边之比，根据相似多边形的判定定理判断即可． 【详解】解：甲、乙、丙三个长方形的角度都相等，都是， 由甲、乙边长可得：， 故甲与乙不相似； ， 由甲、丙边长可得：， 故甲与丙相似； 由乙、丙边长可得：， 故乙与丙不相似． 故选：B． 26．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）下列命题中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圆都相似，正确命题的有 ．（填序号） 【答案】③④ 【知识点】判断命题真假、相似图形、相似多边形 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据多边形相似的定义判断即可． 【详解】解：①两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，故任意的矩形都相似是假命题； ②两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，故任意的菱形都相似是假命题； ③任意的正方形都相似，是真命题； ④任意的圆都相似，是真命题； 故答案为：③④． 27．（24-25九年级上·江西抚州·期中）已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是6，那么第二个矩形较长的一边长是 ． 【答案】8 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的对应边成比例，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：设第二矩形较长的边为：，则由题意，得： ， ∴； 故第二个矩形较长的一边长是8； 故答案为：8． 28．（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，一个矩形休闲广场的长为，宽为，广场内左右两侧的两条纵向人行小路的宽均为3.5m，如果设上下两侧的两条横向人行小路的宽都为m，那么当为多少时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似？ 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质，关键在于理解相似矩形对应边成比例这一性质，并能准确找出小路内外边缘围成的矩形的长和宽的表达式． 通过分析两个矩形相似的性质，找出对应边的比例关系，并用含有的代数式表示内边缘所围成的矩形的长，进而列方程求解的值即可． 【详解】解：人行小路内边缘所围成的矩形的长为， 宽为． 根据相似多边形定义，当各边成比例时，这两个矩形相似，即： ， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：当时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 29．（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，四边形四边形． (1)_____度； (2)求边x，y的长． 【答案】(1) (2)， 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，正确掌握相似多边形的性质是解题关键． （1）直接利用相似多边形的性质得出对应角相等，进而得出答案； （2）直接利用相似多边形的性质得出对应边的比值相等，进而得出答案． 【详解】（1）解：四边形四边形， ， ； 故答案为：； （2）解：四边形四边形， ， ， 解得：，． 题型五 探索三角形相似的条件（共8小题） 30．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题主要考查图形的相似，熟练掌握三角形相似的条件是解题的关键．根据题意分别判定即可． 【详解】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意； 两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意； 选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意； 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意； 故选C． 31．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形对应边成比例逐项验证即可． 【详解】解：A.∵，∴选项不符合题意； B.∵，∴选项不符合题意； C.∵，∴选项符合题意； D.∵，∴选项不符合题意； 故选：C． 32．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为 （填一个即可）． 【答案】或（答案不唯一） 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 首先，利用两角对应相等可证得，然后由，可得，进而可证得，于是得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或（答案不唯一）． 33．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 34．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：．    【答案】见解析 【知识点】利用两角对应相等判定相似、矩形与折叠问题 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．根据矩形性质得出，根据余角的性质得出，根据两个对应相等的两个三角形相似，证明结论即可． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ． 矩形纸片沿折叠得到，且点在上， ， ， ， ． 35．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出，中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的高线与边交于点D，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】作垂线(尺规作图)、利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了基本尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线及相似三角形的判定，熟知基本作图方法及相似三角形的判定定理是正确解答此题的关键． （1）根据基本尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线，以为圆心，长为半径画弧，交于，分别以为圆心，大于为半径画弧，两弧交于，作射线，交于，即可； （2）用两角对应相等即可证明． 【详解】（1）解：如图所示：以为圆心，长为半径画弧，交于，分别以为圆心，大于为半径画弧，两弧交于，作射线，交于，即为中边上的高； （2）证明： ， ， ， ， 又， ． 36．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，已知是边上的中线，且，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】此题考查了相似三角形的判定． 根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行解答即可． 【详解】证明：∵是边上的中线，， ∴， ∵，， ∴，且，     ∴． 37．（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，，D为边上一点，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，由题意得到两边对应比例，且夹角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证． 【详解】解：证明：∵在中，，，， ∴， 又∵， ∴． 题型六 选择或补充条件使两个三角形相似（共4小题） 38．（24-25九年级上·山西临汾·期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．先根据，求出，再根据相似三角形的判定定理，逐项分析，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A、添加， ∵，， ∴，故A选项不符合题意； B、添加， ∵，， ∴，故B选项不符合题意； C、添加， ∵，， ∴，故C选项不符合题意； D、添加，不能判定，故D选项符合题意． 故选：D． 39．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图，在中，D，E分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似． 【答案】或或 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题的主要考查点是三角形相似的判定．和中，是公共角，再找一组对应角相等，或者夹的两边对应成比例都可得到两三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴当或或时，． 故答案为：或或． 40．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点E在的边上，请用尺规作图法在边上求作一点F，使得．（保留作图痕迹，不写作法）      【答案】见解析 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查限定工具作图—作一个角等于已知角，掌握“平行于三角形一边的直线交其它两边，得到的新三角形与原三角形相似”是解题的关键． 【详解】解：点F即为所作；    41．（23-24九年级上·河南南阳·期中）如图，点D为边上一点，请用尺规作图法，在边上求作一点E，使与相似．（保留作图痕迹，画出一种即可，不写作法），并写出证明．    【答案】见解析 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题主要考查作图相似变换，解题的关键是以为边、点为顶点在内部作一个角等于，角的另一边与的交点即为所求作的点． 【详解】解：如图，点即为所求作的点． 由作图可知：， 又， ∴．    题型七 相似三角形的判定综合（共3小题） 42．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如果两个三角形满足下列条件，那么它们一定相似的是（　　） A．有一个角相等的两个等腰三角形 B．有一个角相等的两个直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．有一组角是对顶角的两个三角形 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 本题考查了相似三角形的判断，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，故不符合题意； B、有一个角相等的两个直角三角形不一定相似，故不符合题意； C、有一个角是的两个等腰三角形，其三个角一定为，，，一定相似，故符合题意； D、有一组角是对顶角的两个三角形不一定相似，故不符合题意； 故选：C． 43．（24-25九年级上·陕西西安·期中）在三角形纸片ABC中，，，，沿图中虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定， 根据相似三角形的判定定理逐项判断即可. 【详解】解：A、根据“平行线”法可以判定两个三角形相似，本选项不符合题意； B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； C、由题意，得，是公共角，根据两边成比例且夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意； D、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意． 故选：D． 44．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并说明理由． 【答案】(1)； (2)相似，理由见解析 【知识点】相似三角形的判定综合、勾股定理与网格问题 【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长度． （2）根据相似三角形的判定定理：对应边成比例，夹角相等，即可证明与相似． 【详解】（1）， ； 故答案为：；． （2）相似，理由如下: ， 又， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定，掌握相似三角形判定定理并根据图形得到两个三角形的边与边、角与角的关系是解题关键． 题型八 证明三角形的对应线段成比例（共3小题） 45．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】证明三角形的对应线段成比例、相似三角形的判定综合、勾股定理与网格问题 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，利用三边对应成比例的三角形相似进而得出符合题意的答案．正确利用网格得出三角形各边长是解题关键． 【详解】解：由网格可知：，， A、，，，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； B、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； C、，，，因为，所以与相似，故该选项是正确的； D、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； 故选：C． 46．（23-24九年级上·海南儋州·期中）如图，，，那么与的相似比为 ．    【答案】/ 【知识点】证明三角形的对应线段成比例 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合已知求出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为相似比， ∵， ∴，即相似比为， 故答案为：． 47．（23-24九年级上·河南周口·期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，证明见解析 【知识点】证明三角形的对应线段成比例、三角形内角和定理的应用、相似三角形的判定综合 【分析】（1）根据题意证明即可求解； （2）同理证明即可求解． 此题主要考查考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两角相等得到三角形相似． 【详解】解：（1）证明：∵直线l，直线l， ∴． ∵，∴． 又∵，∴． 在和中，， ∴，∴． （2）成立． 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 题型九 相似三角形的判定与性质综合（共6小题） 48．（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知，相似比为，若的周长是9，则的周长为（   ）． A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形性质，根据相似三角形周长的比等于相似比求解，即可解题． 【详解】解：，相似比为， 的周长的周长， 的周长是9， 的周长为； 故选：C． 49．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．先根据证明，可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ，， ， ， 故选：D． 50．（2025九年级上·全国·期中）如图，相交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 51．（24-25九年级上·吉林·期中）已知，且面积比为，则与的对应角平分线之比为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出相似比，得到对应角的角平分线之比． 【详解】解：，与的面积比为， 与的相似比为， 与对应角的角平分线之比为， 故答案为：． 52．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）在中，，，点，分别在边，上，若与相似，且，求的长． 【答案】或2 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要相似三角形的性质，先根据题意得到，再分当时，当时，两种情况根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行讨论求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，则， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上所述，的值为或2， 53．（24-25九年级上·四川资阳·期中）【基础巩固】 （1）如图，在中，，于点D，求证：． 【尝试应用】 （2）如图，在矩形 中，，点F在 上，，于点E，求的长． 【拓展提高】 （3）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点C的对称点F在边上，G为 中点，连接交 于点M，，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由，得到，再由，得到，从而得到，变形即可得到答案； （2）由矩形的性质得，，从而得到，即，由（1）可得，，从而得到，计算即可得到答案； （3）与关于直线对称，得，从而得到，再通过证明得到，由（1）可得，，设，解方程求出的值即可． 【详解】解：（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）∵ ∴ 在矩形中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 即： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ； （3）解：在矩形中， ∴ ∵与关于直线对称 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵是的中点 ∴ 由（1）可得： ∴ 设 则 ∴ 解得：或(舍去负根) ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质是解题的关键． 题型十 在网格中画与已知三角形相似的三角形（共3小题） 54．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，在的正方形网格中，画个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第2个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第3个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第4个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 综上所述， 故选：D．正确的画法有4个． 55．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】本题考查相似三角形的判定，由，，判定． 【详解】解：这个格点三角形可以是（答案不唯一），理由如下： 由勾股定理得：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 56．（24-25九年级上·浙江·期中）正方形网格中，三个顶点都在网格格点上的三角形叫做格点三角形．请分别在图2，图3中画一个大小不一样的格点三角形，且与图1中的格点三角形相似（不包括全等）． 【答案】见解析 【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】本题考查网格中作已知三角形的相似三角形，已知的三角形是直角三角形，两直角边长比值为，据此作图即可． 【详解】解：与图1中的格点三角形相似的格点三角形如图所示： 题型十一 相似三角形——动点问题（共3小题） 57．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 58．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过 秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 【答案】2或0.8 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可． 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，，， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似． 故答案为：2或． 59．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图所示，中，．点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，与相似． 【答案】(1)经过2秒或4秒，的面积等于； (2)线段不能将分成面积相等的两部分；理由见详解； (3)经过秒或2.4秒时，与相似． 【知识点】相似三角形——动点问题、动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）设经过秒，的面积等于，利用三角形面积公式列出方程求解即可； （2）根据面积之间的等量关系得到关于的一元二次方程，利用根的判别式即可求解； （3）设经过秒时，与相似，分①时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，由题意得，，， ∵的面积等于， ∴， 整理得， 解得，， 故经过2秒或4秒，的面积等于； （2）解：∵的面积， 根据题意得， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； （3）解：设经过秒时，与相似， ①时， ∴， ∴， ∴， ②当时， ∴， ∴， ∴， 综上所述，经过秒或2.4秒时，与相似． 题型十二 重心的有关性质（共3小题） 60．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，已知，是的中线， 点G是的重心， 过G作交于点E，交于点F． 若面积为36， 则的面积为（        ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求面积、重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形的中线的性质，相似三角形的判定和性质．理解和掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据重心的性质可得，再根据三角形的中线平分三角形的面积可得，接着证明，，然后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得，，从而求出，，进而可求解． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 61．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，点是的重心，连接交于，则 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，也考查了相似三角形的判定与性质，中位线的性质．先根据三角形重心的性质得，为的中点，为的中点，根据中位线性质得出，证明，得出，得出，设，则，，得出，求出结果即可． 【详解】解：∵点G是的重心， ，为的中点，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ． 故答案为：． 62．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在 中，D、E、F分别为边的中点，相交于点 O， ．试求出线段的长．(结果保留根号)    【答案】3； 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、重心的有关性质 【分析】由，可知是直角三角形，且，由题意知，为的中位线， ，则，由勾股定理得，，由题意知，O是的重心，则，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵D、E、F分别为边的中点， ∴为的中位线， ， ∴， 由勾股定理得，， 由题意知，O是的重心， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，中位线，重心的性质等知识．熟练掌握勾股定理的逆定理，勾股定理，中位线，重心的性质是解题的关键． 题型十三 相似三角形实际应用（共7小题） 63．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E与点C，A共线.已知：，，测得，，，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，则河宽为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可知，得到，根据相似三角形的性质得到，即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴ 解得：． 故选：C． 64．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知莹莹的眼睛离地面高度为，同时量得莹莹与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质.根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， 由图可知，，，， ， 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， ， 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，， ， ． 故答案为：． 65．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度，手电间的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为，图中A，B，C，D在同一条直线上， (1)求的长； (2)求点E到地面的高度． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得出，代入数据求出的长即可； （2）由题意知，得出，由相似三角形的性质得出，代入数值求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 即的长为； （2）解：由（1）知，， ∴， 由题意知，， ∴， ∴， ∴ ∴， 即点E到地面的高度为． 66．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，小张所在的数学小组想测量教学楼正后方水塔的高度．当小张站在与教学楼和水塔在同一直线的点处时，刚好看到教学楼顶端与水塔顶端在一条直线上，此时他与教学楼的距离为．已知教学楼的高为，小张的眼睛到地面的距离为．求水塔的高度． 【答案】水塔的高度为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，先过作，交于点交于点，可以构造矩形，利用平行线分线段成比例定理的推论易得，再利用比例线段，可求，进而可求即可． 【详解】解：如图，过作，交于点交于点， 结合题意知，，，，，则， ∵， ， ， ∴， ， ， 所以水塔的高度为． 67．（24-25九年级上·河南郑州·期中）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（）放在离树（）适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端，再用皮尺分别测量，，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点，于点，于点，米，米，米，米，求这棵树的高度（的长）． 【答案】米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可． 【详解】解：过点作水平线交于点，交于点，如图，    ∵是水平线，都是铅垂线． ∴米，米，米， ∴（米）， 又根据题意，得， ∴， ，即 ， 解得：米， ∴(米)． ∴这棵树的高度为米． 68．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高． 【答案】树高为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得，，即可得出，由相似三角形的性质可得出，即可得出，再根据即可得出答案． 【详解】解：据题意可得，， ， ． ，，， ， ， ． 答：树高为． 69．（24-25九年级上·河南郑州·期中）陕甘边革命根据地照金纪念馆是全国爱国主义教育示范基地．周末，小希和爸爸一起去陕甘边革命根据地参观，看到伫立在门门的雕像，他们想要配合测量该雕像（）的高度．已知爸爸的身高是（），小希的身高是（），小希在距离雕像的C处（）看雕像的顶端E的视线为，原地再看爸爸的头部，视线为，爸爸经过移动调整位置，当时爸爸停止移动，这时测得．已知点B，C，F在水平地面上的一条直线上，雕像和两人都垂直于水平地面，求雕像的高度． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作，垂足为，延长交于点，由题意，得，，，所以四边形是矩形，四边形是矩形，根据矩形的性质得，，，证明得，即，解出的值，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点， 由题意，得，，， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， 又， ， ， ，即， 解得， ， 答：雕像的高度为． 题型十四 图形的位似（共10小题） 70．（24-25九年级上·重庆合川·期中）如图，与是位似图形，点是位似中心，位似比为，若的周长为4，则的周长等于（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查位似图形的性质，根据题意，得到，进而利用两个相似三角形的周长比等于相似比列式求解即可得到答案，熟记位似图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 71．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】位似图形相关概念辨析、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似图形的概念、相似三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：A、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，原说法正确； B、与是相似图形，相似比为，则其面积之比等于相似比的平方，即，原说法正确； C、与是位似图形，则其对应边互相平行，即，则，原说法正确； D、与是以点O为位似中心的位似图形，位似比为，则．所以，原说法错误． 故选：D． 72．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知与位似，原点O是位似中心，且，则点E的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查了坐标与位似图形，根据题意确定位似图形的相似比是解题的关键．根据位似图形的概念易得与的相似比为，根据位似变换的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，与位似，原点O是位似中心，且， 即与的相似比为， 又∵， ∴点的坐标为，即点的坐标为． 故选：D． 73．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图：在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C为平面内一动点，且，连接，作（点D在x轴上方），使，，当C点坐标为 时，长度最大，的最大值为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、坐标与图形综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】以为直角边、A为直角顶点，构造等腰直角，如图1所示，连接、．证明，得到长度，分析出D点的轨迹，发现当A、E、D三点共线时，如图2所示，此时值最大，也能根据，求出C点坐标． 【详解】解：以为直角边、A为直角顶点，构造等腰直角，如图1所示，连接、． ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴D点是在以E为圆心，为半径的圆上运动， ∵C点是在以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴当A、E、D三点共线时，如图2所示， 此时值最大，最大为， ∵，， ∴， ∴最大值为， 过点C作轴于点F，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质，构造等腰直角三角形、找到D点运动轨迹是解题的关键． 74．（24-25九年级上·吉林长春·期中）按下列方法，将的三边缩小为原来的，如图所示，任取一点，连接，，，并取它们的中点D，E，F，连接，，得到，则下列说法正确的序号有 ． ①与是位似图形；②与是相似图形；③与的周长之比为；④与的面积之比为． 【答案】①②③ 【知识点】求两个位似图形的相似比、位似图形的识别 【分析】本题考查了位似变换的相关知识，注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方，对应的周长的比等于相似比． 【详解】解：如图符合位似图形的定义， ∴①与是位似图形， 正确； ∵位似是相似的特殊形式， ∴②与是相似图形， 正确； ∴③与周长之比等于相似比为，正确； ∴④与的面积之比等于相似比的平方为， 错误； ∴正确的为：①②③． 故答案为：①②③． 75．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，且，．已知矩形与矩形位似，位似中心是原点O，且矩形的周长是矩形周长的，则点B的对应点的坐标是 ． 【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标、位似图形相关概念辨析、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形是相似图形以及相似多边形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到矩形矩形，根据相似多边形的性质求出相似比，根据位似图形与坐标的关系计算，得到答案． 【详解】解：∵矩形与矩形位似， ∴， ∵矩矩形的周长是矩形周长的， ∴矩形与矩形的相似比为， ∵矩形的顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，且，， ∴， 如图： ∴点的坐标为或，即或． 故答案为：或． 76．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，与是位似图形． (1)在图中画出位似中心，（保留作图痕迹） (2)若，位似比是，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【知识点】求两个位似图形的相似比、判断位似中心 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． （1）根据位似图形对应点连线交于一点，这个交点就是位似中心，则连接，，交于点即为所求； （2）利用位似比得出对应边的比，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，位似中心即为所求． ． （2）解：∵与是位似图形，位似比是， ∴， ∴， ∵， ∴． 77．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上． (1)画出向左平移4个单位长度的； (2)以点O为位似中心，在第一象限画出位似图形，使与的相似比为． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、平移(作图) 【分析】本题考查了平移作图，位似作图． （1）根据题意作图即可； （2）根据题意作图即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 78．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为， ， ，若与关于点O位似，且点A的对应点坐标为．    (1)请在图中做出（点B的对应点为点，点C的对应点为点）． (2)若中边上的高为m，则中边上的高为_________（用关于m的代数式表示）． (3)连接 则与四边形的面积比为________． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【知识点】在坐标系中画位似图形、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由题意得，与的相似比为，结合位似的性质作图即可． （2）根据相似三角形的性质：相似三角形的高的比等于相似比，可得答案． （3）结合位似的性质以及相似三角形的判定可得，相似比为，则可得与的面积比为，进而可得答案． 本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，与的相似比为， 如图，即为所求．   ； （2）解：与的相似比为，中边上的高为， 中边上的高为． 故答案为：． （3）解：与关于点位似，相似比为， ． ， ，相似比为， 与的面积比为， 与四边形的面积比为． 故答案为：． 79．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）如图，的三顶点分别为，，．请画出一个以原点O为位似中心，且与相似比为的位似图形，并写出各顶点的坐标．（只需画出一种情况，） 【答案】，图见解析 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查作位似图形，平面直角坐标系中点的坐标，先以原点O为位似中心，作的位似图形，使相似比为，再根据所作三角形三点的位置写出三点的坐标． 【详解】解：如图，就是所求的三角形， $