专题03 轴对称（16大题型）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材人教版

专题03 轴对称 题型1 轴对称图形的识别（常考点） 题型9 等边对等角（重点） 题型2 线段垂直平分线的性质与判定（重点） 题型10 三线合一（重点） 题型3 命题与逆命题 题型11 根据等角对等边证明与求值（重点） 题型4 作垂线（尺规作图）（常考点） 题型12 含30度角的直角三角形（重点） 题型5 画轴对称图形 题型13 等腰三角形的性质和判定及综合（难点） 题型6 钟表的镜面对称 题型14 等边三角形性质和判定及综合（难点） 题型7 坐标与图形变化——轴对称（重点） 题型15 最值问题（难点） 题型8 面积问题(轴对称综合题)（重点） 题型16 折叠问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 轴对称图形的识别（共3小题） 1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，根据轴对称的定义逐项判断即可． 【详解】解：．是轴对称图形，该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，该选项符合题意； ．是轴对称图形，该选项不符合题意； ．是轴对称图形，该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）下列交通标志图案是轴对称图形的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不合题意； D．不是轴对称图形，不合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 题型二 线段垂直平分线的性质与判定（共11小题） 4．（23-24八年级上·四川广安·期中）如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三边的垂直平分线的交点， 故选：D 5．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握其运用是解题的关键．根据垂直平分线的性质可得，则，可得的值，根据的周长的计算方法即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴ ∵的周长为，即， ∴， ∵的周长为，且， ∴． 故选：C． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是的垂直平分线， 的周长为13，的周长为（　　） A．16 B．13 C．19 D．23 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，结合已知条件即可得到的周长． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长为13， ， ， ， 的周长为， 故选：C． 7．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（      ） ①；②；③平分；④四边形的面积． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，根据，，得到垂直平分，分割法求面积，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴点，点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，，故①②正确； 无法得到平分，故③错误； 四边形的面积为；故④正确； 故选C． 8．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，的垂直平分线交于点，，的周长是12， 的周长是 ． 【答案】20 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查垂直平分线的性质，由垂直平分线得到，，根据的周长是12得到，进而即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：20 9．（24-25八年级·福建漳州·期中）如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，连接，，，的度数为 ． 【答案】/100度 【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，对顶角的性质，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．由对顶角相等得，根据垂直平分线的定义得到， ，得，最后根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：， ， 垂直平分， ，， ∴， ∵， ， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，是线段的垂直平分线．已知，则 ．    【答案】/度 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，连接，由，则，故有，再根据垂直平分线的性质得，再根据等腰三角形的性质和外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，    ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】连接，根据垂直平分线的判定和性质，证明即可． 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：连接， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． ． 12．（22-23八年级上·全国·期中）如图，中． (1)作边，的垂直平分线分别交于，两点，垂足分别是，．（保留痕迹，不写作法） (2)连接、，若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】此题考查了简单作图垂直平分线，线段垂直平分线的性质．熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）根据尺规作垂直平分线的方法进行操作即可； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，然后等量代换的周长等于的长． 【详解】（1）解：如图： （2）解：∵垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长． 13．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中 (1)使用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了尺规作图---线段垂直平分线，垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据作线段垂直平分线的步骤作图即可； （2）根据线段垂直平分线得到，则的周长转化为． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：连接， ∵线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长=, ∴的周长． 14．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，，若点在的平分线所在的直线上． (1)如图，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且． 求证：； 求证：点在的垂直平分线上； ___________； (2)如图，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，则___________； (3)如图，过点的直线，若，，点在内部，且点到三边的距离相等，则点到直线的距离是___________． 【答案】(1)见解析；见解析；； (2)； (3)． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了线段垂直平分线判定，角平分线的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练使用各性质定理是解题的关键． （）证出； 由角平分线性质可得出，证明，得到，即可证明点在的垂直平分线上； 由得出，即可得出； （）先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； （）画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图， ∵点D在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上； 解：由知， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分，平分，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当点在内部时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴点到直线的距离是． 题型三 命题与逆命题（共5小题） 15．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列4个命题①全等三角形的对应角相等②全等三角形的面积相等③两个正实数的积是正实数④是25的平方根，它们的逆命题是真命题的有（　　）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）、写出命题的逆命题、求一个数的平方根、判断命题真假 【分析】本题考查逆命题，判断命题的真假，掌握知识点是解题的关键． 先写出各个命题的逆命题，再逐一判断真假即可． 【详解】解：①“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“三个角分别相等的三角形全等”，是假命题，所以本选项不符合题意； ②“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的两个三角形全等”，是假命题，所以本选项不符合题意； ③“两个正实数的积是正实数”的逆命题是“若两个实数的积是正实数，则这两个实数是正实数”，是假命题，所以本选项不符合题意； ④“5是25的平方根”的逆命题是“25的平方根是5”，是假命题，所以本选项不符合题意． 故选：A． 16．（23-24八年级上·广西桂林·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】对顶角相等、写出命题的逆命题、两直线平行同位角相等、判断命题真假 【分析】本题考查了判断命题真假、写出命题的逆命题，分别写出各选项的逆命题，并根据对顶角的定义、平行线的判定与性质、绝对值的意义判断其真假即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、原命题对顶角相等的逆命题为相等的角是对顶角；反例：两个直角相等但不是对顶角，故逆命题为假，故不符合题意； B、原命题两直线平行，同位角相等的逆命题为同位角相等，两直线平行；根据平行线判定定理，同位角相等则两直线平行，故逆命题为真，符合题意； C、原命题若，则的逆命题为若，则；反例：时但，故逆命题为假，故不符合题意； D、原命题若，则的逆命题为若，则；反例：，时但，故逆命题为假，故不符合题意； 故选：B． 17．（24-25八年级·甘肃庆阳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是真命题 【答案】A 【知识点】写出命题的题设与结论、写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】本题主要考查了命题与逆命题的关系，正确判定命题的真假成为解题的关键． 根据命题与逆命题的关系逐项分析即可解答． 【详解】解：A． 命题由条件和结论组成，交换条件和结论即可得到逆命题，因此命题一定有逆命题，正确，符合题意； B． 定理的逆命题不一定为真，即不一定有逆定理，例如“全等三角形对应角相等”的逆命题“对应角相等的三角形全等”不成立，故错误，不符合题意； C． 真命题的逆命题不一定是真命题．例如“对顶角相等”是真命题，其逆命题“相等的角是对顶角”为假，错误，不符合题意； D． 假命题的逆命题不一定是真命题．例如“若两个角相等，则它们是对顶角”是假命题，其逆命题“若两个角是对顶角，则它们相等”为真；但若原命题为“若今天下雨，则地湿”，其逆命题“若地湿，则今天下雨”可能为假，故错误，不符合题意． 故选A． 18．（24-25八年级·河北秦皇岛·期中）已知命题甲：全等三角形的对应角相等；命题乙：如果，那么．则下列判断正确的是（    ） A．命题甲的逆命题的题设是两个角相等 B．命题乙是假命题 C．命题甲的逆命题是真命题 D．命题乙的逆命题是假命题 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质、写出命题的逆命题、绝对值的几何意义、判断命题真假 【分析】本题考查了命题与逆命题，全等三角形的性质和判定，绝对值的意义，掌握命题与逆命题的关系是解题的关键． 【详解】命题甲：“全等三角形的对应角相等”是真命题．其逆命题为“对应角相等的三角形全等”． 逆命题的题设是“对应角相等”，而非“两个角相等”， 故选项A错误． 由于对应角相等但边不一定相等，无法保证全等（需对应边相等），故逆命题为假．选项C错误． 命题乙：例如，，时，但，故“若，则”是假命题．选项B正确． 命题乙的逆命题为：“若，则”是真命题（因时绝对值必相等），选项D错误． 故选：B． 19．（24-25八年级·福建厦门·期中）命题“如果，那么”的逆命题是 ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 如果，那么， 假 【知识点】写出命题的逆命题、判断命题真假 【分析】本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．注意，判定一个命题是假命题举反例． 先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据有理数的平方判断即可． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么，是假命题， 例如：当时，， 故答案为：如果，那么，假． 题型四 作垂线（尺规作图）（共7小题） 20．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，在中，，，，分别以A、B为圆心画弧，两弧分别交于E、F，直线交于点D，则的周长等于（   ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】A 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质．证明，推出的周长的周长，即可得结论． 【详解】解：以为圆心，两弧分别交于，直线交于点D， 是的中垂线， ， ， 的周长， 故选：A． 21．（22-23八年级上·山东滨州·期中）如图，已知，用尺规在上确定一点，使．则下列四种不同方法的作图中准确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是作一条线段等于已知线段，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质逐一分析即可． 【详解】解：A、由作法可知，则无法得出，故不能得出，故不符合题意； B、由作法可知，则无法得出，故不能得出，故不符合题意； C、由作法可知，则无法得出，故不能得出，故不符合题意； D、由作法可知 ，故能得出，故符合题意； 故选：D． 22．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，，则的周长为 ． 【答案】13 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作图：作线段垂直平分线等知识；由作图知，，垂直平分线段，则，则由即可求得周长． 【详解】解：由作图知，，垂直平分线段， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：13． 23．（24-25八年级上·贵州·期中）如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以D、B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则的度数为 ． 【答案】/38度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了尺规作图—作垂线、直角三角形两锐角互余等知识，根据“直角三角形两锐角互余”可得，结合题意可知，然后计算的度数即可． 【详解】解：，， ， 由作图可知，， ． 故答案为：． 24．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）尺规作图（保留作图痕迹）：如图，在直线上求作一点P，使． 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图及性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法（以两端点为圆心，大于线段一半长为半径画弧找交点作直线 ）和性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等 ）是解题的关键．要找直线 上使 的点 ，根据垂直平分线性质，垂直平分线上的点到线段两端距离相等，所以作 的垂直平分线与直线 的交点即为 ． 【详解】解：分别以 、 为圆心，大于 长为半径画弧（这样两弧能相交，保证作出垂直平分线 ），两弧分别相交于两点． 过这两个交点作直线（此直线为 的垂直平分线，依据是到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ），该直线与直线 的交点即为所求的 点． ∵ 所作直线是 的垂直平分线， 在该直线上 ∴ ． 25．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）如图，在中（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (1)利用尺规作图，在边上求作一点P，使得点P到的距离的长等于的长； (2)利用尺规作图，作出（1）中的线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的作法与性质，垂线的作法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据角平分线的性质，作的角平分线交于点P即可； （2）作于点D即可． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求； （2）解：如图所示，线段为所求． 平分，，， ． 26．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，．    (1)利用尺规，作边的垂直平分线交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中，连接，若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了基本作图以及垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的作法． （1）依据线段垂直平分线的作图方法，即可得到边的垂直平分线； （2）依据线段垂直平分线的性质，即可得到，进而得出的周长等于． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求；   ； （2）解：垂直平分， ， 的周长为： ． 题型五 画轴对称图形（共5小题） 27．（24-25八年级上·浙江·期中）如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．则在网格中，能画出与成轴对称的格点三角形个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】画轴对称图形 【分析】本题考查了轴对称图形，根据题意作出图形是解答本题的关键． 根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可． 【详解】解：如图所示：与成轴对称的格点三角形一共4个， 故选：B． 28．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【知识点】画轴对称图形、设计轴对称图案 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图，最多能画出6个格点三角形与成轴对称．    所以在图中与成轴对称的格点三角形可以画出6个． 故选：D． 29．（24-25八年级上·天津·期中）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为、、． (1)将沿y轴翻折，画出关于y轴对称的图形，并直接写出点的坐标 　 　； (2)直接写出点关于x轴对称的点的坐标 　 　； (3)若以D、B、C为顶点的三角形与全等，请画出所有符合条件的（ 点D与点A重合除外）． 【答案】(1)见解析， (2) (3)见解析 【知识点】画轴对称图形、格点作图题、坐标与图形变化——轴对称、全等三角形的概念 【分析】此题主要考查了轴对称变换以及全等三角形的判定与性质，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置； （2）直接利用关于x轴对称点的特点写出点的坐标即可； （3）直接利用全等三角形的判定方法得出对应点位置． 【详解】（1）解：画出关于y轴对称的图形，如图所示， 翻折后点A的对应点的坐标是：； （2）解：点关于x轴对称的点的坐标为； （3）解：所有符合条件的（ 点D与点A重合除外）如图所示． ，，． 30．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在图分别补充个小方块，在图中分别补充个小方块，分别使它们成为轴对称图形． 【答案】见解析 【知识点】画轴对称图形、设计轴对称图案 【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义解答即可，解题的关键是掌握轴对称图形的定义，轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：如图，（答案不唯一） 31．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在“”的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形．请你在图中分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，将所画三角形涂上阴影．（注：所画的四幅图不能重复） 【答案】见解析 【知识点】画轴对称图形、设计轴对称图案 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，根据轴对称图形：沿着一直线折叠后，直线两旁的部分完全重合画图即可． 【详解】解：在图中分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，将所画三角形涂上阴影如下图所示：（答案不唯一） 题型六 钟表的镜面对称（共4小题） 32．（24-25八年级上·广东珠海·期中）明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】此题考查了镜面对称的性质，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称，然后分别求出每个选项中的时间，进而求解即可． 【详解】解：A、实际时间大约为； B、实际时间大约为； C、实际时间大约为； D、实际时间大约为； ∴实际时间最接近的是． 故选：D． 33．（22-23八年级上·山东威海·期中）小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是（    ） A．21︰05 B．20︰15 C．20︰12 D．21︰50 【答案】B 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】由图分析可得题中所给的“”与“”成轴对称，这时的时间应是． 故选：B． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 34．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）在镜子中看到时钟显示的时间是，则实际时间是 ． 【答案】 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】本题主要考查镜面对称，解决此类问题应认真观察，掌握轴对称的性质是解题的关键；根据镜面对称的性质可知在平面镜内的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：实际时间是； 故答案为． 35．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，这是小张在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 【答案】 【知识点】钟表的镜面对称 【分析】本题主要考查了镜面反射的原理与性质，掌握在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒成为解题的关键． 根据镜面对称的性质求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为：． 故答案为：． 题型七 坐标与图形变化——轴对称（共3小题） 36．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查点对称的性质，解题的关键是掌握坐标关于x轴对称的变化规律，即关于x轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数．根据“在平面直角坐标系中，关于轴对称的两点的坐标横坐标相同、纵坐标互为相反数”，即可得解． 【详解】解：点 关于 轴对称的点 的坐标为 ． 故选：B． 37．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）点关于轴的对称点坐标为 ，关于轴的对称点坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】此题考查了点关于坐标轴对称的点的特征，关于轴的对称点横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于轴的对称点横坐标互为相反数，纵坐标相等．据此进行解答即可． 【详解】解：点关于轴的对称点坐标为，关于轴的对称点坐标为， 故答案为：， 38．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)将沿y轴正方向平移3个单位得到，画出，并写出点坐标； (2)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． (3)用尺规在x轴上找一点P，使（保留作图痕迹）． 【答案】(1)作图见解析，点坐标 (2)作图见解析，点的坐标 (3)见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线、画轴对称图形、平移(作图)、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查的是平移的作图，轴对称的作图，作线段的垂直平分线，坐标与图形； （1）分别确定沿y轴正方向平移3个单位的对应点，再顺次连接即可；再根据的位置可得其坐标； （2）分别确定关于y轴对称的对称点，再顺次连接即可；再根据的位置可得其坐标； （3）作线段的垂直平分线交x轴于P即可. 【详解】（1）解：如图所示，点坐标； （2）解：如图所示，点的坐标； （3）解：如图所示，点P即为所求． ； 题型八 面积问题(轴对称综合题)（共2小题） 39．（24-25八年级上·河北邢台·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标，， (1)作关于轴的对称图形； (2)将向下平移4个单位长度，作出平移后的； (3)连接， 则轴与的关系是 ； (4)求出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)轴垂直平分 (4) 【知识点】画轴对称图形、面积问题(轴对称综合题)、平移(作图)、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题主要考查了网格画图，轴对称的性质，平移的性质，求网格图形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）利用轴对称的性质即可画出图形； （2）利用平移的性质即可画出图形； （3）利用轴对称的性质即可判定位置关系； （4）通过点的坐标和平移的性质求出边的长度，根据梯形的面积公式即可求得面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 根据轴对称的性质，找出点、、的对称点、、，连接三个点即可． （2）解：如图，即为所求； 根据平移的性质，找出点、、的对称点、、，连接三个点即可． （3）解：连接，根据轴对称的性质可知，对称轴垂直平分对称点连接的线段， ∴轴垂直平分线段． （4）解：∵ ， ， ∴向下平移4个单位长度后对应点的坐标分别为， ， ∴，，， 四边形是直角梯形， ∴四边形的面积为． 40．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)请在下图中画出与关于y轴对称的； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)存在，或 【知识点】画轴对称图形、面积问题(轴对称综合题)、坐标系中的对称 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、利用网格求三角形面积、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据关于y轴对称的特征作出点、、，再顺次连接即可得解； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）设，用含x的式子表示的面积，再分两种情况解方程即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图所示： 的面积为； （3）存在，理由如下 设点P的坐标为， 由（1）得，， 则以为底边时，高为到轴的距离，即2， ， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，； 所以点P的坐标为或． 题型十 等边对等角（共6小题） 41．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图1所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，根据题意得到，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2）， ∴， ∴， 故选：A ． 42．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）在中，若，，则的外角为 度． 【答案】 【知识点】利用邻补角互补求角度、等边对等角 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，会求等腰三角形的底角是解答的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴的外角为∶ 故答案为：． 43．（24-25八年级上·福建莆田·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，．若，则的度数是 ． 【答案】/27度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．设，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 44．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在三角形中，点是上一点，且． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由得到，结合，利用三角形内角和定理求出，由得到，再利用三角形外角的性质即可求出的度数； （2）设，根据等边对等角和三角形外角的性质表示出，再利用三角形内角和定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：设， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 45．（24-25八年级上·云南丽江·期中）如图， ，，，连接，，在上，作，交的延长线于． (1)试说明：； (2)求的度数； (3)试说明：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）先证明，继而推导出，即可解答． （2）先证明，得到，再求出，，即可解答． （3）延长到，使得，连接，先证明，则．推导出，则，继而证明，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∴． 在和中， ； （2）∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）延长到，使得，连接，如图所示． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 46．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）已知：如图，点在的边上． 求作：射线，使，且点在的角平分线上． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点；③画射线；④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；⑤画射线．射线就是所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： ∵平分， ∴ ． ∵， ∴ ． ∴． ∴（ ）（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析； (2)；；内错角相等，两直线平行． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、内错角相等两直线平行、等边对等角 【分析】本题考查尺规作图，等边对等角，平行线的判定，解题的关键是正确理解作图过程． （1）根据题意依作法补全图形即可； （2）根据角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定，补全证明过程即可． 【详解】（1）解：依作法补全图形如下图： （2）证明： ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；内错角相等，两直线平行． 题型十一 三线合一（共3小题） 47．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 【答案】D 【知识点】三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得，平分，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；根据已知条件不能判断D正确． 【详解】解：∵中，，D是中点 ∴，即平分， 故A、B、C三项正确， D不正确． 故选：D． 48．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为 ． 【答案】16 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、与三角形的高有关的计算问题 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质三线合一、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点F，根据题意证明，得，即可求得答案． 【详解】解：作交的延长线于点F， 是的角平分线， ，， ， 是等腰直角三角形，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：16． 49．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）连接，利用线段垂直平分线的性质证得，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； （2）由三角形的外角的性质可得，进而得到． 【详解】（1）证明：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ， ∴， ， ． 题型十二 根据等角对等边证明与求值（共3小题） 50．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，得出，得到，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长， 故选：C． 51．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，中，点在边上，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定，由三角形外角的性质推出，得到，即可得出结论．解题的关键是掌握：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：D． 52．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是 ． 【答案】11 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，根据、分别是、的平分线，且，推出可得出，，进而得到，，则可得的周长为，据此即可求得答案． 【详解】解：∵、分别是、的平分线， ，， ∵， ，， ，， ，， ∵，， 的周长为： 故答案为：11． 题型十三 含30度角的直角三角形（共3小题） 53．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，，垂足为A，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得，再利用角的和差关系可得，从而可得，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 54．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，，点均在射线上，点均在射线上，，均为等边三角形．若，则的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的性质，含角直角三角形的性质找出规律是解题的关键． 由等边三角形的性质得出，证明，则，推出，同理，，记各等边三角形的边长依次为：，则，，从而可得出结果． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 同理，， 记各等边三角形的边长依次为：， ， ， ， ， ， ∴的边长为， 故选：C． 55．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点 E，延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征等知识点．解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征． （1）由，可知，再由，可知，，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到，再由可证明是等边三角形，最后可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， 而， ， ， 是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 题型十三 等腰三角形的性质和判定及综合（共6小题） 56．（24-25八年级上·云南丽江·期中）如图，，点为上一点，且，过点作交于点，若，，则的长是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直的定义，连接，根据垂直的定义及，得到，根据等腰三角形的定义得到，由即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 57．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，平分交于点，交的延长线于点．则下列结论：①；②；③若，则；④；⑤，其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理 【分析】由等腰直角三角形的性质结合角平分线的定义计算可得，再由三角形内角和定理即可判断①；延长、交于点，，得出，证明，得出，即可判断②；根据三角形面积公式计算即可判定③；由全等三角形的性质即可判定④；过点作于，由角平分线的性质定理可得，再由三角形面积公式即可判断⑤． 【详解】解：①在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴，故①正确； ②延长、交于点， ， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∴，故③错误； ④由②可得，， ∴，， ∴，故④正确； ⑤如图，过点作于， ， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤，共个， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 58．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，，，，延长至D，使，连接，则 ． 【答案】/105度 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、斜边的中线等于斜边的一半、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，证明出和的形状是解题关键．过点作交于点，连接，根据直角三角形斜边中线，得到，进而得到，证明出是等边三角形，再证明出是等腰直角三角形，即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作交于点，连接， ，， ， ，即点为中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为： 59．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在等腰中，，点E为上一点，点H为上一点，连接和交于点F，．连接，若平分，则 ，在此条件下，延长到点D，连接，使，此时若，，则 ． 【答案】 1 / 【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】过点作于点，过点作于点，，交的延长线于点，根据角平分线的性质，得到，证明，推出，进而证明，得到，即可得到答案；过点作交于点，过点作交延长线于点，先证明，得到，，同理可证，得到，，再结合平行线的性质，推出，从而证明，得到，然后根据已知条件求出，，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，，交的延长线于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 如图，过点作交于点，过点作交延长线于点， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 同理可证， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 60．（24-25八年级上·重庆·期中）在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G．    (1)如图1，若G为中点，，，求的长度； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)，理由见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键， （1）先证明即可证明，从而求出结论； （2）在上截取，连接，先证明，证明，再证明从而证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵G为中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）线段和之间存在的数量关系为；理由如下： 在上截取，连接，如图2，    在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 61．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）（1）情境观察： 如图①，中，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你直接写出的长 ． 【答案】（1），理由见解析（2）；理由见解析（3） 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】（1）由，得，由，得，即可证明； （2）延长交于点G，先证明，得，再证明，则； （3）作交于点L，延长交于点H，先证明，得，再证明，则． 【详解】解：（1）与全等；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）与之间的数量关系为；理由如下： 如图②，延长交于点G， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图③，作交于点L，延长交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的长是． 故答案为：． 【点睛】本题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、同角的余角相等、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 题型十四 等边三角形性质和判定及综合（共5小题） 62．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）下列命题的逆命题不成立的是（   ） A．等边对等角 B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．三个角都是的三角形是等边三角形 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定、写出命题的逆命题、两直线平行同位角相等、判断命题真假 【分析】本题考查了命题与定理的知识，能够写出命题的逆命题是解答本题的关键． 分别写出逆命题，然后判断是否成立即可． 【详解】解：A．逆命题为：等角对等边，成立，不符合题意； B．逆命题为：同位角相等，两直线平行，成立，不符合题意； C．逆命题为：相等的角为对顶角，错误，符合题意； D．逆命题为：等边三角形的三个角都是，成立，不符合题意． 故选：C． 63．（24-25八年级上·湖北·期中）如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（   ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，找出全等三角形是解题的关键．由可证，可得，故①正确；由可证，可得，可证是等边三角形，故③正确；由全等三角形的性质可得，可得，则可证不一定等于，即不一定垂直平分，故②错误；由全等三角形的性质可得，由面积公式可证，由可证，可得，故④正确． 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故①正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不一定等于， ∴不一定等于， ∴不一定等于， 又∵， ∴不一定垂直平分， 故②错误； 如图，过点C作于G，于H， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， 故④正确； 综上所述：正确的有①③④，一共3个； 故选：B． 64．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，判断的形状为________，（不用写证明）； (3)探究：当为_________度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)直角三角形 (3)125或140或110 【知识点】等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、等边对等角 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再结合即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，求出，即可得解； （3）由等边三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得，求出，，再由三角形内角和定理可得，分三种情况：当时；当时； 当时；分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：当时，的形状为直角三角形， ∵是等边三角形 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，的形状为直角三角形； 故答案为：直角三角形； （3）解：∵是等边三角形 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述，当为125或140或110度时，是等腰三角形． 故答案为：125或140或110． 65．（24-25八年级上·广东韶关·期中）在中，，点D为射线上一个动点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，过点E作，交直线于点F，连接． 【初步思考】（1）如图①，若，则按边分类：是______三角形； 【深入探究】（2）若． ①如图②，当点D在线段上移动时，判断的形状并证明； 【拓展延伸】 ②当点D在线段的延长线上移动时，是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并说明理由． 【答案】（1）等边（2）①为等腰三角形，证明见解析；②为等腰三角形，画图和证明见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据题意推出为等边三角形，结合平行线的性质得出．然后通过求证，可得出，即可推出为等边三角形； （2）①由（1）同理可证，即得出．结合等腰三角形和平行线的性质即可证，即说明为等腰三角形；②根据题意可直接画出图形，由（1）同理可证，即得出，进而得出．同理结合等腰三角形和平行线的性质即可证，即说明为等腰三角形． 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边； （2）①为等腰三角形， 证明：由（1）同理可证， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ②为等腰三角形，作图如下： 证明：由（1）同理可证， ∴， ∴，即． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等角的补角相等等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． 66．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，且有，，，连接，． (1)求证：是等边三角形； (2)时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 (3)或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，再由，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形，再由圆周角求出，继而确定为等腰直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， 是的等边三角形； （2）解：， ， 是等边三角形， ， ， 是直角三角形， ， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形； （3）解：若，则， 则，， ∴， ①当时，则， ∴， ∴； ②当时，则， ∴， ∴； ③当时，则， ∴， ． 综上：当为或或，是等腰三角形． 题型十五 最值问题（共5小题） 67．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是等边三角形性质与判定、全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线性质，连接，证明得出，作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，的周长最小，再证明是等边三角形，得出垂直平分，进而求出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，即的周长最小， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 故选：A． 68．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，于点D，，E、F分别是线段、上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形三边关系的应用，垂线段的性质．作E关于的对称点M，连接，，过B作于N，由轴对称得，由三角形三边关系可得，由垂线段最短可得，进而可得的最小值为的长度，因此利用等面积法求出即可． 【详解】解：作E关于的对称点M，连接，，过B作于N， 由轴对称得， ， 由垂线段最短可得， 的最小值为的长度． ， ， 的最小值为， 故答案为：． 69．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，等边中，于，，点P、Q分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了轴对称性质、等边三角形的判定和性质. 先由等边三角形的性质求出，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值，求得，再证是等边三角形，得到即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 70．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出关于x轴对称的图形； (2)在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是_____，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为_____； (3)在y轴上确定一点P，使的周长最小．（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹） 【答案】(1)见详解 (2)，； (3)见详解 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题． （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点，，，再连接即可． （2）利用轴对称的性质求解问题即可． （3）连接交轴于点，连接，点即为所求， 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线，即为轴，此时点关于这条直线的对称点的坐标为． 故答案为：轴，； （3）解：如图，点即为所求． 71．（23-24八年级上·重庆铜梁·期中）已知：平面直角坐标系中，如图1，点，轴于点B，并且满足． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)如图2，若点C为线段的中点，连并作，且，连交x轴于点E，求证: ． (3)如图3，点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以为一边作交y轴负半轴于点N，连，将沿直线翻折，点M的对应点为，点P是x轴上的一动点，当且的周长最小时，请直接写出的值. 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、面积问题(轴对称综合题) 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性可求出a，b的值，得到点A的坐标，从而可判断的形状； （2）由点C是的中点，可得，过点D作轴于点F，根据同角的余角相等可得，又有，，从而证得，因此，，，又，，证得，从而得到，得证； （3）由可得点点的坐标为，作点关于x轴的对称点，则的坐标为，，连接，交x轴于点，此时的周长最小．过点作轴于点Q，则，，，又，因此有，从而求得，．由翻折可得，因此，又，根据同角的余角相等得到，又， ，证得，因此，．所以求得． 【详解】（1）∵，，且， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标， ∵轴于点B， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形． （2） ∵，点C是的中点， ∴， 过点D作轴于点F， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴在和中 ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． （3） ∵， ∴点的坐标为， 作点关于x轴的对称点，则的坐标为，， 连接，交x轴于点，则，由于为定值，此时的周长最小． 过点作轴于点Q， ∴，， ∵， 又， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴由翻折可得， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵，由翻折有， ∴在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，最短路径问题，三角形的面积，综合运用各个知识，在第（3）题中利用面积求出的长是解题的关键． 题型十六 折叠问题（共9小题） 72．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线、角平分线、高 B．高、中线、角平分线 C．角平分线、高、中线 D．角平分线、中线、高 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度、折叠问题、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查三角形的三线，折叠的性质，根据折叠的性质，得到图①中，图②中，图③中，结合角平分线，中线和高线的定义，进行判断即可． 【详解】解：由图可知：图①中，故是的角平分线； 图②中，故，故是的高线； 图③中，故是的中线； 故选C． 73．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在长方形中，，分别是，边上的点，连接，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与边交于点．若四边形的周长是，，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】折叠问题、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，由折叠可知，，，，，进而可知，再结合四边形的周长是，，即可求解． 【详解】解：由折叠可知，，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的周长是，， ∴，则， 则， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：A． 74．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如图，在中，，，沿过点B的直线折叠三角形，使顶点C落在边上的点E处，折痕为，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】折叠问题、全等三角形的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】此题考查了折叠的性质，全等三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 根据折叠的性质得到，，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，连接 ∵沿过点B的直线折叠三角形，使顶点C落在边上的点E处 ∴，，故A，B正确； ∴ ∵ ∴故C正确； ∴ ∴ ∴，故D错误． 故选：D． 75．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，长方形沿折叠，使D点落在边上的F点处，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】折叠问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查折叠问题，直角三角形的性质，关键是由折叠的性质得到． 由长方形的性质得到，求出，由折叠的性质得到，则，得到． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到：， ∴， ∴． 故选：D． 76．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】折叠问题、三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质 【分析】本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题关键．由题意可得，由折叠可知，又，所以，得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 77．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，是射线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时，则 ． 【答案】或或 【知识点】折叠问题、三角形内角和定理的应用、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了折叠中的角度问题，直角三角形的性质，垂直的定义，掌握折叠的性质和进行分类讨论是解题的关键． 分三种情况进行讨论，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：如图，当时，, 由折叠性质，得, , ； 如图，当时， 由折叠性质，得， ∴； 如图，当时， 由折叠性质，得, ； 当时与时相同， 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 78．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，把一张长方形的纸折叠后，、两点分别落在、，若得，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】折叠问题、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了折叠的性质，邻补角，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．根据折叠的性质可得，再根据，可得出的度数． 【详解】解：根据折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 79．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】折叠问题、根据等角对等边求边长 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 80．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）数学课上，张老师根据习题改编了一个题目：如图1，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图2，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出： ． 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图3，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】（1）9；（2），证明见解析 【知识点】折叠问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； （2）在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证． 【详解】解：（1）如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处， 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； （2）， 证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，三角形外角的定义及性质，等腰三角形的判定，折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键. $专题03 轴对称 题型1 轴对称图形的识别（常考点） 题型9 等边对等角（重点） 题型2 线段垂直平分线的性质与判定（重点） 题型10 三线合一（重点） 题型3 命题与逆命题 题型11 根据等角对等边证明与求值（重点） 题型4 作垂线（尺规作图）（常考点） 题型12 含30度角的直角三角形（重点） 题型5 画轴对称图形 题型13 等腰三角形的性质和判定及综合（难点） 题型6 钟表的镜面对称 题型14 等边三角形性质和判定及综合（难点） 题型7 坐标与图形变化——轴对称（重点） 题型15 最值问题（难点） 题型8 面积问题(轴对称综合题)（重点） 题型16 折叠问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 轴对称图形的识别（共3小题） 1．（24-25八年级上·广东汕头·期中）下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）下列交通标志图案是轴对称图形的是（） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型二 线段垂直平分线的性质与判定（共11小题） 4．（23-24八年级上·四川广安·期中）如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 5．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）如图，中，边的垂直平分线分别交于点，，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，是的垂直平分线， 的周长为13，的周长为（　　） A．16 B．13 C．19 D．23 7．（23-24八年级上·湖南怀化·期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（      ） ①；②；③平分；④四边形的面积． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，的垂直平分线交于点，，的周长是12， 的周长是 ． 9．（24-25八年级·福建漳州·期中）如图，在中，边的垂直平分线交边于点D，连接，，，的度数为 ． 10．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，是线段的垂直平分线．已知，则 ．    11．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 12．（22-23八年级上·全国·期中）如图，中． (1)作边，的垂直平分线分别交于，两点，垂足分别是，．（保留痕迹，不写作法） (2)连接、，若，求的周长． 13．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中 (1)使用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的周长． 14．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）在中，，，若点在的平分线所在的直线上． (1)如图，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且． 求证：； 求证：点在的垂直平分线上； ___________； (2)如图，当点在线段上时，若，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，则___________； (3)如图，过点的直线，若，，点在内部，且点到三边的距离相等，则点到直线的距离是___________． 题型三 命题与逆命题（共5小题） 15．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）下列4个命题①全等三角形的对应角相等②全等三角形的面积相等③两个正实数的积是正实数④是25的平方根，它们的逆命题是真命题的有（　　）个 A．0 B．1 C．2 D．3 16．（23-24八年级上·广西桂林·期中）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．若，则 D．若，则 17．（24-25八年级·甘肃庆阳·期中）下列说法中正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是真命题 18．（24-25八年级·河北秦皇岛·期中）已知命题甲：全等三角形的对应角相等；命题乙：如果，那么．则下列判断正确的是（    ） A．命题甲的逆命题的题设是两个角相等 B．命题乙是假命题 C．命题甲的逆命题是真命题 D．命题乙的逆命题是假命题 19．（24-25八年级·福建厦门·期中）命题“如果，那么”的逆命题是 ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 题型四 作垂线（尺规作图）（共7小题） 20．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图，在中，，，，分别以A、B为圆心画弧，两弧分别交于E、F，直线交于点D，则的周长等于（   ） A．21 B．24 C．27 D．30 21．（22-23八年级上·山东滨州·期中）如图，已知，用尺规在上确定一点，使．则下列四种不同方法的作图中准确的是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若，，则的周长为 ． 23．（24-25八年级上·贵州·期中）如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以D、B为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则的度数为 ． 24．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）尺规作图（保留作图痕迹）：如图，在直线上求作一点P，使． 25．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）如图，在中（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (1)利用尺规作图，在边上求作一点P，使得点P到的距离的长等于的长； (2)利用尺规作图，作出（1）中的线段． 26．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，．    (1)利用尺规，作边的垂直平分线交于点，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中，连接，若，，求的周长． 题型五 画轴对称图形（共5小题） 27．（24-25八年级上·浙江·期中）如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．则在网格中，能画出与成轴对称的格点三角形个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 28．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，在图中与成轴对称的格点三角形可以画出（   ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 29．（24-25八年级上·天津·期中）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为、、． (1)将沿y轴翻折，画出关于y轴对称的图形，并直接写出点的坐标 　 　； (2)直接写出点关于x轴对称的点的坐标 　 　； (3)若以D、B、C为顶点的三角形与全等，请画出所有符合条件的（ 点D与点A重合除外）． 30．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在图分别补充个小方块，在图中分别补充个小方块，分别使它们成为轴对称图形． 31．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在“”的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形．请你在图中分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，将所画三角形涂上阴影．（注：所画的四幅图不能重复） 题型六 钟表的镜面对称（共4小题） 32．（24-25八年级上·广东珠海·期中）明明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A． B． C． D． 33．（22-23八年级上·山东威海·期中）小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间如图所示，此刻的实际时间应该是（    ） A．21︰05 B．20︰15 C．20︰12 D．21︰50 34．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）在镜子中看到时钟显示的时间是，则实际时间是 ． 35．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，这是小张在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是 ． 题型七 坐标与图形变化——轴对称（共3小题） 36．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）点关于轴的对称点坐标为 ，关于轴的对称点坐标为 ． 38．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期中）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上． (1)将沿y轴正方向平移3个单位得到，画出，并写出点坐标； (2)画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． (3)用尺规在x轴上找一点P，使（保留作图痕迹）． 题型八 面积问题(轴对称综合题)（共2小题） 39．（24-25八年级上·河北邢台·期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标，， (1)作关于轴的对称图形； (2)将向下平移4个单位长度，作出平移后的； (3)连接， 则轴与的关系是 ； (4)求出四边形的面积． 40．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)请在下图中画出与关于y轴对称的； (2)求的面积； (3)在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 题型十 等边对等角（共6小题） 41．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图1所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 42．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）在中，若，，则的外角为 度． 43．（24-25八年级上·福建莆田·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，．若，则的度数是 ． 44．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在三角形中，点是上一点，且． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 45．（24-25八年级上·云南丽江·期中）如图， ，，，连接，，在上，作，交的延长线于． (1)试说明：； (2)求的度数； (3)试说明：． 46．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）已知：如图，点在的边上． 求作：射线，使，且点在的角平分线上． 作法：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，交于点；③画射线；④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；⑤画射线．射线就是所求作的射线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明： ∵平分， ∴ ． ∵， ∴ ． ∴． ∴（ ）（填推理的依据）． 题型十一 三线合一（共3小题） 47．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（   ）    A． B．平分 C． D． 48．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为 ． 49．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图：在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 题型十二 根据等角对等边证明与求值（共3小题） 50．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 51．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，中，点在边上，若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 52．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）如图，在中，，，、分别是、的平分线，经过点，且，分别交、于点、，则的周长是 ． 题型十三 含30度角的直角三角形（共3小题） 53．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，，，垂足为A，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 54．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，，点均在射线上，点均在射线上，，均为等边三角形．若，则的边长为（   ） A． B． C． D． 55．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图，在中，，D是上的一点，过点D作于点 E，延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 题型十三 等腰三角形的性质和判定及综合（共6小题） 56．（24-25八年级上·云南丽江·期中）如图，，点为上一点，且，过点作交于点，若，，则的长是(   ) A． B． C． D． 57．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，，，平分交于点，交的延长线于点．则下列结论：①；②；③若，则；④；⑤，其中正确的结论有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 58．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，，，，延长至D，使，连接，则 ． 59．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在等腰中，，点E为上一点，点H为上一点，连接和交于点F，．连接，若平分，则 ，在此条件下，延长到点D，连接，使，此时若，，则 ． 60．（24-25八年级上·重庆·期中）在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G．    (1)如图1，若G为中点，，，求的长度； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 61．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）（1）情境观察： 如图①，中，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你直接写出的长 ． 题型十四 等边三角形性质和判定及综合（共5小题） 62．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）下列命题的逆命题不成立的是（   ） A．等边对等角 B．两直线平行，同位角相等 C．对顶角相等 D．三个角都是的三角形是等边三角形 63．（24-25八年级上·湖北·期中）如图，点C是线段上一点，、是等边三角形．与交于点E，与交于点F，与交于点D．下列结论：①；②；③是等边三角形；④平分．其中正确的有（   ）个 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 64．（24-25八年级上·河南信阳·期中）如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，判断的形状为________，（不用写证明）； (3)探究：当为_________度时，是等腰三角形． 65．（24-25八年级上·广东韶关·期中）在中，，点D为射线上一个动点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，，过点E作，交直线于点F，连接． 【初步思考】（1）如图①，若，则按边分类：是______三角形； 【深入探究】（2）若． ①如图②，当点D在线段上移动时，判断的形状并证明； 【拓展延伸】 ②当点D在线段的延长线上移动时，是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并说明理由． 66．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，点是等边内一点，是外的一点，且有，，，连接，． (1)求证：是等边三角形； (2)时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 题型十五 最值问题（共5小题） 67．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（    ） A． B． C． D． 68．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，于点D，，E、F分别是线段、上的动点，则的最小值为 ． 69．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，等边中，于，，点P、Q分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 70．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在图中画出关于x轴对称的图形； (2)在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是_____，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为_____； (3)在y轴上确定一点P，使的周长最小．（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹） 71．（23-24八年级上·重庆铜梁·期中）已知：平面直角坐标系中，如图1，点，轴于点B，并且满足． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)如图2，若点C为线段的中点，连并作，且，连交x轴于点E，求证: ． (3)如图3，点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以为一边作交y轴负半轴于点N，连，将沿直线翻折，点M的对应点为，点P是x轴上的一动点，当且的周长最小时，请直接写出的值. 题型十六 折叠问题（共9小题） 72．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线、角平分线、高 B．高、中线、角平分线 C．角平分线、高、中线 D．角平分线、中线、高 73．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在长方形中，，分别是，边上的点，连接，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在点处，与边交于点．若四边形的周长是，，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 74．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如图，在中，，，沿过点B的直线折叠三角形，使顶点C落在边上的点E处，折痕为，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 75．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，长方形沿折叠，使D点落在边上的F点处，，那么等于（    ） A． B． C． D． 76．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点，若，则的度数为 ． 77．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，是射线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时，则 ． 78．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，把一张长方形的纸折叠后，、两点分别落在、，若得，则的度数为 ． 79．（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 80．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）数学课上，张老师根据习题改编了一个题目：如图1，是的高，，若，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图2，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出： ． 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （2）如图3，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明. $