1.3正方形的性质与判定 同步训练题 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.3正方形的性质与判定 同步训练题 一．选择题 1．若一个正方形的对角线长为，则它的周长为（　　） A．2 B． C．4 D． 2．如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB＝9，CE＝3，则DH的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 3．如图，在正方形ABCD外侧，以AD为一边向上作等边三角形ADE，连接BE，则∠ABE的度数是（　　） A．5° B．10° C．15° D．30° 4．如图，在Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，以AD为边作正方ADEF．若BC＝12，则正方形ADEF的面积为（　　） A．6 B．144 C．36 D．12 5．如图，边长为4的正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，且BE＝BC，点P在EC上．PM⊥BD于点M，PN⊥BC于点N，则PM+PN的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 6．如图，在正方形ABCD中，向内作四个全等的三角形，其中AE＝BF＝CG＝DH．以DG，CG为邻边作▱CGDP．若点B，F，G在同一直线上，∠GCP＝45°，点P到CD的距离为1，则图中阴影面积为（　　） A．6 B．9 C．15 D．18 7．如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得∠A＝120°，对角线AC＝8cm，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接BE，则图3中△BCE的面积为（　　） A．32cm2 B． C．16cm2 D． 8．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离是；③EB⊥ED；④S正方形ABCD＝4．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．①③④ D．①②③ 二．填空题 9．如图，以Rt△ABC的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝60，则S1的值为 　 　 ． 10．已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE＝MN，∠MCE＝35°，求∠ANM的度数　 　 ． 11．如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是边AB和CD的中点，P是线段EF上一点，连接AP，DP，过点D作线段AP的垂线，交直线BC于点Q，当△APD是以AD为腰的等腰三角形时，线段CQ的长为 　 　 ． 12．边长分别为a，b的甲、乙两个正方形按如图所示的两种方式放置．记图①中的阴影部分面积为S1，图②中的阴影部分面积为S2，若S1＝S2，则的值是 　 　 ． 13．如图，E为正方形ABCD内一点，AE＝AB，连接BE，过点A作AF⊥BE交直线DE于点F，则∠BEF＝ 　 　 ．连接CF，若CF＝5，则DE＝ 　 　 ． 三．解答题 14．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上的一个动点，连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数． 15．如图，E是正方形ABCD外一点，AE＝AD，∠EAD的平分线交CB于点P，连接EB并延长交直线AP于点F，连接CF． （1）如图1，若∠BAP＝30°，BC＝4，求BF的长； （2）如图2，猜想线段AF与CF是否垂直，并证明你的结论． 16．如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，且EF⊥BD，交DC于点F． （1）求证：DE＝EF； （2）若BC＝BE，求证：DE＝CF． 17．在正方形ABCD中： （1）如图①，如果点E，F分别在BC，CD上，且AE⊥BF，垂足为M，猜想线段AE与BF的数量关系：　 　 ．（直接写出结论） （2）如图②，如果点E，F，G分别在BC，CD，DA上，且GE⊥BF，垂足为M，那么GE与BF相等吗？证明你的结论． 18．如图，在正方形ABCD中，点P是对角线上BD的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F． （1）证明：PC＝PE； （2）如图，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由． 19．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线AB，AC为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC相交于点G． 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： （1）求证：四边形AEGF是正方形． （2）若AD＝6，BD＝2，则DC＝　 　 ． 20．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F是BC上的两点，连接OE，分别过点B，F作OE的垂线BH，FM，垂足分别为H，M． （1）若∠COE＝22.5°，求证：△OBH≌△EBH； （2）若OH＝FM，求证：FE＝CE； （3）若F是BC的中点，探究线段BH，OH，FM之间的数量关系，并证明你的结论． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C C B C C C 二．填空题 9．30． 10．55°． 11．或． 12．﹣2． 13．45°；． 三．解答题 14．解：∵在正方形ABCD中，CD∥AB，CD＝BC，∠ABC＝90°，∠DCA＝BCA＝45°， ∴∠AFD＝∠FDC， 在△EDC和△EBC中， ， ∴△EDC≌△EBC（SAS）， ∴∠AFD＝∠FDC＝∠CBE， 分两种情况： ①如图1，当F在AB延长线上时， ∵∠EBF为钝角， ∴只能是BE＝BF，设∠BEF＝∠BFE＝x°， ∴∠CBE＝∠BFE＝x°，∠ABE＝x+x＝2x， ∴∠CBE+∠ABE+∠CBF＝180°， ∴90+x+x+x＝180， 整理得，3x＝90， 解得：x＝30， ∴∠EFB＝30°； ②如图2，当F在线段AB上时， ∵∠EFB为钝角， ∴只能是FE＝FB，设∠BEF＝∠EBF＝x°，则有∠AFD＝2x°， ∵△EDC≌△EBC， ∴∠AFD＝∠FDC＝∠CBE＝2x， ∵∠FBE+∠CBE＝90°， ∴x+2x＝90， 整理得，3x＝90， 解得x＝30， ∴∠EFB＝180°﹣2×30°＝120°． 综上：∠EFB＝30°或120°． 15．解：（1）过点B作BG⊥AF于点G，如图1所示： ∵四边形ABCD是正方形，BC＝4， ∴AB＝BC＝AD＝4，∠BAD＝∠ABC＝90°， ∵∠BAP＝30°， ∴∠DAP＝∠BAD﹣∠BAP＝60°， 在Rt△ABG中，AB＝4，∠BAP＝30°， ∴BGAB＝2， ∵BP是∠EAD的平分线， ∴∠EAP＝∠DAP＝60°， ∴∠EAB＝∠EAP﹣∠BAP＝30°， ∵AE＝AD， ∴AE＝AB， ∴△AEB是等腰三角形， ∴∠E＝∠ABE（180°﹣∠EAB）（180°﹣30°）＝75°； 在△AEF中，∠F＝180°﹣（∠EAP+∠E）＝180°﹣（60°+75°）＝45°， ∵BG⊥AF， ∴△BFG是等腰直角三角形， ∴BG＝FG＝2， 由勾股定理得：BF； （2）线段AF与CF垂直，理由如下： 过点A作AN⊥EF于点N，过点C作CM⊥EF交EF的延长线于点M，如图2所示： ∴∠ANB＝∠M＝90°， 设∠BAP＝α， ∴∠DAP＝∠BAD﹣∠BAP＝90°﹣α， ∵BP是∠EAD的平分线， ∴∠EAP＝∠DAP＝90°﹣α， ∴∠EAB＝∠EAP﹣∠BAP＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α， ∵AE＝AD， ∴AE＝AB， ∴△AEB是等腰三角形， ∴∠E＝∠ABE（180°﹣∠EAB）（180°﹣90°+2α）＝45°+α， ∴在△AEF中，∠AFE＝180°﹣（∠EAP+∠E）＝180°﹣（90°﹣α+45°+α）＝45°， ∵AN⊥EF， ∴△ANF是等腰直角三角形， ∴AN＝NF＝BN+BF， ∵∠ANB＝∠ABC＝90°， ∴∠BAN+∠ABN＝90°，∠CBM+∠ABN＝90°， ∴∠BAN＝∠CBM， 在△BAN和△CBM中， ， ∴△BAN≌△CBM（AAS）， ∴AN＝BM＝BF+MF，BN＝CM， ∴BN+BF＝BF+MF， ∴BN＝MF＝CM， ∴△MCF是等腰直角三角形， ∴∠MFC＝45°， ∴∠AFC＝180°﹣（∠MFC+∠AFE）＝180°﹣（45°+45°）＝90°， ∴AF⊥CF． 即线段AF与CF垂直． 16．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴∠C＝90°，BC＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB＝45°， ∵EF⊥BD， ∴∠DEF＝∠BEF＝90°， ∴∠DFE＝∠FDE＝45°， ∴DE＝EF； （2）连接BF， ∵∠BEF＝∠C＝90°， ∴在Rt△BEF和Rt△BCF中， ， ∴Rt△BEF≌Rt△BCF（HL）， ∴CF＝EF， 由（1）得DE＝EF， ∴DE＝CF． 17．解：（1）线段AE与BF的数量关系是：AE＝BF，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°， ∴∠ABM+∠CBF＝90°， ∵AE⊥BF， ∴∠AMB＝90°， 在Rt△ABM中，∠BAE+∠ABM＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， 在△BAE和△CBF中， ， ∴△BAE≌△CBF（ASA）， ∴AE＝BF； （2）GE与BF相等，证明如下： 过点A作AN⊥BF交BC于点N，如图所示： 同（1）可证明：△BAN≌△CBF（ASA）， ∴AN＝BF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∵AN⊥BF，GE⊥BF， ∴AN∥GE， ∴四边形ANEG是平行四边形， ∴GE＝AN， ∴GE＝BF． 18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°， 在△ADP和△CDP中， ， ∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴PA＝PC， ∵PA＝PE， ∴PC＝PE； （2）解：线段AP与线段CE的数量关系是：AP＝CE，理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，∠ADC＝∠ABC＝120°， ∴∠FDE＝180﹣∠ADC＝60°， 在△ADP和△CDP中， ， ∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴PA＝PC，∠PAD＝∠PCD， ∵PA＝PE， ∴∠PAD＝∠PED，PC＝PE， ∴∠PED＝∠PCD， 在△DEF中，∠FDE+∠PED+∠DFE＝180°， 在△PCF中，∠FPC+∠PCD+∠PFC＝180°， ∴∠PED＝∠PCD，∠DFE＝∠PFC， ∴∠FPC＝∠FDE＝60°， 又∵PC＝PE， ∴△PEC是等边三角形， ∴CE＝PE＝PA． 19．解：（1）根据题意得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴AD＝AE，∠DAB＝∠EAB，AD＝AF，∠DAC＝∠FAC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠EAF＝∠DAB+∠DAC+∠EAB+∠FAC＝∠BAC+∠BAC＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°， ∴四边形AEGF是矩形， ∵AD＝AE，AD＝AF， ∴AE＝AF， ∴矩形AEGF是正方形； （2）设CD＝x，则BC＝x+2 ∵AD＝6，BD＝2，四边形AEGF是正方形， ∴EG＝FG＝AD＝6，∠BGC＝90°， ∵△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴BD＝BE＝2，CD＝CF＝x， ∴BG＝6﹣2＝4，CG＝6﹣x， 在Rt△BGC中，根据勾股定理得，BG2+CG2＝BC2， ∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2， 解得x＝3， ∴CD＝3， 故答案为：3． 20．（1）证明：∵正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， ∴∠BOC＝90°，∠OBE＝45°， ∵∠COE＝22.5° ∴∠BOH＝67.5°， ∵∠BHO＝90°， ∴∠OBH＝22.5°，∠EBH＝22.5°， ∴∠OBH＝∠EBH， ∵， ∴△OBH≌△EBH（ASA）． （2）证明：过点C作CG⊥OE，交OE的延长线于点G， ∵正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， ∴∠BOC＝90°，OB＝CO， ∴∠BOH+∠COE＝90°， ∵∠BHO＝90°， ∴∠BOH+∠OBH＝90°， ∴∠COG＝∠OBH， ∵， ∴△OBH≌△COG（AAS）， ∴OH＝CG， ∵OH＝FM， ∴FM＝CG， ∵， ∴△FEM≌△CEG（AAS）， ∴FE＝CE． （3）解：BH﹣OH＝2FM．理由如下： 线段BH，OH，FM之间的数量关系为BH﹣OH＝2FM．理由如下：过点C作CG⊥OE，交OE的延长线于点G， ∵正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， ∴∠BOC＝90°，OB＝CO， ∴∠BOH+∠COE＝90°， ∵∠BHO＝90°， ∴∠BOH+∠OBH＝90°， ∴∠COG＝∠OBH， ∵， ∴△OBH≌△COG（AAS）， ∴OH＝CG， 连接GF，并延长GF，交BH于点N， ∵BH⊥HG，CG⊥HG，BF＝CF， ∴BH∥CG， ∴∠NBF＝∠GCF， ∵， ∴△BFN≌△CFG（ASA）， ∴FN＝FG，BN＝CG＝OH， 连接FH， 则FH＝FG， ∵FM⊥HG， ∴MH＝MG ∴， ∵NH＝BH﹣BN＝BH﹣CG＝BH﹣OH， ∴， 即BH﹣OH＝2FM． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/9/19 16:24:36；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $