专项四长方体和正方体的体积的计算及应用（知识点+专项练）—2025-2026学年六年级上册数学期中期末备考专项训练（苏教版）

2025-2026学年六年级上册数学期中期末备考专项训练 专项四长方体和正方体的体积的计算及应用（知识点+专项练） 1、长方体体积计算公式。 长方体的体积=长*宽*高。长方体体积公式用字母表示为V=abh，a，b，h分别表示长方体的长、宽、高，V表示长方体的体积。 2、正方体的体积公式。 正方体的体积=棱长*棱长*棱长，用字母公式表示为V=a3。长方体（正方体）的体积=底面积*高，用字母表示为V=sh（s表示底面积，h表示高）。 长方体和正方体提及的统一公示，不仅在长方体和正方体中可以运用，还在相应的规则立体图形中也适用。 3、运用体积公式解决实际问题。 已知长方体（正方体）物体的长、宽、高（棱长）时，可直接利用公式计算物体的体积。 4、体积和容积的区别与联系。 物体容积的计算方法与体积的计算方法相同，知道长、宽、高或棱长，即可求出物体的容积。 一、填空题 1．一个长方体的玻璃鱼缸，长60厘米，宽5分米，高4分米，这个玻璃鱼缸的体积是( )。 2．小明把一个长方体药盒撕开了，如图是撕开后剩余的部分。这个药盒的体积是( )立方厘米。 3．一个长方体长25厘米，宽16厘米，高9厘米，它的占地面积最大是( )平方厘米，最小是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 4．一个长方体玻璃容器，从里面量长5分米，宽3分米，高7分米。向这个容器注水，容器中的水所形成的长方体第一次出现一组相对的面是正方形时，水的体积是( )立方分米；当容器中的水所形成的长方体第二次出现一组相对的面是正方形时，水接触长方体玻璃容器的面积是( )平方分米。 5．将一个棱长是10厘米的正方体容器装满水，再把水全部倒入长20厘米，宽10厘米的长方体容器。此时长方体容器水深( )厘米。 6．一根铁丝长36厘米，做成正方体框架，这个正方体的棱长是( )厘米，如果在框架外糊上一层纸，至少需要( )平方厘米的纸，做成的纸盒所占的空间是( )立方厘米。 7．用一根长为96厘米的铁丝做成一个最大的正方体，并在表面糊上彩纸，糊彩纸的面积是( )平方厘米，做成的正方体的体积是( )立方厘米。 8．如图：封闭玻璃容器里装有液体（单位：，竖放时液体刚好成正方体的形状，横放时，液体高( )。 二、选择题 9．如图，把一些练习本摞成一个长方体，再把这摞练习本均匀地斜放，前后比较，（    ）。 A．体积变大，棱长总和不变 B．体积变小，棱长总和不变 C．体积不变，棱长总和变大 D．体积不变，棱长总和变小 10．如图是一个透明的密封容器，水深6厘米。如果把它的右面作为底面平放在桌上，这时水的高度是（    ）厘米。 A．4 B．8 C．6 D．10 11．如图，在一个长方体玻璃容器里摆了若干个棱长为1厘米的小正方体，这个玻璃容器的容积是（    ）立方厘米。 A．72 B．75 C．90 D．108 12．一个长12分米，宽9分米，高1米的长方体盒子，最多能放（    ）个棱长为3分米的正方体木块。 A．28 B．32 C．36 D．40 13．一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．3 B．6 C．9 D．27 14．沛县中学百年校庆活动中，为嘉宾准备了棱长为2分米的正方体礼品盒，要把这些礼品盒放在一个长8分米、宽6分米、高5分米的长方体纸箱中，一个纸箱最多可以放（    ）个礼品盒。 A．30 B．24 C．25 D．26 15．王浩用几个棱长为2厘米的正方体木块摆了一个物体。下图是从不同方向看到的图形，这个物体的体积是（    ）立方厘米。 A．24 B．32 C．40 D．48 16．用若干个边长2分米的小正方体搭成一个模型，从正面看是，从上面看是，从右面看是，这个模型的体积是（    ）立方分米。 A．6 B．7 C．48 D．56 三、计算题 17．计算下面图形的表面积和体积。    四、解答题 18．如图，在长20厘米，宽7厘米的长方形的四角各剪去四个边长1厘米的小正方形，做一个无盖的纸盒，这个纸盒的体积是多少？ 19．有一个长10厘米，宽5厘米，高8厘米的长方体容器中有3厘米深的水，将一个棱长2厘米的正方体铁块放入长方体容器中，水面上升多少厘米？ 20．有一个花坛，高0.8米，底面是边长1.3米的正方形。四周用砖砌成，厚度是0.3米，中间填满泥土。花坛里大约有多少立方米泥土？ 21．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是6分米、5分米、4分米，那么正方体的棱长是多少分米？它们的体积相等吗？ 22．家具厂购买了一种如图所示的方木。 如果制作一套课桌椅需1.3立方米的木料，那么8根这样的方木最多可制作多少套课桌椅？ 23．一个棱长20厘来的正方体璃缸，里面装满水，现在将它里面的水全部倒入一个长20厘米，宽16厘米，深28厘米的空璃缸中，这时水深多少厘米？（玻璃缸的厚度忽略不计） 24．一个正方体的饼干盒，棱长18厘米。 （1）如果在它的侧面贴上一圈商标纸，这张商标纸有多大？ （2）这个盒子占多大的空间？ 25．下面的长方体容器中盛有水，水面高5厘米。将一个棱长是6厘米的正方体铁块完全浸没在容器中的水里，水会溢出吗？请计算说明。 参考答案 1．120立方分米 【分析】长方体体积的计算公式为V＝a×b×h（其中V表示体积，a表示长方体的长，b表示长方体的宽，h表示长方体的高）。已知玻璃鱼缸长60厘米，宽5分米，高4分米，1分米＝10厘米，可得60厘米为60÷10＝6分米。然后把数据代入公式计算即可解答。 【解答】1分米＝10厘米 60÷10＝6（分米） 6×5×4＝120（立方分米） 这个玻璃鱼缸的体积是120立方分米（dm3）或120000立方厘米（cm3）。 2．240 【分析】由图可知，长方体药盒长8厘米、宽3厘米、高10厘米，根据“长方体体积＝长×宽×高”计算出这个药盒的体积。 【解答】8×3×10 ＝24×10 ＝240（立方厘米） 所以这个药盒的体积是240立方厘米。 3．400 144 3600 【分析】长方体共有6个面，每个面都可能是底面，分别为前面、后面、左面、右面、上面和下面，其中前面和后面的面积相同，左面和右面的面积相同，上面和下面的面积相同，根据长方形的面积＝长×宽，分别计算出前面、左面和上面的面积，再进行比较即可求出占地面积的最大值、最小值； 根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【解答】25×16＝400（平方厘米） 25×9＝225（平方厘米） 16×9＝144（平方厘米） 400＞225＞144 25×16×9 ＝400×9 ＝3600（立方厘米） 所以它的占地面积最大是400平方厘米，最小是144平方厘米，体积是3600立方厘米。 4．45 95 【分析】向这个容器注水，容器里的水形成的长方体是长5分米，宽3分米，高是在变化的。 如果出现一组相对的面是正方形，即高等于宽，此时高变成3分米，再根据长方体的体积＝长×宽×高，即可计算出此时水的体积； 当第二次出现一组相对的面是正方形时，即高等于长，此时高变成5分米。计算水接触长方体玻璃容器的面积也就是求水形成的长方体5个面的表面积之和（前面、后面、左面、右面、下面），其中前面面积＝后面面积＝长×高；左面面积＝右面面积＝宽×高；下面面积＝长×宽。据此解题即可。 【解答】容器中的水所形成的长方体第一次出现一组相对的面是正方形时，高为3分米，此时水的体积： 5×3×3 ＝15×3 ＝45（立方分米） 当容器中的水所形成的长方体第二次出现一组相对的面是正方形时，高为5分米，水接触长方体玻璃容器的面积： 5×3＋5×5×2＋5×3×2 ＝15＋50＋30 ＝95（平方分米） 5．5 【分析】根据“正方体体积表示棱长）”计算出棱长是10厘米的正方体容器装满水后水的体积。注意水的体积不发生改变，再根据“长方体体积表示底面的长，表示底面的宽，表示高）”，即用正方体容器水的体积除以长方体底面积即可求出长方体水深。 【解答】 （厘米） 则此时长方体容器水深5厘米。 6．3 54 27 【分析】根据正方体的棱长和＝棱长×12，代入数据即可求出正方体的棱长；根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据即可求出纸的总面积；再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可求出做成的纸盒所占的空间大小。 【解答】棱长：36÷12＝3（厘米） 表面积：3×3×6＝54（平方厘米） 体积：3×3×3＝27（立方厘米） 这个正方体的棱长是3厘米，如果在框架外糊上一层纸，至少需要54平方厘米的纸，做成的纸盒所占的空间是27立方厘米。 7．384 512 【分析】根据题意，铁丝长度就等于正方体的棱长和。先算出正方体的棱长，用96除以12即可。再根据正方体的表面积公式：边长×边长×6，代入数据，即可求出糊彩纸的面积。再根据正方体的体积公式：边长×边长×边长，代入数据计算即可。 【解答】96÷12＝8（厘米） 8×8×6 ＝64×6 ＝384（平方厘米） 8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 所以糊彩纸的面积是384平方厘米，做成的正方体的体积是512立方厘米。 8．3.6 【分析】根据体积的意义可知，这个容器无论横放、还是竖放，容器内水的体积不变，根据正方体的体积公式：，长方体的体积公式：，那么，把数据代入公式解答。 【解答】 （厘米） 液体高3.6cm。 9．C 【分析】物体所占空间的大小叫做物体的体积。把一些练习本摞成一个长方体，再把这摞练习本均匀地斜放，练习本的数量没有改变，所以它们所占空间的大小不变。 长方体的棱长总和是指长方体所有棱的长度之和。原来长方体的6个面是长方形，当练习本均匀斜放时，各面变成平行四边形，则有些棱的长度会发生变化，倾斜的棱长比竖直的棱长要长，所以斜放后棱长总和比原来要大。 【解答】练习本的数量没有改变，所以体积不变； 当练习本均匀斜放时，倾斜的棱长比竖直的棱长要长，所以棱长总和变大。 如图，把一些练习本摞成一个长方体，再把这摞练习本均匀地斜放，前后比较，体积不变，棱长总和变大。 故答案为：C 10．A 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出长是8厘米，宽是4厘米，高是6厘米水的体积；由于体积不变，再用水的体积除以长是12厘米，宽是4厘米的面的面积，即可解答。 【解答】8×4×6÷（12×4） ＝8×4×6÷48 ＝32×6÷48 ＝192÷48 ＝4（厘米） 水深6厘米。如果把它的右面作为底面平放在桌上，这时水的高度是4厘米。 故答案为：A 11．C 【分析】通过平移图形可知，这个长方体容器的里面的长是6厘米，宽是5厘米，高是3厘米，根据长方体的容积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】 （立方厘米） 所以，这个玻璃容器的容积是90立方厘米。 故答案为：C 12．C 【分析】根据1米＝10分米，统一单位，分别用长、宽、高除以正方体棱长，结果用去尾法保留近似数，求出沿着长、宽、高能摆放的正方体木块数量，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出正方体木块的数量。 【解答】1米＝10分米 （12÷3）×（9÷3）×（10÷3） ≈4×3×3 ＝36（个） 最多能放36个棱长为3分米的正方体木块。 故答案为：C 13．D 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，以及积的变化规律可知，一个正方体的棱长扩大到原来的几倍，体积就扩大到原来的倍数×倍数×倍数，据此分析。 【解答】3×3×3＝27 体积扩大到原来的27倍。 故答案为：D 14．B 【分析】首先考虑长方体纸箱的长、宽、高与正方体礼品盒棱长的关系。分别计算长方体纸箱的长、宽、高分别能容纳几个正方体礼品盒的棱长。然后将三者容纳的个数相乘，即可得到一个纸箱最多能放的礼品盒数量。 【解答】长能容纳的正方体礼品盒数量：8÷2＝4 宽能容纳的正方体礼品盒数量：6÷2＝3 高能容纳的正方体礼品盒数量：5÷2＝2……1 4×3×2＝24（个） 一个纸箱最多可以放24个 故答案为：B 15．B 【分析】观察图形可知，这个物体有上、下2层，左、中、右一共3列；中间1列有2个正方体，左边1列有1个正方体，右边1列有1个正方体，因此这个物体一共有（1＋2＋1＝4）个正方体组成；每个正方体棱长为2厘米；根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数值计算出1个正方体的体积，再乘4，所得结果即为这个物体的体积。 【解答】1＋2＋1＝4（个） 2×2×2＝8（立方厘米） 8×4＝32（立方厘米） 因此这个物体的体积是32立方厘米。 故答案为：B 16．C 【分析】根据从正面、上面和右面观察到的几何体的形状可知，该几何体由6个小正方体拼成，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求解即可。 【解答】综合三视图，我们可以得出，这个几何模型一共有2层，底层有4个小正方体，第二层靠右边应该有2个小正方体，如图： 因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是4＋2＝6（个） 2×2×2 ＝4×2 ＝8（立方分米） 8×6＝48（立方分米） 故答案为：C 【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查。另外要掌握正方体的体积公式。 17．表面积37.5m2；体积15.625m3； 表面积177cm2；体积135cm3 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。 【解答】2.5×2.5×6 ＝6.25×6 ＝37.5（m2） 2.5×2.5×2.5 ＝6.25×2.5 ＝15.625（m3） （10×3＋10×4.5＋3×4.5）×2 ＝（30＋45＋13.5）×2 ＝（75＋13.5）×2 ＝88.5×2 ＝177（cm2） 10×3×4.5 ＝30×4.5 ＝135（cm3） 第一个图形的表面积是37.5m2，体积是15.625m3； 第二个图形的表面积是177cm2，体积是135cm3。 18．90立方厘米 【分析】由题意可知：四个角各剪去边长1厘米的正方形，那么折成的这个长方体纸盒的高是1厘米；长是（）厘米；宽是（）厘米；再根据长方体的体积长宽高，来解答。 【解答】 （立方厘米） 答：这个纸盒的体积是90立方厘米。 19．0.16厘米 【分析】上升的水的体积等于正方体铁块的体积，根据求出正方体的体积，即上升的水的体积，上升的水可看成长方体的形状，已知它的体积和长10厘米，宽5厘米，求高，可根据长方体体积公式的逆运算，长方体的高＝体积÷长÷宽。代入数据计算即可。 【解答】 （厘米） 答：水面上升0.16厘米。 20．0.392立方米 【分析】花坛里的泥土可以近似看作是一个底面是边长为（1.3－2×0.3）米的正方形，高是0.8米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算，所得结果即为花坛里大约有多少立方米泥土。 【解答】（1.3－2×0.3）×（1.3－2×0.3）×0.8 ＝（1.3－0.6）×（1.3－0.6）×0.8 ＝0.7×0.7×0.8 ＝0.49×0.8 ＝0.392（立方米） 答：花坛里大约有0.392立方米泥土。 21．5分米；体积不相等。 【分析】根据题意，结合长方体的特征，用长方体的长、宽、高之和乘4，求出长方体的棱长总和，再除以12，即可求出正方体的棱长，再根据长方体的体积公式：长×宽×高以及正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长，代入数据计算，再比较即可。 【解答】（6＋5＋4）×4÷12 ＝15×4÷12 ＝60÷12 ＝5（分米）     6×5×4 ＝30×4 ＝120（立方分米）     5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 答：正方体的棱长是5分米，它们的体积不相等。 22．3套 【分析】根据题意，结合长方体的体积公式：底面积×高，求出这根木料的体积，再用体积乘上8，再除以1.3，求出结果，结合实际情况，有余数要舍去。 【解答】0.15×4×8÷1.3 ＝0.6×8÷1.3 ＝4.8÷1.3 ＝3（套）……0.9（立方米） 答：那么8根这样的方木最多可制作3套课桌椅。 23．25厘米 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体玻璃缸里水的体积，用水的体积÷长方体玻璃缸底面积＝水的高度，据此求出水深即可。 【解答】水深： （厘米） 答：这时水深25厘米。 24．（1）1296平方厘米 （2）5832立方厘米 【分析】（1）求商标纸的面积，就是求正方体的侧面积，正方体的侧面积由4个面组成，据此用18×18×4即可求出正方体的侧面积； （2）求这个盒子占的空间就是求盒子的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，用18×18×18即可求出体积。 【解答】（1）18×18×4＝1296（平方厘米） 答：这张商标纸1296平方厘米。 （2）18×18×18＝5832（立方厘米） 答：这个盒子所占的空间是5832立方厘米。 25．水不会溢出。 【分析】用8－5＝3厘米，求出长方体容器内没有水部分长方体的高；根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，先求出长方体容器内没有水部分的体积，再根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体铁块的体积，再和长方体容器内没有水部分的体积比较，大于没有水部分的体积，水会溢出，小于没有水部分的体积，水不会溢出。 【解答】10×8×（8－5） ＝80×3 ＝240（立方厘米） 6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） ，水不会溢出。 答：水不会溢出。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $