精品解析：浙江省嘉兴市2025-2026学年高三上学期基础测试 数学试题

2025年高三基础测试 数学试题卷 （2025.9） 本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸上规定的位置. 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 设z=i(2+i)，则= A. 1+2i B. –1+2i C. 1–2i D. –1–2i 3. 已知正三棱台的体积为，其上下底面的边长分别为1和2，则这个正三棱台的高为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过 2.98元 超过但不超过的部分 3.60元 超过的部分 4.50元 若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 8. 若实数满足，则下列结论不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本数据，去掉其中的一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数 B. 数据的方差为0，则所有的都相等 C. 若随机变量，则 D. 在线性回归模型中，变量与的一组样本数据对应的点均在直线上，则决定系数 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 若，则方程有两个不等的实根 C. 若点是曲线上动点，则点到直线距离的最小值为 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 11. 在三棱锥中，，点在平面上的射影为点，直线与平面所成的角分别为，则（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 的取值范围是 C. 三棱锥的体积的最小值是 D. 当最大时，三棱锥的外接球的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，则__________. 13. 过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为__________. 14. 记的内角的对边分别为，若的面积，则的取值范围是__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差为，前项和为，且. （1）求通项公式； （2）设为数列的前项和，求使得的的最小值. 16. 如图，在正三棱柱中，为中点，点在棱上，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 2025年7月6日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球､足球､排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为.甲同学回答篮球､足球､排球这三类问题中每个题的正确率分别为. （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得-1分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励.现以获得奖励概率大小为依据，若甲同学在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由. 18. 已知双曲线的左､右焦点分别是，并且经过点. （1）求的方程； （2）过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线经过定点； （ii）记的面积为，求的取值范围. 19. 已知函数.当时，恒成立. （1）求实数的取值范围； （2）求证：（i）在上存在极值点和零点； （ii）对于（i）中的和，满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高三基础测试 数学试题卷 （2025.9） 本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟. 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸上规定的位置. 2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集概念运算即可. 【详解】由题意可知. 故选：D 2. 设z=i(2+i)，则= A. 1+2i B. –1+2i C. 1–2i D. –1–2i 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出． 【详解】， 所以，选D． 【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误． 3. 已知正三棱台的体积为，其上下底面的边长分别为1和2，则这个正三棱台的高为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据台体的体积公式求台体的高. 【详解】正三棱台的上底面积为，下底面积为， 因为台体体积为，所以， 解得，即正三棱台的高为1. 故选：C 4. 为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过 2.98元 超过但不超过的部分 3.60元 超过的部分 4.50元 若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设天然气费用为使用量的函数，根据题意写出分段函数解析式，先判断对应哪一段，再求解即可. 【详解】设天然气使用量为，天然气费为元， 则， 由于，则, 所以， 解得, 所以天然气使用量为， 故选：B. 5. 已知数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得、，再借助等比数列求和公式计算即可得. 【详解】由，则， 由，则，故， 则、、、， 则 故选：A. 6. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，再结合离心率的计算公式，可求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设椭圆：，双曲线：. 因为它们有相同的焦点，所以. 不妨设点在第一象限，且，， 因为点在椭圆上， 所以. 又， 所以. 又在双曲线上， 所以. 所以. 所以双曲线的离心率为：. 故选：A 7. 已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦函数的最小正周期可得的值，利用诱导公式与二倍角公式将转化为，结合正弦函数的性质即可得所求最值. 【详解】由已知， 所以， 又， 所以， 所以 ， 又，则当时，有最小值. 故选：B. 8. 若实数满足，则下列结论不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分及两种情况讨论，结合对数函数的单调性，逐一判断，即可得到结果. 【详解】由，得， 由选项知只需要讨论及两种情况. 当时，， 所以， 因为函数在上单调递增，所以，即， 得成立，故A正确； 又因为，所以， 即，得，所以，故B正确； 当时，， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以，即，得成立，故C正确； 因为，所以， 所以， 得，即，故D错误， 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本数据，去掉其中的一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数 B. 数据的方差为0，则所有的都相等 C. 若随机变量，则 D. 在线性回归模型中，变量与的一组样本数据对应的点均在直线上，则决定系数 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过举具体的样本数据例子，根据中位数定义，即可判断选项A；依据方差的计算公式，分析方差为0时数据的特征，即可判断选项B；利用正态分布中越小，曲线越“瘦高”，相同区间内概率越大的性质，即可判断选项C；根据线性回归模型中决定系数的公式，结合“样本数据对应的点均在回归直线上”这一条件，分析残差平方和与总偏差平方和的关系，即可判断选项D. 【详解】选项A，假设一组数据样本，其中位数为，去掉其中的一个最小数和一个最大数后， 数据样本为，其中位数仍为，所以A错误； 选项B，根据方差的计算公式（其中为平均数），若方差，即， 则，即，因此所有的都相等，所以B正确； 选项C，对于正态分布，越小，曲线越“瘦高”，在相同区间内的概率越大.因为， 则，所以，所以C正确； 选项D，已知在线性回归模型中，变量与的一组样本数据对应的点均在直线上， 则残差，所以决定系数，所以D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递减区间是 B. 若，则方程有两个不等的实根 C. 若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 D. 若过点可以作曲线的三条切线，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由及函数连续性可判断；对B、D，将问题转化为两个函数图象交点的个数问题，画出函数的大致图象，结合图象可判断；对C，当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，求出点坐标，用点到直线距离公式求最值. 【详解】对于A：，由得，又函数在连续， 所以的单调递减区间是，A正确； 对于B：当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，取得最大值，又时，； 时，，所以的图象大致如图： 当时，函数与函数图象有两个交点， 即方程有两个不等的实根，B错误； 对于C：当曲线在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小， 设点，则，解得，此时， 点到直线的距离，C正确； 对于D：设过点的切线切点为，则，整理得， 若过点可以作曲线的三条切线，则函数与函数有三个交点， 对函数， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 当时，函数单调递减. 又当时，；当时，；时，；时，， 所以函数的图象大致如下： 则当时，函数与函数有三个交点， 此时过点可以作曲线的三条切线，D正确. 故选：ACD. 11. 在三棱锥中，，点在平面上的射影为点，直线与平面所成的角分别为，则（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 的取值范围是 C. 三棱锥的体积的最小值是 D. 当最大时，三棱锥的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】在平面中，建立平面直角坐标系，即可得到点的轨迹方程，从而判断A， 记，即可得到的范围，从而得到的范围，从而判断B，由锥体的体积公式代入计算，即可判断C，由球的表面积公式代入计算，即可判断D. 【详解】 对于选项A：点在平面内的射影为点，则， 因为，所以， 以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立的平面直角坐标系， 则，设，因为， 可得，整理得， 即，所以点轨迹是半径为的圆， 所以所求轨迹的长度为，所以A正确； 对于选项B：当与圆相切时，记， 则， 又，所以， 即，所以，所以B正确； 对于选项C：由，可得， 所以体积，所以C错误； 对于选项D：当最大时，，所以， 所以是顶角的等腰三角形， 记的外心是，则四边形是菱形，取的中点， 则点是的外心， 所以过点分别作平面的垂线，交于点， 则点就是三棱锥的外接球球心. 又，记三棱锥的外接球半径为， 则，所以外接球的表面积为，所以D正确； 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得，而， 则，解得. 故答案为：1 13. 过点的直线与抛物线相交于两点，若恰为的中点，则线段的长为__________. 【答案】16 【解析】 【分析】用点差法求出直线斜率，得直线方程，联立方程组，利用韦达定理，由弦长公式计算可得． 【详解】设， 则，两式相减得， ∴， ∵的中点是，∴． ∴直线方程为，即， 由，得， 则， ∴． 故答案：16 14. 记的内角的对边分别为，若的面积，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用，结合余弦定理解出、的值，后续法一：利用正弦定理将转化为角C的函数，再结合辅助角公式化简为，进一步考虑的范围即可求解；法二：利用导数求解的单调性，结合角C的范围即可求解；法三：求出后，回代余弦定理等式再将化为含b、c的齐次分式，最后通过换元利用对角函数的单调性即可求解． 【详解】由余弦定理得，又， 所以，所以， 所以，即， 所以，又，所以. 方法一：由正弦定理得，其中，且， 又，所以， 又， 所以，所以的取值范围是． 方法二：，令，因为，而，所以，所以，在上单调递减，所以在单调递减，，，所以的取值范围是． 方法三：由余弦定理得，又， 所以，所以， 所以，即， 所以，又，所以， 所以，所以， 令得， 再令，则，所以 又因为在上单调递增，所以，所以，所以，所以的取值范围是． 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差为，前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）设为数列的前项和，求使得的的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的前项和公式建立方程组，解得数列的首项和公差，即可得到等差数列的通项公式； （2）由（1）可得等差数列的前项和，然后即可得到，从而求出该数列的前项和，然后代入条件中的不等式，解二次不等式即可求得的范围，根据题意即可得到其最小值. 【小问1详解】 由于， 故解得 所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 则数列是以4为首项，3为公差的等差数列； 所以. 由，得， 即， 则，或， 又因为，所以的最小值为4. 16. 如图，在正三棱柱中，为的中点，点在棱上，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：根据题意先求的长，可得，利用，可得，再根据线面垂直的判定证明即可； 方法二：以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线面垂直； （2）方法一：延长交于点，过点作，垂足为，连结，又易得，则即为平面与平面的夹角，再解三角形求其余弦值即可； 方法二：以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求平面与平面夹角即可； 方法三：根据射影面积法求平面与平面夹角． 【小问1详解】 方法一：在直三棱柱中，， 所以， 所以，所以， 又，所以，，， 则，所以， 所以， 即，又平面， 所以平面． 方法二：如图，以为原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以 所以，即 又平面，所以平面． 【小问2详解】 方法一：如图，延长交于点，过点作，垂足为，连结， 则由平面得， 所以即为平面与平面的夹角． 在中，， 所以，即， 又，所以， 所以，所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 方法二：如图，以为原点，以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的一个法向量为，则， 取得，又平面的一个法向量为， 记平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 方法三：由（1）知， 记平面与平面的夹角为，则 即平面与平面夹角的余弦值为． 17. 2025年7月6日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球､足球､排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为.甲同学回答篮球､足球､排球这三类问题中每个题的正确率分别为. （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得-1分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望； （3）知识竞赛规则：随机从题库中抽取道题目，答对题目数不少于道，即可获得奖励.现以获得奖励的概率大小为依据，若甲同学在和之中选其一，则他应如何选择？并说明理由. 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）甲应选，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球､足球､排球相关知识的题目”，结合全概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； （3）由时，由甲答对题目的数量，确定甲获奖励的概率，再从①前8题答对题目的数量大于等于5，②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题，③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对，讨论当时，甲获奖励的概率，比较大小即可求解. 【小问1详解】 设“甲同学所选的题目回答正确”，“所选的题目为篮球､足球､排球相关知识的题目”，则，且两两互斥. 根据题意得，， 则， 所以甲同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为. 【小问2详解】 的可能取值为， ， ， ， ， 则的分布列为： -3 1 5 9 所以. 【小问3详解】 当时，为甲答对题目的数量， 由题意可知，其中， 故当时，甲获奖励的概率， 当时，甲获奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当时，甲获奖励的概率，所以 ， 因为，所以，即， 所以甲应选. 18. 已知双曲线的左､右焦点分别是，并且经过点. （1）求的方程； （2）过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为. （i）求证：直线经过定点； （ii）记的面积为，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即可. （2）（i）设出直线方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及直线方程计算推理得证；（ii）由（i）求出的函数关系，再结合函数单调性求出范围. 【小问1详解】 依题意，双曲线半焦距，则，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）设，则， 由消去得， 则，解得，， 直线的方程为，即， 而 ，因此直线的方程为， 所以直线经过定点. 或令，得 ， 所以直线经过定点. （ii）由（i）知， ， 而，令， 因此在上单调递增，则， 所以的取值范围是. 19. 已知函数.当时，恒成立. （1）求实数的取值范围； （2）求证：（i）在上存在极值点和零点； （ii）对于（i）中的和，满足. 【答案】（1）; （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，然后分类讨论时，是否恒成立，即可求解； （2）（i）对函数求导，确定函数的单调性，然后结合零点存在定理即可解决； （ii）由（i）知成立，只要证出即可，构造新函数，通过函数的单调性证明成立，从而证得不等式. 【小问1详解】 ，求导可得， 观察可知上单调递增，所以. ①当时，恒成立，所以在上单调递减，，不满足题意； ②当时，上单调递增， 所以，使得，当时，，在上单调递减， 所以时，，不满足题意； ③当时，恒成立，所以在上单调递增，，满足题意. 综上，. 【小问2详解】 （i），其中， 则，， 当时，， 由知，成立， 所以在上无零点，即在上无极值点. 当时，令， 则在上单调递增，， 由知，， 所以使得，当时，，即单调递减， 所以； 当时，，即单调递增， 因为，所以，使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以在上存在唯一极小值点. 故，又因为， 所以存在使得， 所以在上存在唯一零点，得证. （ii）由（i）知成立，下面证明. 由（i）知，所以， 因为在上单调递增，要证，只需要证明. 因为，所以， 由（i）知，得， 所以， 由（1）知，当时，，所以， 令，其中， 则恒成立， 所以在上单调递增，所以，即成立， 所以成立，即， 综上所述，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $