1.5 等腰三角形 课时提优练习(4)-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

1.5 等腰三角形 课时提优练习(4) 一、选择题 1、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边上的一点，点P是AD的中点， 若AC的垂直平分线经过点D，DC＝8，则BP＝（　　） ​ A．8 B．6 C．4 D．2 2、如图，在中，，，为边的中点，连接，过点作的平行线， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 3、如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E，F两点，连接，与交于点O，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4、如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接， 则的周长是（   ） A． B． C． D． 5、如图，在中，于点D，E是的中点． 若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 6、如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF＝2， 则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7、在中，的度数之比为，边上的中线长是2，则的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8、如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折， 使点B落在点F处，线段与相交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9、如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（　　） A．5° B．10° C．20° D．30° 10、如图1，在中，，为中点．将沿翻折，得到（如图2），为上一点，再将沿翻折，使得与重合（如图3），给 出下列四个命题：①； ②；③；④．其中正确的是（   ） A．①④ B．②④ C．①③ D．①③④ 二、填空题 11、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝3，则AB的长为　 ． 12、如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，， 当时，的长为 ． 13、中，，是边上的中线，且，则的长为 ． 14、如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝7，BC＝10， 则△EFM的周长是 ． 15、如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为 ． 16、如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置， 此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ．    17、如图，在中，，，分别为，上一点，将，沿，翻折， 点，恰好重合于点处，若中有一个角等于，则 ． 三、解答题 18、如图，△ABC中，BE平分∠ABC，BE⊥AF于F，D为AB中点，请说明DF∥BC的理由． 19、如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，求∠COE的度数． 20、如图，在四边形中，，分别是的中点， 证明：(1)； (2)． 21、如图，在中，，，点是的中点，点为边上一点，连接，，以为边在的左侧作等边三角形，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 22、如图，点B在线段上，点E在线段上，，，，M，N分别是的中点． (1)求证：； (2)试探索和的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 23、如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想． （3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由． 1.5 等腰三角形 课时提优练习(4) -2025-2026学年苏科版数学八年级上册 一、选择题 1、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是BC边上的一点，点P是AD的中点， 若AC的垂直平分线经过点D，DC＝8，则BP＝（　　） ​ A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 2、如图，在中，，，为边的中点，连接，过点作的平行线， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3、如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E，F两点，连接，与交于点O，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 4、如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接， 则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 5、如图，在中，于点D，E是的中点． 若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 6、如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E、F分别是AC、BD的中点，EF＝2， 则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 解：如图，连接AF． ∵AB＝AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD． ∵在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，E是AC的中点，EF＝2，∴AC＝2EF＝4．故选：B． 7、在中，的度数之比为，边上的中线长是2，则的面积是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 解：如图所示：过点作 ∵ 是边上的中线， ；故选B． 8、如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折， 使点B落在点F处，线段与相交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵在中，，，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E， ∴， ∴， ∴． 故选：C 9、如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（　　） A．5° B．10° C．20° D．30° 解：连接AH，CH， ∵在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，H是BD的中点，∴AH＝CHBD． ∵点G时AC的中点，∴HG是线段AC的垂直平分线，∴∠EGH＝90°． ∵∠BEC＝80°，∴∠GEH＝∠BEC＝80°，∴∠GHE＝90°﹣80°＝10°．故选：B． 10、如图1，在中，，为中点．将沿翻折，得到（如图2），为上一点，再将沿翻折，使得与重合（如图3），给 出下列四个命题：①； ②；③；④．其中正确的是（   ） A．①④ B．②④ C．①③ D．①③④ 【答案】C 解：如下图， 将沿翻折，得到，∴， ∵再将沿翻折，使得与重合，∴，∴，∴，故①正确； 假设，则有， ∵在中，，为中点，∴，∴， ∴，而不一定等于，∴与不一定全等；故②错误； ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，故③正确； 假设，则， ∵在中，，为中点，∴，∴ ∵；∴， ∴，而不一定等于，∴不一定垂直于，故④错误． 综上所述，①③是真命题．故选：C． 二、填空题 11、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝3，则AB的长为　 ． 【答案】6 12、如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，， 当时，的长为 ． 【答案】8 13、中，，是边上的中线，且，则的长为 ． 【答案】5 14、如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝7，BC＝10， 则△EFM的周长是 ． 【答案】17 15、如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为 ． 【答案】/69度 16、如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置， 此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ．    【答案】/26度 17、如图，在中，，，分别为，上一点，将，沿，翻折， 点，恰好重合于点处，若中有一个角等于，则 ． 【答案】或． 解：由折叠可得，AD＝PD＝BD，∠CPD＝∠B，∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠DCB， ∴D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠B， 当∠CPD＝48°时，∠B＝48°，∴∠A＝90°−∠B＝42°； 当∠PCD＝48°时，∠DCB＝∠B＝48°，∴∠A＝42°； 当∠PDC＝48°时，则∠PDC＝∠BDC＝48°， ∵∠BDC＝∠A＋∠ACD，∠ACD＝∠A，∴∠A＝∠BDC＝24°； 故答案为：42°或24°． 三、解答题 18、如图，△ABC中，BE平分∠ABC，BE⊥AF于F，D为AB中点，请说明DF∥BC的理由． 解：∵在直角△AFB中，点D是斜边上的中点，∴DF＝BDAB，∴∠DFB＝∠DBF， ∵BE平分∠ABC，∴∠FBC＝∠FBD， ∴∠DFB＝∠FBC，∴DF∥BC． 19、如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°， 求∠COE的度数． 解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC， ∴∠CAE＝∠AEC＝45°， ∵∠BAE＝15°， ∴∠CAB＝60°， ∴∠B＝30°， ∵∠ACB＝90°，O为AB的中点， ∴CO＝BO＝AOAB， ∴△AOC是等边三角形，∠OCB＝∠B＝30°， ∴AC＝OC＝CE， ∴∠COE＝∠CEO（180°﹣30°）＝75°． 20、如图，在四边形中，，分别是的中点， 证明：(1)； (2)． （1）证明：∵，是的中点，∴，，∴； （2）证明：由（）可知， ∵是的中点， ∴． 21、如图，在中，，，点是的中点，点为边上一点，连接，，以为边在的左侧作等边三角形，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． （1）证明：在中，，，， ∵点是的中点，，为等边三角形； （2）证明：∵和均为等边三角形， ，，， ，， 在和中，,，． 22、如图，点B在线段上，点E在线段上，，，，M，N分别是的中点． (1)求证：； (2)试探索和的数量关系和位置关系，并证明你的结论． （1）证明：在和中， ， （2），， 理由如下： 由（1）可知，， M，N分别是的中点， ，，， 在和中，， ，， ，，即，． 23、如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想． （3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由． （1）证明：如图（1），连接DM，ME， ∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点， ∴DMBC，MEBC，∴DM＝ME， 又∵N为DE中点，∴MN⊥DE； （2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB） ＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A， ∴∠DME＝180°﹣2∠A； （3）结论（1）成立，结论（2）不成立， 理由如下：连接DM，ME， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC， ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC＝2（180°﹣∠BAC）＝360°﹣2∠BAC， ∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC）＝2∠BAC﹣180°． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $