江苏省南京市玄武区2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学模拟试卷

江苏省南京市玄武区2025-2026学年八年级上学期第一次月考 数学模拟试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为  (    ) A. B. C. D. 3.某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图所示．已知椅子腿和的长度相等，是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度设计为，此时的长度是(    ) A. B. C. D. 4.如图，中，点，，分别在，，上，与交于点，且点在上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是(    ) A. ，是的角平分线 B. 点到三边的距离相等 C. 也是的一条角平分线 D. 5.如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点若，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，若点与点恰好重合，则度数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.如图，在中，，平分，，，则的长为          ． 8.如图，，点，，，依次在同一条直线上若，，则的长为          ． 9.如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当的长为          时，以，，三点构成的三角形与全等． 10.如图，在四边形中，，，，且，，三点在同一条直线上若，，则的度数为          ． 11.如图，在中，点在上，且，的垂直平分线分别与，相交于点，若的三个内角都不相等，则在，，，中，相等的角为          用“”连接． 12.如图，，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当          时，是等腰三角形． 13.如图，等边中，点，分别在，上，且，连接，交于点，则的度数为          ． 14.如图，是外的一点，，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为          ． 15.如果四边形中的一条对角线的长度是另一条对角线长度的两倍，那么称这个四边形为“倍长对角线四边形”如图，四边形是“倍长对角线四边形”，且，则四边形中最小内角的度数是          ． 16.如图，将一张直角三角形纸片已知，折叠，使得点落在点处，折痕为将纸片展平后，再沿着将纸片按着如图方式折叠，边交于点若是等腰三角形，则的度数可能是          ． 三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分如图，已知． 用直尺和圆规按下列要求作图： 作的角平分线； 作，与的延长线相交于点； 作，垂足为． 在所作图形中，，相等吗？证明你的结论． 18.本小题分如图，过的边的垂直平分线上的点，作的另外两边，所在直线的垂线，垂足分别为，，，作射线求证：平分． 19.本小题分如图，在中，是高，，分别是，的中点． 若，，求四边形的周长． 与有怎样的位置关系？证明你的结论． 20.本小题分老师给出了下面的题目：如图，在中，，点在上，作，，，垂足分别为、、． 求证：． 如图，将“在中，，点在上”改成“为等边三角形内一点”，作，，，，垂足分别为、、、有类似结论吗？请写出结论并证明． 21.本小题分 如图，在的网格中，的顶点均在格点上借助网格特征，只利用直尺画出直线，使得直线垂直平分． 如图，在中，求作点，使点在内部，且，不写作法，保留作图痕迹． 22.本小题分 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、． ________；用含的代数式表示 求证：≌； 当为何值时，是等边三角形？说明理由； 当为何值时，为直角三角形？请直接写出的值． 23.本小题分如图，已知和都是等边三角形． 观察发现如图，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为          ；          ． 如图，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明． 深入探究 如图，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点． 中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 连接，求证：平分． 24.本小题分已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且过点作，垂足为． 如图，当点在线段上时，求证：； 如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； 如图，在的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点若，，求线段的长． 25.本小题分 如图，是等边三角形，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作，使，，连接，，． 当是等腰三角形时，           求证： 求的最小值 当是等腰三角形时，直接写出的度数． 26.本小题分 在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： 如图、两个等腰三角形和中，，，，连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是______，此时和的数量关系是______； 如图、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 如图，已知，请完成作图：以、为边分别向外作等边和等边等边三角形三条边相等，三个角都等于，连接，，两线交于点，并直接写出线段和的数量关系及的度数． 第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市玄武区2025-2026学年八年级上学期第一次月考 数学模拟试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D  【解析】略 2.如图，是的中线，已知的周长为，比长，则的周长为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】是的中线，，和周长的差，的周长为，比长，的周长为故选C． 3.某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图所示．已知椅子腿和的长度相等，是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度设计为，此时的长度是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定定理证得，利用该全等三角形的对应边相等推知，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：椅子腿和的长度相等，是它们的中点， ，   在与中， ， ． 故选：． 4.如图，中，点，，分别在，，上，与交于点，且点在上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是(    ) A. ，是的角平分线 B. 点到三边的距离相等 C. 也是的一条角平分线 D. 【答案】D  【解析】A、由尺规作图的痕迹可知：、是的内角平分线，正确；  、因为角平分线的点到角两边的距离相等得：点到三边的距离相等，正确；  、根据三角形三条角平分线交于一点，且点在上，  所以也是的一条内角平分线，正确  、三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，所以选项D不正确；  故选：． 5.如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点若，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】连接，，，． 由作法得垂直平分，，， 在中，， 故选C． 6.如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，若点与点恰好重合，则度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：连接，，延长交于， ，是的角平分线，， ，，， ， 是的垂直平分线， ，则， ，， 折叠 ， ， ， 故选：． 连接，，延长交于，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直平分线的性质得到，，由折叠的性质，三角形外角的性质得到，，由此即可求解． 本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定，三角形外角的性质，折叠的性质的综合，掌握等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，折叠的性质，得到是解得的关键． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.如图，在中，，平分，，，则的长为          ． 【答案】  【解析】如图，过点作，垂足为， ，，，，平分，，，故答案为． 8.如图，，点，，，依次在同一条直线上若，，则的长为          ． 【答案】  【解析】略 9.如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当的长为          时，以，，三点构成的三角形与全等． 【答案】或  【解析】略 10.如图，在四边形中，，，，且，，三点在同一条直线上若，，则的度数为          ． 【答案】  【解析】略 11.如图，在中，点在上，且，的垂直平分线分别与，相交于点，若的三个内角都不相等，则在，，，中，相等的角为          用“”连接． 【答案】  【解析】略 12.如图，，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当          时，是等腰三角形． 【答案】或  【解析】分两种情况：当点在线段上，是等腰三角形时，有，即，解得； 当点在的延长线上，是等腰三角形时，，是等边三角形，，即，解得  故答案为或． 13.如图，等边中，点，分别在，上，且，连接，交于点，则的度数为          ． 【答案】  【解析】为等边三角形，，，  在和中，，故答案为． 14.如图，是外的一点，，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为          ． 【答案】  【解析】提示：根据轴对称的性质可知，垂直平分，垂直平分，所以，因为，所以所以． 15.如果四边形中的一条对角线的长度是另一条对角线长度的两倍，那么称这个四边形为“倍长对角线四边形”如图，四边形是“倍长对角线四边形”，且，则四边形中最小内角的度数是          ． 【答案】  【解析】提示：在上取中点，连接，因为，所以，又因为，所以，即为等边三角形，所以又因为，所以，，所以． 16.如图，将一张直角三角形纸片已知，折叠，使得点落在点处，折痕为将纸片展平后，再沿着将纸片按着如图方式折叠，边交于点若是等腰三角形，则的度数可能是          ． 【答案】或  【解析】【分析】 本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．由翻折可得，，所以，所以，，若是等腰三角形，有三种情况：当时，，当时，，当时，，然后分别列式计算即可解决问题． 【解答】 解：由翻折可知：，， ， ， ， ， ， ，， 若是等腰三角形，有三种情况： 当时，， ， 解得； 当时，， ， 不符合题意舍去； 当时，， ， 解得． 综上所述：的度数可能是或． 故答案为：或． 三、解答题：本题共10小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，已知． 用直尺和圆规按下列要求作图： 作的角平分线； 作，与的延长线相交于点； 作，垂足为． 在所作图形中，，相等吗？证明你的结论． 【答案】(1)解：如图所示．   (2)EF＝BF． 证明：由（1）知∠CBE＝∠ADC，∴AD // BE（同位角相等，两直线平行）， ∴∠E＝∠DAC，∠ABF＝∠BAD（两直线平行，同位角相等，内错角相等）． 由（1）知∠DAC＝∠BAD，∴∠E＝∠ABF（等量代换）． 在△ABF和△AEF中， ∴△ABF≌△AEF（AAS）．∴EF＝BF．   【解析】 见答案  见答案 18.本小题分 如图，过的边的垂直平分线上的点，作的另外两边，所在直线的垂线，垂足分别为，，，作射线求证：平分． 【答案】连接，点在的垂直平分线上，． ，，． 在和中， ，． 又，，点在的平分线上，即平分   【解析】略 19.本小题分 如图，在中，是高，，分别是，的中点． 若，，求四边形的周长． 与有怎样的位置关系？证明你的结论． 【答案】(1)解：∵E，F分别是AB，AC的中点，AB＝10，AC＝8， ∴，． ∵AD是BC边上的高，E，F分别是AB，AC的中点， ∴，， ∴四边形AEDF的周长＝AE＋ED＋DF＋FA＝5＋5＋4＋4＝18．   (2)EF垂直平分AD． 证明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°． ∵E是AB的中点，∴DE＝AE． 同理可得DF＝AF． ∴E，F在线段AD的垂直平分线上，∴EF垂直平分AD．   【解析】 见答案  见答案 20.本小题分 老师给出了下面的题目：如图，在中，，点在上，作，，，垂足分别为、、． 求证：． 如图，将“在中，，点在上”改成“为等边三角形内一点”，作，，，，垂足分别为、、、有类似结论吗？请写出结论并证明． 【答案】(1)连接AP，∵， 又，，，∴. ∵，∴.   (2)如图，. 理由：连接PA、PB、PC，因为， 所以. 因为，所以   【解析】 略  略 21.本小题分 如图，在的网格中，的顶点均在格点上借助网格特征，只利用直尺画出直线，使得直线垂直平分． 如图，在中，求作点，使点在内部，且，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】(1)如图①，直线l即为所求   (2)如图②，点P即为所求   【解析】 略  略 22.本小题分 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、． ________；用含的代数式表示 求证：≌； 当为何值时，是等边三角形？说明理由； 当为何值时，为直角三角形？请直接写出的值． 【答案】； 证明：，， ， ． 在和中，， ≌． ≌， 当是等边三角形时，是等边三角形． ， ． ，， ， ， 当为时，是等边三角形． ≌， 当为直角三角形时，是直角三角形． 当时，，即， 解得：； 当时，，即， 解得：． 综上所述：当为或时，为直角三角形．  【解析】【分析】 本题考查了解含度角的直角三角形、全等三角形的判定、等边三角形的性质以及解一元一次方程，解题的关键是：在中，利用度角的对边等于斜边的一半找出的长；利用全等三角形的判定定理证出≌；利用全等三角形的性质及等边三角形的性质，找出关于的一元一次方程；分和两种情况，利用度角的对边等于斜边的一半找出关于的一元一次方程． 在中，利用度角的对边等于斜边的一半，即可得出的长，此题得解； 由，可得出，利用平行线的性质可得出，结合，即可证出≌； 由可知：当是等边三角形时，是等边三角形，由可得出，进而可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 由可知：当为直角三角形时，是直角三角形，分和两种情况考虑，利用度角的对边等于斜边的一半，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】 解：， ． 在中，，，， ． 故答案为：； 见答案； 见答案； 见答案． 23.本小题分 如图，已知和都是等边三角形． 观察发现如图，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为          ；          ． 如图，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明． 深入探究 如图，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点． 中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 连接，求证：平分． 【答案】(1)AE＝BD ;60°  (2)FH// BE． 证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝60°，∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，∴BCD＝∠ACE．  在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴∠CAE＝∠CBD．  在△CAH和△CBF中，∴△CAH≌CBF(ASA)，∴CH＝CF．  又∵∠FCH＝60°，∴△CFH为等边三角形，∴∠CHF＝60°，∴∠DCE＝∠CHF，∴FH// BE．   (3)成立．证明：如图，设BD与AC交于点O．∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，  即∠BCD＝∠ACE．  在△BCD和△ACE中，∴△BCD≌△ACE(SAS)，∴BD＝AE，∠CBD＝∠CAE．∵∠APB＝180°-∠CAE-∠AOP，∠ACB＝180°-∠CBD-∠BOC，∠AOP＝∠BOC，∴∠APB＝∠ACB＝60°．   (4)证明：连接CP，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M，N，如图．  由（3）得△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，S△BCD＝S△ACE，∴，∴CM＝CN，∴PC平分∠BPE．  【解析】 略  略  略  略 24.本小题分 已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且过点作，垂足为． 如图，当点在线段上时，求证：； 如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由； 如图，在的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点若，，求线段的长． 【答案】(1)如图①，过点C作，垂足为F， ∵AC平分，，，∴. ∵，，∴. 在和中， ∴，∴.   (2)，理由如下：如图②，过点C作，垂足为F. ∵AC平分，，，∴. ∵，，∴. 在和中，，∴，∴. ∵，，∴，∴， ∴，∴.   (3)如图③，在BD上截取，连接OH. ∵，，， ∴，∴. ∵AO是的平分线，BO是的平分线， ∴点O到AD，AB，BD的距离相等，∴. ∵，， ∴，∴，∴， ∴，∴. 在和中，∴， ∴，∴.   【解析】 略  略  略 25.本小题分 如图，是等边三角形，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作，使，，连接，，． 当是等腰三角形时，           求证： 求的最小值 当是等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】； 证明：，， 是等边三角形， 是等边三角形， ，，，， ． 在和， ， ≌； 是等边三角形， ，． ， ，． 由知≌， ． 当时，最小， 最小值为； 或或．  【解析】解：由题意可知，， 为等边三角形， 又是等边三角形， ． 是边上的高， ， ． 是等腰三角形， ． ． ． 故答案为：； 见答案； 见答案； 的大小为或或；理由如下： 当是等腰三角形时， 分三种情况讨论： 时， ， ． ； 时， 则． ； 时， 则． ． 综上，的大小为或或． 根据等边三角形性质得到，根据，是等腰三角形，得，得． 根据等边三角形性质得，，，得≌． 根据等边三角形性质得到，，根据，得，，根据全等三角形性质得，得当时，最小，值为． 根据是等腰三角形，其中，若，则，得；若，则，得；若，则，得． 本题主要考查了等边三角形和全等三角形．熟练掌握等边三角形性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，含度直角三角形的判定和性质，分类讨论，是解决问题的关键． 26.本小题分 在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： 如图、两个等腰三角形和中，，，，连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是______，此时和的数量关系是______； 如图、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； 如图，已知，请完成作图：以、为边分别向外作等边和等边等边三角形三条边相等，三个角都等于，连接，，两线交于点，并直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】解：；． 且； 理由如下：因为， 所以． 所以． 在和中， ， 所以≌， 所以，， 因为， 所以， 即， 所以， 所以， 综上所述：且； 如图所示，，； 因为和是等边三角形， 所以，，， 所以， 所以， 在和中，可以得到， 所以≌， 所以，， 所以 ， 所以．  【解析】解：因为， 所以． 所以， 在和中， ， 所以≌， 所以， 故答案为：，； 见答案． 先判断出，进而判断出≌，即可得出结论； 先判断出≌，得出，，进而判断出，即可得出结论； 先判断出≌，得出，，进而求出，最后用三角形外角的性质，即可得出结论． 此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，判断出≌是解本题的关键． 第7页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $