精品解析：江苏省徐州市九里中学2025-2026学年高三上学期期初考试数学试卷

2025-2026学年第一学期高三期初试题 一、选择题（共8小题） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 下列四个函数：①，②，③，④，其中定义域和值域相同的函数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知偶函数的图像关于直线对称，当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，集合，若，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 11. （多选）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 的图象关于点对称 三、填空题（共3小题） 12. 已知，函数若，则___________. 13. __________． 14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______． ①；②当时，；③是奇函数． 四、解答题（共5小题） 15. 已知方程. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知定义在上的函数是奇函数. （1）求，的值，并判断函数的单调性； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知，，且，，求： （1）的值； （2）的值． 18. 已知函数的导函数为. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高三期初试题 一、选择题（共8小题） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用诱导公式化简然后用两角和的正弦公式合并，然后由特殊角的三角函数求其值，即可解答. 【详解】 . 故选：A. 2. 已知命题；命题，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】分别判断命题与命题的真假，利用命题和命题的否定真假相反即可判断、的真假，即可得结论. 【详解】对于命题p，取，则有，故p是假命题，是真命题， 对于命题q，取，则有，故q是真命题，是假命题， 所以，和都是真命题， 故选：B. 3. 下列四个函数：①，②，③，④，其中定义域和值域相同的函数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出四个函数的定义域和值域即可判断. 【详解】解：对①：函数的定义域和值域都是R； 对②：根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R； 对③：函数的定义域为，值域为R； 对④：因为函数，所以函数的定义域为，值域为. 所以①②④是定义域和值域相同的函数， 故选：B. 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解. 【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D. 故选：B. 5. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 7. 已知偶函数的图像关于直线对称，当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的对称性和奇偶性得到周期性，再求解解析式即可 【详解】因为是偶函数，所以， 因为的图像关于直线对称，所以， 故，故是周期为2的周期函数， 当时，， 所以， 故当时，，故B正确. 故选：B 8. 设函数，集合，若，则实数的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用分式不等式解法，分别讨论，，时的集合，再根据判断集合间的关系即可求解． 【详解】函数，集合，， 若时，，，所以，符合； 若时，，，所以，不符合； 时，，，所以，不符合， 综上， ． 故选：C． 二、多选题（共3小题） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】将原式平方即可判断A，由即可判断B，结合二倍角公式以及余弦的和差角公式化简即可判断C，由与的值代入计算，即可判断D. 【详解】由可得，则，故A正确； 且，则， 所以， 且，则，故B错误； ，故C正确； 因为， 由，可得，故D错误； 故选：AC 10. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 11. （多选）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 的图象关于点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义推理可得的周期，结合已知函数求出，再逐项分析判断. 【详解】由为奇函数，得，即， 则，由为偶函数，得，则， 于是，函数是周期函数，一个周期为4， 由，得，由，得， 由，得，于是，解得， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，由，得，为偶函数，C正确； 对于D，，的图象关于点对称，D错误. 故选：AC 三、填空题（共3小题） 12. 已知，函数若，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值. 【详解】，故， 故答案为：2. 13. __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两两角和差的正切公式，化简求值，即可得答案. 【详解】， 又， 所以， 所以 ， 故答案为： 14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______． ①；②当时，；③是奇函数． 【答案】（答案不唯一，均满足） 【解析】 【分析】根据幂函数的性质可得所求的. 【详解】取，则，满足①， ，时有，满足②， 的定义域为， 又，故是奇函数，满足③. 故答案为：（答案不唯一，均满足） 四、解答题（共5小题） 15. 已知方程. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式化简可得，再对所求式子化简，再代入求值即可； （2）由（1）得，结合可得，再代入求值即可． 【小问1详解】 ，， ，且， 原式． 【小问2详解】 且， ，解得：， ． 16. 已知定义在上的函数是奇函数. （1）求，的值，并判断函数的单调性； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），在上是减函数 （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质和定义求，由单调性定义判断单调性； （2）由函数单调性及奇偶性将不等式转化为变量关系，分离参数并根据二次函数性质求范围. 【小问1详解】 是定义在上的奇函数，，解得； ，， ，即对一切实数都成立，，故. ，，在上是减函数. 证明：任取，且，则， ，，，，， 即，在上是减函数； 【小问2详解】 不等式，，， 是上的减函数，恒成立， 由对恒成立，. 即实数的取值范围为. 17. 已知，，且，，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用两角和的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可得解； （2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出，再利用两角差的正弦公式求出的正弦值，并求出的范围，即可得解. 【小问1详解】 由， 解得， 所以； 【小问2详解】 ， 由，，得， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 又，， 所以，所以， 所以， 所以． 18. 已知函数的导函数为. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得在点处的切线方程； （2）先化简不等式，然后根据参数进行分类讨论，通过分离参数进行转化，进而构造新的函数并研究新函数即可. 【小问1详解】 的定义域为 由得： 切点为，且，则有：切线的斜率为2 从而所求切线方程为： 【小问2详解】 由（1）得：. 不等式恒成立，等价于不等式恒成立 ①当时，不等式恒成立，满足条件； ②当时，，恒成立 则有：，恒成立 设，则有： 当时，； 当时，. 则有：在上单调递增，在上单调递减 ，满足条件； ③当时，，恒成立 则有：，恒成立. 由②知，在上单调递增，在上单调递减 ，则有： 可得： 故有：不可能恒成立，即不满足条件 综上得：或 【点睛】对于函数 ，，常用到以下两个结论： （1） 恒成立，等价于； （2） 恒成立，等价于 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）当，在单调递增. ，在单调递增，在单调递减. 当,在单调递增，在单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）先求得再根据1,0,2a的大小进行分类确定的单调性； （2）借助第（1）问的结论,通过分类讨论函数的单调性,确定零点个数,从而可得的取值范围为. 【小问1详解】 当，则当时，；当时，. 所以在单调递减，在单调递增. 当，由得或. 若，则，所以在单调递增. 若，则, 故当时，； 当时，， 所以在单调递增，在单调递减. 若，则，故当时，， 当时，， 所以在单调递增，在单调递减. 当，在单调递减，在单调递增. 综上所述,当，在单调递增. ，在单调递增，在单调递减. 当,在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 当，则由（1）知，在单调递减，在单调递增. 又，取满足且， 则，所以有两个零点. 当，则，所以只有一个零点. 当，若，则由（1）知，在单调递增. 又当时，，故不存在两个零点； 若，则由（1）知，在单调递减，在单调递增.又当时，故不存在两个零点. 综上，的取值范围为. 【名师点睛】本题第（Ⅰ）问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（Ⅱ）问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $