第23章旋转小结与复习 大单元教学分层优化练2025－2026学年人教版数学九年级上册（知识点梳理+高频考点解析+达标检测）

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 第23章旋转小结与复习（知识点梳理+高频考点解析+达标检测） 知识点1 旋转的性质及应用 旋转的定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等． （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 知识点2 中心对称及中心对称图形 中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 中心对称的性质： （1）关于中心对称的两个图形是全等形． （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等． 中心对称的判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称． 中心对称图形的定义：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 中心对称与中心对称图形区别与联系： （1）中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与原图形重合． （2）中心对称与中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称． 中心对称与轴对称的区别与联系： （1）中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心——点；图形绕中心旋转180°，旋转后与另一个图形重合．轴对称有一条对称轴——直线．图形沿直线翻折180°，翻折后与另一个图形重合． （2）中心对称与轴对称的联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形． 知识点3 利用旋转进行证明和计算 综合利用旋转的性质，（1）对应点到旋转中心的距离相等．（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．结合图形进行证明和计算。 考点1 旋转的性质的应用 例1．如图，将绕点C顺时针方向旋转得到，若，连接， 则度数为 ． 【变式1-1】．如图，点D是等边三角形内一点，，绕点A逆时针旋转到的位置，则E，D两点间的距离为 ． 【变式1-2】．如图，中，点E在边上，，将线段绕A 点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式1-3】．如图，点M，N分别在正方形的边上，且，把绕点A顺时针旋转得到． (1)求证：． (2)若，求正方形的边长． 考点2 中心对称与中心对称图形的识别 例2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】．下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】．下列各组图形中，与成中心对称的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 考点3 关于原点对称的点的坐标特征 例3．已知点A，如果点A关于轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，那么C点的坐标是 ． 【变式3-1】．如图，已知平行四边形的对角线与交于坐标原点，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【变式3-2】．已知平行四边形的两条对角线相交于直角坐标系的原点，点的坐标分别为，则的坐标分别为 ． 【变式3-3】．已知点关于原点对称的点在第一象限，那么的取值范围是 ． 考点4 旋转作图 例4．画出梯形绕点D逆时针旋转后的图形． 【变式4-1】．如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作； （1）将原图形绕点O逆时针旋转90°； （2）发挥你的想象，进一步设计图案，让图案变得更加美丽． 【变式4-2】．已知长方形中，边的长度是，边的长度是，．将长方形绕着点旋转到位置，旋转角为． (1)当长方形绕点顺时针旋转90°时，请画出旋转后的图形； (2)在（1）的情况下，用、的代数式表示的面积； (3)当时，如果与的度数之比是，请写出旋转方向和旋转角度． 【变式4-3】．如图，是等边三角形，． (1)尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为点C（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形是菱形； 考点5旋转中的几何模型与压轴题 例5．已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． ． 【变式5-1】．旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”． 【问题解决】如图1，P是等边内一点，且，，，若将绕点A逆时针旋转后，得到． (1)则点P与之间的距离为 ， （直接写出答案）． (2)在（1）的条件下，小明同学在求时思路如下：如图2，过点B作，交延长线于H，请你根据他的思路，计算 （直接写出答案）． (3)【类比探究】如图3，点P是正方形内一点，，求的度数？请写出完整过程； （直接写出答案）． (4)【学以致用】如图4，将绕点B逆时针旋转至，连接，，记与交于点D，可知，由，可知为等边三角形，有．故，因此，当共线时，如图5，有最小值为．请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形内一点，Q为边上一点，连接、、，则的最小值为 （直接写出答案）． 【变式5-2】．如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 【变式5-3】．如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． (1)如图2，当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列图形中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（   ） A．46° B．48° C．56° D．58° 3．如图，是一个的正方形网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），建立如图的平面直角坐标系．如果m为任意常数，那么随m的变化，动点会经过的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 4．等边三角形绕其中心点旋转一定角度后，可以与自身重合，旋转角最小为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转后得到，则下列四个图形中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，，点，分别在，上且有，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（   ）． A． B． C． D． 7．如图，在中，，，点P是内一点，，且，那么的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，将长、宽分别为4和2的长方形和边长为1的正方形按如图所示位置摆放，将正方形绕点A旋转的过程中，线段的最大距离是（   ） A． B．4 C． D．8 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．在直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为 ． 10．如图，直线与y轴交于点A，将直线l绕点A旋转后，所得直线的表达式为 ． 11．如图，P为正方形内一点，，，，则 ． 12．把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，，把三角板绕着点C顺时针旋转得到（如图乙），此时与交于点 O，则线段的长度为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，将三边长分别为，，的沿轴向右滚动到的位置，再到的位置，依次进行下去，发现，，，则点的坐标为 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，将经旋转后到达的位置．问：    (1)旋转中心是哪一点？ (2)如果M是边的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？ 15．面积为2的正方形，如图． (1)写出A、B、C、D的坐标． (2)把边绕某点旋转到与重合，怎么转？ (3)将边平移到与重合，怎么平移？ 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，， (1)画出绕点O顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)将（1）中所得先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，直接写出点的坐标． 17．如图，菱形，，E为菱形内一点，连接，再将绕着点B逆时针旋转到，连接，且交于点G．求证：． 18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，点，且，已知点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为． (1)求A，C两点的坐标； (2)连接，当点P在x轴的正半轴上时，用含t的代数式表示的面积； (3)当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图1，在平面直角坐标系中，已知，，三点在同一条直线上，其中a、b、c满足关系式． (1)求a，b，c的值． (2)若点在y轴的正半轴上，请用含m的式子表示的面积． (3)如图2，直线交x轴于点，直线交y轴于点E，直线，过B、D分别作直线的垂线，垂足为F，G，且．点H在直线上，在第二象限中是否存在点H，使的面积等于面积的？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 20．【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动，这两张长方形纸片的长为，宽为． (1)【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片和摆成图1的形状，点A与点E重合，边与边重合，边，在同一直线上．请判断：的形状为 ． (2)【解决问题】如图2，在（1）的条件下，小明将长方形绕点A顺时针转动（转动角度小于），即边与边交于点，连接，平分，交于点，，求的度数． (3)【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形绕点A顺时针转动一周，若边所在的直线恰好经过线段的中点时，连接，，请直接写出的面积． 第二部分 高频考点精析 第三部分 达标检测 第一部分 知识点梳理 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 第23章旋转小结与复习（知识点梳理+高频考点解析+达标检测）（解析版） 知识点1 旋转的性质及应用 旋转的定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等． （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 知识点2 中心对称及中心对称图形 中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 中心对称的性质： （1）关于中心对称的两个图形是全等形． （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等． 中心对称的判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称． 中心对称图形的定义：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 中心对称与中心对称图形区别与联系： （1）中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与原图形重合． （2）中心对称与中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称． 中心对称与轴对称的区别与联系： （1）中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心——点；图形绕中心旋转180°，旋转后与另一个图形重合．轴对称有一条对称轴——直线．图形沿直线翻折180°，翻折后与另一个图形重合． （2）中心对称与轴对称的联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形． 知识点3 利用旋转进行证明和计算 综合利用旋转的性质，（1）对应点到旋转中心的距离相等．（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．结合图形进行证明和计算。 考点1 旋转的性质的应用 例1．如图，将绕点C顺时针方向旋转得到，若，连接， 则度数为 ． 【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质， 先根据旋转得，再根据等腰三角形的性质得，然后结合直角三角形的两个锐角互余求出，最后根据得出答案. 【详解】解：根据旋转得， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 【变式1-1】．如图，点D是等边三角形内一点，，绕点A逆时针旋转到的位置，则E，D两点间的距离为 ． 【答案】2 【知识点】等边三角形的性质、等边三角形的判定、根据旋转的性质求解 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，由旋转的性质得出，旋转角，证明为等边三角形，由等边三角形的性质得出答案． 【详解】解：连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转到的位置， ∴，旋转角， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：2． 【变式1-2】．如图，中，点E在边上，，将线段绕A 点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由旋转的性质可得，证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出； （2）根据等边对等角求出，根据全等三角形的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 将线段绕点旋转到的位置， ， 在与中， ， ， ； （2）解：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明是解题的关键． 【变式1-3】．如图，点M，N分别在正方形的边上，且，把绕点A顺时针旋转得到． (1)求证：． (2)若，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点，并灵活应用． （1）利用正方形的性质得出直角和相等边，利用旋转的性质得出相等角和边，然后根据边角边即可证明三角形全等； （2）借助（1）中全等三角形得出相等边，假设正方形的边长为，表示出相关的边，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 假设正方形的边长为，则， 由勾股定理得， 即 解得，（负值已舍）， ∴正方形的边长为6． 考点2 中心对称与中心对称图形的识别 例2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形”、“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”排除选项即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； 故选D． 【变式2-1】．下列图形中，成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】成中心对称 【分析】本题考查了成中心对称的概念，熟练掌握知识点是解题的关键，把一个图形绕着一个定点旋转后，和另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这点对称，也叫做这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．据此即可求解． 【详解】解：A、两个图形成中心对称，符合题意； B、两个图形不成中心对称，不符合题意； C、两个图形不成中心对称，不符合题意； D、两个图形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 【变式2-2】．下列各组图形中，与成中心对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】成中心对称 【分析】本题考查了成中心对称的知识，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点；熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：根据成中心对称的概念可得，与成中心对称的如图所示： ， 故选：D． 【变式2-3】．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 考点3 关于原点对称的点的坐标特征 例3．已知点A，如果点A关于轴的对称点是B，点B关于原点的对称点是C，那么C点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，求关于原点对称的点的坐标，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据点A关于轴的对称点是B，求出，再根据点B关于原点的对称点是C，求得C点的坐标． 【详解】解：∵点，点A关于轴的对称点是B， ∴， ∵点B关于原点的对称点是C， ∴C点的坐标是， 故答案为：． 【变式3-1】．如图，已知平行四边形的对角线与交于坐标原点，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查平行四边形的性质，关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握和运用平行四边形的性质及关于原点对称的点的坐标特点． 根据平行四边形的性质，可知点A与点C关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点，即可得点的坐标． 【详解】解：∵平行四边形的对角线与交于坐标原点， ∴点和点关于原点对称， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式3-2】．已知平行四边形的两条对角线相交于直角坐标系的原点，点的坐标分别为，则的坐标分别为 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查平行四边形的性质与点的坐标的表示、解题的关键是掌握关于原点对称的点的特征，已知点，则其关于原点对称的点的坐标为． 已知平行四边形两条对角线的交点坐标是坐标系的原点，则两条对角线相互平分，故点A与点C、点B与点D关于原点对称，由于已知点A，B的坐标，故可求得C，D的坐标即可． 【详解】解：由题意知：点A与点C、点B与点D关于原点对称， ∵点A，B的坐标分别为， ∴C，D的坐标分别是， 故答案为：． 【变式3-3】．已知点关于原点对称的点在第一象限，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】已知点所在的象限求参数、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，熟练掌握其性质是解题关键．根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而结合象限内坐标符号特点，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点在第一象限， ， ． 故答案为：． 考点4 旋转作图 例4．画出梯形绕点D逆时针旋转后的图形． 【答案】见详解 【知识点】画旋转图形 【分析】本题考查了旋转作图，根据旋转的性质，找出点，再依次连接，即可作答． 【详解】解：梯形绕点D逆时针旋转后的图形，如图所示： 【变式4-1】．如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作； （1）将原图形绕点O逆时针旋转90°； （2）发挥你的想象，进一步设计图案，让图案变得更加美丽． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】画旋转图形、利用旋转设计图案 【分析】（1）由将原图形绕点O逆时针旋转90°可得旋转后的图形的边与原图形对应的边垂直且相等，故可画出旋转后的图形； （2）当组成的图形为中心对称图形时，图案会更加美丽，由此可补全图形，即可得到更加完美的图形． 【详解】解：（1）∵将原图绕点O逆时针旋转90°， ∴旋转后的图形的边与原图形对应的边垂直且相等． ∴可画出旋转后的图形，如图1粗实线所示： （2）由（1）中图形可知，当组成的图形为中心对称图形时，图案会更加美丽， 可再将原图形绕点O逆时针旋转180°，然后将原图形绕点O顺时针旋转90°， 如图2所示． 【点睛】本题考查了旋转作图和利用旋转设计图案，解题的关键是要充分利用图形的特点和网格． 【变式4-2】．已知长方形中，边的长度是，边的长度是，．将长方形绕着点旋转到位置，旋转角为． (1)当长方形绕点顺时针旋转90°时，请画出旋转后的图形； (2)在（1）的情况下，用、的代数式表示的面积； (3)当时，如果与的度数之比是，请写出旋转方向和旋转角度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)顺时针转，，逆时针转， 【知识点】计算多项式乘多项式、根据矩形的性质求线段长、画旋转图形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了作图-旋转变换、矩形性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据要求画出图形即可； （2）连接，由旋转的性质得出，，根据可得出答案； （3）分两种情况，根据与的度数之比是，列出方程可得出答案． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）解：连接，将长方形绕着点旋转， ∴，， ∴， ∴ ； （3）解：如图，将长方形绕着点顺时针方向旋转时， ∴， ∴， ∵与的度数之比为， ∴， 解得：； 如图，将长方形绕着点逆时针方向旋转时， 同理可得：， 解得：； 综上所述，顺时针转时，；逆时针转时，． 【变式4-3】．如图，是等边三角形，． (1)尺规作图：将绕点A逆时针旋转得到，点B旋转后的对应点为点C（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形是菱形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、等边三角形的性质、证明四边形是菱形、画旋转图形 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）作，然后截取，连接即可完成作图； （2）由（1）可得，，根据是等边三角形，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 证明：在和中，， ∴ ∴绕点A逆时针旋转得到； （2）证明：由（1）可知：，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 考点5旋转中的几何模型与压轴题 例5．已知中，，将绕着点C顺时针旋转，得到． (1)如图1，当点M落在边上时，求线段的长； (2)如图2，当绕着点C顺时针旋转到的位置时，连接． ①判断线段与的位置关系并说明理由； ②求的值； ③在的旋转过程中，直接写出的面积与的面积之和的最大值为________． 【答案】(1)7 (2)①，理由见解析；②；③ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三线合一、用勾股定理解三角形、面积问题(旋转综合题) 【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，过点C作于点D，根据，可得，可得，由旋转的性质得：，从而得到，即可求解； （2）①由旋转的性质得：，从而得到，进而得到，再由，可得，即可解答；②根据勾股定理可得，再由旋转的性质得：，即可求解；③延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，结合旋转的性质可得，，从而得到，再证明，可得，从而得到，进而得到当最大时，最大，再由的最大值为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图，过点C作于点D， ∴， ∴， 解得：， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： 由旋转的性质得：， ∴ ，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴； ③如图，延长至点T，使，过点N作交延长线于点K，连接，如图， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴当最大时，最大， 而的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为∶． 【点睛】本题主要考查了图形的旋转的问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 【变式5-1】．旋转是图形的一种基本变换，通过图形的旋转变换，能将一些简单的平面图形按要求旋转到适当的位置，并且保持对应“元素”． 【问题解决】如图1，P是等边内一点，且，，，若将绕点A逆时针旋转后，得到． (1)则点P与之间的距离为 ， （直接写出答案）． (2)在（1）的条件下，小明同学在求时思路如下：如图2，过点B作，交延长线于H，请你根据他的思路，计算 （直接写出答案）． (3)【类比探究】如图3，点P是正方形内一点，，求的度数？请写出完整过程； （直接写出答案）． (4)【学以致用】如图4，将绕点B逆时针旋转至，连接，，记与交于点D，可知，由，可知为等边三角形，有．故，因此，当共线时，如图5，有最小值为．请你用上述思想方法，解决下列问题：如图6，P是边长为6的正方形内一点，Q为边上一点，连接、、，则的最小值为 （直接写出答案）． 【答案】(1)3； (2) (3)见解析， (4) 【知识点】垂线段最短、含30度角的直角三角形、利用勾股定理的逆定理求解、面积问题(旋转综合题) 【分析】本题考查了垂线段最短及其应用、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形、勾股定理和勾股定理的逆定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）由题意可得，，，根据角之间的关系可得，再根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，则，再根据角之间的关系即可求出答案； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，再根据含角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案； （3）将绕点B按顺时针方向旋转，使与重合，过点A作，交的延长线于点H，由旋转可得：，，，，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，则，根据勾股定理可得，，，再根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，即，再根据角之间的关系可得，再根据正方形面积即可求出答案； （4）将绕点A逆时针旋转得到，则，，，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，是等边三角形，则，作于点H交于点G，则，根据含角的直角三角形性质可得，，再根据边之间的关系可得当点E，F，G，H四点共线且垂直时，有最小值为，则，即可求出答案； 【详解】（1）解：由题意可得： ，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：3；； （2）解：由（1）知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：将绕点B按顺时针方向旋转，使与重合，过点A作，交的延长线于点H，如图： ， 由旋转可得：，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，在中，由勾股定理可得， ∴，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， 即，解得：， ∴， 在中，， 即， ∴， 故答案为：； （4）解：将绕点A逆时针旋转得到，连接，如图： ∴，，， ∴是等边三角形，是等边三角形， ∴， 作于点H交于点G， ∴， ∴，， ∵， ∴当点E，F，G，H四点共线且垂直时，有最小值为， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； 【变式5-2】．如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． (1)线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； (2)如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； (3)将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 【答案】(1)＝，⊥； (2)线段与线段的关系不发生变化．证明见解析； (3)． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、线段问题(旋转综合题) 【分析】（1）由直角三角形斜边中线定理即可证明，进而可证； （2）如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，证明，推出，再利用三角形中位线定理即可解决问题； （3）分别求出的最大值、最小值即可解决问题． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：＝，⊥； （2）线段与线段的关系不发生变化．理由如下： 如图，延长到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交于O，     ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （3）如图2，连接．     ∵， ∴如图3时取得最大值时，点E落在上时，     ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最大值； 如图4中，当点E落在的延长线上时，的值最小，     ∵，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最小值， 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式5-3】．如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． (1)如图2，当时，求证：； (2)如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； (3)连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的面积的最大值为，旋转角 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、角度问题(旋转综合题) 【分析】（1）利用“”证得，即可得到结论； （2）利用“”证得，推出，进而得出，再结合勾股定理，得出，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论； （3）观察图形，当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得，，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：根据题意：，，， 在和中， ， ， ，且， ， ， ， ，，， ，， ， ， 是线段的垂直平分线； （3）解： 在中，边的长是定值，则边上的高取最大值时，的面积有最大值， 当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图， ，，，， ，， ，， 的面积的最大值为：， 此时旋转角． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，寻找全等三角形，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列图形中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题考查中心对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据中心对称图形的定义，逐个判断即可． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形是中心对称图形，符合题意； D．该图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选C． 2．如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为（   ） A．46° B．48° C．56° D．58° 【答案】C 【知识点】等边对等角、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了旋转的性质，旋转之后图形完全不变是解题的关键．根据旋转的性质，来求解的度数． 【详解】解：将绕着点顺时针旋转后，得到， ，， ， ， 故选：． 3．如图，是一个的正方形网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），建立如图的平面直角坐标系．如果m为任意常数，那么随m的变化，动点会经过的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【知识点】坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，结合点P的坐标，得出点P在直线上，画出直线的图象，据此进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为点P坐标为， 所以点P在直线上． 如图所示， 显然随着m的变化，点P会经过点A． 故选：A． 4．等边三角形绕其中心点旋转一定角度后，可以与自身重合，旋转角最小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度 【分析】本题考查了旋转对称图形的概念，根据等边三角形的性质，求出等边三角形的旋转对称角即可． 【详解】解：， ∴旋转角最小为． 故选：B 5．如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转后得到，则下列四个图形中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是读懂题意，掌握旋转的性质． 观察图形可知，将绕点按顺时针方向旋转，旋转到下方格处，据此可得答案． 【详解】解：将绕点A按顺时针方向旋转后得： 故选：C． 6．如图，在矩形中，，，点，分别在，上且有，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键，设，分两种情况：当时，作于，于；当时，作于，于；分别利用矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理计算即可得解． 【详解】解：设， 如图，当时，作于，于， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， ∴当时，有最小值， ∴此时的最小值为； 如图，当时，作于，于， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理可得：， ∴， ∴当时，有最小值1， 故此时的最小值为； 综上所述，的最小值为， 故选：B． 7．如图，在中，，，点P是内一点，，且，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 如图，把绕C逆时针旋转得到，连接，可以证明、为等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，把绕C逆时针旋转得到，连接， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ， ， ， ， 故选：D． 8．如图，将长、宽分别为4和2的长方形和边长为1的正方形按如图所示位置摆放，将正方形绕点A旋转的过程中，线段的最大距离是（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】连接，当共线时，此时 最大，根据长方形中 ，正方形的边长为1，可得，，即可求解. 【详解】解：如图，连接，当共线时，此时最大， ∵长方形中 ，正方形的边长为1， ∴，， ∴ 故选：C． 【点睛】此题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形的三边关系. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．在直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为 ． 【答案】3 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是是解题的关键． 先根据点与点关于原点对称得到，，代入求值即可． 【详解】解：由题意得，，， ， 故答案为：3． 10．如图，直线与y轴交于点A，将直线l绕点A旋转后，所得直线的表达式为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、根据旋转的性质求解、一次函数图象与旋转问题 【分析】本题主要考查旋转的性质，待定系数法求解析式的综合，，则，由题意知所得直线与原直线垂直，故与y轴的正半轴的夹角为，得出点，，代入解析式，即可得出答案． 【详解】解∶ 记直线l与x轴的交点为B，旋转后得直线与x轴的交点为． 在中令，则，故点， ． 令，则，故点， ． ． ． 由题意知所得直线与原直线垂直， 故与y轴的正半轴的夹角为，即． 轴， ． ． ． ． 设， 把点，代入的解析式中有 解得 故：． 故答案为∶ ． 11．如图，P为正方形内一点，，，，则 ． 【答案】/度 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理与勾股定理逆定理，将绕B顺时针旋转到，得，，，再求得，进而得，即可得，从而，解题关键是勾股定理的应用． 【详解】解：如图：将绕B顺时针旋转到， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， 由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．把一副三角板如图甲放置，其中，，，斜边，，把三角板绕着点C顺时针旋转得到（如图乙），此时与交于点 O，则线段的长度为 ． 【答案】5 【知识点】三角形的外角的定义及性质、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据旋转的性质求解 【分析】先求出，由，，得到，又由，得到，由，得到 ，在中，由勾股定理即可得到答案． 【详解】如图所示， 由题意得，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质及判定、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，将三边长分别为，，的沿轴向右滚动到的位置，再到的位置，依次进行下去，发现，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、坐标与旋转规律问题 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题的关键是灵活运用旋转的知识找到点的坐标变化规律．根据已知条件得到点的坐标，再根据旋转的性质依次得到、的坐标，进而得到、的坐标，即可找到规律得到与的坐标，进而求解点的坐标． 【详解】解：由题意可知，， ，，， ， 根据旋转可知：， ， ， 继续旋转得，， 发现规律：，， ， 点的坐标为． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．如图，将经旋转后到达的位置．问：    (1)旋转中心是哪一点？ (2)如果M是边的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？ 【答案】(1)旋转中心是点A (2)经过旋转后，点M转到了边的中点处 【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】本题考查了图形的旋转变化； （1）观察图形，找到公共顶点可得出旋转中心； （2）因为旋转前后是对应边，故的中点M，旋转后就是的中点了． 【详解】（1）∵将经旋转后到达的位置，它们的公共顶点为A， ∴旋转中心是点A． （2）∵旋转前后是对应边，M是边的中点， ∴经过旋转后，点M转到了边的中点处． 15．面积为2的正方形，如图． (1)写出A、B、C、D的坐标． (2)把边绕某点旋转到与重合，怎么转？ (3)将边平移到与重合，怎么平移？ 【答案】(1)，，，； (2)线段绕点顺时针旋转与线段重合； (3)把线段先向右平移1个单位，再向下平移1个单位与线段重合． 【知识点】坐标与图形、根据正方形的性质求线段长、已知点平移前后的坐标，判断平移方式、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】（1）先求出正方形的边长，进而可得出的长，据此得出结论； （2）根据，两点的坐标即可得出结论； （3）根据两点的坐标即可得出结论． 本题考查的是点的坐标、平移与旋转，熟知各坐标轴上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】（1）解：正方形的面积为2， ， ，， ， ，，，； （2）边绕某点旋转到与重合，，， 线段绕点顺时针旋转与线段重合； （3）边平移到与重合，，， 把线段先向右平移1个单位，再向下平移1个单位与线段重合． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，， (1)画出绕点O顺时针旋转后的图形，并写出点的坐标； (2)将（1）中所得先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，直接写出点的坐标． 【答案】(1)画图见解答；点的坐标为 (2)点的坐标为 【知识点】平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）根据平移的性质可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． （2）解：先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， 点的坐标为． 17．如图，菱形，，E为菱形内一点，连接，再将绕着点B逆时针旋转到，连接，且交于点G．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用菱形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据菱形的性质得出，，再由图形旋转的性质得出，根据定理得出，由全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形，， ∴，． 又∵绕着点B逆时针旋转到， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，A，C两点的坐标分别为，点，且，已知点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为． (1)求A，C两点的坐标； (2)连接，当点P在x轴的正半轴上时，用含t的代数式表示的面积； (3)当点P在线段上运动时，在y轴上是否存在点Q，使与全等？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或 【知识点】绝对值非负性、写出直角坐标系中点的坐标、全等三角形的性质、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】本题考查了非负数的性质，全等三角形的性质，求点的坐标等知识，利用三角形全等是解题的关键； （1）由非负数的性质即可求解； （2）由题意得，，由三角形面积公式即可求解； （3）分两种情况，；；利用三角形全等的性质，考虑点Q的位置即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵，，如图 ∴， 由题意得：， 当点P在x轴的正半轴上时，， ∴； （3）解：存在； 当时，则， 如下左图，当点Q在y轴正半轴上时，； 当点Q在y轴负半轴上时，； 当时，则， 如右图，当点Q在y轴正半轴上时，； 当点Q在y轴负半轴上时，； 综上，点Q的坐标为或或或． 19．如图1，在平面直角坐标系中，已知，，三点在同一条直线上，其中a、b、c满足关系式． (1)求a，b，c的值． (2)若点在y轴的正半轴上，请用含m的式子表示的面积． (3)如图2，直线交x轴于点，直线交y轴于点E，直线，过B、D分别作直线的垂线，垂足为F，G，且．点H在直线上，在第二象限中是否存在点H，使的面积等于面积的？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)的面积为或 (3)存在，点H的坐标为 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、列代数式、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】（1）利用算术平方根和绝对值，平方的非负性求解即可； （2）首先得到，，，然后根据题意分两种情况讨论：当点在点C上方时，当点在点C下方时，然后分别表示出，利用代入求解即可； （3）如图所示，连接、，过点H作轴于点M，过点B作轴于点N，证明出，得到，然后求出，利用求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， 解得，，； （2）解：∵，， ∴，， 由题意可知，点P可能在点C的上方或点P在点C的下方两种情况： 当点在点C上方时，如图所示，   ∴， ∴； 当点在点C下方时，如图所示， ∴， ∴，                        综上所述，的面积为或； （3）解：存在，点H的坐标为，理由如下：        如图所示，连接、，过点H作轴于点M，过点B作轴于点N． 由（1）可得，，， ∴，，，， ，，且 ∴ 又∵ 解得 ∴ ∴点H的坐标为． ∴在第二象限中存在点，使的面积等于面积的． 【点睛】此题考查了算术平方根，绝对值的非负性，坐标与图形综合，解题的关键是正确表示三角形的面积． 20．【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动，这两张长方形纸片的长为，宽为． (1)【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片和摆成图1的形状，点A与点E重合，边与边重合，边，在同一直线上．请判断：的形状为 ． (2)【解决问题】如图2，在（1）的条件下，小明将长方形绕点A顺时针转动（转动角度小于），即边与边交于点，连接，平分，交于点，，求的度数． (3)【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形绕点A顺时针转动一周，若边所在的直线恰好经过线段的中点时，连接，，请直接写出的面积． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2) (3)或 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据矩形的性质，可证明，得到，，再利用直角三角形的性质，可推得，即得答案； （2）过点A作于，先证明，得到，可进一步证明，，从而可得答案； （3）分旋转角小于和大于两种情形，分别画出图形，根据三角形全等和勾股定理可逐步求得答案． 【详解】（1）长方形纸片和完全相同， ，，， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形． （2）如图2，过点A作于， ，， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 平分， ； （3）情况一，如图，当旋转角小于时， 过作于点， ， 为中点， ， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ， ， 情况二：如图，当旋转角大于时， 过作于， 同情况一得， ，， 在中，， ， ， ， 综上所述，为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用相关知识是解答本题的关键． 第二部分 高频考点精析 第三部分 达标检测 第一部分 知识点梳理 学科网（北京）股份有限公司 $