专题01 几何综合题分类训练（5种类型35道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01几何综合题分类训练(5种类型40道) 类型三角形相关综合题 类型2全等三角形相关综合题 几何综合题分类训练 类型坚等腰三角形相关综合题 类型4等腰直角三角形相关综合题 类型5等边三角形相关综合题 目目 类型01 三角形相关综合题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,∠BAC的平分线AF交CD于点E,交BC于F, CM⊥AF于M,CM的延长线交AB于点N,下列五个结论：①AC=AN:②EN=FC:③EN∥BC: ④∠ABC=450 ⑤连接BM,若5=16，则w=8 ,则 ,其中正确的结论有() A.①②④ B.①②③ C.①②③⑤ D.①②③④⑤ 2.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6cm,D为BC中点且AD⊥BC,E、F分别是AB、AC边 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上的动点，且∠EDF=90°，下列结论：①BE=AF;②∠BED+∠CFD的度数不变；③△AEF的面积存 在最小值：④△DEF的面积存在最小值；⑤四边形AEDF的面积为9Cm,其中正确的结论个数是() E B D A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.如图，△ABC中，∠I=∠2，点G为AD中点，延长BG交AC于点E,F为AB上一点，且CF⊥AD 于点H,下列判断中，①线段BG是△ABD边AD上的中线：②线段CH是△ACH中AH边上的高：③ △ABG与△BDG面积相等；④AB-AC=BF;⑤∠2+∠FBC+∠FCB=90°，其中正确的结论有() F G H D A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 4.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,∠ACB的外角平分线所在的直线与∠ABC 的平分线相交于点D,与∠ABC的外角平分线相交于点E,则下列结论①∠B0C=0+A:② 五：0a706-4D07+7D:081=00a7+17⊙ O B C F A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D O C F ∠DCF=∠DBC+∠D ∠E+∠DCF=90°-)∠A+∠DBC+;∠A=90°+∠DBC, 2 2 ,∠ABD=∠DBC, .∠E+∠DCF=90°+∠ABD, 故④正确，符合题意： 综上正确的有：①②③④. 故选：D. ABC 5.在三角形纸片 中，∠A=90,∠C=25,点D为1C边上靠近点C处一定点，点E为C边上一动 中， 点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C处 ①如图1，当点C落在C边上时，∠4DC=50 C BC C ②如图2，当点落在 内部时，∠ADC+∠BEC'=50 ABC 园如图3.，当点C落在8C上方时，<BEC-∠0C-50 C" ④当CE∥AB 时， ∠CD6=32.5或2CDE=123.5, 以上结论正确的个数是() 图1 图2 图3 A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G,交BE 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于点H.下列结论： ①SE=SE.②∠AFG=∠AGF,③FA=GD,④∠FAG=2∠ACF,其中正 确的有() G E H D ①② ②③ ①②④ ①③④ A. B. c. D. 7.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC,过点P作PM⊥BA,PN⊥BC分别交BA,BC的延长线于点 M,N,连接PC,PC平分∠ACN.则下列结论：①AP平分∠MAC;②∠ABC+2∠APC=180°；③ ∠B1C=2∠BPC:④9 S△PAC=S△MaP+S△NCP 其中正确的结论有() N CN A.①④ B.①③ C.①②④ D.①②③④ 8.如图，∠ABC=∠ACB,BD,CD,AD分别平分△ABC的内角∠ABC,外角∠ACF,外角∠EAC 结论：①AD∥BC:②∠4CB=2∠ADB:③∠BDC=∠BAC；④2∠HDB+∠CDB=o09: 2 ∠ADC+∠ABD=135°.其中正确的结论有() D B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 目目 类型02 全等三角形相关综合题 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=9O°，AD⊥BC于D,BE平分∠ABC交AC于E,交AD于F, FG∥BC,FH∥AC,下列结论：①AE=AF;②AF=FH;③AG=CE:④AB+FG=BC,其中正确 的结论有() ◇ D H A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②③④ 10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D,DE L AB于E,点F在AC上，点G在 AB上，BE=CF,FD平分∠CFG,下列结论中正确的个数() ①DC=DE:②GD平分∠FGE,③∠CMB+2∠FDG=l80°，④S,mo-=S.me+S,a A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F,过点F作DEBC交AB于点D,交AC于点E,下 列结论：①△BDF,△ADE都是等腰三角形；②DE=BD十CE;③△ADE的周长等于AB+AC;④BF= CF;⑤若∠A=80°，则∠BFC=130°，其中正确的有() A D B C A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P,BE=BC,PB与CE交于点 H,PG∥AD交BC于F,交AB于G,连接CP.下列结论：①∠ACB=2LAPB:②SPAC:SAPAB=AC: AB;③CH=HE;④∠PCF=∠CPF;⑤∠CPA=∠CEA.其中，正确的有() D G B E A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 13.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同 一条直线上，连接BD,BE.以下四个结论：①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ADB=∠AEC;④ BE=AD+AB,其中结论正确的有() D B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.如图，OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=36°，连接AC,BD交于点M,连接OM. 下列结论：①∠AMB=36°；②AC=BD;③OM平分∠BOC:④M0平分∠AMD中，正确的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 15.如图，在△ABC中，AD L BC于点D,AE平分∠BAC,交BC于点E,F为BC的延长线上一点， FG LAE,交AE的延长线于点G,FG与AC的延长线交于点M,与AD的延长线交于点N,连接BN. 给出下列结论： ①∠DEA=∠F②∠DAE=∠ABD-ACE③S△AEB:S△MBC=AB:AC④∠BNF= ∠BAE+∠ACB.其中正确的有() 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 16.如图，△ABC纸片中，AB=AC,∠BAC=90°，BC=8,沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落 在BC边上的点F处，折痕为CD,BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上，则结论：①DF=DA;②∠ABE= 22.5°；③△BDF的周长为8；④CD=2BE.正确的有() A D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 目目 类型03 等腰三角形相关综合题 17.如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=C,连接BD和CE相 交于点P,交AC于点M,交AD于点N.下列结论：①BD=CE:②∠BPE=180°-2a;③AP平分 ∠BPE;④若a=60°，则PE=AP+PD.其中一定正确的结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 △BAD≌ACAE 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 片aun=ScE,BD=CE LBDAH-ICE-AF, 2 ..AH AF, :AH⊥BD,AF⊥CE, .AP平分∠BPE,故③正确： :∠BDA=∠CEA,∠PND=∠ANE, ∴.∠NPD=∠DAE=a, ∠BPE=180°-∠NWPD=180°-a,故②错误； 在线段CE上截取OE=PD,连接AO, , ABAD≌ACAE .∠BDA=∠CEA, .OE=PD,AE=AD, △AOE≌△APD(SAS) .AP=AO, 由②得∠BPE=180°-∠NPD=180°-a, .∠BPE=120°， :AP平分∠BPE, .∠AP0=60°， .AP=AO, :△APO为等边三角形， .AP=PO .PE=PO+OE,OE=PD, PE=PA+PD,故④正确； 综上，正确的结论有3个， 故选：C 8/16 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.如图，在△ABC中，AB=AC,点D为线段BC上一动点（不与点B,C重合），连接AD,作 ∠ADE=∠B=40°，DE交线段AC于点E,下列结论：①∠DEC=∠BDA;②若AB=DC,则AD=DE: ③当DE⊥AC时，则D为BC中点：④当△ADE为等腰三角形时，∠BAD=40°；其中正确的有() E 140° 0 B D A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 19.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，点D为线段BC上一动点（不与点B,C重合），连接AD, 作∠ADE=∠B,DE交线段AC于点E,下列结论中正确的个数是() D ①∠BAD=∠CDE: ②若点D在线段AE的垂直平分线上，则AB=DC: ③若点D为BC中点，则DE⊥AC: ④若△ADE为等腰三角形，则∠BAD=45°. A.1 B.2 C.3 D.4 20.如图；在△1BC .AB=AC,AD▣△ABC 中， 的角平分线，下列结论正确的有() ①AD L BC;②BD=CD;③AC=2CD;④∠B=∠C;⑤△ABD≌△ACD B D A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 21.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，BE⊥AC,CF⊥AB，,垂足分别为E,F. 则下列四个结论：①AD上任意一点到点C,B的距离相等；②AD上任意一点到边AB,AC的距离相等； ③BD=CD,AD⊥BC;④∠BDE=∠CDF;⑤BC=AD.其中，正确的个数为() 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H B D A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 22.如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足，则下列四个 结论：①∠DEF=∠DFE:②AE=AF;③DA平分∠EDF;④EF垂直平分AD.其中结论正确的有( E B D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 23.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于 点E,那么下列结论，其中正确的有() ①△BDF是等腰三角形：②DE=BD+CE;③若∠A=50°；∠BFC=115°；④DF=EF. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 24.如图，已知在直角三角形1BD中 BD=6,AD=8,AB=10,LADB 中， 为直角，把△BD 沿翻折得到 △ACD,点P、E分别是线段AD、AB上的动点，有下列结论：①△ABC中AB边上的高是9.6；② PE+PB的最小值是8：③若AE=3BE,则PB-PE的最大是2.5.其中正确的结论有() 10/16 专题01 几何综合题分类训练（5种类型40道） 地 城 类型01 三角形相关综合题 1．如图，在中，，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点，下列五个结论：①；②；③；④；⑤连接，若，则，其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①②③ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴ ， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； 根据题意无法确定的大小的大小关系， 无法得到，故④错误； ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②③⑤， 故选：． 2．在中， ，，为中点且，、分别是、边上的动点，且，下列结论：①；②的度数不变；③的面积存在最小值；④的面积存在最小值；⑤四边形的面积为，其中正确的结论个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】①易证，从而即可得到；②由可得，再根据即可判断；③综合④的面积存在最小值和⑤四边形的面积为即可判断；④根据，再根据点到直线垂线段最短可知当时，最小，即此时的面积最小；⑤根据全等三角形面积相等可知：，再利用中点平分面积即可得到四边形的面积． 【详解】解： ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 、是等腰直角三角形， ,， 又， ， ， 在和中， ， ， ，,， 故①正确， ， ， 的度数不变， 故②正确， ,， ， 当时，最小， 当最小时，的面积存在最小值， 故④正确， ， ， ， 是中点， ， ， 四边形的面积为， 故⑤正确， ， ， 的面积存在最小值， 的面积存在最大值， 故③错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、点到直线之间，垂线段最短等知识点，通过推理论证每个命题的正误是解决此题的关键． 3．如图，中，，点为中点，延长交于点，为上一点，且于点，下列判断中，①线段是边上的中线；②线段是中边上的高；③与面积相等；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中线、高的定义，三角形面积公式以及三角形外角性质和内角和定理，解题的关键是熟练运用这些几何概念和性质，逐一分析每个结论的正确性． 根据三角形中线、高的定义，三角形面积公式，以及三角形角度关系，逐一分析五个结论的正确性． 【详解】解：①因为为中点，所以是边上的中线，故正确； ②因为于，所以是中边上的高，故正确； ③因为为中点，根据等底等高的三角形面积相等，故正确； ④因为，可知，根据等角对等边得，故正确， ⑤因为于，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质得到，，所以，故正确． 所以正确的个数是5个． 故选：A． 4．如图，在中，与的平分线交于点，的外角平分线所在的直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论①；②；③；④．正确的有：（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 故④正确，符合题意； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 5．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 6．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下列结论：；；；，其中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，角平分线的性质，三角形内角和定理，根据三角形的中线定义和三角形面积公式可对进行判断； 利用三角形内角和定理得到，，则利用得到，然后根据对顶角相等得到，则可对进行判断，过作于点，利用角平分线的性质可对进行判断； 根据等角的余角相等得到，则利用角平分线的定义得到，于是可对进行判断.根据三角形的高、中线、角平分线，角平分线的性质逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确； 过作于点，如图， ∵，平分， ∴， ∵在中，， ∴，故错误； ∵，， ∴， ∴， ∴，故正确； 综上可知：正确， 故选：. 7．如图，在中，平分，过点P作，分别交，的延长线于点M，N，连接，平分．则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．①④ B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由平分，，，可得，如图，作于，由，平分，可得，则，证明，则，，，即平分，可判断①的正误；同理，，则，，，即，可判断④的正误；由，，可得，可判断②的正误；由平分，平分，则，，设，，则，，，，可得，可判断③的正误． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 如图，作于， 又∵，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，，即平分，①正确，故符合要求； 同理，， ∴，， ∴，即，④正确，故符合要求； ∴， ∵， ∴，②正确，故符合要求； ∵平分，平分， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∴，③正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 8．如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义得，根据三角形外角的性质得，继而得到，可判断结论①；根据平行线的性质得，根据角平分线的定义得，再根据，可判断结论②；根据角平分线的定义得，由平角定义得，根据三角形外角的性质得，可推出，根据三角形三角和定理得，可判断结论③；根据角平分线的定义得，，由平行线的性质得，，得到，，可推出，可判断结论④；⑤由④得，，由平行线的性质得，继而得到，可判断结论⑤，即可得解． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴，故结论②正确； ③∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故结论③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论④正确； ⑤由④得，， ∵， ∴， ∴，故结论⑤不正确； ∴正确的结论有个． 故选：C． 9．如图，在中，，于D，平分交于E，交于F，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（     ）地 城 类型02 全等三角形相关综合题    A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上判定与性质是解题的关键，①根据角度之间的计算和角平分线的性质即可得到答案；②由平行线的性质和全等三角形的判定与性质可证得答案；③利用平行四边形的判定与性质即可证得答案；④根据平行四边形的性质和全等三角形的性质即可证得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， 故④正确， 综上所述，①②③④均正确， 故选：A． 10．如图，在中，，平分交于，于，点在上，点在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ；平分；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据角平分线的性质，全等三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分交于，， ∴，故正确； 如图，过作于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴点在角平分线上， ∴平分，故正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故正确； 由上得，， ∴，， ∴， ∴，故正确， 综上可知，正确，共个正确， 故选：． 11．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质． 【详解】∵∠B、∠C的角平分线交于点F， ∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF， 设∠DBF＝∠CBF＝α，∠ECF＝∠BCF＝β， ∵， ∴∠DFB＝∠CBF＝α，∠EFC＝∠BCF＝β， ∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF， ∴DB＝DF，EF＝EC， ∴△BDF与△CEF为等腰三角形， ∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE， △ADE的周长为AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC， ∵只有当△ABC是等腰三角形时，△ADE是等腰三角形，且BF＝CF， ∴②③正确，①④不正确， ∵∠A＝80°， ∴∠FBC＋∠FCB＝＝50°， ∴∠BFC＝180°－50°＝130°，故⑤正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键． 12．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PGAD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③CH=HE；④∠PCF＝∠CPF；⑤∠CPA＝∠CEA．其中，正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】①根据角平分线的性质和外角的性质即可得到结论； ②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论； ③根据线段垂直平分线的性质即可得结果； ④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果； ⑤先求出∠DCB=2∠CAP+2∠CPA，再求出∠DCB=2∠CAP+2∠CEA，即可得出结果． 【详解】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE， ∴∠PAB=∠CAB，∠PBE=∠CBE， ∵∠CBE=∠CAB+∠ACB， ∠PBE=∠PAB+∠APB， ∴∠ACB=2∠APB；故①正确； 过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S， ∴PM=PN=PS， ∴PC平分∠BCD， ∵S△PAC：S△PAB=（AC•PN）：（AB•PM）=AC：AB；故②正确； ∵BE=BC，BP平分∠CBE， ∴BP垂直平分CE（三线合一）， ∴CH=HE，故③正确； ∵PG∥AD， ∴∠FPC=∠DCP， ∵PC平分∠DCB， ∴∠DCP=∠PCF， ∴∠PCF=∠CPF，故④正确． ∵CP是∠DCB的角平分线， ∴∠DCP=∠DCB=∠CAP+∠CPA， ∴∠DCB=2∠CAP+2∠CPA， ∵BE＝BC， ∴∠CEA=∠BCE， ∴∠CBA=2∠CEA， ∵∠DCB=2∠CAP+∠CBA=2∠CAP+2∠CEA， ∴∠DCB=2∠CAP+2∠CPA=2∠CAP+2∠CEA， ∴∠CPA＝∠CEA，故⑤正确． 故选A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，根据角平分线的性质和平行线的性质解答是解题的关键． 13．如图，在和中，，，，点，，三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，垂直的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，勾股定理的应用，能利用全等三角形的性质和判定求解是解此题的关键．证明，根据全等三角形的性质即可判断①②③；根据三角形三边的关系和全等三角形的性质即可判断④． 【详解】解：， ， 即． 在和中， ， ， ．故①正确； ， ． ， ， ， ． ；故②正确； ， ，故③正确； ∵，，， ∴④，故④错误； 故选：C． 14．如图，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分中，正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的性质，熟练掌握证明三角形全等的方法是解题的关键． 由证明得出，，可判定②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，可判定①正确；作于，于，如图所示：则，利用全等三角形对应边上的高相等，得出，由角平分线的判定方法得出平分，可判定④正确；假设平分，则，由全等三角形的判定定理可得，得，而，所以，而，故可判定③错误；即可得出结论． 【详解】解：，，，， ， 即， 在和中， ， ， ，， 故结论②正确，符合题意； （已证）， ， 由三角形的外角性质得： ， ， 故结论①正确，符合题意； 作于，于，如图， 则， ， ， ∵，， （全等三角形对应边的高相等）， 平分， 故结论④正确，符合题意； 假设平分，则， 平分， ， ， 则， 即， 在与中， ， ， ， ， ， 而， 故结论③错误，不符合题意； 正确的个数有3个； 故选：C． 15．如图，在中，于点，平分，交于点，为的延长线上一点，，交的延长线于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．给出下列结论：；；；．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，根据三角形的内角和即可；根据角平分线的定义得，由三角形的内角和定理得，变形可判断；根据三角形的面积公式角平分线性质即可判定；根据三角形的内角和和外角的性质即可判断，正确的识别图形，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ，故错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故错误； ∵平分， ∴点到和的距离相等， ∴，故正确； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故错误， 综上可知：正确，共个， 故选：． 16．如图，△ABC纸片中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处，折痕为CD，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，则结论：①DF＝DA；②∠ABE＝22.5°；③△BDF的周长为8；④CD＝2BE．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得AC=CF，AD=DF，∠ACD=∠DCB=22.5°，由余角的性质可得∠EBC=67.5°，可求∠EBA=∠EBC-∠ABC=22.5°，由线段的和差关系可求△BDF的周长为8，延长CA，BE交于点H，证明△BCE≌△HCE和△ACD≌△ABH，可证CD=2BE． 【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点F处， ∴△ACD≌△FCD， ∴AC=CF，AD=DF，∠ACD=∠DCB==22.5°，故①正确； ∵BE⊥CD， ∴∠EBC=90°-∠ECB=67.5°， ∴∠EBA=∠EBC-∠ABC=22.5°，故②正确； ∵C△BDF=BD+DF+BF=BD+AD+BF=AC+BF=CF+BF=BC=8， ∴△BDF的周长为8，故③正确， 如图，延长CA，BE交于点H， ∵∠ACD=∠BCD，CE=CE，∠BEC=∠CEH=90°， ∴△BCE≌△HCE（ASA） ∴BE=EH， ∴BH=2BE， ∵∠EBA=∠ACD=22.5°，∠BAH=∠CAD=90°，AC=AB， ∴△ACD≌△ABH（ASA） ∴CD=BH， ∴CD=2BE，故④正确， 综上分析可知，正确的个数为4个，故D正确． 故选：D． 17．如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（   ）地 城 类型03 等腰三角形相关综合题 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定，证明即可判定①；过点作于，于，由全等三角形的性质得，即得，根据角平分线的判定即可判定③；由全等三角形的性质和三角形内角和定理可得，即得，即可判定②；在线段上截取，连接，证明得，根据②可得为等边三角形，即得，即得，即可判定④；综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； 过点作于，于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，故③正确； ∵，， ∴， ∴，故②错误； 在线段上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由②得， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有个， 故选：． 18．如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和．通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确． 【详解】解：∵， ， ，， ，故①正确； 若， 由①得， ， ，故②正确； 若，则可得， ∵， D为中点，故③正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④不正确， 所以正确的为①②③， 故选：A． 19．如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论中正确的个数是（　　） ①； ②若点D在线段的垂直平分线上，则； ③若点D为中点，则； ④若为等腰三角形，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，注意多种情况讨论. 根据三角形外角的性质得，再结合，可解答①；先求出，再设，可得，，接下来根据线段垂直平分线的性质得，进而得，最后根据“等角对等边”解答②；根据等腰三角形的性质得，可得，再根据三角形内角和定理判断③即可；分两种情况：当时，设，则，，根据等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理求出，可得答案；当时，可得，进而求出，最后根据可得答案. 【详解】解：①∵， ∴， 又∵， ∴， 故结论①正确； ②在中，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴. ∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故结论②正确； ③∵点D为中点，，如图1所示： ∴， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 故结论③正确； ④∵， ∴当为等腰三角形时，有以下两种情况： （ⅰ）当时，如图2所示： 设， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 由结论①正确得； （ⅱ）当时，如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：当为等腰三角形，则或． 故结论④不正确， ∴正确的结论是①②③，共3个． 故选：C． 20．如图；在中，是的角平分线，下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定，等腰三角形的角平分线，底边上的中线，底边的高相互重合． 由于，利用等边对等角，等腰三角形三线合一定理，可知，，，从而，无法证明，进而求解即可． 【详解】∵在中，是的角平分线， ∴ ∴，，，故①②④正确； ∴，故⑤正确； 无法证明，故③错误． 综上所述，正确的有4个． 故选：C． 21．如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分别为，．则下列四个结论：①上任意一点到点，的距离相等；②上任意一点到边，的距离相等；③，；④；⑤．其中，正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质可得垂直平分，，可判断③，由角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可判断①②，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可判断④，即可求解．本题考查了等腰三角形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：，是的角平分线， 垂直平分，， 上任意一点到点和点的距离相等，故①正确； 是的角平分线， 上任意一点到，的距离相等，故②正确； ，是的角平分线， ，，故③正确； ，， ， 又∵， ， ，，， ， ， ，故④正确， 由条件无法证明，故⑤错误， 故选：C． 22．如图，在中，，平分，，E，F为垂足，则下列四个结论：①；②；③平分；④垂直平分．其中结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角、角平分线的性质与判定定理、垂直平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． ①由角平分线的性质可得，再结合等边对等角可得，即①正确；②易证，可得，即②正确；③由角平分线的判定定理可判定③；④由垂直平分线的定义可知垂直平分，即④错误． 【详解】解：①∵平分，，E，F为垂足， ∴， ∴，即①正确； ②∵， ∴， ∴，即②正确； ③∵，， ∴平分，即③正确； ④∵， ∴垂直平分，而不是垂直平分，即④错误； 综上，说法正确的个数是3个． 故选C． 23．如图，中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论，其中正确的有（   ） ①是等腰三角形；②；③若；；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义证明，得到即可判断①；同理可证即可判断②；根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数即可判断③；根据现有条件无法证明，即可判断④． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；故①符合题意； 同理， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴ ，故③符合题意； 若，则，根据条件无法证明这一点， ∴不一定等于，故④不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质，三角形内角和定理等知识点，根据两直线平行、内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形是解答本题的关键． 24．如图，已知在直角三角形中，为直角，把沿翻折得到，点P、E分别是线段上的动点，有下列结论：①中边上的高是；②的最小值是8；③若，则的最大是2.5．其中正确的结论有（    ） A．② B．①② C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查折叠的性质，轴对称求最短距离，等腰三角形的判定与性质，利用三角形面积公式即可判断①；过点B作，作点E关于的对称点，连接，先证明三角形是等腰三角形，由对称的性质结合垂线段最短可得当三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，即可判断②；根据题意求出，利用，即可判断③． 【详解】解：设中边上的高是， ∵直角三角形中，为直角， 由折叠的性质得， ∴， ∵， ∴，故①正确； 如图，过点B作，作点E关于的对称点，连接， 由折叠的性质得， ∴是等腰三角形， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当三点共线，且时，有最小值，最小值为的长， 同理①得， ∴的最小值是，故②错误； ∵，， ∴， ∵， ∴当点P与点A重合时，有最大值， 此时，故③正确； 故选：D． 25．如图，等腰直角中，，于D，的平分线分别交、于E、F两点，M为的中点，延长交于点N，连接，，给出下列结论：①；②垂直平分；③是等腰三角形；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个．地 城 类型04 等腰直角三角形相关综合题 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：，，， ∴，，， ∴， 平分， ∴， ∴， ∴， ，故①正确；③正确， 为的中点， ∴， ∴垂直平分；故②正确； ，， ，故④错误； ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，故⑤错误， 综上所述：其中正确的结论有①②③，共3个， 故选：B． 26．已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案．         此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中， ∵， ， ∴，本选项正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ， ∵， ， ∴，本选项正确； ③∵， ， ∴， ∴，本选项正确； ④∵， ，故此选项正确， 故选：D． 27．如图，在中，，，的平分线交于点，过点作的延长线，交的延长线于点，连接．下列结论：①；②；③为等腰直角三角形；④，其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，证明 是解题的关键．由等腰直角三角形的性质和角平分线的性质可求，故①正确；进而可得，故②正确；由“”可证，可得，，可证是等腰直角三角形，故③正确；由等腰三角形的性质可得，故④正确，即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， 又， ， 故①正确； ， ， ，故②正确； ， ， ， ， 在和中， ，， 是等腰直角三角形，故③正确； ，， ， ， 故④正确， 正确的个数为4个， 故选：D. 28．如图，在中，，平分，于点E，于点D，交于点F，H是边的中点，连接与交于点G．现有下列结论：①；②；③是等腰三角形；④四边形和四边形面积相等．其中正确的结论有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，综合运用知识点进行推理是解此题的关键．根据角平分线的定义求出，求出，根据全等三角形的判定推出，，根据全等三角形的性质得出，，再逐个判断即可． 【详解】解：平分， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ∴，即，故①正确； ，， ，故②正确； ，H为的中点， ， ， ，， ， ， 是等腰三角形，故③正确； ， ， 又和的面积不一定相等， ，故④错误； 即正确的是①②③，共3个， 故选：C． 29．已知：如图，在，中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论： ①；②；③，④． 其中结论正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的证明以及全等的性质．因为且有公共角，所以，结合，，由SAS可知；在与中，有为公共边，，但没有，所以无法证明；由全等三角形对应角相等，可得，，所以=，． 【详解】解：，中，，，， ，都为等腰直角三角形， ， , ， 在与中 （SAS）， 所以①正确； 由可得，， =， ， ， 所以③，④正确； 在与中，有为公共边，，但不能证明，所以无法证明与全等，即不能证明， 所以②错误； 综上，正确的有①，③，④三个， 故选：C． 30．如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 先证明是等腰直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，证明，同理可证，同理可证，根据全等三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：如图， ，， 是等腰直角三角形， ，是中点， ， 、都是的余角， ， 在与中， ， ， 同理可证， ①由得到，故①正确； ②由得到， 是直角， 是等腰直角三角形，故②正确； ③由得到， 则， 故③正确； ④，， ，， ， ④错误； 正确结论为①②③． 故选：C． 31．如图，在中，，，，点是的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转时（点不与、重合），以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中一定正确的结论有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出，，，求出，证≌，推出，，，求出，即可得出答案． 【详解】解：中，，，是中点， ，，， ， ， 在和中， ， ≌(ASA)， ，， 是等腰直角三角形， 正确；正确； ≌ ， ， 正确； 是等腰直角三角形，是的中点， ， 是动点， ，故错误； 即正确的有个． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，解题的关键是熟练运用这些性质做题． 32．如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． 根据题意，利用角边角证明，可得是等腰直角三角形，可判定结论①；过点作于点，证明，得，，可判定结论②；根据上述证明，设，则，，，可判定结论③；根据题意可证，得到，结合上述证明可得，则有，进而得到，可判定结论④；由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①正确； 如图所示，过点作于点    由①的证明可得，，则， ∵， ∴， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 由上述证明，设，则，，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， 由①可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：C ． 33．如图，等边中，、分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接．下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的说法有（    ）地 城 类型05 等边三角形相关综合题 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】①正确．根据证明三角形全等即可．②正确．证明，即可．③正确．证明，即可．④正确．过点作于，于，于，想办法证明，即可．⑤正确．由题意，，因为，推出，又因为，由此可得结论． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ，故①正确， ， ， ， ， ， ， 、的平分线交于边上的点， ，， ， ，故②正确， ∵、的平分线交于边上的点， ∴点到、、的距离相等， ∴平分， 同法可得， ， ， ，故③正确， 过点作于，于，于， 平分，平分， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，故④正确， ， ， ， ， ，故⑤正确， 故选：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 34．如图，在中，，，，延长到点，使．有以下结论：平分；；是等边三角形；，则正确的结论有（        ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质及已知条件得出，则，证明是边的垂直平分线，得出，根据三角形外角的性质求出即可判断；根据三角形的内角和定理可得，从而可得，即可判断；在上截取，连接，证明是等边三角形，再证明，利用线段的和与等量代换即可判断． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵； ∴，即平分； ∴正确， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴正确， 在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正确， ∴正确的结论有：， 故选：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质． 35．如图，是内部一点，关于，的对称点分别是点，点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论： ①是等边三角形；    ②； ③的周长等于线段的长；    ④；正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键．由题意得，从而得出，可判断②，由且的大小没有确定，可得出的大小没有确定，可判断①，由对称性可得为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线，从而得出，从而得出的周长，可判断③，由题意得，可得，从而得出，即得出，所以，再求解即可判断④． 【详解】解：关于，的对称点分别是点，点， ， ， 故②正确， ，的大小没有确定， 的大小没有确定， 不一定是等边三角形， 故①错误， 关于，的对称点分别是点，点， 为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线， ， 的周长， 故③正确， 如图，设与交于点E，与交于点F， 由题意得， ， ， ， ， ， ， ， ； 故④正确， 故选：C． 36．如图，与都是等边三角形，点，，在同一条直线上，与相交于点，与相交于点，与相交于点．连接、．给出下列个结论：①；②；③；④；⑤平分．其中正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识点，熟悉等边三角形的性质以及全等三角形的判定是解题的关键．利用证明，即可判定①；通过,则判断，则可判定②；根据三角形的内角和定理、对顶角性质可得出,即可判定③；利用证明，即可证明为等边三角形，即可判定④；过点作、，利用证明，即可判定⑤． 【详解】解：∵与都是等边三角形， ∴,,, ∴，即 ∴，故①正确； ∴， ∴，故②错误； ∴ ∵， ， ∴，故③正确； ∵，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形, ∴，故④正确； 如图，过点作、， ∴， ∵，， ∴ ∴, ∴点在的角平分线上， ∴平分，故⑤正确． 综上，正确的有①、③、④、⑤，个结论． 故选． 37．如图，是等边三角形，是上一点，于点为上一点且，连接垂直平分，交于点，交于点，连接、．下列四个结论：①是等腰三角形；②是等边三角形；③；④．其中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定．熟练掌握各知识点是解题关键． 由线段垂直平分线的性质可知，即是等腰三角形，故①正确；由题意易证，结合等边三角形的性质，即可证是等边三角形，故②正确；由题意易证，结合平行线的性质即可求出，故③正确；根据，即可判断，故④错误． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，即是等腰三角形，故①正确； ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故②正确； ∵垂直平分，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误． 综上可知正确的结论为①②③，共3个． 故选∶C． 38．如图，等边中，D为内部一点，且，E为外一点，且，连接和，则下列结论：①，②， ③，其中正确的有（    ） A．① B．①③ C．② D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用．熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解题的关键．根据等边三角形的性质，得到等边三角形的边角关系，然后利用“边边边”证明，从而可证明结论①正确；利用“边角边”证明，从而可证明结论③正确；由，则有，根据对顶角相等有，根据三角形的内角和定理可得，若，则，而不一定等于，故结论②错误； 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ，； 结论①正确； ， ， ，， ， ． 结论③正确； ，， ， ， 又， 若，则， 而不一定等于，故结论②错误； 故①③正确． 故选：B． 39．如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AC，BC边上的点，AD＝CE，连接AE，BD交于点F，∠CBD，∠AEC的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于点H，连接FG． 有下列结论： ①△ABD≌△CBG； ②∠BGE＝30°； ③∠ABG＝∠BGF； ④AB＝AH+FG． 其中，正确的结论个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据已知条件无法证明△ABD≌△CBG，①不正确；证明△ABD≌△CAE，可得∠CAE＝∠ABD，然后求出∠GEC＝∠FBE＋30°，∠GBE＝∠FBE，根据三角形外角的性质可得∠BGE＝30°，②正确；过点G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K，证明Rt△GFJ≌Rt△GFT，求出∠GFJ＝∠GFT＝60°，进而可得∠BGF＝60°－∠FBG，∠ABG＝60°－∠CBG，可得③正确；证明△GJF≌△GKC，得到GF＝GC，然后再证∠AHG＝∠AGH求出AH＝AG即可判断④正确． 【详解】解：∵∠C＝∠BAD＝60°，BC＝AB，根据已知条件无法得出CG＝AD或其它对应角相等， ∴无法得出△ABD≌△CBG，①不正确； ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝∠BAC＝60°， 在△ABD和△CAE中，， ∴△ABD≌△CAE（SAS）， ∴∠CAE＝∠ABD， ∵∠BFE＝∠BAE＋∠ABD， ∴∠BFE＝∠BAE＋∠CAE＝∠BAC＝60°， ∵∠AEC＝∠EBF＋∠BFE， ∴∠AEC＝∠FBE＋60°， ∵∠CBD、∠AEC的平分线交于AC边上的点G， ∴∠GEC＝∠AEC＝∠FBE＋30°，∠GBE＝∠CBD＝∠FBE， ∵∠GEC＝∠GBE＋∠BGE， ∴∠BGE＝30°，故②正确； 过点G作GT⊥BD于T，GJ⊥AE于J，GK⊥BC于K， ∵BG平分∠DBC，EG平分∠AEC， ∴GT＝GK＝GJ，∠FBG＝∠CBG， ∵∠GJF＝∠GTF＝90°，GF＝GF， ∴Rt△GFJ≌Rt△GFT（HL）， ∴∠GFJ＝∠GFT， ∵∠BFE＝60°， ∴∠GFJ＝∠GFT＝60°， ∴∠BFG＝120°， ∴∠BGF＝180°－120°－∠FBG＝60°－∠FBG， ∵∠ABG＝∠ABC－∠CBG＝60°－∠CBG，且∠FBG＝∠CBG， ∴∠ABG＝∠BGF，故③正确； ∵∠GFJ＝∠C＝60°，∠GJF＝∠GKC＝90°，GJ＝GK， ∴△GJF≌△GKC（AAS）， ∴GF＝GC， ∵∠BAH＋∠EAC＝∠EAC＋∠AGF＝60°， ∴∠BAH＝∠AGF， ∵∠AHG＝∠ABG＋∠BAH，∠AGH＝∠BGF＋∠AGF，∠ABG＝∠BGF， ∴∠AHG＝∠AGH， ∴AH＝AG， ∴AH＋GF＝AG＋GC＝AC＝AB， ∴AB＝AH＋FG，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 40．如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：；；；．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键． ①证明，可得， ，再结合等边三角形的性质即可判断①正确；②由，可得，即，即可判断②正确；③作的平分线交于点K，可证得是等边三角形，得出，证明，即可判断结论③正确；④由，得出．由③得，，．则．所以．，即可判断结论④错误． 【详解】解：是等边三角形， ，． ． 在和中， ， ，． ， ． ， ． ， ；故①正确． ， ，即． ， ． ， ；故②正确． ③如图，作的平分线交于点K，则， ， ． ，即． ， ． 是等边三角形． ． 在和中， ． ． ． ；故③正确． ， ，，． 由③得，， ． ． ． ． ． ． ，故④错误． 故正确的有，3个， 故选：B． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $