专项突破提升(一)-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（人教版）

专项突破提升(一) 二次函数的图象与性质 类型一　二次函数图象的对称性与系数的关系 1．(4分)已知抛物线y＝(x－2)2＋1，下列结论错误的是(　D　) A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝2 C．抛物线的顶点坐标为(2，1) D．当x＜2时，y随x的增大而增大 2．(4分)已知二次函数y＝ax2＋bx－c(a≠0)，其中b＞0，c＞0，则该函数的图象可能是(　C　) 3．(4分)抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的部分图象如图所示，设m＝a－b＋c，则m的取值范围是 －4＜m＜0 ． 类型二　二次函数的增减性与最值问题 4．(4分)已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是(　D　) A．若c＜0，则a＜c＜b B．若c＜0，则a＜b＜c C．若c＞0，则a＜c＜b D．若c＞0，则a＜b＜c 5．(4分)设二次函数y＝a(x－m)(x－m－k)(a＞0，m，k是实数)，则(　A　) A．当k＝2时，函数y的最小值为－a B．当k＝2时，函数y的最小值为－2a C．当k＝4时，函数y的最小值为－a D．当k＝4时，函数y的最小值为－2a 解析：令y＝0，则(x－m)(x－m－k)＝0， ∴x1＝m，x2＝m＋k． ∴二次函数y＝a(x－m)(x－m－k)与x轴的交点坐标是(m，0)，(m＋k，0)． ∴二次函数的对称轴是直线x＝＝＝． ∵a＞0， ∴y有最小值． 当x＝时，y最小， 即y＝a＝－a． 当k＝2时，函数y的最小值为y＝－a＝－a； 当k＝4时，函数y的最小值为y＝－a＝－4a． 故选A． 6．(4分)点A(m－1，y1)，B(m，y2)都在二次函数y＝(x－1)2＋n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为(　B　) A．m＞2 B．m＞ C．m＜1 D．＜m＜2 7．(10分)已知函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点(0，－3)，(－6，－3)． (1)求b，c的值； (2)当－4≤x≤0时，求y的最大值； (3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值． 解：(1)把(0，－3)，(－6，－3)代入y＝－x2＋bx＋c， 得b＝－6，c＝－3． (2)∵y＝－x2－6x－3＝－(x＋3)2＋6， －4≤x≤0， ∴当x＝－3时，y有最大值，最大值为6． (3)①当－3＜m≤0时， 当x＝0时，y有最小值，为－3． 当x＝m时，y有最大值，为－m2－6m－3． ∵y的最大值与最小值之和为2， ∴－m2－6m－3＋(－3)＝2． ∴m1＝－2，m2＝－4(舍去)． ②当m≤－3时， 当x＝－3时，y有最大值，为6． ∵y的最大值与最小值之和为2， ∴y的最小值为－4． ∴－(m＋3)2＋6＝－4． ∴m1＝－3－，m2＝－3＋(舍去)． 综上所述，m＝－2或m＝－3－． 类型三　二次函数的动点问题 8．(10分)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(2，－3)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式． (2)抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(2，－3)， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3． (2)存在． ∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴点D的坐标为(1，－4)． 令x＝0，则y＝x2－2x－3＝－3， ∴点C的坐标为(0，－3)． 又∵点B的坐标为(2，－3)，∴BC∥x轴． ∴S△BCD＝×2×1＝1． 设抛物线上的点P的坐标为(m，m2－2m－3)，∴S△PBC＝×2×|m2－2m－3－(－3)|＝－2m|． 当|m2－2m|＝4×1时， 解得m＝1±． 当m＝1＋时，m2－2m－3＝1； 当m＝1－时，m2－2m－3＝1． 综上，点P的坐标为(1＋，1)或(1－，1)． 类型四　二次函数的图象与字母系数之间的关系 9．(4分)如图，二次函数y＝ax2＋bx(a≠0)的图象过点(2，0)，下列结论错误的是(　D　) A．b＞0 B．a＋b＞0 C．x＝2是关于x的方程ax2＋bx＝0(a≠0)的一个根 D．若点(x1，y1)，(x2，y2)在二次函数的图象上，则当 时，y2＜y1＜0 10．(4分)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与y轴的交点在(0，1)与(0，2)之间，对称轴为直线x＝－1，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①b＝2a；②－3＜a＜－2；③4ac－b2＜0；④若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋a＝m－4(a≠0)有两个不相等的实数根，则m＞4；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小．其中，正确的有(　B　) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．(4分)已知抛物线y＝x2－bx＋c，当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0．下列判断：①b2＞2c；②若c＞1，则b＞；③已知点，n1)，B(m2，n2)在抛物线y＝x2－bx＋c上，当 m1＜m2＜b时，n1＞n2；④若方程x2－bx＋c＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＞3．其中，正确的有(　C　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型五　二次函数与图形变换 12．(4分)将抛物线y＝(x－1)2＋5平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2＋2x＋3，则平移的方向和距离是(　D　) A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 13．(4分)小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点(2，0)有4种方法： ①向右平移2个单位长度； ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度； ③向下平移4个单位长度； ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度． 你认为小嘉说的方法中正确的有(　D　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．(12分)如图，点P(a，3)在抛物线C：y＝4－(6－x)2上，且在C的对称轴的右侧． (1)写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值； (2)坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝－x2＋6x－9．求点P′移动的最短路程． 解：(1)∵抛物线C：y＝4－(6－x)2＝－(x－6)2＋4， ∴抛物线的顶点为Q(6，4)，抛物线的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4． 当y＝3时，3＝－(x－6)2＋4， 解得x＝5或x＝7． ∵点P在对称轴的右侧， ∴P(7，3)．∴a＝7． (2)∵平移后的抛物线的解析式为y＝，∴平移后的顶点为Q′(3，0)． ∵平移前抛物线的顶点为Q(6，4)，∴点P′移动的最短路程为QQ′＝＝5． 15．(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线M经过A(－1，0)，且顶点坐标为B(0，1)． (1)求抛物线M的函数解析式． (2)设F(t，0)为x轴正半轴上一点，将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1． ①若t＝1，直接写出抛物线M1的函数解析式(顶点式即可)； ②t取符合条件的值时抛物线M1的顶点B1的坐标可表示为 (2t，－1) ，当抛物线M1与线段AB有公共点时，结合函数的图象，求t的取值范围． 解：(1)由抛物线M的顶点坐标为B(0，1)，设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋1． 将A(－1，0)代入，得a×(－1)2＋1＝0， 解得a＝－1． ∴抛物线M的函数解析式为y＝－x2＋1． (2)①由旋转的性质，得B1(x，y)与B(0，1)关于点F(t，0)对称， ∴＝t，＝0，解得x＝2t，y＝－1． ∴当t＝1时，点B1的坐标为(2，－1)． ∴y＝(x－2)2－1． ②由题意可知抛物线M1的顶点B1的坐标可以表示为(2t，－1)． 故答案为(2t，－1)． ∵二次项系数为1，∴抛物线M1的函数解析式为y＝(x－2t)2－1(t＞0)． 如图，当抛物线M1经过点A(－1，0)时，(－1－2t)2－1＝0， 解得t1＝－1(舍去)，t2＝0． 如图，当抛物线M1经过点B(0，1)时， (0－2t)2－1＝1，解得t1＝，t2＝－(舍去)． 结合图象可得0<t≤． 类型六　二次函数与一次函数的综合问题 16．(4分)如图，已知抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋m交于A(－3，y1)，B(1，y2)两点，则关于x的不等式ax2＋c≥－kx＋m 的解集是(　D　) A．x≤－3或x≥1 B．x≤－1或x≥3 C．－3≤x≤1 D．－1≤x≤3 17．(4分)如图，抛物线y＝－x2－6x－5交x轴于A，B两点，交y轴于点C，D(m，m＋1)是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 (－5，－4)或(0，1) ． 18．(14分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x的图象与二次函数y＝－x2＋bx(b为常数)的图象相交于O，A两点，点A的坐标为(3，m)． (1)求m的值以及二次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式－x2＋bx＜x的解集； (3)若P为抛物线的顶点，连接OP，AP，求△POA的面积． 解：(1)∵点A(3，m)在一次函数y＝x的图象上， ∴m＝3． 将点A(3，3)代入y＝－x2＋bx， 得3＝－32＋3b， 解得b＝4． 故二次函数的解析式为y＝－x2＋4x． (2)由图象可知，一次函数与二次函数相交于O(0，0)，A(3，3)两点， 观察图象可以看出当x＜0或x＞3时，y＝＋bx的图象在y＝x图象的下方， ∴不等式－x2＋bx＜x的解集为x<0或x>3． (3)如图，连接AB，分别过点P，A向x轴作垂线，垂足分别为E，F． ∵点P为抛物线的顶点， ∴点P的坐标为(2，4)． 由题意，得A(3，3)，抛物线与x轴的另一个交点为B(4，0)． ∴OE＝2，PE＝4，EF＝1，AF＝3，BF＝1， 则S四边形APOB＝×2×4＋×(4＋3)×1＋×1×3＝9． ∵S△ABO＝×4×3＝6， ∴S△POA＝S四边形APOB－S△ABO＝9－6＝3． ∴△POA的面积为3． 类型七　二次函数与方程、不等式 19．(4分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－2，0)，B(4，0)，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是(　A　) A．a≥ B．a＞ C．0＜a＜ D．0＜a≤ 20．(4分)已知函数y＝ax2－(a＋1)x＋1，有下列说法： ①若该函数图象与x轴只有一个交点，则a＝1； ②方程ax2－(a＋1)x＋1＝0至少有一个整数根； ③若＜x＜1，则y＝ax2－(a＋1)x＋1的函数值都是负数； ④不存在实数a，使得ax2－(a＋1)x＋1≤0对任意实数x都成立． 其中，不正确的有(　C　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $