专项突破提升(二) 解直角三角形的基本模型-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（青岛版）

专项突破提升(二)　解直角三角形的基本模型 模型一　背靠背型 1．(8分)我国古代人民在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜．如图1所示，其工作方法主要利用了光的反射原理．在图2中，AB呈水平状态，AE，CD为法线，∠BCD＝∠ACD＝41°，∠CAE＝37°，AE⊥AB，已知AB＝11 m，求镜面上点C到水盆A的距离．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin 82°≈0.99，cos 82°≈0.14，tan 82°≈7.12) 解：如图，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，则∠AFB＝∠AFC＝90°． ∵EA⊥AB, ∴∠EAB＝90°． ∵∠BCD＝∠ACD＝41°，∴∠ACB＝82°． ∵∠CAE＝37°， ∴∠CAB＝∠EAB－∠EAC＝53°． ∴∠ABC＝180°－∠CAB－∠ACB＝45°． 在Rt△ABF中，∠ABC＝45°， ∴AF＝AB·sin 45°＝11＝11(m)． 在Rt△ACF中，∠ACB＝82°， ∴AC＝≈≈11.1(m)． ∴镜面上点C到水盆A的距离约为11.1 m． 2．(8分)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面AB的坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD的长度为20 m，∠C＝18°，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32) 解：如图，过点D作DE⊥BC，垂足为点E． 由题意，得AF⊥BC，DE＝AF． ∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴＝． ∴设AF＝3x m，BF＝4x m． 在Rt△ABF中，AB＝＝＝5x(m)． 在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20 m， ∴DE＝CD·sin 18°≈20×0.31＝6.2(m)． ∴AF＝DE＝6.2 m．∴3x＝6.2， 解得x＝．∴AB＝5x≈10.3(m)． ∴斜坡AB的长约为10.3 m． 模型二　子母型 3．(8分)如图，灯塔A周围9 km内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6 km后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？(参考数据：sin 32°≈0.530，cos 32°≈0.848，tan 32°≈0.625，sin 58°≈0.848，cos 58°≈0.530，tan 58°≈1.6) 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D． 设AD＝x km． 由题意，得∠ABD＝32°，∠ACD＝45°， BC＝6 km． 在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴AD＝CD＝x km． 在Rt△ABD中，tan ∠ABD＝， ∴BD＝≈＝6＋x，解得x＝10． ∵10＞9， ∴如果渔船不改变航线继续向西航行，没有触礁的危险． 4．(10分)暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600 m高的山峰，如图所示，由山底A处先步行300 m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°．(换乘登山缆车的时间忽略不计) (1)求登山缆车上升的高度DE； (2)若步行速度为30 m/min，登山缆车的速度为60 m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟．(结果精确到0.1 min．参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33) 解：(1)如图，过点B作BM⊥AF于点M． 由题意可知∠A＝30°，∠DBE＝53°，DF＝600 m，AB＝300 m． 在Rt△ABM中，∠A＝30°，AB＝300 m， ∴BM＝AB＝150 m＝EF． ∴DE＝DF－EF＝600－150＝450(m)． 答：登山缆车上升的高度DE为450 m． (2)在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，DE＝450 m， ∴BD＝≈＝562.5(m)． ∴需要的时间t＝t步行＋t缆车＝≈19.4(min)． 答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.4 min． 5．(10分)某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在景区内修建如图1所示的观光索道．设计示意图如图2所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC，长为50 m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线的夹角为45°，A，B两处的水平距离AE为576 m，DF⊥AF，垂足为点F．(图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上) (1)求索道AB的长；(结果精确到1 m) (2)求水平距离AF的长．(结果精确到1 m．参考数据：sin 15°≈0.25，cos 15°≈0.96，tan 15°≈0.26，≈1.41) 解：(1)在Rt△ABE中，∠AEB＝90°， ∠A＝15°，AE＝576 m， ∴AB＝＝≈＝600(m)， 即索道AB的长约为600 m． (2)如图，延长BC交DF于点G． ∵BC∥AE，∴∠CBE＝90°． ∵DF⊥AF，∴∠AFD＝90°． ∴四边形BEFG为矩形． ∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°． ∵CD＝AB＝600 m，∠DCG＝45°， ∴CG＝CD·cos ∠DCG＝600×cos 45°＝600×＝300(m)． ∴AF＝AE＋EF＝AE＋BG＝AE＋BC＋CG＝576＋50＋300≈1 049(m)， 即水平距离AF的长约为1 049 m． 模型三　拥抱型 6．(10分)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4 m． (1)求教学楼与旗杆的水平距离AD的长；(结果保留根号) (2)求旗杆CD的高度． 解：(1)∵在教学楼B处观测到旗杆底端D的俯角是30°，∴∠ADB＝30°． 在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4 m， ∴AD＝＝＝4(m)， 即教学楼与旗杆的水平距离AD的长是4 m． (2)在Rt△ACD中，∠ADC＝90°， ∠CAD＝60°，AD＝4 m， ∴CD＝AD·tan 60°＝4＝12(m)， 即旗杆CD的高度是12 m． 7．(8分)如图，某校综合实践小组在两栋楼之间的水平地面E处放置一个测角仪，经测量，∠AEB＝53°，∠CED＝45°，已知BE＝60 m，ED＝20 m．求两栋楼楼顶A，C之间的距离． 解：如图，过点C作CF⊥AB于点F． 在Rt△CED中，∠CED＝45°， ∴△CED是等腰直角三角形． ∴CD＝DE＝20 m． 在Rt△ABE中，∠AEB＝53°， ∴tan ∠AEB＝tan 53°＝＝． ∴＝．∴AB＝80 m． 由题意，得 BF＝CD＝DE＝20 m， CF＝BD＝BE＋ED＝80 m， ∴AF＝AB－BF＝80－20＝60(m)． 在 Rt△ACF中，AC＝＝100 m， ∴两栋楼楼顶A，C之间的距离为100 m． 模型四　其他类型 8．(8分)如图，某数学小组探究笔记本电脑打开角度对用眼舒适度的影响，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为11 cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后发现当张角∠A′OB＝108°时(点A′是点A的对应点)，用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长．(结果精确到1 cm．参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32) 解：∵∠AOB＝150°， ∴∠AOC＝180°－∠AOB＝30°． 在Rt△ACO中，AC＝11 cm, ∴AO＝2AC＝22 cm． 由题意，得AO＝A′O＝22 cm． ∵∠A′OB＝108°， ∴∠A′OD＝180°－∠A′OB＝72°． ∴∠OA′D＝90°－∠A′OD＝18°． 在Rt△A′DO中，A′D＝A′O·cos ∠OA′D＝A′O·cos 18°≈22×0.95≈21(cm)． ∴此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长约为21 cm． 9．(10分)下图是某品牌篮球架示意图，立柱OA垂直于地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行于地面OB，篮筐EF与支架DE在同一条直线上，OA＝2.7 m，AD＝0.8 m，∠AGC＝32°．(参考数据：sin 32°≈0.53，cos 32°≈0.85，tan 32°≈0.62) (1)求∠GAC的度数． (2)工人准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3 m处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由． 解：(1)∵CG⊥CD，∴∠ACG＝90°． ∵∠AGC＝32°，∴∠GAC＝180°－90°－32°＝58°． (2)不能．理由如下： 如图，延长OA，FD交于点H． ∵OA⊥OB，DE∥OB， ∴OH⊥EH．∴∠AHD＝90°． ∵∠DAH＝∠GAC＝58°， ∴∠ADH＝180°－90°－58°＝32°． ∵sin ∠ADH＝≈0.53， ∴AH≈0.53×0.8＝0.424(m)． ∴OH＝AH＋OA≈0.424＋2.7＝3.124(m)． ∵篮筐EF与支架DE在同一条直线上， ∴EF与地面的距离约为3.124 m． ∵3<3.124，∴他不能挂上篮网． 10．(10分)某数学小组开展了一次测量小山高度的活动，如图，该数学小组从地面A处出发，沿坡角为53°的山坡AB行进一段距离到达B处，再沿着坡角为22°的山坡BC行进600 m到达C处，通过测量数据计算出小山的高CD＝612 m． (1)已知BE⊥CD与CD交于点E，求BE的长度； (2)求该数学小组行进的水平距离．(结果精确到1 m．参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.92，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3) 解：(1)在Rt△BCE中，BC＝600 m，∠CBE＝22°， ∴BE＝BC·cos 22°≈600×0.92＝552(m)． (2)如图，过点B作BH⊥AD于点H，则四边形BEDH是矩形． ∴DE＝BH，BE＝DH． 在Rt△BCE中，BC＝600 m，∠CBE＝22°， ∴CE＝BC·sin 22°≈600×0.37＝222(m)． ∵DH＝BE＝552 m，CD＝612 m， ∴BH＝DE＝CD－CE＝612－222＝390(m)． 在Rt△ABH中，∠BAH＝53°， ∴tan 53°＝．∴AH≈＝300(m)． ∴AD＝AH＋DH＝300＋552＝852(m)． 答：该数学小组行进的水平距离AD约为852 m． 11．(10分)我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象(如图1)，我们把n＝称为折射率(其中α代表入射角，β代表折射角)．小明为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，利用激光笔发射一束红光，容器中不装水时，光斑恰好落在B处，加水至EF处，光斑左移至C处．图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，测得BF＝36 cm，DF＝48 cm． (1)求入射角的度数； (2)若光线从空气射入水中的折射率n＝，求光斑移动的距离BC． 解：(1)如图，设法线为MN，则MN∥BF． ∴∠BDN＝∠DBF＝∠PDM． ∵BF＝36 cm，DF＝48 cm， ∴tan ∠DBF＝＝＝． ∵tan 53°≈，∴入射角约为53°． (2)如图，过点D作DH⊥AB于点H． ∵n＝，α＝53°， ∴＝．∴sin β＝． ∴sin β＝＝． 设CH＝3x cm，CD＝5x cm，则 DH＝4x cm． ∴4x＝36，解得x＝9．∴CH＝27 cm． ∴BC＝BH－CH＝48－27＝21(cm)． 答：光斑移动的距离BC为21 cm． 10/10 学科网（北京）股份有限公司 $