第3章成果展示 对圆的进一步认识-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（青岛版）

第3章成果展示　对圆的进一步认识 (时间：120分钟　满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题　共40分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为(　B　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C的切线PC与AB的延长线交于点P，⊙O的半径为2，则PC的长为(　D　) 第2题图 A．4 B．4 C．6 D．2 3．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos ∠ADC的值为(　B　) 第3题图 A． C． 4．如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点P．已知∠P＝30°，∠AOC＝80°，则的度数是(　C　) A．30° B．25° C．20° D．10° 5．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为5 cm，则图中弧CD的长为(结果保留π)(　A　) A．π cm B．π cm C．π cm D．π cm 6．随着研究不断深入，化学家发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等(如图1)，组成了一个完美的六边形(正六边形)，图2是其平面示意图，则∠1的度数为(　B　) A．130°　 B．120° C．110° D．60° 7．如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F是切点．若∠DEF＝50°，则∠A等于(　C　) 第7题图 A．40° B．50° C．80° D．100° 8．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝100°，OA＝12，点C是OB的中点，CD⊥OB交于点D，以OC为半径的交OA于点E，则图中阴影部分的面积是(　C　) 第8题图 A．12π＋18 B．12π＋36 C．6π＋18 D．6π＋36 9．如图，已知正方形ABCD的边长为2 cm，将正方形ABCD在直线l上顺时针连续翻转4次，则点A所经过的路径长为(　B　) A．4π cm B．(2＋2)π cm C．2π cm D．(4＋2)π cm 10．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于点E，连接AB交PO于点F，连接CE交AB于点D．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE平分∠ACB；④OF＝AC；⑤E是△PAB的内心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的有(　A　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 解析：如图，连接OA，BE． ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB．故①正确． ∵PA＝PB，OA＝OB， ∴OP是AB的垂直平分线． ∴OP⊥AB．故②正确． ∵OP是AB的垂直平分线， ∴＝．∴∠ACE＝∠BCE． ∴CE平分∠ACB．故③正确． ∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°． ∵∠BFO＝90°，∴OF∥AC． ∵OB＝OC，AF＝BF， ∴OF＝AC．故④正确． ∵PB是⊙O的切线，∴∠PBE＋∠EBC＝90°． ∵BC是⊙O的直径， ∴∠EBC＋∠ECB＝90°． ∴∠PBE＝∠ECB． ∵∠ECB＝∠EBA， ∴∠PBE＝∠EBA． ∵∠APE＝∠BPE， ∴E是△PAB的内心．故⑤正确． ∵AC∥OE， ∴△CDA∽△EDF．故⑥错误． 第Ⅱ卷(非选择题　共80分) 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 11．著名作家巴金在他的作品《海上日出》中对日出状况的描写：“果然，过了一会儿，在那个地方出现了太阳的小半边脸，红是真红，却没有亮光．”这段文字中，给我们呈现出来的直线与圆的位置关系是 相交 ． 12．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝ 80° ． 第12题图 13．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时捕捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN的长度始终保持不变，MN＝4，点E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 2－2 ． 第13题图 14．如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为点D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为 135° ． 15．如图，已知点A(2，2)，点B(2，1)，将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A′(－2，2)的位置，则图中阴影部分的面积为 π ． 第15题图 16．如图，在Rt△AOB中，OB＝2，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是边AB上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(其中点Q为切点)，则线段PQ长度的最小值为 2 ． 第16题图 三、解答题(本大题共6个小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(6分)如图，在6×6的正方形网格中洒下M，N，O，P，Q五粒黄豆， 若以黄豆O为圆心，以为半径画圆，试判断另外四粒黄豆与⊙O的位置关系． 解：OQ＝＝，OP＝＝2，ON＝2，OM＝＝． ∵2＞，2＜， ∴黄豆P在⊙O外，黄豆Q和M在⊙O上，黄豆N在⊙O内． 18．(8分)如图，在Rt△ABO中，∠O＝90°，AO＝，BO＝1，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点P，求PB的长． 解：在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，AO＝，BO＝1，∴AB＝＝2． 如图，过点O作OD⊥AB于点D． ∴PB＝2BD，∠ODB＝∠AOB＝90°，∠B＝∠B．∴△OBD∽△ABO．∴＝， 即＝，解得BD＝．∴PB＝2BD＝． 19．(10分)如图，BE是⊙O的直径，A和D是⊙O上两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA． (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若CE＝AE＝2，求阴影部分的面积． (1)证明：连接OA，AB(图略)． ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠B． ∵∠ADE＝∠B，∴∠ADE＝∠OAB． ∵∠EAC＝∠EDA，∴∠EAC＝∠OAB． ∵BE为⊙O的直径，∴∠EAB＝90°， 即∠EAO＋∠OAB＝90°． ∴∠CAE＋∠EAO＝90°．∴OA⊥AC． ∵OA为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线． (2)解：过点O作OF⊥AE于点F(图略)． ∵CE＝AE＝2，∴∠C＝∠EAC． ∵∠EAC＋∠C＝∠AEO， ∴∠AEO＝2∠EAC． ∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠EAO． ∴∠EAO＝2∠EAC． ∵∠EAO＋∠EAC＝90°，∴3∠EAC＝90°． ∴∠EAC＝30°，∠EAO＝60°． ∴△OAE是等边三角形． ∴OA＝AE，∠EOA＝60°．∴OA＝2． ∴S扇形AOE＝＝2π． 在Rt△OAF中，OF＝OA·sin ∠FAO＝2＝3， ∴S△AOE＝AE·OF＝×2×3＝3． ∴S阴影＝2π－3． 20．(10分)如图，点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，连接AI并延长分别交BC和⊙O于点D，E，连接BE． (1)求证：EB＝EI； (2)若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的长． (1)证明：连接BI(图略)． ∵点I是△ABC的内心， ∴∠BAE＝∠CAE，∠ABI＝∠CBI． ∵∠CBE＝∠CAE，∴∠BAE＝∠CBE． ∵∠BIE＝∠ABI＋∠BAE， ∠IBE＝∠CBI＋∠CBE， ∴∠IBE＝∠BIE．∴EB＝EI． (2)解：设AI＝x．由(1)可知EI＝EB＝2，∠BAE＝∠CBE，且∠E＝∠E, ∴△BDE∽△ABE．∴＝． ∴BE2＝ED·EA，即ED＝． 又∵∠E＝∠C，∠BAE＝∠CAE， ∴△ADC∽△ABE．∴＝． ∴AB·AC＝AD·AE， 即4×3＝(x＋2)， 解得x＝2(负值舍去)．∴AI＝2． 21．(10分)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，过点C的切线交DA的延长线于点E，且DE⊥CE，连接CD，BC． (1)求证：∠DAB＝2∠B； (2)若tan D＝，BC＝4，求⊙O的半径． (1)证明：如图，连接OC． ∵EC是⊙O的切线， ∴OC⊥CE． ∵DE⊥CE，∴OC∥DE． ∴∠DAB＝∠AOC． 由圆周角定理，得∠AOC＝2∠B， ∴∠DAB＝2∠B． (2)解：如图，连接AC． ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°． 由圆周角定理，得∠B＝∠D， ∴tan B＝tan D＝，即＝． ∵BC＝4，∴AC＝2． 由勾股定理，得 AB＝＝＝2， ∴⊙O的半径为． 22．(12分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．弦BF交CD于点G，点P在CD的延长线上，且PF＝PG． (1)求证：PF为⊙O的切线； (2)若OB＝10，BF＝16，BE＝8，求PF的长． (1)证明：连接OF(图略)． ∵PF＝PG，∴∠PFG＝∠PGF． ∵∠BGE＝∠PGF，∴∠PFG＝∠BGE． ∵OF＝OB，∴∠OFB＝∠B． ∵CD⊥AB，∴∠BGE＋∠B＝90°． ∴∠PFG＋∠OFB＝90°． ∴∠PFO＝90°．∴OF⊥PF． ∵OF是⊙O的半径，∴PF为⊙O的切线． (2)解：连接AF，过点P作PM⊥FG，垂足为点M(图略)． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°．∴AB2＝AF2＋BF2． ∵OB＝10，∴AB＝20． ∵BF＝16，∴AF＝12． 在Rt△ABF中，tan B＝，cos B＝， 在Rt△BEG中，tan B＝＝，cos B＝＝，∴GE＝6，GB＝10． ∵BF＝16，∴FG＝6． ∵PM⊥FG，PF＝PG，∴FM＝FG＝3． ∵∠BGE＝∠PFM，∠PMF＝∠BEG＝90°， ∴△PFM∽△BGE． ∴＝， 即＝， 解得PF＝5． ∴PF的长为5． 10/10 学科网（北京）股份有限公司 $