第2章成果展示 解直角三角形-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级上册数学同步练习分层卷（青岛版）

第2章成果展示　解直角三角形 (时间：120分钟　满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题　共40分) 一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么cos A等于(　B　) A． C． 2．按如图所示的运算程序，能使输出y值为的是(　C　) A．α＝60°，β＝45° B．α＝30°，β＝45° C．α＝30°，β＝30° D．α＝45°，β＝30° 3．在△ABC中，(tan A－3)2＋＝0，则△ABC是(　A　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．含60°角的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 4．一树干被台风吹断，折断部分与地面成30°角，树干底部与树尖着地处相距20 m，则树干原来的高度为(　B　) A． m B．20 m C． m D．20 m 5．在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A，B，C均在格点上，则cos B的值是(　A　) A． C． 第5题图 　　　　 第6题图 6．在商周时期就有了用来攀登城墙的设备——云梯，后被鲁国人鲁班加以改进．如图，梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为∠α，关于∠α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的说法，叙述正确的是(　A　) A．sin α的值越大，梯子越陡 B．cos α的值越大，梯子越陡 C．tan α的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠α的函数值无关 7．公元3世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是125，小正方形的面积是25，那么(sin θ－cos θ)2＝(　A　) A． C． 8．如图，海中有一小岛A，在点B测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从点B出发由西向东航行10 n mile 到达点C，在点C测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离AC为(　D　) A． n mile B． n mile C．20 n mile　 D．10 n mile 9．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于(　D　) A．a sin x＋b sin x B．a cos x＋b cos x C．a sin x＋b cos x D．a cos x＋b sin x 10．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，则其底边上的高是(　D　) A．a B．a C．a D．a或a 第Ⅱ卷(非选择题　共80分) 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 11．计算：tan 45°＋cos 60°－tan 60°＝ ． 12．比较三角函数值的大小：sin 30° < tan 30°．(填“＞”“＜”或“＝”) 13．如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD，则tan ∠DBC的值为 3 ． 第13题图 14．人字梯为现代家庭常用的工具(如图)．若AB，AC的长都为2 m，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD是 1.5 m．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19) 第14题图 15．西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测量正午日影长度来确定时间的仪器，称为圭表(如图1)．它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直于圭BC．已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为α，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为β．若表AC的长为m，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为． 解析：在Rt△ACD中，AC＝m，∠ADC＝β， ∴CD＝＝． 在Rt△ACB中，AC＝m，∠ABC＝α， ∴BC＝＝． ∴BD＝BC－CD＝． 16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，则sin ∠ABD＝ ． 三、解答题(本大题共6个小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(6分)计算：2cos245°＋tan60°·tan 30°－cos 60°． 解：原式＝2×＋＝1＋1－＝． 18．(8分)解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，∠B＝60°． 解：∵∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝180°－60°－90°＝30°． ∴sin A＝sin 30°＝＝＝．∴c＝10． 由勾股定理，得b＝＝＝＝5，则b＝5，c＝10，∠A＝30°． 19．(10分)在△ABC中，∠B，∠C 均为锐角，其对边分别为b，c，求证：＝． 证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D． 在Rt△ABD中，sin B＝， ∴AD＝AB·sin B． 在Rt△ADC中，sin C＝， ∴AD＝AC·sin C． ∴AB·sin B＝AC·sin C． ∵AB＝c，AC＝b，∴c sin B＝b sin C． ∴＝． 20．(10分)小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中．如图，他在点O处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中倒影A′的俯角为60°．已知点O到湖面的距离OD＝3 m，OD⊥DB，AB⊥DB，A，B，A′三点共线，A′B＝AB，求小山的高度AB．(光线的折射忽略不计，结果保留根号) 解：过点O作OE⊥AB于点E(图略)，则BE＝OD＝3 m． 设AE＝x m，则AB＝(x＋3)m，A′E＝(x＋6)m． ∵∠AOE＝45°，∴OE＝AE＝x m． ∵∠A′OE＝60°，∴tan 60°＝＝， 即＝，解得x＝3＋3． ∴AB＝3＋3＋3＝(6＋3)m． 答：小山的高度AB为(6＋3)m． 21．(10分)某兴趣小组为了测量大楼CD的高度，先沿着斜坡AB走了52 m到达坡顶点B处，然后在点B处测得大楼顶点C的仰角为53°．已知斜坡AB的坡度i＝1∶2.4，点A到大楼的距离AD为72 m，求大楼的高度CD． 解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F． ∵CD⊥AD，∴四边形BEDF是矩形． ∴FD＝BE，FB＝DE． 在Rt△ABE中，BE∶AE＝1∶2.4＝5∶12， 设BE＝5x，则AE＝12x． 在Rt△ABE中，根据勾股定理，得AB＝13x， ∴13x＝52，解得x＝4． ∴BE＝FD＝5x＝20，AE＝12x＝48． ∴DE＝FB＝AD－AE＝72－48＝24(m)． 在Rt△CBF中，CF＝FB·tan ∠CBF≈24×＝32(m)，∴CD＝FD＋CF＝20＋32＝52(m)． 答：大楼的高度CD约为52 m． 22．(12分)阅读材料：关于三角比有如下的公式：sin (α＋β)＝sin α·cos β＋cos α·sin β，tan (α＋β)＝．利用这些公式可以将两角和的三角比转化成两个三角比的和，如：tan 75°＝tan (30°＋45°)＝＝＝＝2＋． 问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题． (1)求sin 75°． (2)如图，边长为2的等边三角形ABC沿直线滚动，设当△ABC滚动240°时，点C的位置在C′处，当△ABC滚动480°时，点A的位置在A′处．求： ①tan ∠CAC′的值； ②∠CAC′＋∠CAA′的度数． 解：(1)sin 75°＝sin (30°＋45°) ＝sin 30°·cos 45°＋cos 30°·sin 45° ＝＝． (2)①如图1，过点C′作C′E⊥l于点E． 图1 ∵△ABC是等边三角形且边长为2， ∴C′E＝，AE＝2＋2＋1＝5． ∴tan ∠CAC′＝＝． ②如图2，过点A′作A′F⊥l于点F． 图2 ∵△ABC是等边三角形且边长为2， ∴A′F＝，AF＝2＋2＋2＋2＋1＝9． ∴tan ∠CAA′＝＝． 设∠CAC′＝α，∠CAA′＝β， ∴tan (α＋β)＝＝＝． ∴α＋β＝30°，即∠CAC′＋∠CAA′＝30°． 8/8 学科网（北京）股份有限公司 $